勾股定理計算器：直角三角形的斜邊、直角邊與面積

計算器説明

勾股定理計算器根據直角三角形的任意兩條邊求出第三條邊：已知兩條直角邊 $a$ 、 $b$ 時求斜邊 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ；已知斜邊和一條直角邊時反解另一條直角邊；同時給出三角形面積 $ab/2$ 。

只要問題裏出現「直角」——牆與地面、屏幕的寬與高、座標軸上的兩段位移、梯子與牆——就可以用它：量出兩條邊，第三條邊不用量。它也是兩點距離、餘弦定理、向量長度這些概念的起點，理解了它就理解了「長度」在直角座標系裏是怎麼定義的。

它不做的事：不處理非直角三角形（那要用餘弦定理或正弦定理），不判斷三條給定的邊能否構成三角形，也不做單位換算——三條邊必須用同一個長度單位。

公式與變量

設直角三角形的兩條直角邊為 $a$ 、 $b$ ，斜邊（直角所對的邊，也是最長邊）為 $c$ ：

a^2 + b^2 = c^2

由此得到三種求解方向與面積：

c = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad a = \sqrt{c^2 - b^2},\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2},\qquad S = \tfrac{1}{2}\,ab

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$a$	直角邊之一	直角邊 a	長度	$a > 0$ ；默認 3
$b$	另一條直角邊	直角邊 b	長度	$b > 0$ ；默認 4
$c$	斜邊	斜邊 c	長度	$c > a$ 且 $c > b$ ；反解時若 $c \le$ 已知直角邊則無解
$S$	面積	面積	長度²	輸出， $S = ab/2$ ，只在兩條直角邊都已知時有意義

三條邊必須使用同一長度單位（都是米、都是釐米、都是像素……），面積的單位是該長度單位的平方。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 勾股定理」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.pythagorean）。打開時前兩個字段已填入默認值 $a = 3$ 、 $b = 4$ ，斜邊與面積自動算出。
求斜邊改寫「直角邊 a」與「直角邊 b」，帶「輸入」標記的是你填的，帶「計算」標記的字段實時更新。斜邊 $c$ 與面積同時給出。
反解直角邊清空「直角邊 a」（或 b），在「斜邊 c」裏填入斜邊長度，另一條直角邊保持輸入，被清空的那條邊就會切換成「計算」並顯示結果。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零，例如 $\sqrt{2}$ 顯示為 1.41421356。若反解時斜邊不大於已知直角邊，結果字段留空——這表示輸入不構成直角三角形。
複製公式面板標題右側的複製按鈕會把公式文本 a² + b² = c² 複製到剪貼板，方便貼進作業或文檔。

算例

四組算例均由引擎 pythagorean 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零。

算例 1：經典 3-4-5

輸入： $a = 3$ ， $b = 4$ 。

$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$ 。
$c = \sqrt{25} = 5$ 。
面積 $S = 3 \times 4 / 2 = 6$ 。

界面顯示：斜邊 5，面積 6。這是最小的整數勾股數組，《周髀算經》裏「勾三股四弦五」説的就是它。

圖 1：算例 1 的直角三角形。斜邊是直角所對的邊，永遠最長

算例 2：已知斜邊反解直角邊

輸入： $c = 13$ ， $b = 5$ （清空 a）。

$c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144$ 。
$a = \sqrt{144} = 12$ 。

界面顯示：直角邊 a 12。注意此時「面積」字段顯示 0：引擎只在兩條直角邊都是輸入時計算面積，反解出的 $a$ 不參與面積計算。要看面積，把 12 填回「直角邊 a」並清空斜邊即可得到 30。

算例 3：梯子問題

一架 6.5 m 長的梯子靠在牆上，梯腳離牆 2.5 m，梯頂有多高？這裏斜邊是梯子，直角邊是「離牆距離」與「高度」。

輸入： $c = 6.5$ ， $a = 2.5$ （清空 b）。

$c^2 - a^2 = 42.25 - 6.25 = 36$ 。
$b = \sqrt{36} = 6$ 。

界面顯示：直角邊 b 6。反過來若已知離牆 2.5 m、高 6 m，輸入 $a = 2.5$ 、 $b = 6$ 得斜邊 6.5、面積 7.5。

算例 4：無理數結果與屏幕對角線

輸入： $a = 1$ ， $b = 1$ ： $c = \sqrt{2}$ ，界面顯示 1.41421356（8 位小數），面積 0.5。這是歷史上第一個被證明「不是分數」的長度。

輸入： $a = 1920$ ， $b = 1080$ （一塊 1080p 屏幕的像素寬高）：對角線 2202.90717008 像素。若這塊屏幕標稱 27 英寸（對角線 27 in），則用 $c = 27$ 、 $b = 13.24$ （高）反解得寬 23.53088184 in——「27 英寸」指的是對角線而不是寬度。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現；把 a、b 都改成 1，斜邊變為 1.41421356。

原理與推導

為什麼直角邊的平方和等於斜邊的平方

最直觀的證明是拼圖。取一個邊長為 $a + b$ 的大正方形，有兩種方法把它切開：

切法一：在四條邊上各取一點，把大正方形分成四個全等的直角三角形（直角邊 $a$ 、 $b$ ）和中間一個傾斜的正方形。傾斜正方形的邊正是直角三角形的斜邊 $c$ ，所以中間的面積是 $c^2$ 。
切法二：把同樣四個三角形兩兩拼成兩個 $a \times b$ 的矩形，放在大正方形的兩個角上，剩下的正好是一個 $a \times a$ 和一個 $b \times b$ 的正方形，面積 $a^2 + b^2$ 。

兩種切法用掉的四個三角形完全相同，大正方形也相同，所以剩下的面積必須相等： $c^2 = a^2 + b^2$ 。

圖 2：同一個 (a+b)² 的兩種切法。四個三角形相同，所以 c² = a² + b²

歐幾里得《幾何原本》第一卷命題 47 給出的是另一種證明——在三邊上向外作正方形，證明兩個小正方形的面積之和等於大正方形的面積；命題 48 證明了逆定理：如果一個三角形滿足 $a^2 + b^2 = c^2$ ，那麼它一定是直角三角形。逆定理是工程上「用 3-4-5 放直角」的依據：量出 3、4、5 三段長度圍成的三角形，夾角就是精確的 90°。

它其實是「距離」的定義

在直角座標系裏，從 $(x_1, y_1)$ 到 $(x_2, y_2)$ 的兩段位移 $\Delta x$ 、 $\Delta y$ 互相垂直，所以兩點的直線距離就是斜邊： $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 。這就是兩點距離計算器的公式；推廣到三維只是再用一次勾股（先算底面對角線，再與高度組成新的直角三角形）。向量的模、複數的模、統計裏的標準差（偏差平方和的平方根）都是同一個式子。

與餘弦定理的關係

對任意三角形， $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ 。當夾角 $C = 90°$ 時 $\cos C = 0$ ，最後一項消失，就退化為勾股定理。所以勾股定理是餘弦定理在直角情形下的特例；反過來， $c^2$ 與 $a^2 + b^2$ 的大小關係可以判斷夾角是鋭角（ $c^2 < a^2+b^2$ ）還是鈍角（ $c^2 > a^2+b^2$ ）。

勾股數

三條邊都是整數的直角三角形叫勾股數組（畢達哥拉斯三元組）。最小的幾組：

$(a, b, c)$	檢驗
(3, 4, 5)	$9 + 16 = 25$
(5, 12, 13)	$25 + 144 = 169$
(8, 15, 17)	$64 + 225 = 289$
(7, 24, 25)	$49 + 576 = 625$
(20, 21, 29)	$400 + 441 = 841$

歐幾里得公式可以生成全部本原勾股數：取互質且奇偶不同的正整數 $m > n$ ，令 $a = m^2 - n^2$ ， $b = 2mn$ ， $c = m^2 + n^2$ 。 $m = 2, n = 1$ 給出 (3, 4, 5)； $m = 3, n = 2$ 給出 (5, 12, 13)。任何一組勾股數按比例縮放仍是勾股數——(6, 8, 10)、(0.3, 0.4, 0.5) 在計算器裏同樣得到整齊的結果。

歷史

巴比倫泥板 Plimpton 322（約公元前 1800 年）已列出大量勾股數；中國《周髀算經》記載「勾三股四弦五」，《九章算術》「勾股」章系統給出了用勾股定理解題的方法，趙爽為其作注時的「弦圖」正是上面的拼圖證明；畢達哥拉斯學派（約公元前 6 世紀）被認為給出了最早的一般性證明，也因為 $\sqrt{2}$ 的發現意識到存在不能寫成分數的長度。「勾」「股」是直角三角形兩條直角邊的古稱（短邊為勾，長邊為股），「弦」是斜邊。

只在平面上成立

勾股定理是歐幾里得平面幾何的定理。在球面上，兩條互相垂直的大圓弧 $a$ 、 $b$ 與第三條邊 $c$ 滿足的是 $\cos c = \cos a \cos b$ （單位球），只有當三邊遠小於球半徑時才近似回到 $a^2 + b^2 = c^2$ 。地圖上幾十公里內可以放心用勾股，跨洲的距離要用球面公式。

假設

確實是直角三角形： $a$ 與 $b$ 的夾角恰為 90°。夾角哪怕差幾度，斜邊就會偏離 $\sqrt{a^2+b^2}$ （可用餘弦定理估算偏差）。
平面幾何：三條邊在同一平面內，且該平面是歐幾里得平面；在曲面（地球表面大範圍）上不成立。
同一單位：三條邊用同一長度單位輸入，面積單位自動是它的平方。
正的有限實數：邊長為正；引擎不阻止負數或 0，但 0 或負邊長沒有幾何意義。
面積口徑：面積只根據兩條輸入的直角邊計算；反解模式下面積字段顯示 0，不代表面積為零。

適用範圍與限制

能算: 任何已知兩邊的直角三角形的第三邊與面積，包括反解直角邊；結果保留 8 位小數（去尾零）。
只能近似: 測量值本身有誤差時，結果的誤差約為 $\Delta c \approx (a\,\Delta a + b\,\Delta b)/c$ ；顯示的 8 位小數不代表測量精度。
不能算: 非直角三角形（用餘弦定理）、只知一條邊加一個角（用三角函數）、球面或曲面上的「三角形」。
不做: 不判斷三條邊是否滿足三角形不等式，不做單位換算，不輸出角度。
數值: 極大數值（如 $10^{200}$ ）平方會溢出為無窮大；引擎直接用 $a^2 + b^2$ 而不是數值更穩的 hypot，對日常量級沒有影響。

常見誤區

把斜邊填進直角邊字段：斜邊永遠是最長邊，也是直角所對的邊。把 5 填進 a、把 3 填進 b 得到的「斜邊」5.83 不是原三角形的任何一條邊。
反解時斜邊填得比直角邊短： $c^2 - b^2$ 為負，結果為空。先確認哪條是斜邊。
兩條邊單位不一致：一條用米、一條用釐米，結果毫無意義。先統一單位再輸入。
忘了開方： $3^2 + 4^2 = 25$ 是 $c^2$ ，不是 $c$ ；計算器已經開方，但手算時最常漏掉這一步。
對非直角三角形使用：等腰三角形、任意三角形的第三邊不能用它算，除非你先證明了有直角。
反解模式下的面積 0：見「假設」——那是引擎的口徑，不是三角形面積為零。
把「27 英寸」當作寬度：屏幕、電視的標稱尺寸是對角線，寬高要用勾股定理和寬高比反推。

典型使用場景

教學：從數到形

先輸入幾組勾股數（3-4-5、5-12-13）看整數結果，再輸入 1-1 看 $\sqrt{2}$ ，最後把 $a$ 固定、逐步增大 $b$ 觀察斜邊如何逼近 $b$ ——直觀感受平方和、開方與極限。

工地與裝修：放直角、量對角

在地面上量出 3 m、4 m，對角線恰好 5 m 就是直角；鋪地磚、做櫃體時量對角線檢驗是否方正。反過來，已知房間長寬，用計算器得到對角線長度，判斷整塊板材能否斜着搬進門。

屏幕與畫幅

已知像素寬高求對角線像素數（配合標稱尺寸算像素密度 PPI），或已知對角線英寸與寬高比反推實際寬高。

座標與導航

平面直角座標上兩點的直線距離、機器人兩軸位移的合位移、電路里阻抗三角形（電阻、感抗、阻抗）都是勾股定理的直接應用。

常見問題

只知道一條邊和一個角能算嗎？

不能用本計算器——它需要兩條邊。一條邊加一個鋭角要用三角函數：對邊 = 斜邊 × sin(角)，鄰邊 = 斜邊 × cos(角)。

三條邊都知道，怎麼判斷是不是直角三角形？

把最長邊當 $c$ ，檢驗 $a^2 + b^2$ 是否等於 $c^2$ （考慮測量誤差允許微小差別）。相等就是直角（逆定理），偏小是鈍角，偏大是鋭角。

結果為什麼有很多位小數？

大多數直角三角形的斜邊是無理數，小數位無窮不循環；界面保留最多 8 位並去掉末尾的零。實際使用時按測量精度取捨即可。

為什麼反解時面積顯示 0？

引擎只用兩條輸入的直角邊計算面積，反解出的邊不回填。把反解結果手動填入直角邊字段並清空斜邊，面積就會正確顯示。

輸入負數會怎樣？

平方後符號消失，斜邊結果與正數相同，面積會變成負數。負邊長沒有幾何意義，請輸入正數。

三維的對角線怎麼算？

先用底面的兩條邊算出底面對角線，再把它與高度當作新的兩條直角邊再算一次；或者直接用兩點距離計算器輸入三維座標。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulas.ts 中的 pythagorean 定義（compute(known, solveFor) 支持 a / b / c 三向求解與面積）；本頁所有數字由該引擎復算。
Euclid, Elements, Book I, Proposition 47 與 Proposition 48，D. E. Joyce 編注版，Clark University（访问日期：2026-09-08）——定理與逆定理的古典證明。
Wikipedia, Pythagorean theorem（访问日期：2026-09-08）——多種證明、推廣與歷史。
Wikipedia, Pythagorean triple（访问日期：2026-09-08）——歐幾里得生成公式與本原三元組。
Wikipedia, Zhoubi Suanjing（访问日期：2026-09-08）——《周髀算經》與「勾三股四弦五」。
《九章算術》卷九「勾股」及劉徽注、趙爽《周髀算經注》「勾股圓方圖」——弦圖證明的中文原典。

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來源與審閲

更新: 2026-09-09