三平方の定理計算ツール：斜辺・残りの辺と面積

計算ツールについて

三平方の定理計算ツールは、直角三角形の任意の2辺から3つ目の辺を求めます。2つの直角辺 $a$ 、 $b$ がわかっていれば斜辺 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ を計算し、斜辺と片方の直角辺がわかっていればもう片方の直角辺を逆算します。同時に三角形の面積 $ab/2$ も表示します。

「直角」が出てくる問題——壁と床、画面の幅と高さ、座標軸上の2つの変位、はしごと壁——ならどれにでも使えます。2辺を測れば、3つ目の辺は測る必要がありません。この定理は2点間の距離、余弦定理、ベクトルの長さといった概念の出発点でもあり、これを理解すれば直交座標系で「長さ」がどう定義されるかも理解できます。

やらないこと：直角三角形でない三角形は扱いません（余弦定理や正弦定理が必要です）。与えられた3辺が三角形を作るかどうかの判定もしません。単位の換算もしません——3辺は同じ長さの単位で入力してください。

公式と変数

直角三角形の2つの直角辺を $a$ 、 $b$ 、斜辺（直角に向かい合う辺で、もっとも長い辺）を $c$ とします。

a^2 + b^2 = c^2

これから3通りの求解方向と面積が得られます。

c = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad a = \sqrt{c^2 - b^2},\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2},\qquad S = \tfrac{1}{2}\,ab

記号	意味	計算ツールの項目	単位	範囲と説明
$a$	直角辺の1つ	直角辺 a	長さ	$a > 0$ ；既定は 3
$b$	もう1つの直角辺	直角辺 b	長さ	$b > 0$ ；既定は 4
$c$	斜辺	斜辺 c	長さ	$c > a$ かつ $c > b$ ；逆算で $c \le$ 既知の直角辺なら解なし
$S$	面積	面積	長さ²	出力、 $S = ab/2$ 、2つの直角辺がどちらも既知のときだけ意味を持つ

3辺は同じ長さの単位（すべてメートル、すべてセンチメートル、すべてピクセル……）を使う必要があり、面積の単位はその長さ単位の2乗になります。

この計算ツールの使い方

パネルを開くこのページは「数学ツール → 公式 → 三平方の定理」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.pythagorean）に対応します。開いた時点で最初の2つの項目に既定値 $a = 3$ 、 $b = 4$ が入っており、斜辺と面積が自動で計算されます。
斜辺を求める「直角辺 a」と「直角辺 b」を書き換えます。「入力」の印がついた項目があなたの入れた値で、「計算」の印がついた項目がリアルタイムで更新されます。斜辺 $c$ と面積が同時に表示されます。
直角辺を逆算する「直角辺 a」（または b）を空にして、「斜辺 c」に斜辺の長さを入れ、もう片方の直角辺は入力のままにします。空にした辺が「計算」に切り替わって結果を表示します。
結果を読む数値は小数第8位まで（末尾の0は省略）表示されます。たとえば $\sqrt{2}$ は 1.41421356 と表示されます。逆算で斜辺が既知の直角辺以下なら、結果の欄は空のままです。これは入力が直角三角形を構成しないことを意味します。
公式をコピーするパネル見出しの右側にあるコピーボタンで、公式テキスト a² + b² = c² をクリップボードにコピーできます。課題や文書に貼り付けるのに便利です。

計算例

4つの計算例はいずれもエンジン pythagorean の compute で再計算しています。表示の口径は小数第8位まで、末尾の0は省略です。

例1：定番の 3-4-5

入力： $a = 3$ 、 $b = 4$ 。

$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$ 。
$c = \sqrt{25} = 5$ 。
面積 $S = 3 \times 4 / 2 = 6$ 。

画面表示：斜辺 5、面積 6。これが最小の整数ピタゴラス数で、『周髀算経』の「勾三股四弦五」がまさにこれを指しています。

図1：例1の直角三角形。斜辺は直角に向かい合う辺で、常にもっとも長い

例2：斜辺から直角辺を逆算する

入力： $c = 13$ 、 $b = 5$ （a は空）。

$c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144$ 。
$a = \sqrt{144} = 12$ 。

画面表示：直角辺 a 12。このとき「面積」の欄が 0 と表示されることに注意してください。エンジンは2つの直角辺がどちらも入力であるときにだけ面積を計算し、逆算した $a$ は面積の計算に使いません。面積を見たい場合は、12 を「直角辺 a」に書き戻して斜辺を空にすると 30 が得られます。

例3：はしごの問題

長さ 6.5 m のはしごを壁に立てかけ、はしごの脚が壁から 2.5 m 離れているとき、はしごの先端の高さはいくらでしょうか。ここでは斜辺がはしごで、直角辺が「壁からの距離」と「高さ」です。

入力： $c = 6.5$ 、 $a = 2.5$ （b は空）。

$c^2 - a^2 = 42.25 - 6.25 = 36$ 。
$b = \sqrt{36} = 6$ 。

画面表示：直角辺 b 6。逆に、壁からの距離 2.5 m、高さ 6 m がわかっていれば、 $a = 2.5$ 、 $b = 6$ を入力して斜辺 6.5、面積 7.5 が得られます。

例4：無理数になる結果と画面の対角線

入力： $a = 1$ 、 $b = 1$ ： $c = \sqrt{2}$ で、画面表示は 1.41421356（小数第8位まで）、面積は 0.5 です。歴史上はじめて「分数では表せない」ことが証明された長さです。

入力： $a = 1920$ 、 $b = 1080$ （1080p 画面のピクセル幅と高さ）：対角線は 2202.90717008 ピクセルです。この画面が27インチ（対角線 27 in）と表示されているなら、 $c = 27$ 、 $b = 13.24$ （高さ）として逆算すると幅は 23.53088184 in になります——「27インチ」が指すのは幅ではなく対角線です。

例1の入力はそのままパネルに入れて再現できます。a、b をどちらも 1 に変えると、斜辺は 1.41421356 になります。

原理と導出

なぜ直角辺の平方の和が斜辺の平方になるのか

もっとも直感的な証明は図の並べ替えです。1辺が $a + b$ の大きな正方形を取り、それを2通りの方法で切ります。

切り方1：4つの辺の上にそれぞれ点を取り、大きな正方形を4つの合同な直角三角形（直角辺 $a$ 、 $b$ ）と、中央の傾いた正方形に分けます。傾いた正方形の辺は直角三角形の斜辺 $c$ そのものなので、中央の面積は $c^2$ です。
切り方2：同じ4つの三角形を2つずつ組み合わせて2つの $a \times b$ の長方形にし、大きな正方形の2つの角に置くと、残るのはちょうど $a \times a$ と $b \times b$ の正方形で、面積は $a^2 + b^2$ です。

どちらの切り方でも使う4つの三角形はまったく同じで、大きな正方形も同じなので、残りの面積は等しくなければなりません： $c^2 = a^2 + b^2$ 。

図2：同じ (a+b)² の2通りの切り方。4つの三角形が同じなので c² = a² + b²

エウクレイデス『原論』第I巻の命題47は別の証明を与えています。3辺の外側に正方形を作り、2つの小さな正方形の面積の和が大きな正方形の面積に等しいことを示すものです。命題48は逆定理を証明しています。三角形が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たせば、それは直角三角形です。逆定理は工学で「3-4-5 で直角を出す」根拠になっています。3、4、5 の長さで囲んだ三角形の挟角は、正確に 90° です。

実は「距離」の定義でもある

直交座標系では、 $(x_1, y_1)$ から $(x_2, y_2)$ への2つの変位 $\Delta x$ 、 $\Delta y$ は互いに直交するので、2点間の直線距離は斜辺になります： $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 。これが2点間の距離計算ツールの式です。3次元への拡張も三平方の定理をもう一度使うだけです（まず底面の対角線を計算し、それと高さで新しい直角三角形を作ります）。ベクトルの大きさ、複素数の絶対値、統計の標準偏差（偏差の2乗和の平方根）もすべて同じ式です。

余弦定理との関係

任意の三角形について、 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ が成り立ちます。挟角 $C = 90°$ のとき $\cos C = 0$ で最後の項が消え、三平方の定理に縮退します。つまり三平方の定理は、余弦定理の直角の場合の特別な形です。逆に、 $c^2$ と $a^2 + b^2$ の大小関係から、挟角が鋭角（ $c^2 < a^2+b^2$ ）か鈍角（ $c^2 > a^2+b^2$ ）かを判定できます。

ピタゴラス数

3辺がすべて整数である直角三角形をピタゴラス数（ピタゴラス三元数）と呼びます。小さいほうからいくつか挙げます。

$(a, b, c)$	検算
(3, 4, 5)	$9 + 16 = 25$
(5, 12, 13)	$25 + 144 = 169$
(8, 15, 17)	$64 + 225 = 289$
(7, 24, 25)	$49 + 576 = 625$
(20, 21, 29)	$400 + 441 = 841$

エウクレイデスの公式は、すべての原始ピタゴラス数を生成できます。互いに素で偶奇の異なる正の整数 $m > n$ を取り、 $a = m^2 - n^2$ 、 $b = 2mn$ 、 $c = m^2 + n^2$ とします。 $m = 2, n = 1$ で (3, 4, 5)、 $m = 3, n = 2$ で (5, 12, 13) が得られます。ピタゴラス数を比例拡大したものもピタゴラス数のままです——(6, 8, 10) や (0.3, 0.4, 0.5) も、この計算ツールで同じようにきれいな結果になります。

歴史

バビロニアの粘土板プリンプトン322（紀元前1800年ごろ）には、すでに多くのピタゴラス数が列挙されています。中国の『周髀算経』には「勾三股四弦五」の記載があり、『九章算術』の「勾股」の章は三平方の定理を使って問題を解く方法を体系的に示しています。趙爽が注を付けたときの「弦図」は、上の並べ替えによる証明そのものです。ピタゴラス学派（紀元前6世紀ごろ）がもっとも早い一般証明を与えたと考えられており、 $\sqrt{2}$ の発見によって分数で書けない長さの存在に気づきました。「勾」と「股」は直角三角形の2つの直角辺の古称で（短い辺が勾、長い辺が股）、「弦」は斜辺です。

平面上でしか成り立たない

三平方の定理はユークリッド平面幾何の定理です。球面上では、互いに直交する2つの大円の弧 $a$ 、 $b$ と3つ目の辺 $c$ は $\cos c = \cos a \cos b$ （単位球）を満たし、3辺が球の半径よりずっと小さいときにだけ $a^2 + b^2 = c^2$ に近づきます。地図上の数十キロメートルなら三平方の定理を安心して使えますが、大陸をまたぐ距離には球面の式が必要です。

前提条件

本当に直角三角形であること： $a$ と $b$ の挟角がちょうど 90° です。角度が数度ずれただけでも斜辺は $\sqrt{a^2+b^2}$ から外れます（余弦定理でずれを概算できます）。
平面幾何：3辺が同一平面上にあり、その平面がユークリッド平面です。曲面（地球表面の広い範囲）では成り立ちません。
同じ単位：3辺を同じ長さの単位で入力し、面積の単位は自動的にその2乗になります。
正の有限な実数：辺の長さは正です。エンジンは負の数や 0 を止めませんが、0 や負の辺長に幾何学的な意味はありません。
面積の口径：面積は2つの入力の直角辺からだけ計算します。逆算モードで面積欄が 0 と表示されても、面積がゼロという意味ではありません。

適用範囲と限界

計算できること: 2辺が既知の任意の直角三角形の3つ目の辺と面積（直角辺の逆算を含む）。結果は小数第8位まで（末尾の0は省略）。
近似しかできないこと: 測定値自体に誤差があるとき、結果の誤差はおよそ $\Delta c \approx (a\,\Delta a + b\,\Delta b)/c$ です。表示される8桁は測定精度を意味しません。
計算できないこと: 直角三角形でない三角形（余弦定理を使います）、1辺と1角だけがわかる場合（三角関数を使います）、球面や曲面上の「三角形」。
やらないこと: 3辺が三角不等式を満たすかの判定、単位換算、角度の出力。
数値: 極端に大きな値（ $10^{200}$ など）は2乗すると無限大にオーバーフローします。エンジンは数値的に安定な hypot ではなく $a^2 + b^2$ を直接使いますが、日常的な桁では影響しません。

よくある誤り

斜辺を直角辺の欄に入れる：斜辺は常にもっとも長い辺で、直角に向かい合う辺です。5 を a に、3 を b に入れて得られる「斜辺」5.83 は、もとの三角形のどの辺でもありません。
逆算で斜辺を直角辺より短く入れる： $c^2 - b^2$ が負になり、結果は空になります。どちらが斜辺かを先に確認してください。
2辺の単位が揃っていない：片方だけメートル、もう片方だけセンチメートルでは、結果に意味がありません。先に単位を揃えてから入力します。
平方根を忘れる： $3^2 + 4^2 = 25$ は $c^2$ であり、 $c$ ではありません。計算ツールはすでに平方根を取っていますが、手計算ではこの工程をよく落とします。
直角三角形でない三角形に使う：二等辺三角形や任意の三角形の3つ目の辺は、直角があることを先に証明しない限り、この式では計算できません。
逆算モードの面積 0：原因は「前提条件」にあります。あれはエンジンの口径であり、三角形の面積がゼロという意味ではありません。
「27インチ」を幅だと思う：画面やテレビの公称サイズは対角線です。幅と高さは三平方の定理とアスペクト比から逆算します。

典型的な利用場面

教育：数から図形へ

まずいくつかのピタゴラス数（3-4-5、5-12-13）を入力して整数の結果を見て、次に 1-1 を入力して $\sqrt{2}$ を見ます。最後に $a$ を固定して $b$ を少しずつ大きくしながら、斜辺が $b$ にどう近づくかを観察します。平方の和、平方根、極限が直感でつかめます。

現場と内装：直角を出す、対角線を測る

地面に 3 m と 4 m を測り、対角線がちょうど 5 m なら直角です。床タイルを張るときや収納を作るときは、対角線を測って正方形かどうかを確かめます。逆に、部屋の縦横がわかっていれば、計算ツールで対角線の長さを求め、一枚板を斜めにして扉を通せるかどうかを判断できます。

画面と画角

ピクセルの幅と高さから対角線のピクセル数を求めたり（公称サイズと組み合わせて画素密度 PPI を計算します）、対角線のインチ数とアスペクト比から実際の幅と高さを逆算したりできます。

座標とナビゲーション

平面直交座標上の2点間の直線距離、ロボットの2軸変位の合成変位、回路のインピーダンス三角形（抵抗、誘導リアクタンス、インピーダンス）は、いずれも三平方の定理の直接の応用です。

よくある質問

1辺と1角だけがわかっている場合でも計算できますか？

この計算ツールではできません。2辺が必要です。1辺と1つの鋭角からは三角関数を使います。対辺 = 斜辺 × sin(角)、隣辺 = 斜辺 × cos(角) です。

3辺がわかっているとき、直角三角形かどうかを判定するには？

もっとも長い辺を $c$ とし、 $a^2 + b^2$ が $c^2$ に等しいかを確かめます（測定誤差を考えてわずかな違いは許容します）。等しければ直角（逆定理）、小さければ鈍角、大きければ鋭角です。

結果の小数桁が多いのはなぜですか？

ほとんどの直角三角形の斜辺は無理数で、小数は無限に続き循環しません。画面は最大8桁を表示し、末尾の0は省略します。実際には測定精度に合わせて桁を取れば十分です。

逆算のとき面積が 0 と表示されるのはなぜですか？

エンジンは2つの入力の直角辺からだけ面積を計算し、逆算した辺は書き戻しません。逆算結果を手動で直角辺の欄に入れて斜辺を空にすれば、面積が正しく表示されます。

負の数を入力するとどうなりますか？

2乗すると符号が消えるので、斜辺の結果は正の数のときと同じになり、面積は負になります。負の辺長に幾何学的な意味はありません。正の数を入力してください。

3次元の対角線はどう計算しますか？

まず底面の2辺から底面対角線を計算し、それを高さと合わせて新しい2つの直角辺としてもう一度計算します。あるいは2点間の距離計算ツールに3次元の座標を直接入力してください。

参考資料と関連情報

CalcX エンジンのソースコード src/data/formulas.ts にある pythagorean の定義（compute(known, solveFor) が a / b / c の3方向の求解と面積に対応）。このページの数値はすべて同エンジンで再計算しています。
エウクレイデス『原論』第I巻、命題47と命題48、D. E. Joyce 編注版、Clark University（访问日期：2026-09-08）——定理と逆定理の古典的な証明。
Wikipedia, Pythagorean theorem（访问日期：2026-09-08）——多数の証明、一般化、歴史。
Wikipedia, Pythagorean triple（访问日期：2026-09-08）——エウクレイデスの生成公式と原始三元数。
Wikipedia, Zhoubi Suanjing（访问日期：2026-09-08）——『周髀算経』と「勾三股四弦五」。
『九章算術』巻九「勾股」と劉徽の注、趙爽『周髀算経注』の「勾股円方図」——弦図による証明の中国古典資料。

プライバシー

入力と計算はすべてお使いのブラウザ内で完結し、サーバーに送信されることはありません。このページの説明文は静的コンテンツであり、ユーザーの入力を取得したり記録したりすることはありません。

来源与审阅

更新: 2026-09-09