折現入門：現值、終值與金融計算器共用的那一個因子

「今天的 100 元比明天的 100 元值錢」是整個金融計算的公理。把未來的錢換算成今天的價值叫折現（discounting），反方向——把今天的錢推算到未來——叫複利（compounding）。兩者共用同一個因子 (1+i)^n，只是一個乘、一個除。複利計算器與淨現值計算器是同一個數學事實的兩個方向，本文是它們共用的背景。

概覽

「今天的 100 元比明天的 100 元值錢」是整個金融計算的公理。把未來的錢換算成今天的價值叫折現（discounting），反方向——把今天的錢推算到未來——叫複利（compounding）。兩者共用同一個因子 $(1+i)^n$ ，只是一個乘、一個除。複利計算器與淨現值計算器是同一個數學事實的兩個方向，本文是它們共用的背景。

一個因子的兩個方向

設每期利率為 $i$ 。今天的 $PV$ 經過 $n$ 期複利變成

FV = PV\,(1+i)^{n}

把它反過來解 $PV$ ，就是折現：

PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}}

$(1+i)^{-n}$ 叫折現因子（discount factor），它把「第 $n$ 期末的一元錢」換算成今天的價值。 $i$ 在複利語境裏叫利率，在折現語境裏叫折現率——名字隨方向變，數學完全相同。

期數 $n$	折現因子（ $i=8\%$ ）	第 $n$ 年末的 100 元折成今天
1	0.9259	92.59
2	0.8573	85.73
5	0.6806	68.06
10	0.4632	46.32

折現率越高、期數越多，未來的錢越"不值錢"——這不是通脹（通脹是另一回事），而是資金的機會成本：這筆錢如果今天在手上，本可以按 $i$ 增值。

從折現因子到 NPV

一個項目的現金流是「今天投出去、以後分期收回來」。把每期現金流 $C_t$ 各自折回今天再求和，就是淨現值（NPV）：

NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^{t}}

$C_0$ 通常是負數（初始投入， $t=0$ 不折現）。NPV 大於 0 表示這組現金流按折現率 $r$ 衡量是"賺"的。例如投入 1,000、之後兩年各收回 600，按 $r = 8\%$ ：

NPV = -1000 + \frac{600}{1.08} + \frac{600}{1.08^{2}} = -1000 + 555.56 + 514.40 = 69.96

內部收益率（IRR）是讓 NPV 恰好為零的那個折現率——把 NPV 看作 $r$ 的函數，IRR 就是曲線與橫軸的交點。它回答"這組現金流相當於按多高的利率增值"。

名義利率與實際利率

「年利率 5%，月複利」裏的 5% 是名義年利率（APR）：它只是每期利率乘以期數的約定寫法。一年真實的增長率是實際年利率（EAR）：

EAR = \left(1+\frac{r}{m}\right)^{m} - 1

5% 月複利對應 EAR 5.1162%。比較兩個複利頻率不同的方案，比 EAR；給現金流折現，用與現金流間隔一致的每期利率。 這兩條口徑錯了，後面的每個數字都錯。

常見誤區

把折現與通脹混為一談：折現率反映資金的機會成本與風險，通脹只是其中可能的一個成分。名義現金流配名義折現率、實際現金流配實際折現率，不能混。
對 $t=0$ 的投入折現：今天的錢不折現， $C_0$ 直接計入。
拿名義利率跨頻率比較：同為 5%，月複利實際高於年複利，見上文 EAR。
把 IRR 當成萬能指標：現金流多次變號時 IRR 可能不唯一；比較互斥項目時 NPV 比 IRR 更可靠。

參考與延伸

Brealey, R. A., Myers, S. C., Allen, F., & Edmans, A. Principles of Corporate Finance, 14th ed. McGraw Hill, 2022. 第 2 章 "How to Calculate Present Values"——現值、年金與折現因子的標準推導。
Wikipedia, Present value（访问日期：2026-09-09）——現值與折現因子。
Wikipedia, Net present value（访问日期：2026-09-09）——NPV 定義與 IRR 的關係。