兩點距離與中點計算器（二維 / 三維歐氏距離）

計算器説明

兩點距離計算器根據兩個點的直角座標 $(x_1, y_1, z_1)$ 、 $(x_2, y_2, z_2)$ 求出它們之間的直線距離（歐氏距離） $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ ，並給出線段中點的 $x$ 、 $y$ 座標。把兩個 $z$ 都填 0，它就是平面上的兩點距離。

它適合的問題：地圖或圖紙上兩點相距多遠、屏幕上兩個像素的間距、機械臂末端兩次位置之間的位移、三維模型裏兩個頂點的邊長、數據分析裏兩個樣本「有多像」。凡是能寫成座標的東西，都可以用它量距離。

它不做的事：不算沿道路或網格的路程（那是曼哈頓距離或路徑規劃），不算地球表面兩地的大圓距離（經緯度要用球面公式），不輸出 $z$ 中點，也不做單位換算——所有座標必須用同一個長度單位。

公式與變量

三維空間中兩點的歐氏距離：

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

$z_1 = z_2$ （例如都填 0）時退化為平面距離公式 $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 。線段中點是兩端座標的算術平均：

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$x_1, y_1, z_1$	第一個點的座標	x₁、y₁、z₁	長度	任意實數；平面問題 z₁ 填 0。公式面板預填 x₁ = 0、y₁ = 0（公開嵌入計算器按預設全填）
$x_2, y_2, z_2$	第二個點的座標	x₂、y₂、z₂	長度	任意實數；平面問題 z₂ 填 0。公式面板不預填（留空按 0）；公開嵌入計算器按預設 (3, 4, 0) 全填
$\Delta x, \Delta y, \Delta z$	三個座標差	（中間量）	長度	符號無關緊要，平方後消失
$d$	兩點距離	距離 d	長度	輸出， $d \ge 0$ ；兩點重合時為 0
$M_x, M_y$	中點的 x、y 座標	中點 X、中點 Y	長度	輸出；引擎不輸出 z 中點，需手算 $(z_1+z_2)/2$

六個座標必須用同一長度單位；距離的單位與之相同。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 距離計算器 (2D/3D)」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.distance）。打開時公式面板只預填 x₁ = 0、y₁ = 0，其餘四個座標為空、按 0 計算，所以初始顯示的距離是 0——請把六個座標都填上。公開嵌入計算器會套用定義裏的全部預設值（x₂ = 3、y₂ = 4，這組座標對應距離 5）。
填兩個點平面問題把 z₁、z₂ 都填 0；三維問題填實際高度。座標可以是負數和小數。
讀距離「距離 d」帶「計算」標記實時更新，最多 8 位小數、去尾零。
讀中點「中點 X」「中點 Y」是兩端對應座標的平均；三維問題的 $z$ 中點請自行取 $(z_1 + z_2)/2$ 。
檢驗把兩點對調，距離與中點都不變；把兩點填成相同座標，距離應為 0。

算例

四組算例均由引擎 distance 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零。

算例 1：原點到 (3, 4, 12)

輸入： $(0, 0, 0)$ 與 $(3, 4, 12)$ 。

$\Delta x = 3$ ， $\Delta y = 4$ ， $\Delta z = 12$ 。
平方和 $9 + 16 + 144 = 169$ 。
$d = \sqrt{169} = 13$ ；中點 $(1.5, 2, 6)$ 。

界面顯示：距離 13，中點 X 1.5，中點 Y 2。這個例子可以看成兩次勾股定理：底面對角線 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ，再與高度 12 組成新的直角三角形， $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ 。

圖 1：三維距離就是長方體的空間對角線，等於對底面對角線再用一次勾股定理

算例 2：平面上的 (1, 2) 與 (4, 6)

輸入： $(1, 2, 0)$ 與 $(4, 6, 0)$ 。

$\Delta x = 3$ ， $\Delta y = 4$ ， $\Delta z = 0$ 。
$d = \sqrt{9 + 16} = 5$ ；中點 $\big((1+4)/2, (2+6)/2\big) = (2.5, 4)$ 。

界面顯示：距離 5，中點 X 2.5，中點 Y 4。對照：沿網格走（先橫 3 再豎 4）的曼哈頓距離是 7，直線距離 5 總是不大於它。

算例 3：帶負座標的三維點

輸入： $(-2, 3, 1)$ 與 $(4, -1, 5)$ 。

$\Delta x = 4 - (-2) = 6$ ， $\Delta y = -1 - 3 = -4$ ， $\Delta z = 5 - 1 = 4$ 。
平方和 $36 + 16 + 16 = 68$ 。
$d = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.2462$ ；中點 $(1, 1, 3)$ 。

界面顯示：距離 8.24621125，中點 X 1，中點 Y 1。負號在平方後消失——距離只關心座標差的大小。

算例 4：單位正方形與單位立方體的對角線

輸入 $(0, 0, 0)$ 與 $(1, 1, 0)$ ：距離 1.41421356（ $\sqrt 2$ ）。輸入 $(0, 0, 0)$ 與 $(1, 1, 1)$ ：距離 1.73205081（ $\sqrt 3$ ）。 $n$ 維單位立方體的對角線是 $\sqrt n$ ——維度越高，對角線相對邊長越長。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現；把 z₂ 改成 0，距離變回平面上的 5。

原理與推導

從勾股定理到距離公式

平面上兩點 $P_1(x_1, y_1)$ 、 $P_2(x_2, y_2)$ ，過 $P_1$ 作水平線、過 $P_2$ 作豎直線，交於 $Q(x_2, y_1)$ 。 $P_1 Q$ 長 $|\Delta x|$ ， $Q P_2$ 長 $|\Delta y|$ ，兩者垂直，所以 $P_1 P_2$ 是直角三角形的斜邊： $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ 。這就是勾股定理換了一套語言。

到三維再用一次：先在 $z = z_1$ 的水平面內得到底面對角線 $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ ，它與豎直方向的 $\Delta z$ 垂直，於是 $d^2 = (\Delta x^2 + \Delta y^2) + \Delta z^2$ 。每增加一個互相垂直的維度，就在根號裏多加一項平方——這就是為什麼 $n$ 維空間的歐氏距離是 $\sqrt{\sum_i (\Delta x_i)^2}$ ，數據科學裏兩個 100 維特徵向量的「距離」用的仍是同一個公式。

中點為什麼是平均

沿線段從 $P_1$ 走到 $P_2$ ，座標從 $x_1$ 線性變到 $x_2$ ；走到一半時每個座標都恰好在兩端的中間，即 $(x_1 + x_2)/2$ 。推而廣之，線段上按比例 $t$ 的點是 $P_1 + t\,(P_2 - P_1)$ ， $t = 1/2$ 給出中點， $t = 1/3$ 給出三等分點——這也是比例與線性插值的幾何形式。

「距離」應該滿足什麼

數學上把滿足以下四條的函數都叫作距離（度量）：非負；兩點重合時且僅當重合時為 0；對稱（ $d(P, Q) = d(Q, P)$ ）；三角不等式（ $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ ，繞路不會更近）。歐氏距離滿足全部四條，是「直線最短」這一直覺的精確表述。三角不等式解釋了算例 2 中為什麼曼哈頓距離 7 大於直線距離 5。

歐氏距離之外

曼哈頓距離 $|\Delta x| + |\Delta y|$ ：只能沿網格走時的路程（棋盤、城市街區、某些電路佈線）。
切比雪夫距離 $\max(|\Delta x|, |\Delta y|)$ ：國際象棋裏王從一格到另一格的步數。
大圓距離：地球表面兩地沿球面的最短路徑，經緯度要先換算，公式是球面三角的 haversine，本計算器不做。小範圍（幾十公里以內）把經緯度按比例換成平面米制座標後可以近似用歐氏距離。

它們和歐氏距離一樣都滿足度量的四條性質，但給出的數值不同；用哪一種取決於「能怎麼走」。

與斜率的關係

$\Delta x$ 、 $\Delta y$ 同時決定了兩個量：它們的平方和的平方根是距離，它們的比是斜率。同一個直角三角形，距離讀斜邊、斜率讀兩條直角邊之比。

假設

直角座標系：三條座標軸互相垂直、刻度相同。傾斜或不等刻度的座標（如經緯度、對數座標）不能直接代入。
歐幾里得空間：兩點之間的「距離」指直線段長度，空間是平直的。
同一單位：六個座標使用同一長度單位，距離的單位與之相同。
z 為 0 表示平面：二維問題把 z₁、z₂ 都填 0（或填同一個數）。
六個座標都要填：公式面板初始只預填 x₁、y₁，其餘按 0 計算；請全部填成「輸入」。
中點只輸出 x、y：z 中點由 $(z_1 + z_2)/2$ 手算。

適用範圍與限制

能算: 任意兩點（二維或三維直角座標）的歐氏距離與 x、y 中點；結果最多 8 位小數。
只能近似: 座標來自測量時，距離的誤差約為各座標誤差在連線方向上的投影之和；地球表面小範圍用平面座標近似時誤差隨範圍增大。
不能算: 沿網格或道路的路程、地球表面大圓距離、點到直線或平面的距離、多點的最短路徑。
不做: 不輸出 z 中點、方向角或方向向量，不做單位換算，不判斷輸入是否合理。
數值: 座標極大（如 $10^{200}$ ）時平方會溢出為無窮大；日常量級無此問題。

常見誤區

只填了兩個座標：公式面板初始只預填 x₁、y₁，其餘按 0 處理，此時顯示的距離 0 沒有意義。六個字段都要填。
忘了平方再開方： $\Delta x + \Delta y$ 不是距離；3 + 4 = 7 是曼哈頓距離，歐氏距離是 5。
被負號嚇到：座標差為負沒關係，平方後為正；算例 3 裏 $\Delta y = -4$ 貢獻的是 $+16$ 。
經緯度直接當座標：1° 經度在赤道約 111 km、在北緯 60° 只有約 56 km，直接代入會嚴重失真；要先換成米制平面座標或用大圓公式。
座標單位不一致：x 用米、y 用釐米，結果毫無意義。先統一單位。
把中點當成距離的一半：中點是一個點（座標），距離的一半是一個長度；兩者不是同一種量。
期待 z 中點：引擎只輸出 x、y 中點，z 中點需手算。

典型使用場景

教學：三維版勾股定理

先用 (0, 0, 0)–(3, 4, 0) 得到 5，再把 z₂ 改成 12 得到 13，讓學生看到「先算底面對角線、再算空間對角線」的兩步。

圖紙、屏幕與 CAD

兩個標註點或像素點之間的直線距離；把中點當作對稱軸或標註位置。屏幕座標 y 軸向下不影響距離。

機械與機器人

末端執行器兩次位姿之間的位移大小、兩個孔位的中心距、三維掃描點雲中兩點的間距。

數據分析

兩個樣本在特徵空間裏的歐氏距離是 k 近鄰、聚類等算法的基礎；本計算器的三維公式就是它的低維版本。

常見問題

為什麼打開時距離顯示 0？

公式面板只預填了 x₁、y₁，其餘座標為空、按 0 計算，兩點重合於原點。把六個座標填完整就會顯示正確結果（公開嵌入計算器會套用全部預設值）。

二維問題 z 怎麼填？

兩個 z 都填 0（或同一個數）， $\Delta z = 0$ 不影響結果。

能算經緯度之間的距離嗎？

不能直接算。經緯度是球面角座標，需要先換成平面米制座標（小範圍）或使用大圓距離公式（大範圍）。

中點 Z 在哪裏？

引擎不輸出 z 中點。手算 $(z_1 + z_2)/2$ 即可，算例 1 的 z 中點是 6。

距離和位移有什麼區別？

本計算器算的是兩點之間的直線長度，是標量。位移還帶方向，方向向量是 $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ ，長度就是這裏的距離。

結果為什麼不是整數？

大多數座標組合的距離是無理數（如 $\sqrt 2$ 、 $\sqrt{68}$ ）；只有 3-4-5、5-12-13 這類勾股數組才得到整數。界面保留最多 8 位小數。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulas.ts 中的 distance 定義（ $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ ，中點 X / Y 為兩端座標平均）；本頁所有數字由該引擎復算。
Wikipedia, Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）——二維、三維與 $n$ 維公式，度量性質。
Wikipedia, Midpoint（访问日期：2026-09-08）——中點公式及其推廣。
Wikipedia, Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）——曼哈頓距離與歐氏距離的比較。
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”——三維距離公式的推導與中點。

隱私

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來源與審閲

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Midpoint（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”