淨現值 NPV 計算器：把未來現金流折回今天再求和

淨現值（Net Present Value，NPV）計算器把一串按固定間隔發生的現金流——第 0 期通常是負的初始投入，之後各期是正的回收——用同一個折現率逐期折算成「今天的錢」，再加總。結果為正，説明這串現金流按你給定的折現率衡量是「賺」的；為負則是「虧」的；為零正好打平。

金融免责声明

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淨現值 NPV 計算器：把未來現金流折回今天再求和

計算器説明

它適合回答的問題是：「如果我要求每年 8% 的回報，這個先投 1,000、之後兩年各收回 600 的方案，按今天的錢算值多少？」同一面板還會給出內部收益率（IRR）——讓 NPV 恰好為零的那個折現率——以及 72 法則的翻倍年數作為參照。

它不做的事：不告訴你折現率應該取多少（那取決於資金成本、風險與機會成本，是輸入不是輸出），不預測現金流會不會真的發生，不考慮税費、通脹調整與融資結構，也不對任何真實項目、產品或投資給出建議。輸入的現金流與折現率都是你的假設，輸出是這些假設在數學上的推演。

公式與變量

淨現值是各期現金流除以各自折現因子後的和：

NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t} = CF_0 + \frac{CF_1}{1+r} + \frac{CF_2}{(1+r)^2} + \cdots + \frac{CF_n}{(1+r)^n}

第 0 期的折現因子是 $(1+r)^0 = 1$ ，所以初始投入不打折，直接計入。內部收益率是使上式為零的 $r$ ：

\sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1+IRR)^t} = 0

這是一個關於 $x = 1/(1+IRR)$ 的 $n$ 次多項式方程，一般沒有閉式解，引擎用數值方法求出全部實根（見「原理」）。折現因子 $(1+r)^{-t}$ 從何而來、它與複利終值互為逆運算，見共享背景折現入門。

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$CF_t$	第 $t$ 期的淨現金流	現金流（逗號分隔）	貨幣	任意實數；流出為負、流入為正；第一個數就是 $CF_0$
$t$	期次	（由輸入順序決定）	期	$0, 1, 2, \dots, n$ ；相鄰兩期間隔相等
$n$	最後一期的期次	（現金流個數 − 1）	期	至少要有 2 個現金流才能算 IRR
$r$	折現率（每期）	折現率 (%)	百分數	以百分數輸入：8 表示 8%，引擎內部除以 100；必須大於 −100%，允許 0 與合法負數
$1/(1+r)^t$	第 $t$ 期折現因子	（中間量）	無量綱	$r>0$ 時隨 $t$ 遞減
$NPV$	淨現值	NPV	貨幣	輸出，與現金流同單位
$IRR$	內部收益率	IRR	百分數	輸出；可能有 0 個、1 個或多個實根

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「金融 → NPV / IRR」子面板（/#/financial/npv-irr）。默認現金流為 -100000, 30000, 35000, 40000, 45000，默認折現率 10%。
填現金流在「現金流（逗號分隔，第 0 期在前）」裏按時間順序輸入，第一個數是第 0 期（通常是負的投入）。至少輸入第 0 期和一個後續期；每個逗號分隔項都必須是完整的有限數值，零現金流要明確填寫 0。空項、非法數值和尾逗號會報錯，不會被刪除或改變後續期次。
填折現率在「折現率 (%)」填百分數（8 而不是 0.08）。這是每期的折現率——現金流按年排，它就是年折現率；按月排，它就是月折現率。
讀結果卡「NPV」按兩位小數顯示；「IRR」顯示為百分數，如果有多個實根會分別顯示 IRR #1、IRR #2，無解時顯示 --- 並給出原因；「72 法則」按當前折現率給出翻倍年數。
看解讀與警告結果卡下方的解讀會説明 NPV 的符號意義；現金流符號只變一次時 IRR 唯一，多次變號時會出現「多重 IRR」的橙色警告，此時任何單個 IRR 都不能單獨用來做判斷。

算例

三組算例均由引擎 npv 逐期折現得到，IRR 由 irrDetailed 求出全部實根；顯示金額按界面口徑保留兩位小數，中間量保留四位以便核對。

算例 1：投入 1,000，兩年各收回 600，折現率 8%

輸入：現金流 -1000, 600, 600， $r = 8\%$ 。

期次 $t$	現金流 $CF_t$	折現因子 $1/1.08^t$	現值 $CF_t/1.08^t$
0	−1,000	1.0000	−1,000.0000
1	600	0.9259	555.5556
2	600	0.8573	514.4033
合計	200	—	69.9588

界面顯示：NPV 69.96，IRR 13.07%，72 法則 9.0 年。

名義上兩年共收回 1,200，比投入多 200；但把兩筆 600 折回今天只值 1,069.96，所以按 8% 的要求這個方案「多賺」了 69.96。把折現率改成 12%，NPV 降到 14.03；改成 13%，只剩 0.86；再高一點就變負——這個臨界點就是 IRR 13.07%。

算例 2：面板默認值，五期現金流，折現率 10%

輸入：現金流 -100000, 30000, 35000, 40000, 45000， $r = 10\%$ 。

期次 $t$	現金流 $CF_t$	折現因子 $1/1.1^t$	現值
0	−100,000	1.0000	−100,000.0000
1	30,000	0.9091	27,272.7273
2	35,000	0.8264	28,925.6198
3	40,000	0.7513	30,052.5920
4	45,000	0.6830	30,735.6055
合計	50,000	—	16,986.5446

界面顯示：NPV 16,986.54，IRR 17.09%，72 法則 7.2 年。

注意第 4 期的 45,000 名義上比第 1 期的 30,000 多一半，折現後卻只多 3,463——越遠的錢打折越重，這就是「金錢的時間價值」。

算例 3：NPV 為負的方案

輸入：現金流 -1000, 300, 300, 300， $r = 10\%$ 。

現值： $-1000 + 272.7273 + 247.9339 + 225.3944 = -253.9444$ 。
三期名義回收 900 本來就少於投入 1,000，折現後差距更大。

界面顯示：NPV −253.94，IRR −5.09%。IRR 為負意味着即使要求 0% 回報這個方案也收不回本；NPV 在 $r=0$ 時等於 $-1000+900=-100$ ，正是名義盈虧。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現：把折現率從 8 改成 13.07，NPV 會幾乎歸零。

原理與推導

為什麼要折現

今天的 100 元和一年後的 100 元不等價：今天的錢可以存起來生息、可以立刻使用、也不必承擔對方一年後不付款的風險。如果你能以年利率 $r$ 把錢存起來，那麼一年後的 $CF_1$ 在今天只值 $CF_1/(1+r)$ ——因為把這筆錢存一年正好長成 $CF_1$ 。兩年後的錢要打兩次折， $t$ 年後的錢打 $t$ 次折，於是得到 $CF_t/(1+r)^t$ 。這與複利計算器的終值公式 $FV = PV(1+r)^t$ 是同一個式子的兩個方向：複利把今天推向未來，折現把未來拉回今天。

圖 1：算例 1 的現金流時間軸與折現（8%），箭頭上的數字是各期現金流折回第 0 期的現值

NPV 的決策含義

NPV 衡量的是「按你要求的回報率，這串現金流比打平多賺了多少今天的錢」。折現率 $r$ 因此常被稱為「要求回報率」或「資金的機會成本」：如果同樣的錢放在別處穩妥地能拿到 $r$ ，那只有 NPV > 0 的方案才值得放棄那個替代選擇。這也是為什麼折現率是輸入而不是輸出——它是你對替代機會的判斷，計算器不能替你判斷。

NPV 的兩條重要性質：可加（兩個獨立方案的 NPV 之和等於合併方案的 NPV）與尺度敏感（把所有現金流翻倍，NPV 也翻倍）。第二條意味着比較不同規模的方案時，NPV 大的未必效率高，這是人們同時看 IRR 的原因。

NPV 曲線與 IRR

把折現率從 0 慢慢調高，NPV 會從「名義加總」一路下降（對於「先投入後回收」的常規現金流）。它穿過零點的那個折現率就是 IRR。算例 1 的曲線如下：

圖 2：算例 1 的 NPV 曲線（折現率 0%–30%），與橫軸的交點即 IRR = 13.07%

對算例 1，IRR 可以手算：令 $x = 1/(1+r)$ ，方程 $-1000 + 600x + 600x^2 = 0$ 是一元二次方程，正根 $x = \dfrac{-600 + \sqrt{600^2 + 4\cdot 600 \cdot 1000}}{1200} = 0.884437$ ，於是 $1 + r = 1/x = 1.130662$ ， $IRR = 13.0662\%$ 。現金流超過三期時方程次數更高，一般沒有公式解，引擎用數值方法求根。

為什麼 IRR 可能不止一個，或者不存在

$NPV(r) = 0$ 是關於 $x = 1/(1+r)$ 的 $n$ 次多項式方程，最多有 $n$ 個實根。笛卡爾符號法則告訴我們：正實根的個數不超過現金流序列的符號變化次數。「先投入、後回收」只變號一次，所以 IRR 唯一；「投入—回收—再投入」（比如項目末期有拆除費用）變號兩次，就可能出現兩個 IRR，此時 NPV 曲線先升後降，兩個交點之間 NPV 為正、之外為負，「IRR 大於要求回報率就接受」的規則失效。現金流全為正或全為負時 NPV 永遠不為零，IRR 不存在。

CalcX 的引擎（irrDetailed）會求出全部實根並對多根、無根給出明確警告，而不是隻報一個數——這是有意的設計，因為把多重 IRR 摺疊成單個數字是真實的財務陷阱。

與 72 法則的關係

面板順帶顯示的「72 法則」把折現率當作增長率，估算資金翻倍所需年數 $\approx 72/r$ 。它與 NPV 沒有直接的數學聯繫，只是同一折現率下的直觀參照：折現率 8% 時，9 年後的錢大約只值今天的一半。

假設

等間隔：相鄰現金流之間的時間間隔相同（都是一年、或都是一月）。間隔不等的現金流需要用實際天數折現（XNPV），本計算器不支持。
期末發生：每期現金流視為在該期期末一次性發生；第 0 期就是「現在」。
單一折現率：所有期次用同一個 $r$ ，不考慮期限結構（長短期利率不同）。
折現率與期次同口徑：現金流按年列出時 $r$ 是年利率；按月列出時 $r$ 是月利率——引擎不做年化/期化換算。
現金流是淨額且確定：每期只輸入一個淨現金流，不區分收入與成本、不含概率或風險調整；風險只能通過調高折現率間接反映。
金額單位中性：所有現金流與 NPV 使用同一貨幣單位，計算器不做幣種或通脹換算。

適用範圍與限制

能算: 任何一串等間隔、確定金額的現金流在給定折現率下的現值合計，以及使其為零的全部 IRR。適合教學、方案的粗略比較與敏感性分析（改折現率看 NPV 怎麼變）。
只能近似: 現金流發生時點不在期末、利率隨期限變化、現金流本身帶有不確定性的場合，結果只是一個基準情景。
不能算: 不等間隔現金流（需要 XNPV/XIRR）、含税費與融資結構的項目評估、真實資產的市場價值。
不做: 不提供折現率、不評價現金流是否合理、不比較或推薦任何投資產品，結果不是收益預測。
數值精度: 金額用 IEEE 754 雙精度浮點逐項求和，顯示保留兩位小數；IRR 由數值求根得到，顯示兩位小數，極端接近的多根可能只報出一個。

常見誤區

忘了第 0 期在前：把初始投入寫成最後一個數，或者漏掉負號，NPV 會完全失真。第一個數就是「現在」的現金流，投入要寫負數。
折現率填成小數：字段接受百分數。填 0.08 得到的是 0.08%，算例 1 的 NPV 會變成 198.56 而不是 69.96。
月現金流配年利率：按月列出現金流卻填年利率 8%，等於假設每月 8%。要麼把現金流按年彙總，要麼把利率換成月口徑（ $(1.08)^{1/12}-1 \approx 0.643\%$ ）。
把 NPV 當收益率：NPV 是金額，受規模放大；兩個方案比效率要看 IRR 或按投入額歸一化。
看到一個 IRR 就下結論：現金流多次變號時可能有多個 IRR，面板會顯示 IRR #1、IRR #2 並警告；此時以 NPV 的符號為準，不要用單個 IRR。
NPV 為正就一定「好」：NPV > 0 只説明按你填的折現率是划算的。折現率取得太低，幾乎什麼都是正的；敏感性分析（多試幾個折現率）比單點結果更有信息量。
忽略中間項的方向：某一期淨流出（如追加投資）要寫負數，寫成正數會把成本當收入。

典型使用場景

教學：直觀理解金錢的時間價值

輸入 -100, 0, 0, 0, 100，折現率 8%：四年後的 100 只值今天的 73.50，NPV = −26.50。再把折現率改為 0，NPV 回到 0——同樣的名義金額，價值完全取決於折現率與時間。

兩個方案的粗略比較

方案甲 -1000, 600, 600，方案乙 -1000, 0, 1250，都用 8%：甲的 NPV 69.96，乙的 NPV 71.67，名義總回收乙更多（1,250 對 1,200），折現後兩者幾乎打平；把折現率提到 12%，甲 14.03、乙 −3.51，回收更晚的乙反而變負。兩者的 IRR 分別是 13.07% 與 11.80%——按 IRR 排序甲更優，按 8% 下的 NPV 排序乙略優，這正是「NPV 與 IRR 可能給出不同排序」的實例。

敏感性分析

固定現金流，把折現率從 5% 逐步調到 15%，記錄 NPV 的變化，找到 NPV 歸零的位置（就是 IRR）。這比只看一個折現率下的結果更能説明方案對利率假設的敏感程度。

工程與科研中的同構問題

設備全生命週期成本（購置為第 0 期支出、每年運維為負現金流、殘值為末期正現金流）、節能改造的回收期評估、科研設備「買還是租」的比較，都是同一個折現求和。

常見問題

折現率應該填多少？

計算器不能替你決定。常見做法是用資金的機會成本——同樣的錢放在風險相近的替代用途上能拿到的回報率——或者企業的加權平均資金成本（WACC）。不確定時多試幾個值，看 NPV 的符號是否穩定。

NPV 和 IRR 給出的結論會矛盾嗎？

會。比較兩個規模或期限不同的方案時，NPV 大的方案 IRR 可能更低；現金流多次變號時 IRR 可能有多個甚至不存在。教科書的共識是以 NPV 為準，IRR 作為輔助指標。

為什麼 IRR 顯示 `---`？

現金流的符號沒有變化（全正或全負）時 NPV 曲線不穿過零，IRR 不存在；只有一個現金流時也無法計算。面板下方會給出具體原因。

現金流不是每年一次怎麼辦？

如果是等間隔（每月、每季），把折現率換成同樣口徑的每期利率即可。如果間隔不等，本計算器不適用，需要按實際天數折現的 XNPV。

結果為什麼只顯示兩位小數？

金額按貨幣習慣顯示到分，內部計算為雙精度浮點，中途不捨入。需要更多位數時可用算例表裏的折現因子自行復算。

這個計算器能算貸款或年金嗎？

原理相同（貸款就是一串符號相反的現金流），但輸入方式不方便。等額還款請用工作台「金融 → 貸款」面板；先存後取的複利問題請用複利計算器。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/engine/finance.ts 中的 npv（逐期折現求和）與 irrDetailed（委託 numeric.irrAll，用笛卡爾法則與柯西界做完備實根搜索）；本頁所有數字由該引擎復算。
Brealey, R. A., Myers, S. C., Allen, F., & Edmans, A. Principles of Corporate Finance, 14th ed. McGraw Hill, 2022. 第 2 章推導現值與折現因子，第 5 章討論 NPV 與 IRR 的決策規則及多重 IRR 問題。
Wikipedia, Net present value（访问日期：2026-09-08）——定義、決策規則與與其它指標的比較。
Wikipedia, Internal rate of return（访问日期：2026-09-08）——IRR 的定義、多重解與數值求解。
Wikipedia, Time value of money（访问日期：2026-09-08）——折現思想的背景。
數據口徑日期：2026-09-08（本頁不含任何市場利率數據，口徑日期指引擎公式與説明文本的核對日期）。

隱私

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來源與審閲

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Net present value（访问日期：2026-09-08） (資料日期: 2026-09-08)
Wikipedia: Internal rate of return（访问日期：2026-09-08） (資料日期: 2026-09-08)
Brealey, Myers, Allen & Edmans, Principles of Corporate Finance, 14th ed., McGraw Hill, 2022, Ch. 2 “How to Calculate Present Values” 與 Ch. 5 “Net Present Value and Other Investment Criteria”
Wikipedia: Time value of money（访问日期：2026-09-08） (資料日期: 2026-09-08)