Calculateur de proportions : produit en croix A/B = C/D

Le calculateur de proportions résout \dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} : connaissant trois des quatre nombres, il donne le quatrième. C'est la « règle de trois » utilisée du primaire au lycée : augmenter les quantités d'une recette, lire une distance sur une carte à l'échelle, mesurer la hauteur d'un arbre par son ombre, convertir une fraction en pourcentage — autant d'opérations qui se ramènent à une seule idée : deux rapports sont égaux, et l'on cherche le terme manquant.

Calculateur de proportions : produit en croix A/B = C/D

À propos de ce calculateur

Le calculateur de proportions résout $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ : connaissant trois des quatre nombres, il donne le quatrième. C'est la « règle de trois » utilisée du primaire au lycée : augmenter les quantités d'une recette, lire une distance sur une carte à l'échelle, mesurer la hauteur d'un arbre par son ombre, convertir une fraction en pourcentage — autant d'opérations qui se ramènent à une seule idée : deux rapports sont égaux, et l'on cherche le terme manquant.

Le mot « proportion » recouvre deux notions. $A : B$ est un rapport (ratio), dont la valeur $k = A/B$ est un nombre ; « $A : B = C : D$ » est une proportion (proportion), qui dit que deux rapports sont égaux. Par défaut, le calculateur considère $A$ et $B$ comme la paire connue et $C$ et $D$ comme la paire à faire correspondre ; l'usage le plus courant consiste à saisir $A$ , $B$ et $C$ pour trouver $D$ .

Ce qu'il ne fait pas : il ne traite que la proportionnalité directe (quand une grandeur augmente, l'autre augmente dans le même rapport) ; la proportionnalité inverse (plus d'ouvriers, moins de jours), le partage proportionnel (répartir un total selon $2:3$ ) et les rapports composés ( $A : B : C$ ) doivent d'abord être ramenés à une proportionnalité directe, comme expliqué dans les erreurs fréquentes et la FAQ.

Formules et variables

\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\;\Longleftrightarrow\; A \cdot D = B \cdot C

De l'égalité « produit des extrêmes = produit des moyens », on tire n'importe quel terme :

D = \frac{B\,C}{A},\qquad C = \frac{A\,D}{B},\qquad A = \frac{B\,C}{D},\qquad B = \frac{A\,D}{C}

Symbole	Signification	Champ du calculateur	Unité	Plage et remarques
$A$	Numérateur du premier rapport (premier terme, extrême)	A	quelconque	3 par défaut. Ne peut pas être 0 pour résoudre $D$ (il sert alors de dénominateur)
$B$	Dénominateur du premier rapport (deuxième terme, moyen)	B	quelconque	4 par défaut. Même unité que $A$ , ou même unité que $D$
$C$	Numérateur du second rapport (troisième terme, moyen)	C	quelconque	Même nature (même unité) que $A$
$D$	Dénominateur du second rapport (quatrième terme, extrême)	D	quelconque	Même nature que $B$ ; 4 par défaut, calculé à partir de $A$ , $B$ et $C$
$k$	Coefficient de proportionnalité	(non affiché)	unité de $A$ / unité de $B$	$k = A/B = C/D$ , « combien de $A$ pour 1 $B$ »

Règle des unités : soit $A$ et $C$ partagent la même unité et $B$ et $D$ la même autre unité (lecture horizontale : 3 œufs / 300 g de farine = 5 œufs / 750 g de farine), soit $A$ et $B$ partagent la même unité et $C$ et $D$ la même autre unité (lecture verticale : 1 cm sur la carte / 25000 cm sur le terrain). Les deux dispositions donnent le même nombre, à condition que la correspondance entre les quatre cases soit correcte.

Comment utiliser ce calculateur

Ouvrir le panneaucette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Calculateur de proportions » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.proportion). À l'ouverture, seuls « A » = 3 et « B » = 4 sont renseignés ; les champs C et D portent la mention « calculé » et affichent 0 — faute d'un troisième nombre connu, le moteur traite le champ vide comme 0.
Trouver D(le cas le plus courant) : saisissez la valeur connue dans « C » ; « D » devient immédiatement $BC/A$ . Par exemple, saisir 6 donne 8.
Trouver Cne remplissez pas C, saisissez plutôt une valeur dans « D » ; le champ « C » passe en « calculé » et affiche $AD/B$ .
Trouver A ou Bvidez le terme recherché et remplissez les trois autres ; le champ vidé passe automatiquement en « calculé ». Les combinaisons sont libres et le moteur dispose d'une formule pour les quatre sens.
Lire le résultatla valeur s'affiche avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés ( $4 \times 100 / 3 = 133.33333333$ ). Un dénominateur nul affiche ∞ ou 0 (voir les erreurs fréquentes).
Copier la formulele bouton de copie à droite du titre du panneau place A/B = C/D → D = B×C/A dans le presse-papiers.

Exemples de calcul

Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur proportion ; l'affichage retient au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés.

Exemple 1 : valeurs par défaut, 3 : 4 = 6 : D

Entrées : $A = 3$ , $B = 4$ , $C = 6$ .

Produit en croix : $3 \times D = 4 \times 6 = 24$ .
$D = 24 / 3 = 8$ .

Affichage : D 8. Vérification : $3/4 = 0.75$ et $6/8 = 0.75$ , les deux rapports sont égaux. Le coefficient de proportionnalité vaut $k = 0.75$ , ce qui se lit aussi « $C$ vaut 2 fois $A$ , donc $D$ vaut 2 fois $B$ » — la voie du « facteur horizontal » et celle du « rapport vertical » mènent forcément au même résultat.

Pour trouver $C$ à la place : gardez $A = 3$ et $B = 4$ , ne remplissez pas C, saisissez 12 dans D ; l'interface affiche C 9 ( $3 \times 12 / 4$ ).

Exemple 2 : agrandir une recette — 2 œufs pour 300 g de farine, combien d'œufs pour 750 g ?

Entrées : $A = 2$ (œufs), $B = 300$ (g de farine), $D = 750$ (g de farine), on cherche $C$ .

$C = A D / B = 2 \times 750 / 300 = 1500 / 300 = 5$ .

Affichage : C 5. Ici, $A$ et $C$ sont des nombres d'œufs, $B$ et $D$ des masses de farine : la lecture « horizontale » respecte les unités. Le facteur vaut $750 / 300 = 2.5$ et les œufs sont multipliés par 2.5. Si le résultat n'est pas entier (par exemple 4.67 œufs pour 700 g de farine), c'est que la recette ne se met pas à l'échelle par un facteur entier : il faut arrondir ou ajuster la quantité de farine.

Exemple 3 : mesurer la hauteur d'un arbre par son ombre (triangles semblables)

À un instant donné, les rayons du soleil sont parallèles. Un bâton de 3 m projette une ombre de 4.5 m et un arbre voisin une ombre de 12 m : quelle est la hauteur de l'arbre ?

Entrées : $A = 3$ (hauteur du bâton), $B = 4.5$ (ombre du bâton), $D = 12$ (ombre de l'arbre), on cherche $C$ (hauteur de l'arbre).

Les deux triangles rectangles sont semblables, donc leurs côtés correspondants sont proportionnels : $\dfrac{3}{4.5} = \dfrac{C}{12}$ .
Produit en croix : $4.5\,C = 3 \times 12 = 36$ , d'où $C = 36 / 4.5 = 8$ .

Affichage : C 8. Le coefficient $k = 3 / 4.5 = 0.66666667$ : à 1 m d'ombre correspond 0.667 m de hauteur, donc 12 m d'ombre correspondent à 8 m. C'est la méthode employée par Thalès pour mesurer la hauteur des pyramides, inchangée depuis plus de deux mille ans.

Figure 1 : exemple 3. Rayons parallèles ⇒ triangles semblables ⇒ côtés correspondants proportionnels. A et C sont les « hauteurs », B et D les « ombres », avec des unités cohérentes horizontalement

Exemple 4 : échelle d'une carte et pourcentages

Échelle : sur une carte au 1 : 25000, deux points sont distants de 3.6 cm ; quelle est la distance réelle ? Entrées : $A = 1$ , $B = 25000$ , $C = 3.6$ ; l'interface affiche D 90000 (cm), soit 900 m. Ici, $A$ et $B$ sont des longueurs, et $C$ et $D$ aussi : la lecture « verticale » respecte les unités (cm sur la carte contre cm sur le terrain).

Pourcentages : 45 représente quel pourcentage de 60 ? Un pourcentage est un « rapport de dénominateur 100 » ; on pose $\dfrac{45}{60} = \dfrac{C}{100}$ : avec $A = 45$ , $B = 60$ , $D = 100$ , l'interface affiche C 75, soit 75 %. Si l'on saisit 100 dans C et non dans D ( $A = 45$ , $B = 60$ , $C = 100$ ), l'interface affiche D 133.33333333 : la question posée est alors « 60 représente quel pourcentage de 45 », c'est-à-dire l'inverse. Pour en savoir plus sur les augmentations, les baisses et les opérations inverses sur les pourcentages, voir le calculateur de pourcentage.

Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau ; faites passer C de 6 à 3, 9 puis 12 et observez que D reste toujours égal à $4/3$ de C — le coefficient de proportionnalité ne change pas, ce qui est la signature de la proportionnalité directe.

Principes et démonstration

Pourquoi le produit en croix fonctionne

Dans $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ , multiplions les deux membres par $BD$ (avec $B$ et $D$ non nuls) : à gauche, $\dfrac{A}{B} \cdot BD = AD$ ; à droite, $\dfrac{C}{D} \cdot BD = BC$ ; d'où $AD = BC$ . Le livre V des Éléments d'Euclide énonce cette propriété comme « le produit des extrêmes est égal au produit des moyens » : en écrivant $A : B = C : D$ sur une ligne, $A$ et $D$ occupent les extrémités (extrêmes) et $B$ et $C$ le milieu (moyens). Réciproquement, en divisant $AD = BC$ des deux côtés par $BD$ , on retombe sur la proportion de départ : les deux écritures sont donc équivalentes. Pour isoler un terme, il suffit de diviser $AD = BC$ par le nombre qui l'accompagne.

Coefficient de proportionnalité et proportionnalité directe

$A/B = C/D = k$ signifie $A = kB$ et $C = kD$ : « le numérateur vaut toujours $k$ fois le dénominateur ». Deux grandeurs qui vérifient $y = kx$ sont dites directement proportionnelles — nombre d'œufs et quantité de farine, distance sur la carte et distance réelle, longueur d'ombre et hauteur d'un objet. Dans un repère, les points $(B, A)$ et $(D, C)$ sont sur la même droite passant par l'origine, de pente $k$ ; c'est aussi pourquoi une relation de proportionnalité directe peut se vérifier avec la pente : en prenant deux points quelconques, si la pente vaut $k$ et que la droite passe par l'origine, la proportionnalité est directe.

La proportionnalité inverse n'utilise pas cette formule

« 4 ouvriers terminent en 6 jours ; combien de jours pour 8 ouvriers ? » Plus il y a d'ouvriers, moins il faut de jours : le produit (24 jours-homme) reste constant, c'est la proportionnalité inverse $xy = c$ . En l'insérant tel quel dans le calculateur avec $A = 4$ , $B = 6$ , $C = 8$ , on obtiendrait D 12, soit exactement le contraire. La bonne méthode consiste à la réécrire en proportionnalité directe : $4 \times 6 = 8 \times D$ , c'est-à-dire $\dfrac{4}{D} = \dfrac{8}{6}$ , avec $A = 4$ , $B = D$ (l'inconnue), $C = 8$ , $D = 6$ — autrement dit on cherche B et l'on obtient 3 jours. Le critère est simple : il n'y a proportionnalité directe que si, l'une des grandeurs augmentant, l'autre augmente aussi.

Triangles semblables : la source géométrique la plus importante

Si deux triangles ont leurs trois angles respectivement égaux, leurs côtés correspondants sont proportionnels (proposition 4 du livre VI des Éléments). Dans l'exemple 3, le triangle formé par le bâton, son ombre et la lumière et celui formé par l'arbre, son ombre et la lumière ont tous deux un angle droit et le même angle d'élévation du soleil, donc aussi le même troisième angle : le rapport « hauteur : ombre » est identique de part et d'autre. Toutes les mesures indirectes « du petit vers le grand » — estimer une distance avec la largeur d'un doigt, mesurer un objet inconnu à partir d'un objet connu sur une photo, agrandissement par projecteur, formation d'une image par un appareil photo — reposent sur cette proposition.

Des proportions aux fonctions

Si l'on considère $D$ comme variable et $C$ comme fonction, $C = (A/B) \cdot D$ est la plus simple des fonctions affines (une fonction linéaire). La fonction affine $y = kx + b$ étudiée ensuite au collège ajoute une ordonnée à l'origine, et une suite arithmétique $a_n = a_1 + (n-1)d$ est une fonction affine dont la variable ne prend que des entiers positifs — voir le calculateur de suites arithmétiques. La proportion est la première marche de cette série de concepts.

Hypothèses

La relation de proportionnalité directe est vérifiée : les deux grandeurs se multiplient bien par le même facteur $k$ — « l'une multipliée par $k$ , l'autre aussi par $k$ ». Qu'une recette s'agrandisse par un facteur entier, que l'échelle soit uniforme sur la carte ou que les rayons du soleil soient parallèles sont des prémisses que le calculateur ne peut pas vérifier.
Les quatre termes sont placés dans le bon ordre : $A$ correspond à $C$ et $B$ à $D$ (grandeurs de même nature). Une erreur de position répond à une autre question (voir le cas des pourcentages dans l'exemple 4).
Dénominateurs non nuls : $A \ne 0$ pour trouver $D$ , $B \ne 0$ pour trouver $C$ , $D \ne 0$ pour trouver $A$ , $C \ne 0$ pour trouver $B$ .
Valeurs exactes : les erreurs de mesure se propagent proportionnellement ; l'erreur relative de $C$ est approximativement la somme des erreurs relatives de $A$ , $B$ et $D$ .
Convention de l'interface : seuls $A$ et $B$ sont préremplis ; les champs non saisis participent au calcul comme 0 (lorsqu'on cherche $D$ , un $A$ non saisi est traité comme 1), ce qui explique l'affichage 0 pour C et D à l'ouverture.

Champ d'application et limites

Ce qu'il sait calculer: n'importe quel terme de $A/B = C/D$ , y compris les résultats partiels lorsque plusieurs termes sont vidés en même temps.
Ce qu'il ne peut qu'approcher: les situations réelles ne sont souvent proportionnelles qu'en approximation (remises sur les gros volumes, déformations de projection d'une carte, ombre tombant sur un talus).
Ce qu'il ne peut pas calculer: la proportionnalité inverse (à réécrire en proportionnalité directe, voir les principes), le partage proportionnel (calculer d'abord la valeur d'une part, puis multiplier), les rapports composés $A : B : C$ (à décomposer en deux proportions), les proportions composées (plusieurs grandeurs variant simultanément).
Ce qu'il ne fait pas: simplifier un rapport ( $6 : 8 \to 3 : 4$ ), afficher le coefficient de proportionnalité $k$ , ou convertir des unités.
Numérique: les résultats s'affichent avec 8 décimales ; un dénominateur nul affiche ∞ (par exemple $A = 0$ lorsqu'on cherche $D$ ).

Erreurs fréquentes

Prendre une proportionnalité inverse pour une proportionnalité directe : ouvriers et jours, vitesse et temps, nombre de dents et vitesse de rotation sont inversement proportionnels ; appliquer la formule directement inverse le résultat (12 jours contre 3 dans la section des principes).
Placer les quatre termes dans les mauvaises cases : dans l'exemple 4, mettre 100 dans C ou dans D donne 75 ou 133.33. Avant d'écrire une proportion, précisez quel terme correspond à quel autre.
Unités non appariées : avec $A$ en kg et $C$ en g, l'écart est d'un facteur 1000. Deux grandeurs de même nature doivent partager la même unité ; deux grandeurs de nature différente (nombre d'œufs et masse de farine) peuvent cohabiter dans une même proportion, à condition d'être alignées horizontalement.
Lire un « rapport » comme une fraction et simplifier à contretemps : $3 : 4 = 6 : 8$ est correct, mais $3 : 4 = 4 : 3$ ne l'est pas — un rapport a un sens.
Dénominateur nul : $A = 0$ pour trouver $D$ affiche ∞ ; $B = 0$ pour trouver $D$ affiche 0 ( $0 \times C / A$ ). Dans les deux cas, l'énoncé lui-même pose problème, ce n'est pas le résultat.
Confondre pourcentage et proportion : 45 représente 75 % de 60, 60 représente 133.33 % de 45, « une augmentation de 33.33 % » et « une baisse de 25 % » — les mêmes deux nombres donnent quatre réponses selon la question posée.

Cas d'usage typiques

Cuisine et recettes

Ajuster une recette à la hausse ou à la baisse selon le nombre de convives, régler la concentration d'une boisson (sirop : eau), doser un mélange de peinture ou de béton.

Cartes, plans et maquettes

Conversion d'échelle (distance sur la carte ↔ distance réelle), lecture de cotes sur un plan d'architecte, correspondance entre les dimensions d'une maquette et celles de l'objet réel.

Mesures et figures semblables

Hauteur d'un objet par son ombre, estimation de la taille d'un objet sur une photo à partir d'un objet de taille connue, facteur d'agrandissement d'un projecteur.

Prix et taux de change

5 kg pour 42.5 unités, combien pour 8 kg (68) ? 1 dollar pour 7.2 unités, combien pour 250 dollars (1800) ? Vérification de devis à prix unitaire constant.

Pédagogie

Comprendre pourquoi le produit en croix est valide, distinguer proportionnalité directe et inverse, et voir que les côtés correspondants de triangles semblables sont proportionnels.

Questions fréquentes

Peut-on calculer avec deux nombres seulement ?

Non. Une proportion comporte quatre termes et il en faut au moins trois de connus. Lorsque seuls $A$ et $B$ sont saisis, l'affichage 0 pour C et D signifie « pas encore de données », et non une réponse.

Comment répartir 120 selon 2 : 3 ?

Calculez d'abord la valeur d'une part : $120 / (2 + 3) = 24$ ; les deux parts valent donc 48 et 72. On peut aussi utiliser ce calculateur : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{C}{120}$ , avec $A = 2$ , $B = 5$ , $D = 120$ , on obtient $C = 48$ .

Comment utiliser ce calculateur pour une proportionnalité inverse ?

Réécrivez l'égalité des produits sous forme de proportion : $x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$ . Attention : au second membre, numérateur et dénominateur sont échangés.

Comment traiter un rapport composé A : B : C = 2 : 3 : 5 ?

Décomposez-le en deux proportions $A : B = 2 : 3$ et $B : C = 3 : 5$ : connaissant un terme, on obtient successivement les deux autres.

Pourquoi ∞ s'affiche-t-il quand le dénominateur est 0 ?

Le moteur calcule $D = BC/A$ et, pour $A = 0$ , divise par zéro. Mathématiquement, $0 : B = C : D$ n'a de sens que si $C = 0$ (et $D$ est alors quelconque), ce que le calculateur ne peut pas représenter : il affiche donc ∞.

Quelle différence avec le calculateur de pourcentage ?

Un pourcentage est une proportion « de dénominateur fixé à 100 » ; le calculateur de pourcentage traite spécifiquement « $A$ représente quel pourcentage de $B$ », « combien vaut $p\%$ de $B$ » et les variations, tandis que ce calculateur est plus général, mais vous laisse placer vous-même les quatre termes.

Références et pour aller plus loin

Code source du moteur CalcX src/data/formulas.ts, définition proportion (compute(known, solveFor) résout a / b / c / d dans les quatre sens, avec repli sur 1 lorsqu'un dénominateur manque) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Wikipédia, Proportionality (mathematics)（访问日期：2026-09-09）——proportionnalité directe, inverse et coefficient de proportionnalité.
Wikipédia, Cross-multiplication（访问日期：2026-09-09）——démonstration et conditions d'emploi du produit en croix.
Euclide, Éléments, livre V, édition commentée de D. E. Joyce（访问日期：2026-09-09）——la théorie des proportions d'Eudoxe et la formulation originelle « produit des extrêmes = produit des moyens ».
Euclide, Éléments, livre VI, proposition 4（访问日期：2026-09-09）——les côtés correspondants de triangles semblables sont proportionnels.
Wikipédia, Rule of three (mathematics)（访问日期：2026-09-09）——histoire et algorithme de la « règle de trois ».
Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, livre II « Su-mi » : la méthode jinyou — l'algorithme proportionnel de la Chine ancienne (« multiplier la quantité connue par la valeur cherchée, puis diviser par la quantité de référence »).

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来源与审阅

更新: 2026-09-09