Suite arithmétique : terme général, raison et somme

À propos de ce calculateur

Le calculateur de suite arithmétique traite les suites « dont chaque terme dépasse le précédent du même nombre » : saisissez le premier terme $a_1$ , la raison $d$ et le nombre de termes $n$ pour obtenir le $n$ -ième terme $a_n = a_1 + (n-1)d$ et la somme des $n$ premiers termes $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ; connaissant le dernier terme, il retrouve aussi le nombre de termes $n$ ou la raison $d$ .

1, 3, 5, 7, … (les nombres impairs), un théâtre dont chaque rangée compte 2 sièges de plus que la précédente, 50 € épargnés de plus chaque mois, un entraînement qui réduit la distance de 1.5 km par jour — dès que « l'incrément est constant », on a une suite arithmétique. C'est la suite la plus simple et le point de départ pour comprendre l'« accumulation » : derrière la formule de sommation se cache l'astuce des paires premier-dernier terme, qu'un Gauss de 8 ans aurait (dit-on) trouvée.

Ce qu'il ne fait pas : il ne traite pas les suites géométriques (chaque terme est un multiple fixe du précédent, comme les intérêts composés), ni les suites arithmétiques de second ordre (dont la différence des différences est constante), ni les suites récurrentes comme Fibonacci, et il n'énumère pas les termes — il ne donne que le $n$ -ième terme et la somme.

Formules et variables

a_n = a_1 + (n-1)\,d,\qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = n\,a_1 + \frac{n(n-1)}{2}\,d

Résolution à partir du dernier terme :

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1,\qquad d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}

Symbole	Signification	Champ du calculateur	Unité	Plage et remarques
$a_1$	Premier terme	Premier terme a₁	libre	1 par défaut ; négatif ou décimal accepté
$d$	Raison (différence entre deux termes voisins $a_{k+1} - a_k$ )	Raison d	même que $a_1$	2 par défaut ; $d > 0$ croissante, $d < 0$ décroissante, $d = 0$ suite constante
$n$	Nombre de termes	Nombre de termes n	pièces	Entier positif, $n \ge 1$ ; le moteur ne vérifie pas qu'il est entier. Le champ a une valeur par défaut de 10, mais l'interface ne préremplit que les deux premiers champs et il est vide à l'ouverture
$a_n$	$n$ -ième terme (dernier terme)	n-ième terme aₙ	même que $a_1$	Résultat ; en mode inverse, sert d'entrée
$S_n$	Somme des $n$ premiers termes	Somme S	même que $a_1$	Résultat, somme des $n$ termes

Les deux écritures de la somme sont équivalentes : la première multiplie la moyenne du premier et du dernier terme par le nombre de termes, la seconde n'utilise que $a_1$ , $d$ et $n$ ; le moteur calcule avec la première, la seconde sert au calcul manuel et à la vérification.

Comment utiliser ce calculateur

Ouvrir le panneaucette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Suite arithmétique » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arithmetic-seq). À l'ouverture, seuls « Premier terme a₁ » = 1 et « Raison d » = 2 sont préremplis, « Nombre de termes n » est vide ; le n-ième terme affiche alors −1 et la somme 0 — le moteur remplace le $n$ vide par 0 dans $a_1 + (0-1)d$ , ce n'est pas un résultat ; saisissez $n$ pour revenir à la normale.
Calculer le n-ième terme et la sommesaisissez un entier positif dans « Nombre de termes n », les deux champs de résultat marqués « calculé » se mettent à jour ensemble.
Retrouver le nombre de termesvidez « Nombre de termes n », saisissez le dernier terme dans « n-ième terme aₙ », gardez $a_1$ et $d$ ; le champ du nombre de termes passe en « calculé ». Noter que « Somme » affiche alors 0 (le moteur remplace le $n$ non saisi par 0) ; recopiez le $n$ obtenu dans le champ du nombre de termes et videz $a_n$ pour obtenir la somme.
Retrouver la raisonvidez « Raison d », saisissez $a_1$ , $n$ et $a_n$ ; le champ de la raison donne $(a_n - a_1)/(n-1)$ . La « Somme » est alors calculée avec $d = 0$ et affiche $n \cdot a_1$ , qui n'est pas la vraie somme non plus ; remettez $d$ en place pour la retrouver.
Lire le résultatles valeurs gardent au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés. Si le $n$ obtenu n'est pas entier (16.66666667 par exemple), le $a_n$ saisi ne fait pas partie de la suite.
Copier la formulele bouton de copie à droite du titre du panneau place aₙ = a₁ + (n-1)d, S = n(a₁+aₙ)/2 dans le presse-papiers.

Exemples de calcul

Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur arithmetic-seq ; affichage avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés.

Exemple 1 : 3, 7, 11, 15, 19, 23 — six termes

Entrée : $a_1 = 3$ , $d = 4$ , $n = 6$ .

Sixième terme $a_6 = 3 + (6-1) \times 4 = 3 + 20 = 23$ .
Somme $S_6 = \dfrac{6 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{6 \times 26}{2} = 78$ .

Affichage : n-ième terme 23, somme 78. Vérification par la seconde écriture : $6 \times 3 + \dfrac{6 \times 5}{2} \times 4 = 18 + 60 = 78$ . Méthode des paires : $3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26$ , trois paires de 26, donc 78.

Figure 1 : l’exemple 1. À gauche l’appariement de Gauss (premier + dernier terme valent toujours a₁ + aₙ), à droite la version géométrique — deux escaliers forment un rectangle d’aire n(a₁ + aₙ), dont la moitié vaut Sₙ

Exemple 2 : entrées par défaut et le 1 à 100 de Gauss

Entrée : $a_1 = 1$ , $d = 2$ , $n = 10$ (valeur par défaut). Dixième terme $= 1 + 9 \times 2 = 19$ , somme $= 10 \times (1 + 19) / 2 = 100$ . Affichage : n-ième terme 19, somme 100. La somme des 10 premiers nombres impairs vaut exactement $10^2$ ; passez à $n = 100$ : l'interface affiche n-ième terme 199 et somme 10000 — la somme des $n$ premiers impairs vaut toujours $n^2$ (il suffit d'emboîter les blocs impairs en L pour former un carré).

Entrée $a_1 = 1$ , $d = 1$ , $n = 100$ : l'interface affiche n-ième terme 100 et somme 5050. C'est le problème que le jeune Gauss aurait expédié à son maître avec « $1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 50 + 51$ , 50 paires de 101 ».

Exemple 3 : sièges de théâtre et suite décroissante

Théâtre : 20 sièges au premier rang, puis 2 de plus par rangée, sur 15 rangées. Saisissez $a_1 = 20$ , $d = 2$ , $n = 15$ : la dernière rangée compte $20 + 14 \times 2 = 48$ sièges et le total $15 \times (20 + 48)/2 = 510$ . Affichage : n-ième terme 48, somme 510.

Décroissance : un stock de 100 kg diminue de 7 kg par jour. Au bout de 12 jours, où en est le stock et quelle est la sortie cumulée ? Saisissez $a_1 = 100$ , $d = -7$ , $n = 12$ : le stock au 12e jour vaut $100 - 77 = 23$ et la somme des 12 jours $12 \times (100 + 23)/2 = 738$ (kg·jour, soit « stock moyen 61.5 kg × 12 jours »). Affichage : n-ième terme 23, somme 738. Avec une raison négative, les formules tiennent telles quelles, la suite descend simplement.

50 € de plus chaque mois : 100 € le premier mois, puis 50 € de plus par mois. Au bout d'un an ? Saisissez $a_1 = 100$ , $d = 50$ , $n = 12$ : le 12e mois, on épargne 650 € et le total de l'année atteint 4500 €.

Exemple 4 : retrouver le nombre de termes et la raison

Retrouver n : quel terme de la suite 5, 8, 11, … vaut 50 ? Saisissez $a_1 = 5$ , $d = 3$ , $a_n = 50$ (videz n) : $n = (50 - 5)/3 + 1 = 16$ . Affichage : nombre de termes n 16, somme 0 (voir la convention de l'étape 3). Recopiez 16 dans le nombre de termes et videz $a_n$ : n-ième terme 50, somme 440.

Et si l'on demande quel rang occupe 52 : $n = (52 - 5)/3 + 1 = 16.66666667$ — pas entier, 52 ne fait pas partie de la suite (16e terme 50, 17e terme 53).

Retrouver d : de 2 à 30 en 8 termes, quelle est la raison ? Saisissez $a_1 = 2$ , $n = 8$ , $a_n = 30$ (videz d) : $d = (30 - 2)/(8 - 1) = 4$ . Affichage : raison d 4, somme 16 (le moteur calcule alors la somme avec $d = 0$ , soit $8 \times 2 = 16$ , pas la vraie somme). Remettez 4 dans la raison et videz $a_n$ : n-ième terme 30, somme 128.

Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau ; passez $n$ de 6 à 12, 24 puis 48 pour observer le n-ième terme croître linéairement en $n$ et la somme croître en $n^2$ (en doublant le nombre de termes, la somme est à peu près multipliée par 4).

Principes et démonstration

Terme général : de la récurrence à la formule directe

La définition est récurrente : $a_{k+1} = a_k + d$ . Pour aller de $a_1$ à $a_n$ , on ajoute $n - 1$ fois $d$ , donc $a_n = a_1 + (n-1)d$ . Attention au $n - 1$ : entre 6 barres il n'y a que 5 intervalles (les cinq « +4 » de la figure 1), c'est le problème classique des intervalles — il y a un terme de plus que d'intervalles.

En prenant $n$ pour variable, $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$ est une droite : la pente est la raison $d$ et l'ordonnée à l'origine $a_1 - d$ (le « terme 0 »). Une suite arithmétique est donc une fonction affine restreinte aux entiers positifs, et les sommets des barres de gauche de la figure 1 s'alignent. La pente calculée entre deux termes quelconques donne la raison ; la formule inverse $d = (a_n - a_1)/(n-1)$ est exactement « différence des ordonnées divisée par différence des abscisses ».

Somme : l'appariement de Gauss

Écrivons $S_n$ à l'endroit puis à l'envers et additionnons colonne par colonne :

\begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \\ S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \\ 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \cdots + (a_1 + a_n) = n\,(a_1 + a_n) \end{aligned}

Chaque colonne somme $a_1 + a_n$ — quand un terme gagne $d$ , son vis-à-vis en perd $d$ . Il y a $n$ colonnes, donc $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ . Quand le nombre de termes est impair, le terme central s'apparie avec lui-même (il vaut justement $(a_1 + a_n)/2$ , la moyenne de tous les termes) et la formule ne change pas. La moitié droite de la figure 1 est la version géométrique de cette algèbre : un escalier dans un sens, un escalier dans l'autre, forment un rectangle de $n \times (a_1 + a_n)$ .

En remplaçant $a_n$ par $a_1 + (n-1)d$ , on obtient la seconde écriture $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2} d$ : $n$ copies de $a_1$ plus $0 + 1 + \cdots + (n-1) = n(n-1)/2$ copies de $d$ . Elle montre que $S_n$ est quadratique en $n$ — en doublant le nombre de termes, la somme est à peu près multipliée par 4.

La lecture « moyenne × nombre de termes »

$S_n = n \cdot \dfrac{a_1 + a_n}{2}$ : la somme égale la « moyenne du premier et du dernier terme » multipliée par le nombre de termes. Pour une suite arithmétique, la moyenne du premier et du dernier terme est la moyenne de tous les termes, car ils se répartissent symétriquement autour du milieu. Dans le problème de stock de l'exemple 3, 738 = 61.5 × 12 est bien « stock moyen × nombre de jours » ; cette lecture est la même chose que l'aire du trapèze (petite base plus grande base, fois hauteur, divisé par deux) et que le déplacement en mouvement uniformément accéléré (vitesse moyenne × temps).

Suites arithmétiques et géométriques : intérêts simples et composés

Une suite arithmétique ajoute une quantité fixe à chaque pas, une suite géométrique multiplie par un facteur fixe. Un capital de 1000 € à 5 % d'intérêt simple rapporte 50 € par an : les valeurs 1050, 1100, 1150, … forment une suite arithmétique et atteignent 1500 € au bout de 10 ans ; à 5 % composés, c'est une suite géométrique $1000 \times 1.05^n$ , soit 1628.89 € après 10 ans. La première est une droite, la seconde une exponentielle : l'écart grandit avec le temps — discussion détaillée sur le calculateur d'intérêts composés.

Hypothèses

Raison constante : la différence entre deux termes voisins est partout la même. Une seule rupture invalide le terme général et la formule de sommation.
Nombre de termes entier positif : le moteur ne vérifie pas ; $n = 2.5$ donne des nombres dénués de sens.
Numérotation à partir du terme 1 : $a_1$ est le premier terme et non le terme 0 ; certains manuels ou programmes (indices de tableaux) comptent à partir de 0, et $a_n = a_0 + nd$ alors.
La somme porte sur les n premiers termes : de $a_1$ à $a_n$ ; pour la somme du terme $m$ au terme $n$ , calculer $S_n - S_{m-1}$ .
Convention de l'interface : un champ non saisi compte pour 0 dans le moteur, si bien qu'en résolution de $n$ ou de $d$ , la « somme » affichée n'est pas la vraie somme (étapes 3 et 4).

Champ d'application et limites

Ce qu'il sait calculer: $n$ -ième terme et somme des $n$ premiers termes pour tout $a_1$ , $d$ réels et $n$ entier positif ; $n$ à partir de $a_n$ (avec $d \ne 0$ ) ou $d$ (avec $n \ne 1$ ).
Ce qu'il ne peut qu'approcher: dans la réalité, les « progressions » sont souvent approximatives (rangées de sièges, sorties de stock) ; la formule donne la valeur du modèle.
Ce qu'il ne peut pas calculer: les suites géométriques (un autre calculateur s'en charge), les suites arithmétiques de second ordre ( $1, 3, 6, 10, \ldots$ ), une somme partielle $a_m + \cdots + a_n$ (à calculer en deux fois puis soustraire), la résolution de $n$ ou $d$ à partir de $S_n$ (qui demande une équation du second degré, à faire à la main).
Ce qu'il ne fait pas: énumérer les termes, dire si un nombre appartient à la suite (vérifiez si le $n$ trouvé est entier).
Numérique: pour un $n$ très grand, une somme $S_n$ au-delà de $10^{12}$ s'affiche en notation scientifique ; en double précision, les calculs restent exacts jusque vers $10^7$ termes.

Erreurs fréquentes

Écrire le terme général $a_1 + nd$ : le $-1$ oublié ajoute un $d$ à chaque terme. Six termes, cela fait cinq intervalles.
Prendre un $n$ décimal pour une réponse : $n = 16.67$ signifie que le dernier terme saisi n'appartient pas à la suite, pas qu'il s'agit du « terme 16.67 ».
Prendre la « somme » du mode inverse pour un résultat : c'est la valeur de repli calculée avec $n = 0$ ou $d = 0$ ; remettez la valeur trouvée en place pour obtenir la vraie somme.
Saisir une raison positive pour une suite décroissante : la raison de 100, 93, 86, … est $-7$ ; saisir 7 donne les résultats d'une suite croissante.
Oublier de diviser par 2 dans la formule de somme : $n(a_1 + a_n)$ est l'aire des deux escaliers assemblés, il en faut la moitié.
Confondre géométrique et arithmétique : intérêts composés, croissance démographique et multiplication bactérienne suivent des suites géométriques, que ce calculateur sous-estime fortement.

Cas d'usage typiques

Enseignement

De la récurrence au terme général, de l'appariement à la formule de somme ; observer que la somme des $n$ premiers impairs vaut $n^2$ ; comprendre qu'une suite arithmétique est une fonction affine sur les entiers.

Comptage et disposition

Nombre de sièges croissant par rangée dans un théâtre ou un stade, empilements pyramidaux de bois ou de conserves (un par niveau en moins), effectifs d'un carré de défilé.

Planification et budget

Épargne ou remboursement croissant chaque mois, stock ou charge d'entraînement décroissante, revenus cumulés avec une augmentation fixe.

Intérêts simples et amortissement

Les intérêts simples s'accumulent en progression arithmétique ; l'amortissement linéaire réduit la valeur d'un montant fixe par an et la valeur comptable de la $n$ -ième année est le $n$ -ième terme.

Questions fréquentes

Pourquoi le n-ième terme affiche-t-il −1 à l'ouverture ?

Le nombre de termes n'est pas encore saisi et le moteur remplace $n$ par 0 dans $1 + (0-1) \times 2 = -1$ . Saisissez un nombre de termes pour revenir à la normale.

Comment savoir si un nombre appartient à la suite ?

Videz $n$ , saisissez ce nombre dans « n-ième terme » et regardez si le $n$ trouvé est un entier positif. 50 fait partie de 5, 8, 11, … ( $n = 16$ ), 52 non ( $n = 16.67$ ).

Comment calculer la somme du 5e au 12e terme ?

Calculez $S_{12}$ et $S_4$ puis soustrayez. Ou reprenez le calcul avec le 5e terme comme nouveau premier terme et 8 termes.

Connaissant la somme, le premier terme et la raison, comment retrouver le nombre de termes ?

Résolvez l'équation du second degré $\dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac d2\right)n - S_n = 0$ et prenez la racine entière positive. Le calculateur ne fait pas cette résolution.

Pourquoi la somme croît-elle quadratiquement ?

$S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$ contient un terme en $n^2$ . Intuitivement, la somme est l'aire sous l'escalier, et l'escalier est l'aire sous une droite — l'aire croît comme le carré de la largeur.

Suite arithmétique ou géométrique ?

Regardez si deux termes voisins diffèrent d'un montant fixe ou sont dans un rapport fixe : ajouter 50 chaque année est arithmétique, multiplier par 1.05 chaque année est géométrique.

Références et pour aller plus loin

Le code source du moteur CalcX src/data/formulas.ts, définition arithmetic-seq (compute(known, solveFor) renvoie an / sum et gère la résolution de n et d à partir de an) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Wikipédia, Arithmetic progression（访问日期：2026-09-09）— terme général, les deux écritures de la somme et leur démonstration.
Wikipédia, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯（访问日期：2026-09-09）— les nombres triangulaires $n(n+1)/2$ et l'anecdote de Gauss.
Brian Hayes, « Gauss's Day of Reckoning », American Scientist 94(3), 2006（访问日期：2026-09-09）— l'étude historique des différentes versions de l'histoire de Gauss.
Wikipédia, Rhind Mathematical Papyrus（访问日期：2026-09-09）— les problèmes de répartition arithmétique vers 1550 av. J.-C. (problèmes 40 et 64).
Jiuzhang suanshu (« Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique »), livre III « Shuai Fen » et livre VI « Jun Shu » — problèmes chinois anciens de répartition et de sommation arithmétiques.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09