Proporção: A/B = C/D, regra de três e semelhança

Sobre esta calculadora

A calculadora de proporção resolve $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ : conhecidos quaisquer três dos quatro números, ela dá o quarto. É a “regra de três” usada da escola à vida prática — ampliar uma receita, ler uma distância no mapa pela escala, medir a altura de uma árvore pela sombra, transformar fração em porcentagem —, tudo a mesma coisa: duas razões iguais, e basta achar o termo que falta.

A palavra “proporção” tem dois sentidos. $A : B$ é uma razão (ratio), e o valor $k = A/B$ é um número; “ $A : B = C : D$ ” é uma proporção (proportion), ou seja, duas razões iguais. A calculadora trata por padrão $A$ e $B$ como o primeiro par conhecido e $C$ e $D$ como o par a casar; o uso mais comum é preencher $A$ , $B$ e $C$ para obter $D$ .

O que ela não faz: só lida com proporção direta (quando uma grandeza aumenta, a outra aumenta na mesma razão); proporção inversa (mais trabalhadores, menos dias), divisão proporcional (repartir um total em $2:3$ ) e razão de três termos ( $A : B : C$ ) precisam ser convertidas para a forma direta antes de usar, como mostram a seção de erros comuns e as perguntas frequentes.

Fórmula e variáveis

\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\;\Longleftrightarrow\; A \cdot D = B \cdot C

Da “igualdade entre o produto dos extremos e o produto dos meios” obtém-se qualquer termo:

D = \frac{B\,C}{A},\qquad C = \frac{A\,D}{B},\qquad A = \frac{B\,C}{D},\qquad B = \frac{A\,D}{C}

Símbolo	Significado	Campo da calculadora	Unidade	Faixa e observações
$A$	Numerador do primeiro par (primeiro termo, extremo)	A	qualquer	Padrão 3. Não pode ser 0 quando for o denominador no cálculo de $D$
$B$	Denominador do primeiro par (segundo termo, meio)	B	qualquer	Padrão 4. Mesma unidade de $A$ , ou mesma unidade de $D$
$C$	Numerador do segundo par (terceiro termo, meio)	C	qualquer	Mesma grandeza (unidade) de $A$
$D$	Denominador do segundo par (quarto termo, extremo)	D	qualquer	Mesma grandeza de $B$ ; padrão obtido de $A$ , $B$ e $C$
$k$	Constante de proporcionalidade	(não exibida)	unidade de $A$ / unidade de $B$	$k = A/B = C/D$ , “quantos $A$ correspondem a cada 1 $B$ ”

Regra de unidades: $A$ e $C$ na mesma unidade e $B$ e $D$ na mesma unidade (na horizontal: 3 ovos / 300 g de farinha = 5 ovos / 750 g de farinha), ou $A$ e $B$ na mesma unidade e $C$ e $D$ na mesma (na vertical: 1 cm no mapa / 25000 cm no terreno). As duas arrumações dão o mesmo número, desde que a correspondência das quatro células esteja correta.

Como usar esta calculadora

Abra o painelesta página corresponde a “Ferramentas de matemática → Fórmulas → Calculadora de proporção” (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.proportion). Ao abrir, só “A” = 3 e “B” = 4 estão preenchidos; os campos C e D estão marcados como “calcular” e mostram 0 — como ainda falta o terceiro valor conhecido, o motor trata o campo vazio como 0.
Achar D(o mais comum): informe o valor conhecido em “C” e “D” passa imediatamente a $BC/A$ . Por exemplo, com 6, obtém-se 8.
Achar Cem vez de preencher C, informe um valor em “D”; o campo “C” passa a “calcular” e mostra $AD/B$ .
Achar A ou Bapague o termo que se quer obter e preencha os outros três; o campo apagado vira “calcular”. As combinações são livres, e o motor tem fórmula para as quatro direções.
Leia os resultadosos números mantêm no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita ( $4 \times 100 / 3 = 133.33333333$ ). Com denominador 0, aparece ∞ ou 0 (ver erros comuns).
Copie a fórmulao botão de copiar à direita do título do painel copia A/B = C/D → D = B×C/A para a área de transferência.

Exemplos resolvidos

Os quatro exemplos foram recalculados com o compute do motor proportion; o critério de exibição é de no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita.

Exemplo 1: entradas padrão, 3 : 4 = 6 : D

Entradas: $A = 3$ , $B = 4$ , $C = 6$ .

Multiplicação cruzada: $3 \times D = 4 \times 6 = 24$ .
$D = 24 / 3 = 8$ .

Na interface: D 8. Verificação: $3/4 = 0.75$ e $6/8 = 0.75$ — as duas razões são iguais. A constante de proporcionalidade é $k = 0.75$ , e também se pode ler “ $C$ é 2 vezes $A$ , então $D$ também é 2 vezes $B$ ”: os dois caminhos, “fator horizontal” e “razão vertical”, dão necessariamente a mesma resposta.

Trocando para obter $C$ : mantendo $A = 3$ e $B = 4$ , sem preencher C, informe 12 em D e a interface mostra C 9 ( $3 \times 12 / 4$ ).

Exemplo 2: ampliar uma receita — 2 ovos para 300 g de farinha, quantos ovos para 750 g

Entradas: $A = 2$ (ovos), $B = 300$ (g de farinha), $D = 750$ (g de farinha); obter $C$ .

$C = A D / B = 2 \times 750 / 300 = 1500 / 300 = 5$ .

Na interface: C 5. Aqui $A$ e $C$ são números de ovos, e $B$ e $D$ são gramas de farinha; “na horizontal”, as unidades batem. O fator é $750 / 300 = 2.5$ , e os ovos também são multiplicados por 2.5. Se o resultado não for inteiro (por exemplo, 4.67 ovos para 700 g), a receita não pode ser ampliada em múltiplos exatos: arredonda-se o valor ou se ajusta a quantidade de farinha.

Exemplo 3: medir a altura de uma árvore pela sombra (triângulos semelhantes)

No mesmo instante, a luz do sol é paralela; uma vara de 3 m projeta sombra de 4.5 m, e uma árvore ao lado projeta 12 m. Qual é a altura da árvore?

Entradas: $A = 3$ (altura da vara), $B = 4.5$ (sombra da vara), $D = 12$ (sombra da árvore); obter $C$ (altura da árvore).

Os dois triângulos retângulos são semelhantes e os lados correspondentes são proporcionais: $\dfrac{3}{4.5} = \dfrac{C}{12}$ .
Multiplicação cruzada: $4.5\,C = 3 \times 12 = 36$ , $C = 36 / 4.5 = 8$ .

Na interface: C 8. A constante de proporcionalidade é $k = 3 / 4.5 = 0.66666667$ : cada 1 m de sombra corresponde a 0.667 m de altura, então 12 m de sombra correspondem a 8 m. É o método de Tales para medir a altura da pirâmide, inalterado há mais de dois mil anos.

Figura 1: exemplo 3. Sol paralelo ⇒ triângulos semelhantes ⇒ lados correspondentes proporcionais. A e C são “alturas”; B e D são “sombras”, com unidades coerentes na horizontal

Exemplo 4: escala de mapa e porcentagem

Escala: em um mapa de escala 1 : 25000, dois pontos estão a 3.6 cm; qual é a distância real? Entradas: $A = 1$ , $B = 25000$ , $C = 3.6$ ; a interface mostra D 90000 (cm), ou 900 m. Aqui $A$ e $B$ são ambos comprimentos, e $C$ e $D$ também; “na vertical”, as unidades batem (centímetros no mapa contra centímetros no terreno).

Porcentagem: 45 é quantos por cento de 60? Porcentagem é “razão com denominador 100”; escrevendo $\dfrac{45}{60} = \dfrac{C}{100}$ : entradas $A = 45$ , $B = 60$ , $D = 100$ , a interface mostra C 75, ou 75%. Se 100 for colocado em C em vez de D ( $A = 45$ , $B = 60$ , $C = 100$ ), a interface mostra D 133.33333333 — isso responde “60 é quantos por cento de 45”, ou seja, a pergunta invertida. Para aumentos e reduções percentuais e outros critérios, veja a calculadora de porcentagem.

As entradas do exemplo 1 podem ser preenchidas diretamente no painel para reproduzi-lo; mude C de 6 para 3, 9 e 12 e observe que D é sempre $4/3$ de C — a constante de proporcionalidade não muda, o que caracteriza a “proporção direta”.

Princípio e dedução

Por que a multiplicação cruzada funciona

Multiplicando os dois lados de $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ por $BD$ (com $B$ e $D$ diferentes de 0): à esquerda, $\dfrac{A}{B} \cdot BD = AD$ ; à direita, $\dfrac{C}{D} \cdot BD = BC$ ; logo $AD = BC$ . O Livro V dos Elementos de Euclides chama isso de “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”: escrevendo $A : B = C : D$ em uma linha, $A$ e $D$ estão nas pontas (extremos) e $B$ e $C$ no meio (meios). Invertendo, dividindo $AD = BC$ por $BD$ , volta-se à proporção original, então as duas formas são equivalentes. Para obter um termo, basta dividir $AD = BC$ pelo número que está ao lado dele.

Constante de proporcionalidade e proporção direta

$A/B = C/D = k$ significa $A = kB$ e $C = kD$ : “o numerador é sempre $k$ vezes o denominador”. Duas grandezas que satisfazem $y = kx$ são diretamente proporcionais — ovos e farinha, distância no mapa e distância real, sombra e altura do objeto. No plano cartesiano, $(B, A)$ e $(D, C)$ caem sobre a mesma reta que passa pela origem e tem inclinação $k$ ; é por isso que a proporção direta pode ser verificada pela inclinação: tomando dois pontos quaisquer, se a inclinação for $k$ e a reta passar pela origem, a relação é diretamente proporcional.

Proporção inversa não é esta fórmula

“4 trabalhadores terminam em 6 dias; 8 trabalhadores terminam em quantos dias?” — quanto mais trabalhadores, menos dias, e o produto (24 pessoas·dia de trabalho total) não muda: é proporção inversa, $xy = c$ . Se você meter isso na calculadora com $A = 4$ , $B = 6$ e $C = 8$ , obtém D 12, na direção errada. O correto é reescrever como proporção direta: $4 \times 6 = 8 \times D$ , ou seja, $\dfrac{4}{D} = \dfrac{8}{6}$ ; informe $A = 4$ , $B = D$ (incógnita), $C = 8$ , $D = 6$ — isto é, obtenha B — e o resultado é 3 dias. O critério é simples: só há proporção direta quando, ao aumentar uma grandeza, a outra também aumenta.

Triângulos semelhantes: a origem geométrica mais importante da proporção

Se dois triângulos têm os três ângulos iguais, os lados correspondentes são proporcionais (Livro VI, Proposição 4 dos Elementos). No exemplo 3, o triângulo formado pela vara, pela sombra e pelo raio de sol tem um ângulo reto e um ângulo igual ao da altitude do sol; o terceiro ângulo é automaticamente igual, então a razão “altura : sombra” é a mesma nos dois triângulos. Toda medição por semelhança — estimar distância com a largura do dedo, medir um objeto desconhecido por um objeto conhecido na foto, ampliação de projetor, formação de imagem na câmera — repousa nessa proposição.

Da proporção à função

Tratando $D$ como variável independente e $C$ como variável dependente, $C = (A/B) \cdot D$ é a função afim mais simples (função linear de proporcionalidade). A função afim $y = kx + b$ acrescenta um termo constante, e a progressão aritmética $a_n = a_1 + (n-1)d$ é uma função afim cuja variável só assume inteiros positivos — veja progressão aritmética. A proporção é o primeiro passo dessa cadeia de conceitos.

Premissas

A proporção direta se aplica: entre as duas grandezas, de fato “multiplicar uma por $k$ multiplica a outra por $k$ ”. Receitas que podem ser ampliadas em múltiplos exatos, mapas com escala uniforme e luz solar paralela são premissas, não algo que a calculadora possa verificar.
Os quatro termos estão na mesma ordem: $A$ corresponde a $C$ , e $B$ corresponde a $D$ , na mesma categoria de grandeza. Trocar as posições dá a resposta de outra pergunta (ver o caso da porcentagem no exemplo 4).
Denominador diferente de 0: para obter $D$ , $A \ne 0$ ; para $C$ , $B \ne 0$ ; para $A$ , $D \ne 0$ ; para $B$ , $C \ne 0$ .
Os números são exatos: erros de medição se propagam proporcionalmente, e o erro relativo de $C$ é aproximadamente a soma dos erros relativos de $A$ , $B$ e $D$ .
Critério da interface: só $A$ e $B$ vêm preenchidos; campos não informados entram no motor como 0 (ao obter $D$ , um $A$ vazio conta como 1), então, ao abrir o painel, C e D mostram 0.

Escopo e limitações

O que calcula: qualquer um dos termos de $A/B = C/D$ , inclusive resultados parciais quando vários campos são apagados ao mesmo tempo.
Só aproxima: problemas reais só são aproximadamente proporcionais (compras em grande volume têm desconto, projeções de mapa têm deformação, a sombra pode cair em um terreno inclinado).
Não calcula: proporção inversa (reescreva como direta, ver Princípio), divisão proporcional (primeiro ache “quanto vale cada parte” e multiplique), razão de três termos $A : B : C$ (separe em duas proporções) e proporções compostas (várias grandezas variando juntas).
Não faz: não simplifica razões ( $6 : 8 \to 3 : 4$ ), não exibe a constante de proporcionalidade $k$ e não converte unidades.
Números: o resultado é exibido com 8 casas decimais; com denominador 0, mostra ∞ (por exemplo, $A = 0$ ao obter $D$ ).

Erros comuns

Tomar proporção inversa por direta: trabalhadores–dias, velocidade–tempo, número de dentes de engrenagem–rotação são proporcionais inversas; aplicar a fórmula direta inverte a direção (os 12 dias contra 3 dias da seção de Princípio).
Colocar os quatro termos nas células erradas: no exemplo 4, colocar 100 em C ou em D muda a resposta de 75 para 133.33. Antes de escrever a proporção, defina “quem corresponde a quem”.
Unidades desemparelhadas: $A$ em kg e $C$ em g dá erro de 1000 vezes. Grandezas de mesma categoria precisam estar na mesma unidade; grandezas de categorias diferentes (número de ovos e gramas de farinha) podem conviver na mesma proporção, desde que alinhadas na horizontal.
Ler a “razão” como “fração” e simplificar fora de posição: $3 : 4 = 6 : 8$ está certo, mas $3 : 4 = 4 : 3$ não — razão tem direção.
Denominador igual a 0: ao obter $D$ com $A = 0$ , aparece ∞; ao obter $D$ com $B = 0$ , aparece 0 ( $0 \times C / A$ ). Os dois casos mostram que o enunciado tem problema, não que o resultado está errado.
Confundir porcentagem e proporção: 45 é 75% de 60, 60 é 133.33% de 45, “aumentou 33.33%” e “diminuiu 25%” — os mesmos dois números, quatro perguntas e quatro respostas.

Casos de uso típicos

Cozinha e receitas

Ampliar ou reduzir receitas conforme o número de pessoas, ajustar a concentração de bebidas (concentrado : água) e acertar a proporção de tintas ou concreto.

Mapas, desenhos e maquetes

Conversão de escala (distância no mapa ↔ distância real), leitura de medidas em plantas arquitetônicas e correspondência de dimensões entre maquete e objeto real.

Medições e figuras semelhantes

Altura pela sombra, estimativa do tamanho de um objeto em uma foto a partir de outro de tamanho conhecido e fator de ampliação de um projetor.

Preços e câmbio

5 kg por 42.5 reais; 8 kg por quanto? (68 reais); 1 dólar vale 7.2 reais; 250 dólares valem quanto? (1800 reais); conferência de compras e cotações com preço unitário constante.

Ensino

Vivenciar por que a multiplicação cruzada funciona, distinguir proporção direta de inversa e entender que lados correspondentes de triângulos semelhantes são proporcionais.

Perguntas frequentes

Dá para calcular conhecendo apenas dois números?

Não. A proporção tem quatro termos e são necessários ao menos três conhecidos. Com só $A$ e $B$ preenchidos, C e D mostram 0 porque “ainda não foram informados”, e isso não é resposta.

Como calcular “repartir 120 na razão 2 : 3”?

Primeiro ache o valor de cada parte: $120 / (2 + 3) = 24$ ; as duas partes são 48 e 72. Também dá para usar a calculadora: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{C}{120}$ ; com $A = 2$ , $B = 5$ e $D = 120$ , obtém-se $C = 48$ .

Como usar a calculadora com proporção inversa?

Reescreva a igualdade de produtos como proporção: $x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$ . Note que, no lado direito, numerador e denominador estão trocados.

Como calcular a razão de três termos A : B : C = 2 : 3 : 5?

Separe em duas proporções, $A : B = 2 : 3$ e $B : C = 3 : 5$ ; conhecendo qualquer termo, obtêm-se os outros dois em sequência.

Por que aparece ∞ quando o denominador é 0?

O motor calcula $D = BC/A$ ; com $A = 0$ , há divisão por zero. Matematicamente, $0 : B = C : D$ só tem sentido quando $C = 0$ (e então $D$ é qualquer valor), o que a calculadora não consegue expressar; por isso mostra ∞.

Qual é a diferença entre esta calculadora e a de porcentagem?

Porcentagem é “proporção com denominador fixo em 100”: a calculadora de porcentagem trata especificamente de “quantos por cento $A$ é de $B$ ”, “quanto é $p\%$ de $B$ ” e das variações; esta calculadora é mais geral, mas exige que você posicione corretamente os quatro termos.

Referências e leitura complementar

Código-fonte do motor CalcX src/data/formulas.ts, definição proportion (compute(known, solveFor) com solução nos quatro sentidos a / b / c / d e denominador ausente tratado como 1); todos os números desta página foram recalculados com esse motor.
Wikipedia, Proportionality (mathematics)（访问日期：2026-09-09）— proporção direta, inversa e constante de proporcionalidade.
Wikipedia, Cross-multiplication（访问日期：2026-09-09）— dedução e condições de uso da multiplicação cruzada.
Euclides, Elements, Livro V, edição anotada de D. E. Joyce（访问日期：2026-09-09）— a teoria das proporções de Eudoxo e a formulação original de “produto dos extremos = produto dos meios”.
Euclides, Elements, Livro VI, Proposição 4（访问日期：2026-09-09）— lados correspondentes de triângulos semelhantes são proporcionais.
Wikipedia, Rule of three (mathematics)（访问日期：2026-09-09）— história e algoritmo da “regra de três”.
Jiuzhang Suanshu, livro II, “Sumi”: o “método do que se tem” (Jinyou shu) — algoritmo chinês clássico de proporção (“multiplique a quantidade dada pela razão pedida como dividendo e a razão dada como divisor; divida o dividendo pelo divisor”).

Privacidade

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来源与审阅

更新: 2026-09-09