2点間距離と中点の計算ツール：2次元・3次元のユークリッド距離

計算ツールについて

2点間距離計算ツールは、2点の直交座標 $(x_1, y_1, z_1)$ 、 $(x_2, y_2, z_2)$ から、その間の直線距離（ユークリッド距離） $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ を求め、線分の中点の $x$ 、 $y$ 座標も表示します。2つの $z$ にどちらも 0 を入れれば、平面上の2点間距離になります。

向いている問題：地図や図面上で2点がどれだけ離れているか、画面上の2ピクセルの間隔、ロボットアーム先端の2回の位置の差、3次元モデルにおける2頂点の辺の長さ、データ分析で2つの標本が「どれくらい似ているか」。座標として書けるものなら何でも、このツールで距離を測れます。

やらないこと：道路や格子に沿った道のり（それはマンハッタン距離や経路計画）、地球表面の2地点の大円距離（緯度・経度には球面の式が必要）、 $z$ 中点の出力、単位換算。座標はすべて同じ長さの単位で入力してください。

公式と変数

3次元空間の2点間のユークリッド距離：

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

$z_1 = z_2$ （たとえばどちらも 0）のとき、平面の距離の式 $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ に退化します。線分の中点は両端の座標の算術平均です：

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

記号	意味	計算ツールの項目	単位	範囲と説明
$x_1, y_1, z_1$	1つ目の点の座標	x₁、y₁、z₁	長さ	任意の実数；既定は (0, 0, 0)；平面の問題では z₁ に 0
$x_2, y_2, z_2$	2つ目の点の座標	x₂、y₂、z₂	長さ	任意の実数；既定は (3, 4, 0)；平面の問題では z₂ に 0
$\Delta x, \Delta y, \Delta z$	3つの座標差	（中間量）	長さ	符号は問いません。2乗すると消えます
$d$	2点間の距離	距離 d	長さ	出力、 $d \ge 0$ ；2点が一致するときは 0
$M_x, M_y$	中点の x、y 座標	中点 X、中点 Y	長さ	出力；エンジンは z 中点を出力しないので $(z_1+z_2)/2$ を手計算します

6つの座標は同じ長さの単位で入力し、距離の単位もそれにそろいます。

この計算ツールの使い方

パネルを開くこのページは「数学ツール → 公式 → 距離計算ツール (2D/3D)」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.distance）に対応します。開いた時点で入っているのは x₁ = 0、y₁ = 0 だけで、残りの4つの座標は空のまま 0 として計算されるため、初期表示の距離は 0 です——6つの座標をすべて入力してください。
2点を入力する平面の問題では z₁、z₂ にどちらも 0 を入れます。3次元の問題では実際の高さを入れます。座標は負の数や小数でも構いません。
距離を読む「距離 d」には「計算」の印がつき、リアルタイムで更新されます。小数第8位まで（末尾の0は省略）。
中点を読む「中点 X」「中点 Y」は両端の対応する座標の平均です。3次元の問題の $z$ 中点は $(z_1 + z_2)/2$ を自分で計算してください。
検算2点を入れ替えても距離と中点は変わりません。2点に同じ座標を入れれば距離は 0 になります。

計算例

4つの計算例はいずれもエンジン distance の compute で再計算しています。表示の口径は小数第8位まで、末尾の0は省略です。

例1：原点から (3, 4, 12) まで

入力： $(0, 0, 0)$ と $(3, 4, 12)$ 。

$\Delta x = 3$ 、 $\Delta y = 4$ 、 $\Delta z = 12$ 。
平方和 $9 + 16 + 144 = 169$ 。
$d = \sqrt{169} = 13$ ；中点 $(1.5, 2, 6)$ 。

画面表示：距離 13、中点 X 1.5、中点 Y 2。この例は三平方の定理を2回使ったものと見られます：底面の対角線が $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ 、それと高さ 12 で新しい直角三角形を作ると $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ です。

図1：3次元の距離は直方体の空間対角線であり、底面の対角線にもう一度三平方の定理を使ったもの

例2：平面上の (1, 2) と (4, 6)

入力： $(1, 2, 0)$ と $(4, 6, 0)$ 。

$\Delta x = 3$ 、 $\Delta y = 4$ 、 $\Delta z = 0$ 。
$d = \sqrt{9 + 16} = 5$ ；中点 $\big((1+4)/2, (2+6)/2\big) = (2.5, 4)$ 。

画面表示：距離 5、中点 X 2.5、中点 Y 4。対照：格子に沿って進む（横に 3、縦に 4）とマンハッタン距離は 7 で、直線距離 5 は常にそれ以下です。

例3：負の座標を含む3次元の点

入力： $(-2, 3, 1)$ と $(4, -1, 5)$ 。

$\Delta x = 4 - (-2) = 6$ 、 $\Delta y = -1 - 3 = -4$ 、 $\Delta z = 5 - 1 = 4$ 。
平方和 $36 + 16 + 16 = 68$ 。
$d = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.2462$ ；中点 $(1, 1, 3)$ 。

画面表示：距離 8.24621125、中点 X 1、中点 Y 1。負の符号は2乗で消えます——距離は座標差の大きさだけを見ます。

例4：単位正方形と単位立方体の対角線

$(0, 0, 0)$ と $(1, 1, 0)$ を入力：距離 1.41421356（ $\sqrt 2$ ）。 $(0, 0, 0)$ と $(1, 1, 1)$ を入力：距離 1.73205081（ $\sqrt 3$ ）。 $n$ 次元の単位立方体の対角線は $\sqrt n$ ——次元が増えるほど、対角線は辺の長さに対して長くなります。

例1の入力はそのままパネルに入れて再現できます。z₂ を 0 に変えると、距離は平面上の 5 に戻ります。

原理と導出

三平方の定理から距離の式へ

平面上の2点 $P_1(x_1, y_1)$ 、 $P_2(x_2, y_2)$ について、 $P_1$ を通る水平線と $P_2$ を通る鉛直線の交点を $Q(x_2, y_1)$ とします。 $P_1 Q$ の長さは $|\Delta x|$ 、 $Q P_2$ の長さは $|\Delta y|$ で、両者は垂直なので $P_1 P_2$ は直角三角形の斜辺です： $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ 。これは三平方の定理を別の言葉で言い直したものです。

3次元ではもう一度使います：まず $z = z_1$ の水平面内で底面の対角線 $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ を求め、それが鉛直方向の $\Delta z$ と垂直なので、 $d^2 = (\Delta x^2 + \Delta y^2) + \Delta z^2$ となります。互いに直交する次元が1つ増えるごとに、ルートの中に平方が1項増えます——だから $n$ 次元空間のユークリッド距離は $\sqrt{\sum_i (\Delta x_i)^2}$ であり、データサイエンスで2つの100次元特徴ベクトルの「距離」を測るときも同じ式を使います。

中点が平均になる理由

線分に沿って $P_1$ から $P_2$ へ進むと、座標は $x_1$ から $x_2$ へ線形に変わります。半分まで進んだ点では、どの座標もちょうど両端の中間、すなわち $(x_1 + x_2)/2$ にあります。一般に、線分上で比率 $t$ の点は $P_1 + t\,(P_2 - P_1)$ で、 $t = 1/2$ が中点、 $t = 1/3$ が三等分点です——これは比例と線形補間の幾何学的な形でもあります。

「距離」が満たすべき性質

数学では、次の4つを満たす関数を距離（計量）と呼びます：非負である；2点が一致するとき、かつそのときにだけ 0 になる；対称である（ $d(P, Q) = d(Q, P)$ ）；三角不等式を満たす（ $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ 、遠回りは近くならない）。ユークリッド距離は4つすべてを満たし、「直線が最短」という直感を正確に述べたものです。三角不等式は、例2でマンハッタン距離 7 が直線距離 5 より大きくなる理由を説明します。

ユークリッド距離以外の距離

マンハッタン距離 $|\Delta x| + |\Delta y|$ ：格子に沿ってしか進めないときの道のり（チェス盤、市街の街区、一部の回路配線）。
チェビシェフ距離 $\max(|\Delta x|, |\Delta y|)$ ：チェスで王が1マスから別のマスへ動く手数。
大円距離：地球表面の2地点を球面に沿って結ぶ最短経路。緯度・経度をまず換算する必要があり、式は球面三角法の haversine です。この計算ツールは扱いません。狭い範囲（数十 km 以内）なら、緯度・経度を比例で平面のメートル座標に直せばユークリッド距離で近似できます。

これらもユークリッド距離と同じく計量の4性質を満たしますが、返す値は異なります。どれを使うかは「どう動けるか」で決まります。

傾きとの関係

$\Delta x$ と $\Delta y$ は2つの量を同時に決めます：その平方和の平方根が距離、その比が傾きです。同じ直角三角形で、距離は斜辺を読み、傾きは2つの直角辺の比を読みます。

前提条件

直交座標系：3つの座標軸が互いに垂直で、目盛りが等しいこと。傾いた座標や目盛りが等しくない座標（緯度・経度、対数座標など）はそのまま代入できません。
ユークリッド空間：2点間の「距離」は直線分の長さを指し、空間は平らです。
同じ単位：6つの座標が同じ長さの単位で、距離の単位もそれと同じです。
z が 0 なら平面：2次元の問題では z₁、z₂ にどちらも 0（または同じ数）を入れます。
6つの座標をすべて入力する：パネルの初期状態では x₁、y₁ だけが入っており、残りは 0 として計算されます。すべて「入力」にしてください。
中点は x、y のみ：z 中点は $(z_1 + z_2)/2$ を手計算します。

適用範囲と限界

計算できること: 任意の2点（2次元または3次元の直交座標）のユークリッド距離と x、y 中点。結果は小数第8位まで。
近似しかできないこと: 座標が測定値のとき、距離の誤差はおよそ各座標の誤差を結線方向に射影した和になります。地球表面の狭い範囲を平面座標で近似する場合、誤差は範囲とともに大きくなります。
計算できないこと: 格子や道路に沿った道のり、地球表面の大円距離、点と直線・平面の距離、複数点の最短経路。
やらないこと: z 中点、方位角、方向ベクトルの出力。単位換算。入力の妥当性判定。
数値: 座標が極端に大きい（ $10^{200}$ など）と2乗が無限大にオーバーフローします。日常的な桁では問題になりません。

よくある誤り

座標を2つしか入れない：パネルは初期状態で x₁、y₁ だけが入っており、残りは 0 として扱われるため、表示される距離 0 には意味がありません。6つの欄すべてを入力します。
2乗と平方根を忘れる： $\Delta x + \Delta y$ は距離ではありません。3 + 4 = 7 はマンハッタン距離で、ユークリッド距離は 5 です。
負の符号におびえる：座標差が負でも問題ありません。2乗すれば正になります。例3では $\Delta y = -4$ が $+16$ に寄与しています。
緯度・経度をそのまま座標にする：経度 1° は赤道で約 111 km ですが、北緯 60° では約 56 km にしかなりません。直接代入すると大きくずれるので、先にメートル単位の平面座標に直すか、大円の式を使います。
座標の単位がそろっていない：x がメートル、y がセンチメートルでは結果に意味がありません。先に単位をそろえます。
中点を距離の半分だと思う：中点は点（座標）で、距離の半分は長さです。両者は別の種類の量です。
z 中点を期待する：エンジンが出力するのは x、y の中点だけで、z 中点は手計算が必要です。

典型的な利用場面

教育：3次元版の三平方の定理

まず (0, 0, 0)–(3, 4, 0) で 5 を出し、次に z₂ を 12 に変えて 13 を出します。「先に底面の対角線、次に空間対角線」という2段階を生徒に見せられます。

図面・画面・CAD

2つの注記点や画素の間の直線距離。中点を対称軸や注記の位置に使う。画面座標は y 軸が下向きですが、距離には影響しません。

機械とロボット

エンドエフェクタの2つの姿勢の間の移動量、2つの穴の中心間距離、3次元スキャンの点群における2点の間隔。

データ分析

特徴空間における2つの標本のユークリッド距離は、k 近傍法やクラスタリングなどの基礎です。この計算ツールの3次元の式は、その低次元版にあたります。

よくある質問

開いたときに距離が 0 と表示されるのはなぜですか？

パネルには x₁、y₁ だけが入っており、残りの座標は空のまま 0 として計算されるので、2点は原点で一致しています。6つの座標をすべて入れれば正しい結果が表示されます。

2次元の問題では z に何を入れますか？

2つの z にどちらも 0（または同じ数）を入れます。 $\Delta z = 0$ なので結果に影響しません。

緯度・経度の間の距離を計算できますか？

そのままでは計算できません。緯度・経度は球面の角度座標なので、狭い範囲なら平面のメートル座標に直すか、広い範囲なら大円距離の式を使います。

中点 Z はどこにありますか？

エンジンは z 中点を出力しません。 $(z_1 + z_2)/2$ を手計算してください。例1の z 中点は 6 です。

距離と変位は何が違いますか？

この計算ツールが求めるのは2点間の直線の長さで、スカラーです。変位には向きもあり、方向ベクトルは $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ 、その長さがここでの距離です。

結果が整数にならないのはなぜですか？

ほとんどの座標の組み合わせで距離は無理数になります（ $\sqrt 2$ 、 $\sqrt{68}$ など）。整数になるのは 3-4-5 や 5-12-13 のようなピタゴラス数のときだけです。画面は最大8桁を表示します。

参考資料と関連情報

CalcX エンジンのソースコード src/data/formulas.ts にある distance の定義（ $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ 、中点 X / Y は両端の座標の平均）。このページの数値はすべて同エンジンで再計算しています。
Wikipedia, Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）——2次元・3次元・ $n$ 次元の式と計量の性質。
Wikipedia, Midpoint（访问日期：2026-09-08）——中点の式とその一般化。
Wikipedia, Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）——マンハッタン距離とユークリッド距離の比較。
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”——3次元距離の式の導出と中点。

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Midpoint（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”