物理シミュ：投射・振り子・ばね・軌道・E×B

Physics Sim はブラウザーで六つの古典的な初期値問題を実行します。任意で線形または二次の抗力が付く投射運動、大角度振り子、二重振り子、ばね-質量-ダンパー系、ケプラー二体軌道、直交する E 場と B 場中の荷電粒子です。タブは単一のエンジン、単一の積分器セレクター、単一の保存量ドリフトプロットを共有しますが、各タブには独自のアドレス（/science/physics/kepler）と Drag-free 45° や Eccentric e=0.9 などのプリセットチップがあります。単位は SI、抗力は既定でオフ、三つの重力系では g = 9.80665 m/s² です。

更新 2026-10-016 个来源约 5 分钟读完

実行の流れ

系を選ぶ— タブバーから選ぶか URL を開きます。プリセットチップが既知のケースを埋め、方程式カードがモデルとその保存量を示します。
パラメータを設定する— スライダーまたは入力欄で、速度、角度（度）、質量と g、振り子の長さとレート、減衰と剛性、離心率・近点・μ、電荷・場・初速度を設定します。
積分器と解像度を選ぶ。分離可能な系では Explicit Euler、Classic RK4、Adaptive RK45（Dormand–Prince）、Velocity Verlet（シンプレクティック）が使えます。Compare integrators はすべてを実行します。投射以外では、実行は特性周期（E×B ではジャイロ周期）の数だけ続き、steps per period が刻み幅を決めます。
再生・スクラブ・読み取り。1× から 16× で再生し、タイムバーをドラッグし、軌跡を切り替えます。結果カードには主要な数値が載り、信頼度チップが手法、その残差、琥珀色の警告を伝えます。
結果を再利用する。カードを公開し、ピン留めし、レポートに追加し、軌道を表として、主要系列をベクトルとして送信できます。open with these inputs はスナップショットを復元します。ここに送った式はカスタムばね外力 F(t) になります。

計算例

すべての読み取り値は、既定の積分器（RK4、特性周期あたり 400 ステップ）でこれらのパネルから得られます。

パネル · 入力	読み取り値
投射 · Drag-free 45°, v₀ 30 m/s	射程 91.7745 m、最大高さ 22.9436 m、飛行時間 4.32629 s、v₀²sin2θ/g からのずれ 2.63e-15
投射 · 二次抗力、40° で 60 m/s、c 0.012	射程 104.524 m、着弾 22.694 m/s at -64.71°、終端速度 28.587 m/s、抗力なしの射程 361.52 m（−71.1%）
振り子 · 60°、L 1 m	厳密な周期 2.153242 s、小角 2.006409 s (-6.819%)
ばね · m 1 kg、c 0.4 N·s/m、k 16 N/m	ω_n 4 rad/s、ζ 0.05、ω_d 3.995 rad/s、c_c 8 N·s/m、Q 10
Kepler · 楕円 e 0.6、r_p 1、μ 1	周期 24.83647 s、実測 24.83645 s、a 2.5、r_p/r_a 1 / 4、Kepler-III のずれ 7.43e-7
二重振り子 · 強いカオス 180°/90°	ノーマルモード 2.6215 / 1.0859 s、λ 1.255 /s (R²=0.945)、1/λ 0.7966 s
E×B ドリフト · q 1 C、m 1 kg、Eₓ 1 V/m、B_z 2 T	v_d (0, -0.5) m/s、実測 (-5.0401e-10, -0.5) m/s、ω_c 2 rad/s、ジャイロ周期 3.14159 s、ジャイロ半径 0.559017 m

共通の値 — R = v₀²sin2θ/g、T = 2π√(a³/μ)、v_d = E×B/B² — について、理論とシミュレーションは 1e-7 以上（抗力なしの射程では 2.63e-15）で一致し、パネルは残差を表示します。

前提と限界

タブごとにモデルは一つ。: 投射は高さ h₀ から始まり、抗力は既定でオフです（オンのとき -bv の線形または -c|v|v の二次）。射程の閉形式は発射高度への戻りを仮定します。振り子は sin θ を保ち、小角の T₀ は比較用の行にすぎません。ばねは F₀cos ωt または入力した F(t) で駆動される線形ダンパーです。Kepler は理想的な平面二体問題、E×B は B を z 方向とする一様な静場を使います。
精度はステップ数で決まる。: 固定ステップの Euler と RK4 は速い通過を十分に解像できません。ドリフトプロットと琥珀色の警告がそれを定量化し、対処法（適応型 RK45 か周期あたりのステップ増加）を示します。読み取り値は表示時に丸められ（多くは有効数字六桁）、強制ばねの数値的な定常振幅は過渡が減衰してから初めて意味を持ちます。
やらないこと。: 剛体、衝突、流体、N 体は扱わず、単位変換も不確かさの評価もありません。SI の質点を積分するだけです。誤差バーは Uncertainty、信号とコントローラーは Engineering Lab、型付き式や記号計算は scientific calculator と Math Tools の役割です。

積分器の罠：早く閉じる軌道

Kepler タブで Eccentric e=0.9（r_p 1、μ 1）を読み込み、RK4 を周期あたり 400 ステップのままにします。実測周期は 190.7812 s で、2π√(a³/μ) = 198.6918 s に対して Kepler-III のずれ 3.98e-2、円錐曲線フィットの残差 1.36e-1、そして近点が未解像であるという琥珀色の警告が出ます。ステップが速い近点通過に追いつけないため、誤差は見かけの歳差として現れ、楕円は約 4% 早く閉じます。適応型 RK45 に切り替えると 198.6918 s、1.85e-7、2.53e-7 になります。既定の e = 0.6 の楕円でも RK4 では警告が出ますが（残差 3.55e-6）、RK45 なら解消します（1.98e-7）。

ラボの用途

教育と講義

振り子は小角の誤差を可視化します。5° では T₀ は厳密値 2.007365 s からわずか -0.048% しかずれませんが、60° では 2.153242 s より -6.819% 短くなり、179° では周期が 7.82713 s、T/T₀ = 3.90107、誤差 -74.366% になります。ドリフトプロットは積分器を教えます。四周期で Euler のエネルギードリフトは 4.43e-1 に達し、RK4 は 5.13e-10 を保ち、Velocity Verlet は上昇せずに 6.51e-5 以内で振動します。

弾道とスポーツ

抗力は飛行を書き換えます。40°・60 m/s・c = 0.012 の投射は 361.52 m ではなく 104.524 m に着地し（−71.1%）、-64.71° で到達し、力学的エネルギーの 85.69% を失い、終端速度 28.587 m/s を示します。

軌道とプラズマ

e = 0.6 の軌道は a = 2.5、r_p/r_a = 1 / 4、ε = -0.2、h = 1.26491 を示し、シンプレクティック実行は角運動量を 4.39e-15 まで保ちます。E×B タブでは、負電荷のプリセットでも v_d = (0, -0.5) m/s のままです。ドリフトは電荷の符号も質量も気にしません。

参考文献

BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 第 9 版 — ラボ全体で使用する SI 単位。 bipm.org （访问日期：2026-10-01）
NIST Special Publication 811, 付録 B.8 — 標準重力加速度 9.806 65 m/s²、既定の g。 nist.gov （访问日期：2026-10-01）
Wikipedia, Pendulum (mechanics) — 厳密な周期 4√(L/g)·K(sin θ₀/2) と小角展開。 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
Wikipedia, Kepler's laws of planetary motion — エネルギーによる軌道分類と周期 T = 2π√(a³/μ)。 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
Wikipedia, Guiding center — E×B ドリフト v_d = E×B/B²。電荷の符号と質量に依存しません。 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
Wikipedia, Lyapunov time — 近接軌道の指数関数的な分離とカオスの地平 1/λ。 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）