複利計算器：終值、總利息與月定投的逐期複利

複利計算器把本金、名義年利率、每年複利次數、年數和每月追加金額，按「每個複利期先計息、再計入追加」的口徑逐期累加，得到期末的終值（Future Value）和累計利息。

金融免责声明

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複利計算器：終值、總利息與月定投的逐期複利

計算器説明

它回答的是一類很具體的問題：一筆錢按固定利率、固定頻率「利滾利」若干年，最後是多少；如果每個月再追加一筆，又是多少。適合用來理解複利頻率的影響、比較「單利 vs 複利」、估算定投計劃的量級，或者反過來問「要達到某個目標終值，每月需要投入多少」。

它不做的事同樣明確：不提供、不推薦任何利率或產品，不考慮税費、通脹、手續費與市場波動，也不預測任何真實資產的收益。輸入的利率是你的假設，輸出只是這個假設在數學上的推演。

公式與變量

設每期利率 $i = r/m$ ，總期數 $n = m\,t$ ，把月定投折算成每期一筆 $C = c \cdot 12/m$ 。引擎逐期執行

B_k = B_{k-1}\,(1+i) + C,\qquad B_0 = P,\qquad k = 1,2,\dots,n

它的閉式解（等比數列求和）是

FV = P\,(1+i)^{n} \;+\; C\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}

總利息等於終值減去所有投入的本金：

I = FV - P - 12\,c\,t

當 $i = 0$ 時第二項退化為 $C\,n$ ，引擎對這一情形單獨處理，不會出現 $0/0$ 。

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$P$	本金（期初一次性投入）	本金	貨幣	$P \ge 0$
$r$	名義年利率	年利率 (%)	百分數	以百分數輸入：5 表示 5%，引擎內部除以 100
$m$	每年複利次數	複利頻率/年	次/年	正整數：1 年複利、4 季複利、12 月複利、365 日複利
$t$	年數	年數	年	$t \ge 0$ ； $m\,t$ 最好是整數（見假設）
$c$	每月追加金額	月定投	貨幣	$c \ge 0$ ；每期追加 $C = 12c/m$
$i$	每期利率	（中間量）	小數	$i = r/(100\,m)$
$n$	總期數	（中間量）	期	$n = m\,t$
$FV$	終值	終值	貨幣	輸出
$I$	總利息	總利息	貨幣	輸出， $I = FV - P - 12ct$
$EAR$	實際年利率	實際年化 EAR（結果卡）	百分數	$EAR = (1+i)^m - 1$

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應的是「金融 → 複利」子面板（/#/financial/compound）。默認值為本金 10,000、年利率 5%、年數 10、複利頻率 12、月定投 0。
填五個輸入本金、年利率 (%)、年數、複利頻率/年、月定投。年利率填百分數（5 而不是 0.05）；複利頻率填每年計息次數（月複利填 12，季複利填 4）。
讀兩個結果「終值」與「總利息」實時更新，金額保留兩位小數。
看結果卡與解讀結果卡額外給出「總投入」（本金 + 全部定投）和「實際年化 EAR」（複利頻率大於 1 且利率非零時顯示）；卡片標記 verified 表示逐期累加與閉式公式互核一致，approximate 表示期數不是整數、只按整期計算。
目標反解（可選）在「目標終值」填一個金額，點「反解」，計算器用數值搜索給出「所需月定投」。本金在給定利率與年限下已能達到目標時，會提示無需追加。

算例

三組算例均由引擎 compoundInterest 逐期累加得出，並與閉式公式互核；顯示金額按界面口徑保留兩位小數，中間量保留更多位數以便核對。

算例 1：默認輸入，月複利、無追加

輸入： $P = 10{,}000$ ， $r = 5\%$ ， $m = 12$ ， $t = 10$ ， $c = 0$ 。

每期利率 $i = 0.05/12 = 0.004166\overline{6}$ ，總期數 $n = 12 \times 10 = 120$ 。
增長因子 $(1+i)^{120} = 1.0041\overline{6}^{\,120} \approx 1.647009498$ 。
終值 $FV = 10{,}000 \times 1.647009498 \approx 16{,}470.09$ 。
總利息 $I = 16{,}470.09 - 10{,}000 = 6{,}470.09$ 。

界面顯示：終值 16,470.09，總利息 6,470.09，實際年化 EAR 5.1162%。

算例 2：同樣的 5%，不同的複利頻率

固定 $P = 10{,}000$ ， $r = 5\%$ ， $t = 10$ ， $c = 0$ ，只改 $m$ ：

複利頻率 $m$	每期利率 $i$	期數 $n$	終值	總利息	EAR
1（年複利）	0.05	10	16,288.95	6,288.95	5.0000%
12（月複利）	0.0041667	120	16,470.09	6,470.09	5.1162%
365（日複利）	0.00013699	3,650	16,486.65	6,486.65	5.1267%
對照：單利	—	—	15,000.00	5,000.00	—

年複利到月複利多出 181.14，月複利到日複利只多出 16.56——頻率帶來的增益遞減，極限是連續複利 $P e^{rt} = 16{,}487.21$ 。

算例 3：月複利加每月定投 500

輸入： $P = 10{,}000$ ， $r = 5\%$ ， $m = 12$ ， $t = 10$ ， $c = 500$ 。

$i = 0.004166\overline{6}$ ， $n = 120$ ，每期追加 $C = 500 \times 12/12 = 500$ 。
本金部分： $10{,}000 \times 1.647009498 = 16{,}470.09$ 。
定投部分：年金因子 $\dfrac{(1+i)^{120}-1}{i} = \dfrac{0.647009498}{0.004166\overline{6}} \approx 155.282279$ ，乘以 500 得 $77{,}641.14$ 。
終值 $FV = 16{,}470.09 + 77{,}641.14 = 94{,}111.23$ 。
總投入 $= 10{,}000 + 500 \times 120 = 70{,}000$ ，總利息 $I = 94{,}111.23 - 70{,}000 = 24{,}111.23$ 。

界面顯示：終值 94,111.23，總利息 24,111.23，總投入 70,000.00。

上面三組算例的輸入可以直接填進計算器復現。改動任意一個輸入（例如把年數從 10 改成 20），終值會變為 27,126.40（無定投時）。

原理與推導

從單利到複利

單利只對本金計息： $t$ 年後的利息是 $P\,r\,t$ ，終值 $P(1+rt)$ 隨時間線性增長。複利的區別只有一點——每期結算的利息併入本金，下一期連它一起計息。一期之後餘額是 $P(1+i)$ ，兩期之後是 $P(1+i)^2$ ， $n$ 期之後是 $P(1+i)^n$ 。指數增長與線性增長的差距在前幾年並不顯眼（算例 2 中 10 年只差 1,470），但會隨時間拉開：同樣條件下 20 年終值 27,126.40，是單利 20,000 的 1.36 倍。

圖 1：月複利與單利的 10 年增長對比（數據來自引擎逐年餘額）

定投項為什麼是等比數列求和

每期期末存入 $C$ 。第 1 期末存入的那筆會再經歷 $n-1$ 期複利，變成 $C(1+i)^{n-1}$ ；第 2 期末的那筆變成 $C(1+i)^{n-2}$ ；……最後一期存入的 $C$ 不再生息。把它們加起來：

C\left[(1+i)^{n-1} + (1+i)^{n-2} + \cdots + 1\right] = C\cdot\frac{(1+i)^n - 1}{i}

這就是普通年金（annuity-immediate，期末付款）的終值因子。若改為期初付款（annuity-due），每筆多經歷一期，整體乘以 $(1+i)$ 。本計算器採用期末口徑，所以對同一組輸入它給出的定投終值是兩種口徑中較低的那個。

名義年利率 (APR) 與實際年利率 (EAR)

「年利率 5%，月複利」裏的 5% 是名義年利率：它只是每期利率 $i$ 乘以期數 $m$ 的約定寫法，不是一年真實的增長率。一年真實增長率是

EAR = \left(1+\frac{r}{m}\right)^{m} - 1

5% 月複利對應 EAR 5.1162%，日複利 5.1267%，連續複利 $e^{0.05}-1 = 5.1271\%$ 。比較兩個複利頻率不同的方案時，應比 EAR 而不是名義利率。結果卡顯示的「實際年化 EAR」就是這個量。

72 法則

要問「多少年翻倍」，精確答案是 $n = \ln 2 / \ln(1+i)$ 期。年複利 5% 時 $\ln 2/\ln 1.05 = 14.21$ 年；72 法則給出 $72/5 = 14.4$ 年，誤差在利率 8% 附近最小（8% 時精確值 9.006 年，法則給 9 年）。月複利 5% 時翻倍需要 166.7 個月，即 13.89 年——頻率越高翻倍越快，但差距有限。

與淨現值的關係

複利終值公式 $FV = PV(1+i)^n$ 反過來就是折現： $PV = FV/(1+i)^n$ 。淨現值計算器把多期現金流各自折回今天再求和，用的是同一個因子。理解了複利，就理解了折現的全部數學。

假設

利率固定：整個期限內每期利率 $i = r/m$ 不變，沒有浮動、階梯或重新定價。
複利期等長且期末結算：利息在每個複利期末併入本金；追加金額也在該期末、計息之後入賬，本期不生息。
月定投按 $12/m$ 折算：每年複利 $m$ 次時，每期追加 $c \times 12/m$ 。 $m = 12$ 時就是每月一筆； $m = 1$ 時 12 筆月供合併為年末一筆。
期數取整：引擎循環執行 $\lfloor m\,t \rfloor$ 個整期。年數 × 頻率不是整數時（如 2.5 年年複利），多出的零頭期不計息，結果卡會標為 approximate。
無摩擦：不含税費、手續費、通脹、匯率與提前支取罰息。
金額單位中性：本金、定投與結果使用同一貨幣單位，計算器不做幣種換算。

適用範圍與限制

能算: 固定利率下的儲蓄、定期定額投入、教育或退休儲蓄目標的量級估算，以及不同複利頻率之間的比較。
只能近似: 利率會變的產品（浮動利率、階梯利率、分紅），只能用「假設平均利率」做情景，不同情景之間差異可能很大。
不能算: 任何實際金融產品的合同收益。費用、税收、複利與付息日期規則、提前贖回條款都會改變真實結果，請以合同條款為準。
不做: 不提供利率、不比較產品、不推薦機構；結果不是收益預測。
數值精度: 金額以 IEEE 754 雙精度浮點計算，顯示保留兩位小數；極長期限（數百年）或極高頻率下累計舍入誤差會出現在末位，屬於顯示位數問題而非公式問題。

常見誤區

把 5% 填成 0.05：年利率字段接受百分數。填 0.05 得到的是年利率 0.05%，10 年終值只有 10,050.12。
把每期利率當成年利率：月複利 5% 是每月 0.41667%，不是每月 5%。若把 5 填在年利率、又把複利頻率填成 1 之外的值，請確認自己要的是「名義年利率」。
拿名義利率比較不同頻率的方案：同為 5%，月複利實際比年複利多 0.1162 個百分點。跨頻率比較看 EAR。
忘了自己的口徑：定投在期初還是期末、月供是否合併入賬，會造成算例 3 裏 2,354.93 的差距。看到別的工具給出不同數字，先對口徑再對公式。
複利頻率填成年數或月數：複利頻率是「每年計息幾次」，填 120 不是「10 年 × 12 個月」，而是每年 120 次。
把總利息當成收益率：總利息是絕對金額，受期限與本金放大；比較方案的效率要看 EAR 或年化收益率。
忽略通脹：終值是名義金額。若通脹 3%，10 年後 16,470 的購買力約相當於今天的 12,255。

典型使用場景

教學：直觀感受指數增長

把年數從 10 改成 20、30，觀察終值不是翻倍增長而是加速增長；再把複利頻率從 1 改到 12、365，觀察增益遞減。這是「指數函數」和「極限」最貼近生活的例子。

儲蓄目標反解

已知目標金額、可接受的年限與假設利率，用「目標反解」得到每月需要投入多少，再回頭調整年限或目標，看看哪一個變量對結果最敏感。

比較兩種計息説法

一個方案寫「年化 5%，月複利」，另一個寫「年化 5.1%，年複利」，用 EAR 判斷哪個實際更高（前者 5.1162%，後者 5.1%）。

工程與科學中的同構問題

人口增長、放射性衰變（負利率）、細菌培養、設備折舊都服從 $x_n = x_0(1+i)^n$ 。把「本金」換成初始量、「利率」換成每期增長率，同一個計算器可以直接用。

常見問題

每年複利次數應該填多少？

看計息規則：按年結息填 1，按季填 4，按月填 12，按日填 365。不確定時填 12 做基準，再改成 1 和 365 看結果的區間——對 5% 左右的利率，這一區間通常不到 1.3%。

為什麼我用年金公式算出的定投終值比這裏高？

最常見原因是口徑不同：許多教科書例題按期初付款（annuity-due）計算，本計算器按期末付款；或者對方每月複利而你在這裏選擇了年複利，月供被合併到年末。兩者都在「假設」一節説明。

輸入負利率會怎樣？

公式仍然成立， $(1+i)^n$ 小於 1，終值隨時間衰減。這可以用來模擬通脹對購買力的侵蝕或資產折舊，但「總利息」會是負數。

終值和總利息為什麼只顯示兩位小數？

金額按貨幣習慣顯示到分。內部計算是雙精度浮點，沒有在中途舍入；如果需要更多位數，可以用算例裏的閉式公式自行復算。

結果卡上的 verified 和 approximate 是什麼意思？

verified 表示逐期累加結果與閉式公式在 $10^{-9}$ 相對誤差內一致；approximate 表示年數 × 複利頻率不是整數，引擎只算了整期部分。它們描述的是數學一致性，不是對任何真實收益的保證。

這個計算器能算貸款月供嗎？

不能。貸款是「先借後還」的現金流，要用年金現值公式（或工作台「金融 → 貸款」面板）。複利計算器算的是「先存後取」。兩者共用同一個折現因子，但方向相反。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/engine/finance.ts 中的 compoundInterest（逐期複利、期末追加口徑）與 aprToEar；本頁所有數字由該引擎復算。
Brealey, R. A., Myers, S. C., Allen, F., & Edmans, A. Principles of Corporate Finance, 14th ed. McGraw Hill, 2022. 第 2 章 “How to Calculate Present Values” 給出終值、年金與連續複利的標準推導。
Wikipedia, Compound interest（访问日期：2026-09-08）——複利公式、連續複利與歷史。
Wikipedia, Effective interest rate（访问日期：2026-09-08）——名義利率與實際利率的換算。
Wikipedia, Rule of 72（访问日期：2026-09-08）——翻倍時間近似及其誤差分析。
數據口徑日期：2026-09-08（本頁不含任何市場利率數據，口徑日期指引擎公式與説明文本的核對日期）。

隱私

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來源與審閲

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Compound interest（访问日期：2026-09-08） (資料日期: 2026-09-08)
Wikipedia: Effective interest rate（访问日期：2026-09-08） (資料日期: 2026-09-08)
Brealey, Myers, Allen & Edmans, Principles of Corporate Finance, 14th ed., McGraw Hill, 2022, Ch. 2 “How to Calculate Present Values”
Wikipedia: Rule of 72（访问日期：2026-09-08） (資料日期: 2026-09-08)