等差數列計算器：第 n 項、前 n 項和、反解項數與公差

計算器説明

等差數列計算器處理「每一項比前一項多同一個數」的數列：輸入首項 $a_1$ 、公差 $d$ 和項數 $n$ ，得到第 $n$ 項 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 和前 $n$ 項和 $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ；已知末項時還能反解項數 $n$ 或公差 $d$ 。

1, 3, 5, 7, …（奇數）、劇場每排比前一排多 2 個座位、每月比上月多存 50 元、每天減 1.5 km 的減量訓練——只要「增量恆定」，就是等差數列。它是最簡單的數列，也是理解「累加」的起點：求和公式背後那招「首尾配對」，是高斯 8 歲時（據説）就想到的辦法。

它不做的事：不處理等比數列（每項是前一項的固定倍數，如複利），不處理二階等差（差的差恆定）或斐波那契這類遞推數列，也不列出全部項——它只給第 $n$ 項和總和兩個數。

公式與變量

a_n = a_1 + (n-1)\,d,\qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = n\,a_1 + \frac{n(n-1)}{2}\,d

由末項反解：

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1,\qquad d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$a_1$	首項	首項 a₁	任意	默認 1；可為負數或小數
$d$	公差（相鄰兩項之差 $a_{k+1} - a_k$ ）	公差 d	與 $a_1$ 同	默認 2； $d > 0$ 遞增， $d < 0$ 遞減， $d = 0$ 常數列
$n$	項數	項數 n	個	正整數， $n \ge 1$ ；面板會拒絕非整數或小於 1 的輸入（`min: 1, integer: true`）。字段有默認值 10，但公式面板只預填前兩個字段，打開時為空；公開嵌入計算器按預設 10 全填
$a_n$	第 $n$ 項（末項）	第n項 aₙ	與 $a_1$ 同	輸出；反解模式下作為輸入
$S_n$	前 $n$ 項和	求和 S	與 $a_1$ 同	輸出， $n$ 個項相加

兩種求和寫法等價：第一種用首末兩項的平均值乘項數，第二種只用 $a_1$ 、 $d$ 、 $n$ ；引擎按第一種計算，第二種供手算核對。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 等差數列」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arithmetic-seq）。打開時公式面板只預填「首項 a₁」= 1、「公差 d」= 2，「項數 n」為空；此時第 n 項顯示 −1、求和顯示 0——引擎把空的 $n$ 當 0 代入 $a_1 + (0-1)d$ ，這不是結果，填入 $n$ 即正常。公開嵌入計算器會套用定義裏的全部預設值（ $n = 10$ ，對應第 n 項 19、求和 100）。
求第 n 項與和在「項數 n」填正整數，兩個結果字段帶「計算」標記同時更新。
反解項數清空「項數 n」，在「第n項 aₙ」填入末項，保留 $a_1$ 、 $d$ ，項數字段切換為「計算」。注意此時「求和」顯示 0（引擎對未填的 $n$ 兜底為 0）；把算出的 $n$ 填回項數字段並清空 $a_n$ ，即可得到和。
反解公差清空「公差 d」，填入 $a_1$ 、 $n$ 、 $a_n$ ，公差字段給出 $(a_n - a_1)/(n-1)$ 。此時「求和」用 $d = 0$ 計算，顯示的是 $n \cdot a_1$ ，同樣不是真實的和；把 $d$ 填回去即可。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零。反解出的 $n$ 若不是整數（如 16.66666667），説明所填的 $a_n$ 不是這個數列裏的項。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把 aₙ = a₁ + (n-1)d, S = n(a₁+aₙ)/2 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 arithmetic-seq 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零。

算例 1：3, 7, 11, 15, 19, 23 —— 六項

輸入： $a_1 = 3$ ， $d = 4$ ， $n = 6$ 。

第 6 項 $a_6 = 3 + (6-1) \times 4 = 3 + 20 = 23$ 。
和 $S_6 = \dfrac{6 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{6 \times 26}{2} = 78$ 。

界面顯示：第n項 23，求和 78。用第二種寫法核對： $6 \times 3 + \dfrac{6 \times 5}{2} \times 4 = 18 + 60 = 78$ 。配對法： $3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26$ ，三對各 26，共 78。

圖 1：算例 1。左邊是高斯配對（首尾相加恆等於 a₁ + aₙ），右邊是幾何版本——兩份階梯拼成矩形，面積 n(a₁ + aₙ)，取一半就是 Sₙ

算例 2：默認輸入與高斯的 1 到 100

輸入： $a_1 = 1$ ， $d = 2$ ， $n = 10$ （默認值）。第 10 項 $= 1 + 9 \times 2 = 19$ ，和 $= 10 \times (1 + 19) / 2 = 100$ 。界面顯示：第n項 19，求和 100。前 10 個奇數之和恰是 $10^2$ ；改 $n = 100$ ，界面顯示第n項 199、求和 10000——前 $n$ 個奇數之和總是 $n^2$ （把 L 形的奇數塊一層層拼成正方形就能看出）。

輸入 $a_1 = 1$ ， $d = 1$ ， $n = 100$ ：界面顯示第n項 100，求和 5050。這是傳説中小高斯用「 $1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 50 + 51$ ，共 50 對，每對 101」秒殺老師的那道題。

算例 3：劇場座位與遞減數列

劇場：第一排 20 個座位，之後每排多 2 個，共 15 排。輸入 $a_1 = 20$ ， $d = 2$ ， $n = 15$ ：最後一排 $20 + 14 \times 2 = 48$ 個，總座位 $15 \times (20 + 48)/2 = 510$ 。界面顯示：第n項 48，求和 510。

遞減：一批 100 kg 庫存每天固定出貨 7 kg，12 天后庫存與累計？輸入 $a_1 = 100$ ， $d = -7$ ， $n = 12$ ：第 12 天庫存 $100 - 77 = 23$ ，12 天庫存總和 $12 \times (100 + 23)/2 = 738$ （kg·天，「平均庫存 61.5 kg × 12 天」）。界面顯示：第n項 23，求和 738。公差為負時公式原樣成立，只是數列往下走。

每月多存 50 元：第一個月存 100，之後每月多存 50，一年下來？輸入 $a_1 = 100$ ， $d = 50$ ， $n = 12$ ：第 12 個月存 650，全年共 4500。

算例 4：反解項數與公差

反解 n：數列 5, 8, 11, … 的哪一項是 50？輸入 $a_1 = 5$ ， $d = 3$ ， $a_n = 50$ （清空 n）： $n = (50 - 5)/3 + 1 = 16$ 。界面顯示：項數 n 16，求和 0（見步驟 3 口徑）。把 16 填回項數並清空 $a_n$ ：第n項 50、求和 440。

如果問 52 是第幾項： $n = (52 - 5)/3 + 1 = 16.66666667$ ——不是整數，52 不在這個數列裏（第 16 項 50，第 17 項 53）。

反解 d：從 2 出發，8 項後到 30，公差是多少？輸入 $a_1 = 2$ ， $n = 8$ ， $a_n = 30$ （清空 d）： $d = (30 - 2)/(8 - 1) = 4$ 。界面顯示：公差 d 4，求和 16（引擎此時用 $d = 0$ 算和， $8 \times 2 = 16$ ，不是真實和）。把 4 填回公差並清空 $a_n$ ：第n項 30、求和 128。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現；把 $n$ 從 6 依次改為 12、24、48，觀察第 n 項按 $n$ 線性增長而和按 $n^2$ 增長（項數翻倍，和大約變成 4 倍）。

原理與推導

通項：從遞推到直接公式

定義是遞推的： $a_{k+1} = a_k + d$ 。從 $a_1$ 出發走到 $a_n$ 要加 $n - 1$ 次 $d$ ，所以 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 。注意是 $n - 1$ 而不是 $n$ ：6 根柱子之間只有 5 個間隔（圖 1 裏的五個「+4」），這就是「植樹問題」——項數比間隔數多 1。

把 $n$ 看成自變量， $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$ 是一條直線：斜率是公差 $d$ ，截距是 $a_1 - d$ （「第 0 項」）。等差數列就是定義域只取正整數的一次函數，圖 1 左邊柱頂連起來是直線。任取兩項算斜率得到的就是公差；反解公差的公式 $d = (a_n - a_1)/(n-1)$ 正是「縱座標差除以橫座標差」。

求和：高斯配對

把 $S_n$ 正着寫一遍、倒着寫一遍，上下相加：

\begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \\ S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \\ 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \cdots + (a_1 + a_n) = n\,(a_1 + a_n) \end{aligned}

每一列的和都是 $a_1 + a_n$ ——一項多 $d$ 的同時對面那項少 $d$ 。共 $n$ 列，所以 $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ 。項數為奇數時中間那項自己配自己（它正好是 $(a_1 + a_n)/2$ ，即所有項的平均值），公式不變。圖 1 右邊是這段代數的幾何版本：階梯正放一份、倒放一份拼成 $n \times (a_1 + a_n)$ 的矩形。

代入 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 得第二種寫法 $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2} d$ ： $n$ 個 $a_1$ 加上 $0 + 1 + \cdots + (n-1) = n(n-1)/2$ 個 $d$ 。它告訴我們 $S_n$ 關於 $n$ 是二次的——項數翻倍，和大約變 4 倍。

「平均值 × 項數」的讀法

$S_n = n \cdot \dfrac{a_1 + a_n}{2}$ ：和等於「首末項的平均」乘項數。對等差數列，首末項的平均就是全部項的平均——因為項對稱地分佈在中點兩側。算例 3 的庫存問題裏，738 = 61.5 × 12 就是「平均庫存 × 天數」，這一讀法在梯形面積（上底加下底乘高除二）與勻變速運動的位移（平均速度乘時間）裏是同一件事。

等差與等比：單利與複利

等差數列每步加固定量，等比數列每步乘固定倍數。本金 1000 元按 5% 單利，每年利息固定 50 元，各年本息 1050, 1100, 1150, … 是等差數列，10 年後 1500；按 5% 複利則是等比數列 $1000 \times 1.05^n$ ，10 年後 1628.89。前者是直線，後者是指數曲線，時間越長差距越大——詳細討論見複利計算器。

假設

公差恆定：相鄰兩項之差處處相同。只要有一處不等，通項和求和公式都失效。
項數是正整數：面板會拒絕非整數或小於 1 的輸入（min: 1, integer: true）；只有底層 compute() 不檢查， $n = 2.5$ 會給出無意義的數字。
從第 1 項開始計數： $a_1$ 是第 1 項而不是第 0 項；有些教材或程序（數組下標）從 0 計數，此時 $a_n = a_0 + nd$ 。
求和是前 $n$ 項：從 $a_1$ 加到 $a_n$ ；要算第 $m$ 到第 $n$ 項之和，用 $S_n - S_{m-1}$ 。
界面口徑：未填的字段在引擎裏按 0 參與運算，因此反解 $n$ 或 $d$ 時「求和」顯示的不是真實的和（步驟 3、4）。

適用範圍與限制

能算: 任意實數 $a_1$ 、 $d$ 與正整數 $n$ 的第 $n$ 項和前 $n$ 項和；由 $a_n$ 反解 $n$ （需 $d \ne 0$ ）或 $d$ （需 $n \ne 1$ ）。
只能近似: 現實中的「等差」多半是近似（座位排數、庫存出貨），公式給的是模型值。
不能算: 等比數列（另有等比數列計算器）、二階等差數列（ $1, 3, 6, 10, \ldots$ ）、部分和 $a_m + \cdots + a_n$ （分兩次算再相減）、由 $S_n$ 反解 $n$ 或 $d$ （需解二次方程，請手算）。
不做: 不列出各項、不判斷某數是否為數列的項（用反解 $n$ 是否為整數自行判斷）。
數值: $n$ 極大時 $S_n$ 達到 $10^{12}$ 以上會以科學計數法顯示；雙精度下項數到 $10^7$ 量級仍精確。

常見誤區

通項寫成 $a_1 + nd$ ：漏掉 $-1$ ，每一項都多算一個 $d$ 。6 項只有 5 個間隔。
反解 $n$ 得到小數還當答案： $n = 16.67$ 表示所填末項不在數列中，不是「第 16.67 項」。
反解模式下的「求和」當結果：那是引擎用 $n = 0$ 或 $d = 0$ 的兜底值，把反解結果填回去才是真實的和。
遞減數列把公差填成正數：100, 93, 86, … 的公差是 $-7$ ；填 7 會得到遞增數列的結果。
求和公式裏用 $a_1 + a_n$ 卻忘了除 2： $n(a_1 + a_n)$ 是兩份階梯拼成的矩形面積，要取一半。
把等比當等差：複利、人口增長、細菌繁殖是等比數列，用本計算器會嚴重低估。

典型使用場景

教學

從遞推到通項、從配對到求和公式；觀察前 $n$ 個奇數的和是 $n^2$ ；理解等差數列是「整數點上的一次函數」。

計數與排列

劇場 / 體育場逐排遞增的座位數、金字塔式堆放的木材或罐頭（每層遞減）、閲兵方陣的人數。

計劃與預算

每月遞增的儲蓄或還款計劃、遞減的庫存或訓練量、按固定增量漲薪的累計收入。

單利與折舊

單利利息按等差累積；直線法折舊每年減少固定金額，第 $n$ 年賬面價值就是第 $n$ 項。

常見問題

為什麼打開面板時第 n 項顯示 −1？

項數還沒填，引擎把 $n$ 當 0 代入 $1 + (0-1) \times 2 = -1$ 。填入項數後即正常；公開嵌入計算器按預設 $n = 10$ 全填。

怎麼判斷一個數是否在數列裏？

清空 $n$ 、把該數填進「第n項」，看反解出的 $n$ 是否為正整數。50 在 5, 8, 11, … 裏（ $n = 16$ ），52 不在（ $n = 16.67$ ）。

怎麼求第 5 項到第 12 項的和？

算 $S_{12}$ 和 $S_4$ 再相減。或者把第 5 項當新首項、項數 8 重新算。

已知和與首項、公差，怎麼反解項數？

解二次方程 $\dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac d2\right)n - S_n = 0$ ，取正整數根。計算器不支持這一反解。

為什麼和是二次增長的？

$S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$ 含 $n^2$ 項。直觀上，和是階梯圖下的面積，而階梯是一條直線下的面積——面積隨寬度平方增長。

等差數列和等比數列怎麼選？

看「相鄰兩項是相差固定還是相除固定」：每年加 50 是等差，每年乘 1.05 是等比。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulas.ts 中的 arithmetic-seq 定義（compute(known, solveFor) 輸出 an / sum，支持由 an 反解 n 與 d）；本頁所有數字由該引擎復算。
Wikipedia, Arithmetic progression（访问日期：2026-09-09）——通項、求和的兩種寫法與推導。
Wikipedia, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯（访问日期：2026-09-09）——三角形數 $n(n+1)/2$ 與高斯軼事。
Brian Hayes, “Gauss's Day of Reckoning”, American Scientist 94(3), 2006（访问日期：2026-09-09）——高斯求和故事各版本的史料考證。
Wikipedia, Rhind Mathematical Papyrus（访问日期：2026-09-09）——公元前 1550 年左右的等差分配問題（第 40、64 題）。
《九章算術》卷三「衰分」、卷六「均輸」——中國古代的等差分配與求和問題。

隱私

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來源與審閲

更新: 2026-09-09