等差数列計算ツール：第n項・初項からの和・項数と公差の逆算

計算ツールについて

等差数列計算ツールは「各項が前の項より同じ数だけ多い」数列を扱います：初項 $a_1$ 、公差 $d$ 、項数 $n$ を入力すると、第 $n$ 項 $a_n = a_1 + (n-1)d$ と初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ を求めます。末項がわかっているときは、項数 $n$ や公差 $d$ の逆算もできます。

1, 3, 5, 7, …（奇数）、劇場で前の列より2席ずつ多い座席、毎月前の月より50円多く貯金する、毎日1.5 kmずつ減らす減量トレーニング——「増分が一定」なら何でも等差数列です。もっとも単純な数列であり、「累積」を理解する出発点でもあります：和の公式の背後にある「端どうしを組にする」方法は、ガウスが8歳のときに（伝えられるところでは）思いついたものです。

やらないこと：等比数列（各項が前の項の一定の倍数になる数列、たとえば複利）は扱いません。二階差が一定の数列（差の差が一定）やフィボナッチのような漸化式の数列も扱いません。すべての項を列挙することもしません——出すのは第 $n$ 項と和の2つの数だけです。

公式と変数

a_n = a_1 + (n-1)\,d,\qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = n\,a_1 + \frac{n(n-1)}{2}\,d

末項からの逆算：

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1,\qquad d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}

記号	意味	計算ツールの項目	単位	範囲と説明
$a_1$	初項	初項 a₁	任意	既定は 1；負の数や小数も可
$d$	公差（隣り合う項の差 $a_{k+1} - a_k$ ）	公差 d	$a_1$ と同じ	既定は 2； $d > 0$ で増加、 $d < 0$ で減少、 $d = 0$ で定数列
$n$	項数	項数 n	個	正の整数、 $n \ge 1$ ；エンジンは整数かどうかを検査しません。項目には既定値 10 がありますが、画面には最初の2項目だけが入力され、開いた時点では空です
$a_n$	第 $n$ 項（末項）	第n項 aₙ	$a_1$ と同じ	出力；逆算モードでは入力として使います
$S_n$	初項から第 $n$ 項までの和	和 S	$a_1$ と同じ	出力、 $n$ 個の項の合計

2つの和の書き方は等価です：1つ目は最初と最後の項の平均に項数を掛けるもの、2つ目は $a_1$ 、 $d$ 、 $n$ だけを使うものです。エンジンは1つ目で計算し、2つ目は手計算の検算用です。

この計算ツールの使い方

パネルを開く本ページは「数学ツール → 公式 → 等差数列」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arithmetic-seq）に対応します。開いた時点では「初項 a₁」= 1 と「公差 d」= 2 だけが入っており、「項数 n」は空です。このとき第n項は −1、和は 0 と表示されます——エンジンが空の $n$ を 0 として $a_1 + (0-1)d$ に代入した結果で、答えではありません。 $n$ を入れれば正常になります。
第n項と和を求める「項数 n」に正の整数を入れると、2つの結果の項目が「計算」の印とともに同時に更新されます。
項数を逆算する「項数 n」を空にし、「第n項 aₙ」に末項を入れて $a_1$ 、 $d$ はそのままにします。項数の項目が「計算」に切り替わります。このとき「和」は 0 と表示される点に注意してください（エンジンは未入力の $n$ を 0 として扱います）。算出された $n$ を項数の項目に書き戻して $a_n$ を空にすれば、和が得られます。
公差を逆算する「公差 d」を空にし、 $a_1$ 、 $n$ 、 $a_n$ を入力すると、公差の項目が $(a_n - a_1)/(n-1)$ を表示します。このとき「和」は $d = 0$ として計算され、 $n \cdot a_1$ が表示されますが、これも本当の和ではありません。 $d$ を書き戻せば正しくなります。
結果を読む数値は最大で小数第8位まで表示し、末尾の0は省略します。逆算した $n$ が整数でない場合（たとえば 16.66666667）、入力した $a_n$ はこの数列の項ではありません。
公式をコピーするパネル見出しの右側にあるコピーボタンで aₙ = a₁ + (n-1)d, S = n(a₁+aₙ)/2 がクリップボードにコピーされます。

計算例

4つの計算例はすべてエンジン arithmetic-seq の compute で再計算しています。表示の口径は小数第8位まで、末尾の0は省略です。

例1：3, 7, 11, 15, 19, 23 —— 6項

入力： $a_1 = 3$ 、 $d = 4$ 、 $n = 6$ 。

第6項 $a_6 = 3 + (6-1) \times 4 = 3 + 20 = 23$ 。
和 $S_6 = \dfrac{6 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{6 \times 26}{2} = 78$ 。

画面表示：第n項 23、和 78。2つ目の書き方で検算： $6 \times 3 + \dfrac{6 \times 5}{2} \times 4 = 18 + 60 = 78$ 。ペアリング法： $3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26$ で、3組がそれぞれ 26、合計 78 です。

図1：例1。左はガウスのペアリング（端どうしの和は常に a₁ + aₙ）、右はその幾何版——2つの階段を合わせると長方形になり、面積は n(a₁ + aₙ)、その半分が Sₙ

例2：既定の入力とガウスの 1 から 100

入力： $a_1 = 1$ 、 $d = 2$ 、 $n = 10$ （既定値）。第10項 $= 1 + 9 \times 2 = 19$ 、和 $= 10 \times (1 + 19) / 2 = 100$ 。画面表示：第n項 19、和 100。最初の10個の奇数の和はちょうど $10^2$ です。 $n = 100$ に変えると、画面には第n項 199、和 10000 と表示されます——最初の $n$ 個の奇数の和は常に $n^2$ です（L字型の奇数のかたまりを1層ずつ組み合わせて正方形を作るとわかります）。

入力 $a_1 = 1$ 、 $d = 1$ 、 $n = 100$ ：画面には第n項 100、和 5050 と表示されます。これが伝説の小ガウスが「 $1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 50 + 51$ 、50組で各組 101」と一瞬で答えたと言われる問題です。

例3：劇場の座席と減少する数列

劇場：1列目が20席、その後は1列ごとに2席ずつ増え、全部で15列。入力 $a_1 = 20$ 、 $d = 2$ 、 $n = 15$ ：最終列は $20 + 14 \times 2 = 48$ 席、総座席数は $15 \times (20 + 48)/2 = 510$ 。画面表示：第n項 48、和 510。

減少：100 kg の在庫から毎日一定で 7 kg を出荷したとき、12日後の在庫と累計は？入力 $a_1 = 100$ 、 $d = -7$ 、 $n = 12$ ：12日目の在庫は $100 - 77 = 23$ 、12日間の在庫の合計は $12 \times (100 + 23)/2 = 738$ （kg·日、「平均在庫 61.5 kg × 12日」）。画面表示：第n項 23、和 738。公差が負でも式はそのまま成り立ち、数列が下へ進むだけです。

毎月50円ずつ多く貯金する：1か月目に100円、以後毎月50円ずつ増やすと、1年では？入力 $a_1 = 100$ 、 $d = 50$ 、 $n = 12$ ：12か月目は 650、1年間の合計は 4500。

例4：項数と公差の逆算

n の逆算：数列 5, 8, 11, … のうち 50 は何番目の項でしょうか。入力 $a_1 = 5$ 、 $d = 3$ 、 $a_n = 50$ （n は空）： $n = (50 - 5)/3 + 1 = 16$ 。画面表示：項数 n 16、和 0（手順3の口径を参照）。16 を項数に書き戻して $a_n$ を空にすると：第n項 50、和 440。

52 が何番目かを知りたい場合： $n = (52 - 5)/3 + 1 = 16.66666667$ ——整数ではないので、52 はこの数列にありません（第16項が 50、第17項が 53）。

d の逆算：2 から始めて8項後に 30 になる数列の公差は？入力 $a_1 = 2$ 、 $n = 8$ 、 $a_n = 30$ （d は空）： $d = (30 - 2)/(8 - 1) = 4$ 。画面表示：公差 d 4、和 16（このときエンジンは $d = 0$ で和を計算し、 $8 \times 2 = 16$ を表示しますが、本当の和ではありません）。4 を公差に書き戻して $a_n$ を空にすると：第n項 30、和 128。

例1の入力はそのままパネルに入れて再現できます。 $n$ を 6 から 12、24、48 と変えて、第n項が $n$ に比例して増え、和が $n^2$ のオーダーで増える（項数が2倍になると和はおよそ4倍）ことを観察してください。

原理と導出

一般項：漸化式から直接の公式へ

定義は漸化式です： $a_{k+1} = a_k + d$ 。 $a_1$ から $a_n$ まで進むには $d$ を $n - 1$ 回足すので、 $a_n = a_1 + (n-1)d$ です。 $n$ ではなく $n - 1$ である点に注意してください：6本の柱の間には5つの間隔しかありません（図1の5つの「+4」）。これが植木算——項数が間隔の数より1多いという関係です。

$n$ を独立変数とみると、 $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$ は直線です：傾きは公差 $d$ 、切片は $a_1 - d$ （「第0項」）。等差数列は定義域を正の整数に限った一次関数であり、図1の左で柱の頂点を結ぶと直線になります。任意の2項から傾きを計算すればそれが公差で、公差の逆算式 $d = (a_n - a_1)/(n-1)$ はまさに「縦の差 ÷ 横の差」です。

和：ガウスのペアリング

$S_n$ を正順に1回、逆順に1回書いて、上下を足します：

\begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \\ S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \\ 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \cdots + (a_1 + a_n) = n\,(a_1 + a_n) \end{aligned}

各列の和はすべて $a_1 + a_n$ です——一方の項が $d$ だけ増えれば、向かいの項は $d$ だけ減ります。列は $n$ 個なので、 $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ 。項数が奇数のときは中央の項が自分自身と組になります（それはちょうど $(a_1 + a_n)/2$ 、つまり全項の平均です）が、式は変わりません。図1の右がこの代数の幾何版です：階段を正立と倒立で1つずつ並べると $n \times (a_1 + a_n)$ の長方形になります。

$a_n = a_1 + (n-1)d$ を代入すると2つ目の書き方 $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2} d$ が得られます： $n$ 個の $a_1$ に $0 + 1 + \cdots + (n-1) = n(n-1)/2$ 個の $d$ を加えたものです。これは $S_n$ が $n$ について2次であることを示しています——項数が2倍になれば和はおよそ4倍です。

「平均 × 項数」という読み方

$S_n = n \cdot \dfrac{a_1 + a_n}{2}$ ：和は「最初と最後の項の平均」に項数を掛けたものです。等差数列では、最初と最後の平均が全項の平均になります——項が中点の両側に対称に並ぶからです。例3の在庫の問題では、738 = 61.5 × 12 が「平均在庫 × 日数」です。この読み方は、台形の面積（(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2）や等加速度運動の変位（平均速度 × 時間）とまったく同じものです。

等差と等比：単利と複利

等差数列は各段階で一定量を加え、等比数列は各段階で一定の倍数を掛けます。元金 1000 円を年5%の単利で運用すると、利息は毎年一定の 50 円で、各年の元利合計 1050, 1100, 1150, … は等差数列になり、10年後は 1500 円です。年5%の複利なら等比数列 $1000 \times 1.05^n$ で、10年後は 1628.89 円。前者は直線、後者は指数曲線で、時間が長いほど差が開きます——詳しい議論は複利計算ツールを参照してください。

前提条件

公差が一定：隣り合う項の差がどこでも同じであること。1か所でも等しくなければ、一般項も和の公式も成り立ちません。
項数は正の整数：エンジンは検査しないので、 $n = 2.5$ は意味のない数を返します。
第1項から数える： $a_1$ は第1項であり第0項ではありません。教材やプログラム（配列の添字）によっては0から数えることもあり、その場合は $a_n = a_0 + nd$ です。
和は最初の $n$ 項： $a_1$ から $a_n$ までの合計です。第 $m$ 項から第 $n$ 項までの和を求めるには $S_n - S_{m-1}$ を使います。
画面の口径：未入力の項目はエンジン内で 0 として演算に参加するため、 $n$ や $d$ を逆算するときの「和」は本当の和ではありません（手順3、4）。

適用範囲と限界

計算できること: 任意の実数 $a_1$ 、 $d$ と正の整数 $n$ に対する第 $n$ 項と初項から第 $n$ 項までの和； $a_n$ から $n$ （ $d \ne 0$ が必要）や $d$ （ $n \ne 1$ が必要）の逆算。
近似しかできないこと: 現実の「等差」はほとんどが近似です（座席の列、在庫の出荷）。式が与えるのはモデルの値です。
計算できないこと: 等比数列（別の等比数列計算ツールがあります）、二階差が一定の数列（ $1, 3, 6, 10, \ldots$ ）、部分和 $a_m + \cdots + a_n$ （2回計算して引きます）、 $S_n$ からの $n$ や $d$ の逆算（2次方程式を解く必要があり、手計算になります）。
やらないこと: 各項の列挙、ある数が数列の項かどうかの判定（ $n$ の逆算が整数かどうかで判断してください）。
数値: $n$ が極端に大きいと $S_n$ が $10^{12}$ 以上になり科学表記で表示されます；倍精度では項数が $10^7$ 程度まで正確です。

よくある誤り

一般項を $a_1 + nd$ と書く： $-1$ が抜けて、各項が $d$ 一つ分ずつ多くなります。6項なら間隔は5つだけです。
$n$ の逆算で小数をそのまま答える： $n = 16.67$ は、入力した末項が数列にないことを意味し、「第16.67項」ではありません。
逆算モードの「和」を結果として読む：それはエンジンが $n = 0$ または $d = 0$ で計算した代替値です。逆算の結果を書き戻してはじめて本当の和になります。
減少する数列で公差を正の数にする：100, 93, 86, … の公差は $-7$ です。7 を入れると増加する数列の結果になります。
和の公式で $a_1 + a_n$ を使い、2で割るのを忘れる： $n(a_1 + a_n)$ は2つの階段を合わせた長方形の面積なので、半分にする必要があります。
等比数列を等差として扱う：複利、人口増加、細菌の増殖は等比数列で、この計算ツールでは大幅に過小評価になります。

典型的な利用場面

教育

漸化式から一般項へ、ペアリングから和の公式へ。最初の $n$ 個の奇数の和が $n^2$ になることを観察し、等差数列が「整数点上の一次関数」であることを理解します。

数え上げと配置

劇場・スタジアムの列ごとに増える座席数、ピラミッド状に積んだ材木や缶詰（層ごとに減る）、パレードの隊形の人数。

計画と予算

毎月増える貯蓄や返済の計画、減っていく在庫や練習量、一定額ずつ昇給する累計収入。

単利と減価償却

単利は等差数列的に蓄積します。定額法の減価償却は毎年一定額を減らすので、第 $n$ 年の帳簿価額は第 $n$ 項です。

よくある質問

パネルを開いたとき第n項が −1 と表示されるのはなぜですか？

項数がまだ入力されておらず、エンジンが $n$ を 0 として $1 + (0-1) \times 2 = -1$ を計算した結果です。項数を入れれば正常になります。

ある数が数列に含まれるかどうかはどう判断しますか？

$n$ を空にし、その数を「第n項」に入れて、逆算された $n$ が正の整数かどうかを見ます。50 は 5, 8, 11, … にあり（ $n = 16$ ）、52 はありません（ $n = 16.67$ ）。

第5項から第12項までの和はどう求めますか？

$S_{12}$ と $S_4$ を計算して引きます。または第5項を新しい初項とし、項数8で計算し直します。

和と初項・公差から項数を逆算できますか？

2次方程式 $\dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac d2\right)n - S_n = 0$ を解き、正の整数の解を取ります。この計算ツールはこの逆算に対応していません。

和はなぜ2次関数的に増えるのですか？

$S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$ に $n^2$ の項があるからです。直感的には、和は階段図の下の面積であり、階段は直線の下の面積——面積は幅の2乗で増えます。

等差数列と等比数列はどう使い分けますか？

「隣り合う項が一定の差か、一定の比か」で見分けます：毎年50円を足すなら等差、毎年1.05を掛けるなら等比です。

参考資料と関連情報

CalcX エンジンのソースコード src/data/formulas.ts にある arithmetic-seq の定義（compute(known, solveFor) が an / sum を出力し、an からの n と d の逆算に対応）。本ページの数値はすべて同エンジンで再計算しています。
Wikipedia, Arithmetic progression（访问日期：2026-09-09）——一般項、2通りの和の書き方と導出。
Wikipedia, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯（访问日期：2026-09-09）——三角数 $n(n+1)/2$ とガウスの逸話。
Brian Hayes, “Gauss's Day of Reckoning”, American Scientist 94(3), 2006（访问日期：2026-09-09）——ガウスの和の物語の各版を史料で検証。
Wikipedia, Rhind Mathematical Papyrus（访问日期：2026-09-09）——紀元前1550年ごろの等差分配の問題（第40、64題）。
『九章算術』巻三「衰分」、巻六「均輸」——中国古代の等差分配と和の問題。

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来源与审阅

更新: 2026-09-09