比例計算器：A/B = C/D 求第四項、交叉相乘與相似三角形

計算器説明

比例計算器解的是 $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ ：四個數里已知任意三個，它給出第四個。這就是小學到中學一路在用的「三率法」（rule of three）——按配方放大用量、按比例尺讀地圖距離、用影子量樹高、把分數換成百分數，本質上都是同一件事：兩個比相等，缺哪個就求哪個。

「比例」這個詞有兩層意思。 $A : B$ 是一個比（ratio），比值 $k = A/B$ 是一個數；「 $A : B = C : D$ 」才是一個比例（proportion），説的是兩個比相等。計算器默認把 $A$ 、 $B$ 當作已知的一組，把 $C$ 、 $D$ 當作要匹配的另一組，最常見的用法是填好 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 求 $D$ 。

它不做的事：只處理正比例（一個量增大另一個按同樣倍數增大）；反比例（工人越多天數越少）、按比例分配（把總量按 $2:3$ 分成兩份）、連比（ $A : B : C$ ）都要先轉成正比例再用，見常見誤區與 FAQ。

公式與變量

\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\;\Longleftrightarrow\; A \cdot D = B \cdot C

由「外項積等於內項積」可以解出任意一項：

D = \frac{B\,C}{A},\qquad C = \frac{A\,D}{B},\qquad A = \frac{B\,C}{D},\qquad B = \frac{A\,D}{C}

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$A$	第一組的分子（第一項、外項）	A	任意	默認 3。作分母求 $D$ 時不能為 0
$B$	第一組的分母（第二項、內項）	B	任意	默認 4。與 $A$ 同一量的單位，或與 $D$ 同一量
$C$	第二組的分子（第三項、內項）	C	任意	與 $A$ 同一類量（同一單位）
$D$	第二組的分母（第四項、外項）	D	任意	與 $B$ 同一類量；默認由 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 求出
$k$	比例常數	（不顯示）	單位 = $A$ 的單位 / $B$ 的單位	$k = A/B = C/D$ ，「每 1 個 $B$ 對應多少 $A$ 」

單位規則： $A$ 與 $C$ 同單位、 $B$ 與 $D$ 同單位（橫着看：3 個雞蛋 / 300 g 麪粉 = 5 個雞蛋 / 750 g 麪粉），或者 $A$ 與 $B$ 同單位、 $C$ 與 $D$ 同單位（豎着看：圖上 1 cm / 實地 25000 cm）。兩種擺法算出來的數一樣，只要四個格子的對應關係擺對。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 比例計算器」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.proportion）。打開時只有「A」= 3、「B」= 4 已填好，C、D 兩個字段都帶「計算」標記並顯示 0——因為還沒有第三個已知數，引擎把空字段當 0。
求 D（最常見）：在「C」裏填入已知值，「D」立即變成 $BC/A$ 。例如填 6 得到 8。
求 C不填 C，改在「D」裏填值，「C」字段切換成「計算」並顯示 $AD/B$ 。
求 A 或 B清空要求的那一項，把另外三項填滿；被清空的字段自動變成「計算」。字段可以任意組合，引擎對四個方向都有公式。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零（ $4 \times 100 / 3 = 133.33333333$ ）。分母為 0 時顯示 ∞ 或 0（見常見誤區）。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把 A/B = C/D → D = B×C/A 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 proportion 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零。

算例 1：默認輸入，3 : 4 = 6 : D

輸入： $A = 3$ ， $B = 4$ ， $C = 6$ 。

交叉相乘： $3 \times D = 4 \times 6 = 24$ 。
$D = 24 / 3 = 8$ 。

界面顯示：D 8。檢驗： $3/4 = 0.75$ ， $6/8 = 0.75$ ，兩個比相等。比例常數 $k = 0.75$ ，也可以讀成「 $C$ 是 $A$ 的 2 倍，所以 $D$ 也是 $B$ 的 2 倍」——這種「橫向倍數」和「縱向比值」兩條路必然得到同一個答案。

換成求 $C$ ：保留 $A = 3$ 、 $B = 4$ ，不填 C，在 D 裏填 12，界面顯示 C 9（ $3 \times 12 / 4$ ）。

算例 2：配方放大——2 個雞蛋配 300 g 麪粉，750 g 麪粉要幾個雞蛋

輸入： $A = 2$ （雞蛋）， $B = 300$ （g 麪粉）， $D = 750$ （g 麪粉），求 $C$ 。

$C = A D / B = 2 \times 750 / 300 = 1500 / 300 = 5$ 。

界面顯示：C 5。這裏 $A$ 、 $C$ 是雞蛋個數， $B$ 、 $D$ 是麪粉克數，「橫着看」單位一致。倍數 $750 / 300 = 2.5$ ，雞蛋也乘 2.5。若算出來不是整數（例如 700 g 麪粉得 4.67 個雞蛋），説明配方不能精確整倍放大，要四捨五入或改麪粉量。

算例 3：用影子量樹高（相似三角形）

同一時刻陽光平行，一根高 3 m 的杆子影長 4.5 m，旁邊一棵樹影長 12 m，樹多高？

輸入： $A = 3$ （杆高）， $B = 4.5$ （杆影）， $D = 12$ （樹影），求 $C$ （樹高）。

兩個直角三角形相似，對應邊成比例： $\dfrac{3}{4.5} = \dfrac{C}{12}$ 。
交叉相乘： $4.5\,C = 3 \times 12 = 36$ ， $C = 36 / 4.5 = 8$ 。

界面顯示：C 8。比例常數 $k = 3 / 4.5 = 0.66666667$ ：每 1 m 影長對應 0.667 m 高度，所以 12 m 影長對應 8 m。這是泰勒斯量金字塔高度的方法，兩千多年沒有變過。

圖 1：算例 3。陽光平行 ⇒ 兩個三角形相似 ⇒ 對應邊成比例。A、C 是「高」，B、D 是「影長」，橫向單位一致

算例 4：地圖比例尺與百分數

比例尺 1 : 25000 的地圖上兩點相距 3.6 cm，實地距離？輸入 $A = 1$ ， $B = 25000$ ， $C = 3.6$ ，界面顯示 D 90000（cm），即 900 m。這裏 $A$ 、 $B$ 都是「長度」， $C$ 、 $D$ 也都是長度，「豎着看」單位一致（圖上 cm 對實地 cm）。

百分數：45 是 60 的百分之幾？百分數就是「分母為 100 的比」，列成 $\dfrac{45}{60} = \dfrac{C}{100}$ ：輸入 $A = 45$ ， $B = 60$ ， $D = 100$ ，界面顯示 C 75，即 75%。如果把 100 填進 C 而不是 D（ $A = 45$ ， $B = 60$ ， $C = 100$ ），界面會顯示 D 133.33333333——這回答的是「60 是 45 的百分之幾」，問題反了。百分數的增減、逆運算等更多口徑見百分比計算器。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現；把 C 從 6 改成 3、9、12，觀察 D 始終保持 C 的 $4/3$ 倍——比例常數不變，是「正比例」的標誌。

原理與推導

為什麼可以交叉相乘

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ 兩邊同乘 $BD$ （ $B$ 、 $D$ 都不為 0）：左邊 $\dfrac{A}{B} \cdot BD = AD$ ，右邊 $\dfrac{C}{D} \cdot BD = BC$ ，於是 $AD = BC$ 。歐幾里得《原本》卷五把這叫做「外項之積等於內項之積」：把 $A : B = C : D$ 寫成一行， $A$ 、 $D$ 在兩頭是外項， $B$ 、 $C$ 在中間是內項。反過來，從 $AD = BC$ 兩邊除以 $BD$ 又回到原比例，所以兩種寫法完全等價。求哪一項，就把 $AD = BC$ 兩邊除以它旁邊的那個數。

比例常數與正比例

$A/B = C/D = k$ 意味着 $A = kB$ 、 $C = kD$ ：「分子永遠是分母的 $k$ 倍」。凡是滿足 $y = kx$ 的兩個量就叫成正比例——雞蛋數與麪粉量、圖上距離與實地距離、影長與物高。畫在座標系裏， $(B, A)$ 與 $(D, C)$ 都落在過原點、斜率為 $k$ 的同一條直線上；這也是為什麼正比例關係可以用斜率來檢驗：任取兩點算斜率，等於 $k$ 且直線過原點，就是正比例。

反比例不是這個公式

「4 個工人 6 天完工，8 個工人幾天」——工人越多天數越少，乘積（總工時 24 人·天）不變，這是反比例 $xy = c$ 。如果套進本計算器 $A = 4$ ， $B = 6$ ， $C = 8$ ，會得到 D 12，方向完全錯了。正確做法是先把它改寫成正比例： $4 \times 6 = 8 \times D$ ，即 $\dfrac{4}{D} = \dfrac{8}{6}$ ，輸入 $A = 4$ ， $B = D$ （未知）， $C = 8$ ， $D = 6$ ——也就是求 B，得到 3 天。判斷標準很簡單：一個量增大時另一個量也增大才是正比例。

相似三角形：比例最重要的幾何來源

兩個三角形三個角分別相等，則對應邊成比例（《原本》卷六命題 4）。算例 3 中杆、影、光線圍成的三角形和樹、影、光線圍成的三角形都有一個直角、一個相同的太陽高度角，第三個角自然也相等，所以「高 : 影長」兩者相同。所有用「量小的推大的」的測量——用手指寬度估距離、用照片裏的已知物體量未知物體、投影儀放大、相機成像——底層都是這條命題。

從比例到函數

把比例裏的 $D$ 當作自變量、 $C$ 當作因變量， $C = (A/B) \cdot D$ 就是最簡單的一次函數（正比例函數）。中學接着學的一次函數 $y = kx + b$ 多了一個截距，等差數列 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 則是自變量只取正整數的一次函數——見等差數列。比例是這一串概念的第一步。

假設

正比例關係成立：兩個量之間確實是「一個乘 $k$ 、另一個也乘 $k$ 」。配方能整倍放大、地圖各處比例尺一致、陽光平行——這些是前提，不是計算器能檢查的。
四項按同一順序擺放： $A$ 對 $C$ 、 $B$ 對 $D$ 是同類量。擺錯位置得到的是另一個問題的答案（見算例 4 的百分數）。
分母不為 0：求 $D$ 時 $A \ne 0$ ，求 $C$ 時 $B \ne 0$ ，求 $A$ 時 $D \ne 0$ ，求 $B$ 時 $C \ne 0$ 。
數值是精確的：測量誤差按比例傳遞， $C$ 的相對誤差約等於 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 相對誤差之和。
界面口徑：只預填 $A$ 、 $B$ ，未填的字段在引擎裏按 0 參與運算（求 $D$ 時 $A$ 未填按 1），因此打開面板時 C、D 顯示 0。

適用範圍與限制

能算: $A/B = C/D$ 中任意一項，包括同時清空多項後的部分結果。
只能近似: 實際問題往往只近似成正比（大批量採購有折扣、地圖投影有形變、樹影落在斜坡上）。
不能算: 反比例（先改寫成正比例，見原理）、按比例分配（先求「每份多少」再乘份數）、連比 $A : B : C$ （拆成兩個比例分別算）、複合比例（多個量同時變化）。
不做: 不化簡比（ $6 : 8 \to 3 : 4$ ）、不輸出比例常數 $k$ 、不做單位換算。
數值: 結果以 8 位小數顯示；分母為 0 時顯示 ∞（如 $A = 0$ 求 $D$ ）。

常見誤區

把反比例當正比例：工人—天數、速度—時間、齒輪齒數—轉速都是反比例，直接套公式方向會反（原理一節的 12 天 vs 3 天）。
四項擺錯格：算例 4 裏把 100 放在 C 還是 D，答案是 75 和 133.33 的差別。寫比例前先説清「誰對誰」。
單位不配對： $A$ 用 kg、 $C$ 用 g 會差 1000 倍。同類量必須同單位；不同類量（雞蛋個數與麪粉克數）可以在同一比例裏，只要橫向對齊。
把「比」讀成「分數」再約分錯位： $3 : 4 = 6 : 8$ 是對的，但 $3 : 4 = 4 : 3$ 不是——比有方向。
分母為 0： $A = 0$ 求 $D$ 顯示 ∞； $B = 0$ 求 $D$ 顯示 0（ $0 \times C / A$ ）。兩者都説明題目本身有問題，不是結果。
百分數與比例混淆：45 是 60 的 75%，60 是 45 的 133.33%，「增加了 33.33%」和「減少了 25%」——同一對數字，四種問法四個答案。

典型使用場景

廚房與配方

按人數放大縮小配方、調飲料濃度（濃縮液 : 水）、調配塗料或混凝土的配比。

地圖、圖紙與模型

比例尺換算（圖上距離 ↔ 實地距離）、建築圖紙讀尺寸、模型與實物的尺寸對應。

測量與相似形

影長測高、用已知尺寸物體估算照片中另一物體尺寸、投影放大倍數。

價格與匯率

5 kg 42.5 元，8 kg 多少（68 元）；1 美元兑 7.2 元，250 美元兑多少（1800 元）；單價一致的採購與報價核對。

教學

體驗「交叉相乘」為什麼成立、正比例與反比例的區分、相似三角形對應邊成比例。

常見問題

只知道兩個數能算嗎？

不能。比例有四項，至少要三項已知。只填 $A$ 、 $B$ 時 C、D 顯示 0 是「還沒輸入」，不是答案。

怎麼算「把 120 按 2 : 3 分成兩份」？

先算每份： $120 / (2 + 3) = 24$ ，兩份分別是 48 和 72。也可以用本計算器： $\dfrac{2}{5} = \dfrac{C}{120}$ ，輸入 $A = 2$ ， $B = 5$ ， $D = 120$ 得 $C = 48$ 。

反比例怎麼用這個計算器？

把「乘積相等」改寫成比例： $x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$ 。注意右邊分子分母調換了位置。

連比 A : B : C = 2 : 3 : 5 怎麼算？

拆成兩個比例 $A : B = 2 : 3$ 和 $B : C = 3 : 5$ ，知道任意一項就能依次求出其餘兩項。

為什麼分母是 0 時顯示 ∞？

引擎按 $D = BC/A$ 計算， $A = 0$ 時是除以零。數學上 $0 : B = C : D$ 只在 $C = 0$ 時有意義（此時 $D$ 任意），計算器無法表達，所以顯示 ∞。

比例和百分比計算器有什麼區別？

百分比是「分母固定為 100 的比例」，百分比計算器專門處理「 $A$ 是 $B$ 的百分之幾」「 $B$ 的 $p\%$ 是多少」以及增減幅度；本計算器更通用，但要自己擺對四項。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulas.ts 中的 proportion 定義（compute(known, solveFor) 對 a / b / c / d 四向求解，分母缺省按 1 兜底）；本頁所有數字由該引擎復算。
Wikipedia, Proportionality (mathematics)（访问日期：2026-09-09）——正比例、反比例與比例常數。
Wikipedia, Cross-multiplication（访问日期：2026-09-09）——交叉相乘的推導與使用條件。
Euclid, Elements, Book V，D. E. Joyce 編注版（访问日期：2026-09-09）——歐多克索斯的比例論，「外項積 = 內項積」的原始表述。
Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4（访问日期：2026-09-09）——相似三角形對應邊成比例。
Wikipedia, Rule of three (mathematics)（访问日期：2026-09-09）——「三率法」的歷史與算法。
《九章算術》卷二「粟米」：今有術——中國古代的比例算法（「以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一」）。

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來源與審閲

更新: 2026-09-09