Progressão aritmética: termo geral, soma e razão

Descrição da calculadora

A calculadora de progressão aritmética (PA) trata sequências em que "cada termo é o anterior mais o mesmo número": informados o primeiro termo $a_1$ , a razão $d$ e o número de termos $n$ , obtém-se o n-ésimo termo $a_n = a_1 + (n-1)d$ e a soma dos $n$ primeiros termos $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ; com o último termo conhecido, também é possível resolver o número de termos $n$ ou a razão $d$ .

1, 3, 5, 7, … (números ímpares), um teatro com 2 assentos a mais por fileira, poupar 50 reais a mais a cada mês, um treino que reduz 1.5 km por dia — sempre que "o acréscimo é constante", há uma PA. É a sequência mais simples e o ponto de partida para entender "somar acumuladamente": o truque por trás da fórmula da soma, "parear o primeiro com o último", é o que Gauss teria percebido (diz a lenda) aos 8 anos.

O que ela não faz: não trata progressões geométricas (em que cada termo é um múltiplo fixo do anterior, como nos juros compostos), nem diferenças de segunda ordem (diferença das diferenças constante) ou recorrências como Fibonacci; também não lista todos os termos — só fornece o n-ésimo termo e o total.

Fórmula e variáveis

a_n = a_1 + (n-1)\,d,\qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = n\,a_1 + \frac{n(n-1)}{2}\,d

Resolvendo a partir do último termo:

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1,\qquad d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}

Símbolo	Significado	Campo da calculadora	Unidade	Faixa e observações
$a_1$	Primeiro termo	Primeiro termo a₁	Qualquer	Padrão 1; pode ser negativo ou decimal
$d$	Razão (diferença entre termos consecutivos $a_{k+1} - a_k$ )	Razão d	Igual a $a_1$	Padrão 2; $d > 0$ crescente, $d < 0$ decrescente, $d = 0$ constante
$n$	Número de termos	Número de termos n	Contagem	Inteiro positivo, $n \ge 1$ ; o motor não verifica se é inteiro. O campo tem valor padrão 10, mas a interface pré-preenche apenas os dois primeiros campos; ao abrir, fica vazio
$a_n$	n-ésimo termo (último)	n-ésimo termo aₙ	Igual a $a_1$	Saída; no modo inverso vira entrada
$S_n$	Soma dos $n$ primeiros termos	Soma S	Igual a $a_1$	Saída, soma de $n$ termos

As duas formas da soma são equivalentes: a primeira usa a média do primeiro e do último termo multiplicada pelo número de termos; a segunda usa apenas $a_1$ , $d$ e $n$ . O motor calcula pela primeira; a segunda serve para conferir à mão.

Como usar esta calculadora

Abrir o painelesta página corresponde a "Ferramentas matemáticas → Fórmulas → Progressão aritmética" (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arithmetic-seq). Ao abrir, só "Primeiro termo a₁" = 1 e "Razão d" = 2 estão preenchidos, e "Número de termos n" está vazio; nesse momento o n-ésimo termo mostra −1 e a soma mostra 0 — o motor substitui o $n$ vazio em $a_1 + (0-1)d$ , e isso não é resultado; preencha $n$ para normalizar.
Obter o n-ésimo termo e a somapreencha "Número de termos n" com um inteiro positivo; os dois campos de resultado, com etiqueta "calcular", são atualizados juntos.
Resolver o número de termoslimpe "Número de termos n", preencha "n-ésimo termo aₙ" com o último termo e mantenha $a_1$ e $d$ ; o campo do número de termos passa a "calcular". Note que "Soma" mostra 0 (o motor assume 0 para o $n$ vazio); preencha o $n$ calculado de volta no campo e limpe $a_n$ para obter a soma.
Resolver a razãolimpe "Razão d" e preencha $a_1$ , $n$ e $a_n$ ; o campo da razão mostra $(a_n - a_1)/(n-1)$ . Nesse momento "Soma" é calculada com $d = 0$ e mostra $n \cdot a_1$ , que também não é a soma real; preencha $d$ de volta para corrigir.
Ler o resultadoos valores mantêm no máximo 8 casas decimais, com zeros à direita removidos. Se o $n$ resolvido não for inteiro (como 16.66666667), o $a_n$ informado não é um termo dessa sequência.
Copiar a fórmulao botão de copiar à direita do título do painel copia aₙ = a₁ + (n-1)d, S = n(a₁+aₙ)/2 para a área de transferência.

Exemplos

Os quatro exemplos foram recalculados pelo compute do motor arithmetic-seq; a exibição usa no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita.

Exemplo 1: 3, 7, 11, 15, 19, 23 — seis termos

Entrada: $a_1 = 3$ , $d = 4$ , $n = 6$ .

O 6º termo é $a_6 = 3 + (6-1) \times 4 = 3 + 20 = 23$ .
A soma é $S_6 = \dfrac{6 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{6 \times 26}{2} = 78$ .

A interface mostra: n-ésimo termo 23, soma 78. Conferindo pela segunda forma: $6 \times 3 + \dfrac{6 \times 5}{2} \times 4 = 18 + 60 = 78$ . Pelo pareamento: $3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26$ , três pares de 26, total 78.

Figura 1: exemplo 1. À esquerda, o pareamento de Gauss (primeiro + último é sempre a₁ + aₙ); à direita, a versão geométrica — duas escadas formam um retângulo de área n(a₁ + aₙ), e metade disso é Sₙ

Exemplo 2: entradas padrão e o 1 a 100 de Gauss

Entrada: $a_1 = 1$ , $d = 2$ , $n = 10$ (valores padrão). O 10º termo é $= 1 + 9 \times 2 = 19$ e a soma é $= 10 \times (1 + 19) / 2 = 100$ . A interface mostra: n-ésimo termo 19, soma 100. A soma dos 10 primeiros ímpares é exatamente $10^2$ ; mudando para $n = 100$ , a interface mostra n-ésimo termo 199 e soma 10000 — a soma dos $n$ primeiros ímpares é sempre $n^2$ (basta encaixar as peças ímpares em L, camada por camada, formando um quadrado).

Entrada $a_1 = 1$ , $d = 1$ , $n = 100$ : a interface mostra n-ésimo termo 100 e soma 5050. É o problema que o pequeno Gauss teria resolvido num instante com " $1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 50 + 51$ , 50 pares de 101".

Exemplo 3: assentos de teatro e sequência decrescente

Teatro: 20 assentos na primeira fileira, 2 a mais por fileira, 15 fileiras. Entrada $a_1 = 20$ , $d = 2$ , $n = 15$ : a última fileira tem $20 + 14 \times 2 = 48$ assentos e o total é $15 \times (20 + 48)/2 = 510$ . A interface mostra: n-ésimo termo 48, soma 510.

Decrescente: um estoque de 100 kg com saída fixa de 7 kg por dia; estoque e total após 12 dias? Entrada $a_1 = 100$ , $d = -7$ , $n = 12$ : o estoque no 12º dia é $100 - 77 = 23$ e a soma dos 12 dias é $12 \times (100 + 23)/2 = 738$ (kg·dia, "estoque médio de 61.5 kg × 12 dias"). A interface mostra: n-ésimo termo 23, soma 738. Com razão negativa a fórmula continua valendo; a sequência apenas desce.

Poupar 50 a mais por mês: 100 no primeiro mês e 50 a mais a cada mês; em um ano? Entrada $a_1 = 100$ , $d = 50$ , $n = 12$ : no 12º mês poupa-se 650 e o total do ano é 4500.

Exemplo 4: resolver o número de termos e a razão

Resolver n: qual termo da sequência 5, 8, 11, … é igual a 50? Entrada $a_1 = 5$ , $d = 3$ , $a_n = 50$ (n limpo): $n = (50 - 5)/3 + 1 = 16$ . A interface mostra: número de termos n 16 e soma 0 (critério do passo 3). Preencha 16 no número de termos e limpe $a_n$ : n-ésimo termo 50, soma 440.

Se a pergunta fosse sobre o 52: $n = (52 - 5)/3 + 1 = 16.66666667$ — não é inteiro, o 52 não pertence à sequência (o 16º termo é 50 e o 17º é 53).

Resolver d: partindo de 2 e chegando a 30 após 8 termos, qual é a razão? Entrada $a_1 = 2$ , $n = 8$ , $a_n = 30$ (d limpo): $d = (30 - 2)/(8 - 1) = 4$ . A interface mostra: razão d 4 e soma 16 (o motor calcula a soma com $d = 0$ : $8 \times 2 = 16$ , que não é a soma real). Preencha 4 de volta na razão e limpe $a_n$ : n-ésimo termo 30, soma 128.

A entrada do exemplo 1 pode ser preenchida direto no painel para reproduzir; mude $n$ de 6 para 12, 24 e 48 e observe o n-ésimo termo crescer linearmente com $n$ enquanto a soma cresce com $n^2$ (dobrando o número de termos, a soma fica cerca de 4 vezes maior).

Princípio e derivação

Termo geral: da recorrência à fórmula direta

A definição é recorrente: $a_{k+1} = a_k + d$ . De $a_1$ até $a_n$ somam-se $n - 1$ vezes o valor $d$ , logo $a_n = a_1 + (n-1)d$ . Note que é $n - 1$ , não $n$ : entre 6 postes há apenas 5 intervalos (os cinco "+4" da figura 1) — é o "problema do plantio de árvores": o número de termos é um a mais que o número de intervalos.

Tratando $n$ como variável independente, $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$ é uma reta: a inclinação é a razão $d$ e o intercepto é $a_1 - d$ (o "termo 0"). Uma PA é uma função afim cujo domínio são os inteiros positivos; ligando os topos das colunas na figura 1 à esquerda obtém-se uma reta. Calcular o coeficiente angular entre dois termos quaisquer dá a razão; a fórmula inversa $d = (a_n - a_1)/(n-1)$ é exatamente "variação de y dividida pela variação de x".

Soma: o pareamento de Gauss

Escreva $S_n$ uma vez na ordem normal e outra na ordem inversa e some as duas linhas:

\begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \\ S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \\ 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \cdots + (a_1 + a_n) = n\,(a_1 + a_n) \end{aligned}

Cada coluna soma $a_1 + a_n$ — um termo ganha $d$ enquanto o outro perde $d$ . São $n$ colunas, então $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ . Com número ímpar de termos, o termo do meio pareia consigo mesmo (ele é exatamente $(a_1 + a_n)/2$ , a média de todos os termos) e a fórmula não muda. A figura 1, à direita, é a versão geométrica dessa álgebra: a escada colocada uma vez na posição normal e outra invertida forma um retângulo $n \times (a_1 + a_n)$ .

Substituindo $a_n = a_1 + (n-1)d$ , chega-se à segunda forma, $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2} d$ : $n$ cópias de $a_1$ mais $0 + 1 + \cdots + (n-1) = n(n-1)/2$ cópias de $d$ . Isso mostra que $S_n$ é quadrática em $n$ — dobrando o número de termos, a soma fica cerca de 4 vezes maior.

A leitura "média × número de termos"

$S_n = n \cdot \dfrac{a_1 + a_n}{2}$ : a soma é a "média do primeiro com o último" multiplicada pelo número de termos. Em uma PA, essa média é a média de todos os termos — os termos se distribuem simetricamente em torno do ponto central. No problema de estoque do exemplo 3, 738 = 61.5 × 12 é "estoque médio × dias"; a mesma leitura vale para a área do trapézio (base maior mais base menor, vezes altura, dividido por dois) e para o deslocamento no movimento uniformemente variado (velocidade média vezes tempo).

PA e PG: juros simples e compostos

A PA soma um valor fixo a cada passo; a progressão geométrica multiplica por um fator fixo. Um capital de 1000 com juros simples de 5% rende 50 por ano, e o saldo 1050, 1100, 1150, … forma uma PA que chega a 1500 em 10 anos; com juros compostos de 5%, o saldo é $1000 \times 1.05^n$ , uma PG que chega a 1628.89 em 10 anos. A primeira é uma reta, a segunda uma curva exponencial, e a diferença cresce com o tempo — detalhes na calculadora de juros compostos.

Premissas

Razão constante: a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Basta um ponto fora do padrão para a fórmula do termo geral e a da soma falharem.
Número de termos inteiro positivo: o motor não verifica; $n = 2.5$ produz números sem sentido.
Contagem a partir do 1º termo: $a_1$ é o primeiro termo, não o termo 0; alguns livros ou programas (índices de vetores) contam a partir de 0, e aí $a_n = a_0 + nd$ .
A soma é dos primeiros $n$ termos: de $a_1$ até $a_n$ ; para somar do termo $m$ ao $n$ , use $S_n - S_{m-1}$ .
Critério da interface: campos vazios entram no motor como 0; por isso, ao resolver $n$ ou $d$ , a "Soma" exibida não é a soma real (passos 3 e 4).

Aplicabilidade e limites

Calcula: o n-ésimo termo e a soma dos $n$ primeiros para quaisquer $a_1$ e $d$ reais com $n$ inteiro positivo; resolve $n$ a partir de $a_n$ (requer $d \ne 0$ ) ou $d$ (requer $n \ne 1$ ).
Apenas aproxima: as "PAs" do mundo real costumam ser aproximações (fileiras de assentos, saída de estoque); a fórmula dá o valor do modelo.
Não calcula: progressões geométricas (há uma calculadora própria), PAs de segunda ordem ( $1, 3, 6, 10, \ldots$ ), somas parciais $a_m + \cdots + a_n$ (calcule duas vezes e subtraia) nem $n$ ou $d$ a partir de $S_n$ (exige resolver uma equação do segundo grau, faça à mão).
Não faz: listar os termos nem decidir se um número pertence à sequência (use o $n$ resolvido: inteiro ou não).
Numérico: com $n$ muito grande, $S_n$ acima de $10^{12}$ aparece em notação científica; em precisão dupla, valores da ordem de $10^7$ termos ainda são exatos.

Erros comuns

Escrever o termo geral como $a_1 + nd$ : falta o $-1$ , e cada termo soma um $d$ a mais. Seis termos têm apenas 5 intervalos.
Aceitar um $n$ decimal como resposta: $n = 16.67$ significa que o último termo informado não pertence à sequência, não que existe um "termo 16.67".
Tomar a "Soma" do modo inverso como resultado: é o valor de reserva com $n = 0$ ou $d = 0$ ; preencha o resultado de volta para obter a soma real.
Informar a razão positiva em uma sequência decrescente: a razão de 100, 93, 86, … é $-7$ ; com 7 o resultado é uma sequência crescente.
Esquecer de dividir por 2 na fórmula da soma: $n(a_1 + a_n)$ é a área do retângulo formado por duas escadas; use metade.
Tratar uma PG como PA: juros compostos, crescimento populacional e reprodução de bactérias são geométricos; usar esta calculadora subestima muito o resultado.

Casos de uso típicos

Ensino

Da recorrência ao termo geral; do pareamento à soma; observar que a soma dos primeiros $n$ ímpares é $n^2$ ; entender a PA como "função afim sobre os inteiros".

Contagem e arranjos

Fileiras de assentos em teatros e estádios, pilhas piramidais de madeira ou latas (decrescentes por camada), filas de desfile.

Planejamento e orçamento

Planos de poupança ou parcelamento crescentes, estoque ou volume de treino decrescentes, renda acumulada com aumentos fixos.

Juros simples e depreciação

Juros simples acumulam em PA; a depreciação linear reduz um valor fixo por ano, e o valor contábil no ano $n$ é o n-ésimo termo.

Perguntas frequentes

Por que o n-ésimo termo mostra −1 ao abrir o painel?

O número de termos ainda não foi preenchido e o motor substitui $n$ por 0: $1 + (0-1) \times 2 = -1$ . Preencha o número de termos para normalizar.

Como saber se um número pertence à sequência?

Limpe $n$ , informe o número em "n-ésimo termo aₙ" e verifique se o $n$ resolvido é um inteiro positivo. 50 pertence a 5, 8, 11, … ( $n = 16$ ); 52 não ( $n = 16.67$ ).

Como somar do 5º ao 12º termo?

Calcule $S_{12}$ e $S_4$ e subtraia. Ou trate o 5º termo como novo primeiro termo e recalcule com 8 termos.

Conhecendo a soma, o primeiro termo e a razão, como resolver o número de termos?

Resolva a equação do segundo grau $\dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac d2\right)n - S_n = 0$ e tome a raiz inteira positiva. A calculadora não faz essa inversão.

Por que a soma cresce quadraticamente?

$S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$ contém $n^2$ . Intuitivamente, a soma é a área sob o gráfico em escada, que fica sob uma reta — a área cresce com o quadrado da largura.

Como escolher entre PA e PG?

Veja se a diferença ou o quociente entre termos consecutivos é constante: somar 50 por ano é PA; multiplicar por 1.05 por ano é PG.

Referências e leitura complementar

Definição arithmetic-seq no código do motor CalcX, src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) produz an / sum e resolve n e d a partir de an); todos os números desta página foram recalculados por esse motor.
Wikipedia, Arithmetic progression（访问日期：2026-09-09）—— termo geral, as duas formas da soma e a dedução.
Wikipedia, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯（访问日期：2026-09-09）—— números triangulares $n(n+1)/2$ e a anedota de Gauss.
Brian Hayes, “Gauss's Day of Reckoning”, American Scientist 94(3), 2006（访问日期：2026-09-09）—— pesquisa histórica sobre as versões da história da soma de Gauss.
Wikipedia, Rhind Mathematical Papyrus（访问日期：2026-09-09）—— problemas de distribuição aritmética (nº 40 e 64) de cerca de 1550 a.C.
Os Nove Capítulos da Arte Matemática (Jiuzhang Suanshu), capítulo 3 "Shuai Fen" e capítulo 6 "Jun Shu"—— distribuição aritmética e problemas de soma na China antiga.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09