复利计算器：终值、总利息与月定投的逐期复利

复利计算器把本金、名义年利率、每年复利次数、年数和每月追加金额，按「每个复利期先计息、再计入追加」的口径逐期累加，得到期末的终值（Future Value）和累计利息。

金融免责声明

本页只按你输入的参数提供一般信息与情景估算，不构成投资、税务、法律或其他专业建议，也不推荐任何利率、产品或机构。请根据自身情况向具备相应资质的专业人士咨询。

复利计算器：终值、总利息与月定投的逐期复利

计算器说明

它回答的是一类很具体的问题：一笔钱按固定利率、固定频率「利滚利」若干年，最后是多少；如果每个月再追加一笔，又是多少。适合用来理解复利频率的影响、比较「单利 vs 复利」、估算定投计划的量级，或者反过来问「要达到某个目标终值，每月需要投入多少」。

它不做的事同样明确：不提供、不推荐任何利率或产品，不考虑税费、通胀、手续费与市场波动，也不预测任何真实资产的收益。输入的利率是你的假设，输出只是这个假设在数学上的推演。

公式与变量

设每期利率 $i = r/m$ ，总期数 $n = m\,t$ ，把月定投折算成每期一笔 $C = c \cdot 12/m$ 。引擎逐期执行

B_k = B_{k-1}\,(1+i) + C,\qquad B_0 = P,\qquad k = 1,2,\dots,n

它的闭式解（等比数列求和）是

FV = P\,(1+i)^{n} \;+\; C\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}

总利息等于终值减去所有投入的本金：

I = FV - P - 12\,c\,t

当 $i = 0$ 时第二项退化为 $C\,n$ ，引擎对这一情形单独处理，不会出现 $0/0$ 。

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$P$	本金（期初一次性投入）	本金	货币	$P \ge 0$
$r$	名义年利率	年利率 (%)	百分数	以百分数输入：5 表示 5%，引擎内部除以 100
$m$	每年复利次数	复利频率/年	次/年	正整数：1 年复利、4 季复利、12 月复利、365 日复利
$t$	年数	年数	年	$t \ge 0$ ； $m\,t$ 最好是整数（见假设）
$c$	每月追加金额	月定投	货币	$c \ge 0$ ；每期追加 $C = 12c/m$
$i$	每期利率	（中间量）	小数	$i = r/(100\,m)$
$n$	总期数	（中间量）	期	$n = m\,t$
$FV$	终值	终值	货币	输出
$I$	总利息	总利息	货币	输出， $I = FV - P - 12ct$
$EAR$	实际年利率	实际年化 EAR（结果卡）	百分数	$EAR = (1+i)^m - 1$

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应的是「金融 → 复利」子面板（/#/financial/compound）。默认值为本金 10,000、年利率 5%、年数 10、复利频率 12、月定投 0。
填五个输入本金、年利率 (%)、年数、复利频率/年、月定投。年利率填百分数（5 而不是 0.05）；复利频率填每年计息次数（月复利填 12，季复利填 4）。
读两个结果「终值」与「总利息」实时更新，金额保留两位小数。
看结果卡与解读结果卡额外给出「总投入」（本金 + 全部定投）和「实际年化 EAR」（复利频率大于 1 且利率非零时显示）；卡片标记 verified 表示逐期累加与闭式公式互核一致，approximate 表示期数不是整数、只按整期计算。
目标反解（可选）在「目标终值」填一个金额，点「反解」，计算器用数值搜索给出「所需月定投」。本金在给定利率与年限下已能达到目标时，会提示无需追加。

算例

三组算例均由引擎 compoundInterest 逐期累加得出，并与闭式公式互核；显示金额按界面口径保留两位小数，中间量保留更多位数以便核对。

算例 1：默认输入，月复利、无追加

输入： $P = 10{,}000$ ， $r = 5\%$ ， $m = 12$ ， $t = 10$ ， $c = 0$ 。

每期利率 $i = 0.05/12 = 0.004166\overline{6}$ ，总期数 $n = 12 \times 10 = 120$ 。
增长因子 $(1+i)^{120} = 1.0041\overline{6}^{\,120} \approx 1.647009498$ 。
终值 $FV = 10{,}000 \times 1.647009498 \approx 16{,}470.09$ 。
总利息 $I = 16{,}470.09 - 10{,}000 = 6{,}470.09$ 。

界面显示：终值 16,470.09，总利息 6,470.09，实际年化 EAR 5.1162%。

算例 2：同样的 5%，不同的复利频率

固定 $P = 10{,}000$ ， $r = 5\%$ ， $t = 10$ ， $c = 0$ ，只改 $m$ ：

复利频率 $m$	每期利率 $i$	期数 $n$	终值	总利息	EAR
1（年复利）	0.05	10	16,288.95	6,288.95	5.0000%
12（月复利）	0.0041667	120	16,470.09	6,470.09	5.1162%
365（日复利）	0.00013699	3,650	16,486.65	6,486.65	5.1267%
对照：单利	—	—	15,000.00	5,000.00	—

年复利到月复利多出 181.14，月复利到日复利只多出 16.56——频率带来的增益递减，极限是连续复利 $P e^{rt} = 16{,}487.21$ 。

算例 3：月复利加每月定投 500

输入： $P = 10{,}000$ ， $r = 5\%$ ， $m = 12$ ， $t = 10$ ， $c = 500$ 。

$i = 0.004166\overline{6}$ ， $n = 120$ ，每期追加 $C = 500 \times 12/12 = 500$ 。
本金部分： $10{,}000 \times 1.647009498 = 16{,}470.09$ 。
定投部分：年金因子 $\dfrac{(1+i)^{120}-1}{i} = \dfrac{0.647009498}{0.004166\overline{6}} \approx 155.282279$ ，乘以 500 得 $77{,}641.14$ 。
终值 $FV = 16{,}470.09 + 77{,}641.14 = 94{,}111.23$ 。
总投入 $= 10{,}000 + 500 \times 120 = 70{,}000$ ，总利息 $I = 94{,}111.23 - 70{,}000 = 24{,}111.23$ 。

界面显示：终值 94,111.23，总利息 24,111.23，总投入 70,000.00。

上面三组算例的输入可以直接填进计算器复现。改动任意一个输入（例如把年数从 10 改成 20），终值会变为 27,126.40（无定投时）。

原理与推导

从单利到复利

单利只对本金计息： $t$ 年后的利息是 $P\,r\,t$ ，终值 $P(1+rt)$ 随时间线性增长。复利的区别只有一点——每期结算的利息并入本金，下一期连它一起计息。一期之后余额是 $P(1+i)$ ，两期之后是 $P(1+i)^2$ ， $n$ 期之后是 $P(1+i)^n$ 。指数增长与线性增长的差距在前几年并不显眼（算例 2 中 10 年只差 1,470），但会随时间拉开：同样条件下 20 年终值 27,126.40，是单利 20,000 的 1.36 倍。

图 1：月复利与单利的 10 年增长对比（数据来自引擎逐年余额）

定投项为什么是等比数列求和

每期期末存入 $C$ 。第 1 期末存入的那笔会再经历 $n-1$ 期复利，变成 $C(1+i)^{n-1}$ ；第 2 期末的那笔变成 $C(1+i)^{n-2}$ ；……最后一期存入的 $C$ 不再生息。把它们加起来：

C\left[(1+i)^{n-1} + (1+i)^{n-2} + \cdots + 1\right] = C\cdot\frac{(1+i)^n - 1}{i}

这就是普通年金（annuity-immediate，期末付款）的终值因子。若改为期初付款（annuity-due），每笔多经历一期，整体乘以 $(1+i)$ 。本计算器采用期末口径，所以对同一组输入它给出的定投终值是两种口径中较低的那个。

名义年利率 (APR) 与实际年利率 (EAR)

「年利率 5%，月复利」里的 5% 是名义年利率：它只是每期利率 $i$ 乘以期数 $m$ 的约定写法，不是一年真实的增长率。一年真实增长率是

EAR = \left(1+\frac{r}{m}\right)^{m} - 1

5% 月复利对应 EAR 5.1162%，日复利 5.1267%，连续复利 $e^{0.05}-1 = 5.1271\%$ 。比较两个复利频率不同的方案时，应比 EAR 而不是名义利率。结果卡显示的「实际年化 EAR」就是这个量。

72 法则

要问「多少年翻倍」，精确答案是 $n = \ln 2 / \ln(1+i)$ 期。年复利 5% 时 $\ln 2/\ln 1.05 = 14.21$ 年；72 法则给出 $72/5 = 14.4$ 年，误差在利率 8% 附近最小（8% 时精确值 9.006 年，法则给 9 年）。月复利 5% 时翻倍需要 166.7 个月，即 13.89 年——频率越高翻倍越快，但差距有限。

与净现值的关系

复利终值公式 $FV = PV(1+i)^n$ 反过来就是折现： $PV = FV/(1+i)^n$ 。净现值计算器把多期现金流各自折回今天再求和，用的是同一个因子。理解了复利，就理解了折现的全部数学。

假设

利率固定：整个期限内每期利率 $i = r/m$ 不变，没有浮动、阶梯或重新定价。
复利期等长且期末结算：利息在每个复利期末并入本金；追加金额也在该期末、计息之后入账，本期不生息。
月定投按 $12/m$ 折算：每年复利 $m$ 次时，每期追加 $c \times 12/m$ 。 $m = 12$ 时就是每月一笔； $m = 1$ 时 12 笔月供合并为年末一笔。
期数取整：引擎循环执行 $\lfloor m\,t \rfloor$ 个整期。年数 × 频率不是整数时（如 2.5 年年复利），多出的零头期不计息，结果卡会标为 approximate。
无摩擦：不含税费、手续费、通胀、汇率与提前支取罚息。
金额单位中性：本金、定投与结果使用同一货币单位，计算器不做币种换算。

适用范围与限制

能算: 固定利率下的储蓄、定期定额投入、教育或退休储蓄目标的量级估算，以及不同复利频率之间的比较。
只能近似: 利率会变的产品（浮动利率、阶梯利率、分红），只能用「假设平均利率」做情景，不同情景之间差异可能很大。
不能算: 任何实际金融产品的合同收益。费用、税收、复利与付息日期规则、提前赎回条款都会改变真实结果，请以合同条款为准。
不做: 不提供利率、不比较产品、不推荐机构；结果不是收益预测。
数值精度: 金额以 IEEE 754 双精度浮点计算，显示保留两位小数；极长期限（数百年）或极高频率下累计舍入误差会出现在末位，属于显示位数问题而非公式问题。

常见误区

把 5% 填成 0.05：年利率字段接受百分数。填 0.05 得到的是年利率 0.05%，10 年终值只有 10,050.12。
把每期利率当成年利率：月复利 5% 是每月 0.41667%，不是每月 5%。若把 5 填在年利率、又把复利频率填成 1 之外的值，请确认自己要的是「名义年利率」。
拿名义利率比较不同频率的方案：同为 5%，月复利实际比年复利多 0.1162 个百分点。跨频率比较看 EAR。
忘了自己的口径：定投在期初还是期末、月供是否合并入账，会造成算例 3 里 2,354.93 的差距。看到别的工具给出不同数字，先对口径再对公式。
复利频率填成年数或月数：复利频率是「每年计息几次」，填 120 不是「10 年 × 12 个月」，而是每年 120 次。
把总利息当成收益率：总利息是绝对金额，受期限与本金放大；比较方案的效率要看 EAR 或年化收益率。
忽略通胀：终值是名义金额。若通胀 3%，10 年后 16,470 的购买力约相当于今天的 12,255。

典型使用场景

教学：直观感受指数增长

把年数从 10 改成 20、30，观察终值不是翻倍增长而是加速增长；再把复利频率从 1 改到 12、365，观察增益递减。这是「指数函数」和「极限」最贴近生活的例子。

储蓄目标反解

已知目标金额、可接受的年限与假设利率，用「目标反解」得到每月需要投入多少，再回头调整年限或目标，看看哪一个变量对结果最敏感。

比较两种计息说法

一个方案写「年化 5%，月复利」，另一个写「年化 5.1%，年复利」，用 EAR 判断哪个实际更高（前者 5.1162%，后者 5.1%）。

工程与科学中的同构问题

人口增长、放射性衰变（负利率）、细菌培养、设备折旧都服从 $x_n = x_0(1+i)^n$ 。把「本金」换成初始量、「利率」换成每期增长率，同一个计算器可以直接用。

常见问题

每年复利次数应该填多少？

看计息规则：按年结息填 1，按季填 4，按月填 12，按日填 365。不确定时填 12 做基准，再改成 1 和 365 看结果的区间——对 5% 左右的利率，这一区间通常不到 1.3%。

为什么我用年金公式算出的定投终值比这里高？

最常见原因是口径不同：许多教科书例题按期初付款（annuity-due）计算，本计算器按期末付款；或者对方每月复利而你在这里选择了年复利，月供被合并到年末。两者都在「假设」一节说明。

输入负利率会怎样？

公式仍然成立， $(1+i)^n$ 小于 1，终值随时间衰减。这可以用来模拟通胀对购买力的侵蚀或资产折旧，但「总利息」会是负数。

终值和总利息为什么只显示两位小数？

金额按货币习惯显示到分。内部计算是双精度浮点，没有在中途舍入；如果需要更多位数，可以用算例里的闭式公式自行复算。

结果卡上的 verified 和 approximate 是什么意思？

verified 表示逐期累加结果与闭式公式在 $10^{-9}$ 相对误差内一致；approximate 表示年数 × 复利频率不是整数，引擎只算了整期部分。它们描述的是数学一致性，不是对任何真实收益的保证。

这个计算器能算贷款月供吗？

不能。贷款是「先借后还」的现金流，要用年金现值公式（或工作台「金融 → 贷款」面板）。复利计算器算的是「先存后取」。两者共用同一个折现因子，但方向相反。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/engine/finance.ts 中的 compoundInterest（逐期复利、期末追加口径）与 aprToEar；本页所有数字由该引擎复算。
Brealey, R. A., Myers, S. C., Allen, F., & Edmans, A. Principles of Corporate Finance, 14th ed. McGraw Hill, 2022. 第 2 章 “How to Calculate Present Values” 给出终值、年金与连续复利的标准推导。
Wikipedia, Compound interest（访问日期：2026-09-08）——复利公式、连续复利与历史。
Wikipedia, Effective interest rate（访问日期：2026-09-08）——名义利率与实际利率的换算。
Wikipedia, Rule of 72（访问日期：2026-09-08）——翻倍时间近似及其误差分析。
数据口径日期：2026-09-08（本页不含任何市场利率数据，口径日期指引擎公式与说明文本的核对日期）。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09

Wikipedia: Compound interest（访问日期：2026-09-08） (资料日期: 2026-09-08)
Wikipedia: Effective interest rate（访问日期：2026-09-08） (资料日期: 2026-09-08)
Brealey, Myers, Allen & Edmans, Principles of Corporate Finance, 14th ed., McGraw Hill, 2022, Ch. 2 “How to Calculate Present Values”
Wikipedia: Rule of 72（访问日期：2026-09-08） (资料日期: 2026-09-08)