割引の基礎：現在価値と将来価値、金融計算ツール共通の因子

「今日の100円は明日の100円より価値がある」は金融計算全体の公理です。将来のお金を今日の価値に換算することを割引（discounting）、逆方向——今日のお金を将来へ推し進めること——を複利（compounding）と呼びます。両者は同じ因子 (1+i)^n を共有し、片方は掛け、片方は割るだけです。複利計算ツールと正味現在価値計算ツールは同じ数学的事実の2つの方向であり、この記事は両者が共有する背景です。

概要

「今日の100円は明日の100円より価値がある」は金融計算全体の公理です。将来のお金を今日の価値に換算することを割引（discounting）、逆方向——今日のお金を将来へ推し進めること——を複利（compounding）と呼びます。両者は同じ因子 $(1+i)^n$ を共有し、片方は掛け、片方は割るだけです。複利計算ツールと正味現在価値計算ツールは同じ数学的事実の2つの方向であり、この記事は両者が共有する背景です。

1つの因子、2つの方向

1期あたりの利率を $i$ とします。今日の $PV$ は $n$ 期の複利を経て

FV = PV\,(1+i)^{n}

になります。これを $PV$ について解き直すのが割引です：

PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}}

$(1+i)^{-n}$ は割引係数（discount factor）と呼ばれ、「第 $n$ 期末の1単位のお金」を今日の価値に換算します。 $i$ は複利の文脈では利率、割引の文脈では割引率と呼ばれます——名前は方向によって変わりますが、数学は完全に同じです。

期数 $n$	割引係数（ $i=8\%$ ）	第 $n$ 年末の100を今日に割り引いた値
1	0.9259	92.59
2	0.8573	85.73
5	0.6806	68.06
10	0.4632	46.32

割引率が高いほど、また期数が多いほど、将来のお金は「価値が下がり」ます——これはインフレ（インフレは別の話です）ではなく、資金の機会費用です：そのお金が今日手元にあれば、利率 $i$ で増やせたはずだからです。

割引係数から NPV へ

プロジェクトのキャッシュフローは「今日投資し、以後分割で回収する」という形です。各期のキャッシュフロー $C_t$ をそれぞれ今日に割り引いて合計したものが正味現在価値（NPV）です：

NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^{t}}

$C_0$ は通常マイナスです（初期投資。 $t=0$ は割り引きません）。NPV が0より大きいことは、このキャッシュフローが割引率 $r$ で測って「得」であることを意味します。たとえば 1,000 を投資し、その後2年でそれぞれ 600 を回収する場合、 $r = 8\%$ として：

NPV = -1000 + \frac{600}{1.08} + \frac{600}{1.08^{2}} = -1000 + 555.56 + 514.40 = 69.96

内部収益率（IRR）は NPV をちょうどゼロにする割引率です——NPV を $r$ の関数とみなせば、IRR は曲線と横軸の交点です。これは「このキャッシュフローはどのくらいの利率で増えるのに相当するか」に答えます。

名目金利と実効金利

「年利5%、月複利」の 5% は名目年利率（APR）です：これは1期あたりの利率に期数を掛けた約束の書き方にすぎません。1年間の実際の成長率は実効年率（EAR）です：

EAR = \left(1+\frac{r}{m}\right)^{m} - 1

5% の月複利は EAR 5.1162% に対応します。複利頻度の異なる2つの案を比べるときは EAR を比べ、キャッシュフローを割り引くときはキャッシュフローの間隔と一致した1期あたりの利率を使います。この2つの口径を間違えると、その後のすべての数字が間違います。

よくある誤り

割引とインフレを混同する：割引率は資金の機会費用とリスクを反映し、インフレはその構成要素の1つになり得るだけです。名目のキャッシュフローには名目の割引率、実質のキャッシュフローには実質の割引率を合わせ、混ぜてはいけません。
$t=0$ の投資を割り引く：今日のお金は割り引きません。 $C_0$ はそのまま計上します。
名目金利のまま頻度をまたいで比較する：同じ 5% でも、月複利は年複利より実際に高くなります（上記の EAR を参照）。
IRR を万能の指標とみなす：キャッシュフローの符号が何度も変わると IRR は一意でないことがあります；相互排他的なプロジェクトを比べるときは NPV のほうが IRR より信頼できます。

参考資料と関連情報

Brealey, R. A., Myers, S. C., Allen, F., & Edmans, A. Principles of Corporate Finance, 14th ed. McGraw Hill, 2022. 第2章 "How to Calculate Present Values"——現在価値、年金、割引係数の標準的な導出。
Wikipedia, Present value（访问日期：2026-09-09）——現在価値と割引係数。
Wikipedia, Net present value（访问日期：2026-09-09）——NPV の定義と IRR との関係。