两点距离与中点计算器（二维 / 三维欧氏距离）

计算器说明

两点距离计算器根据两个点的直角坐标 $(x_1, y_1, z_1)$ 、 $(x_2, y_2, z_2)$ 求出它们之间的直线距离（欧氏距离） $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ ，并给出线段中点的 $x$ 、 $y$ 坐标。把两个 $z$ 都填 0，它就是平面上的两点距离。

它适合的问题：地图或图纸上两点相距多远、屏幕上两个像素的间距、机械臂末端两次位置之间的位移、三维模型里两个顶点的边长、数据分析里两个样本「有多像」。凡是能写成坐标的东西，都可以用它量距离。

它不做的事：不算沿道路或网格的路程（那是曼哈顿距离或路径规划），不算地球表面两地的大圆距离（经纬度要用球面公式），不输出 $z$ 中点，也不做单位换算——所有坐标必须用同一个长度单位。

公式与变量

三维空间中两点的欧氏距离：

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

$z_1 = z_2$ （例如都填 0）时退化为平面距离公式 $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 。线段中点是两端坐标的算术平均：

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$x_1, y_1, z_1$	第一个点的坐标	x₁、y₁、z₁	长度	任意实数；默认 (0, 0, 0)；平面问题 z₁ 填 0
$x_2, y_2, z_2$	第二个点的坐标	x₂、y₂、z₂	长度	任意实数；默认 (3, 4, 0)；平面问题 z₂ 填 0
$\Delta x, \Delta y, \Delta z$	三个坐标差	（中间量）	长度	符号无关紧要，平方后消失
$d$	两点距离	距离 d	长度	输出， $d \ge 0$ ；两点重合时为 0
$M_x, M_y$	中点的 x、y 坐标	中点 X、中点 Y	长度	输出；引擎不输出 z 中点，需手算 $(z_1+z_2)/2$

六个坐标必须用同一长度单位；距离的单位与之相同。

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 距离计算器 (2D/3D)」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.distance）。打开时只有 x₁ = 0、y₁ = 0 预先填入，其余四个坐标为空、按 0 计算，所以初始显示的距离是 0——请把六个坐标都填上。
填两个点平面问题把 z₁、z₂ 都填 0；三维问题填实际高度。坐标可以是负数和小数。
读距离「距离 d」带「计算」标记实时更新，最多 8 位小数、去尾零。
读中点「中点 X」「中点 Y」是两端对应坐标的平均；三维问题的 $z$ 中点请自行取 $(z_1 + z_2)/2$ 。
检验把两点对调，距离与中点都不变；把两点填成相同坐标，距离应为 0。

算例

四组算例均由引擎 distance 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零。

算例 1：原点到 (3, 4, 12)

输入： $(0, 0, 0)$ 与 $(3, 4, 12)$ 。

$\Delta x = 3$ ， $\Delta y = 4$ ， $\Delta z = 12$ 。
平方和 $9 + 16 + 144 = 169$ 。
$d = \sqrt{169} = 13$ ；中点 $(1.5, 2, 6)$ 。

界面显示：距离 13，中点 X 1.5，中点 Y 2。这个例子可以看成两次勾股定理：底面对角线 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ，再与高度 12 组成新的直角三角形， $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ 。

图 1：三维距离就是长方体的空间对角线，等于对底面对角线再用一次勾股定理

算例 2：平面上的 (1, 2) 与 (4, 6)

输入： $(1, 2, 0)$ 与 $(4, 6, 0)$ 。

$\Delta x = 3$ ， $\Delta y = 4$ ， $\Delta z = 0$ 。
$d = \sqrt{9 + 16} = 5$ ；中点 $\big((1+4)/2, (2+6)/2\big) = (2.5, 4)$ 。

界面显示：距离 5，中点 X 2.5，中点 Y 4。对照：沿网格走（先横 3 再竖 4）的曼哈顿距离是 7，直线距离 5 总是不大于它。

算例 3：带负坐标的三维点

输入： $(-2, 3, 1)$ 与 $(4, -1, 5)$ 。

$\Delta x = 4 - (-2) = 6$ ， $\Delta y = -1 - 3 = -4$ ， $\Delta z = 5 - 1 = 4$ 。
平方和 $36 + 16 + 16 = 68$ 。
$d = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.2462$ ；中点 $(1, 1, 3)$ 。

界面显示：距离 8.24621125，中点 X 1，中点 Y 1。负号在平方后消失——距离只关心坐标差的大小。

算例 4：单位正方形与单位立方体的对角线

输入 $(0, 0, 0)$ 与 $(1, 1, 0)$ ：距离 1.41421356（ $\sqrt 2$ ）。输入 $(0, 0, 0)$ 与 $(1, 1, 1)$ ：距离 1.73205081（ $\sqrt 3$ ）。 $n$ 维单位立方体的对角线是 $\sqrt n$ ——维度越高，对角线相对边长越长。

算例 1 的输入可以直接填进面板复现；把 z₂ 改成 0，距离变回平面上的 5。

原理与推导

从勾股定理到距离公式

平面上两点 $P_1(x_1, y_1)$ 、 $P_2(x_2, y_2)$ ，过 $P_1$ 作水平线、过 $P_2$ 作竖直线，交于 $Q(x_2, y_1)$ 。 $P_1 Q$ 长 $|\Delta x|$ ， $Q P_2$ 长 $|\Delta y|$ ，两者垂直，所以 $P_1 P_2$ 是直角三角形的斜边： $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ 。这就是勾股定理换了一套语言。

到三维再用一次：先在 $z = z_1$ 的水平面内得到底面对角线 $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ ，它与竖直方向的 $\Delta z$ 垂直，于是 $d^2 = (\Delta x^2 + \Delta y^2) + \Delta z^2$ 。每增加一个互相垂直的维度，就在根号里多加一项平方——这就是为什么 $n$ 维空间的欧氏距离是 $\sqrt{\sum_i (\Delta x_i)^2}$ ，数据科学里两个 100 维特征向量的「距离」用的仍是同一个公式。

中点为什么是平均

沿线段从 $P_1$ 走到 $P_2$ ，坐标从 $x_1$ 线性变到 $x_2$ ；走到一半时每个坐标都恰好在两端的中间，即 $(x_1 + x_2)/2$ 。推而广之，线段上按比例 $t$ 的点是 $P_1 + t\,(P_2 - P_1)$ ， $t = 1/2$ 给出中点， $t = 1/3$ 给出三等分点——这也是比例与线性插值的几何形式。

「距离」应该满足什么

数学上把满足以下四条的函数都叫作距离（度量）：非负；两点重合时且仅当重合时为 0；对称（ $d(P, Q) = d(Q, P)$ ）；三角不等式（ $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ ，绕路不会更近）。欧氏距离满足全部四条，是「直线最短」这一直觉的精确表述。三角不等式解释了算例 2 中为什么曼哈顿距离 7 大于直线距离 5。

欧氏距离之外

曼哈顿距离 $|\Delta x| + |\Delta y|$ ：只能沿网格走时的路程（棋盘、城市街区、某些电路布线）。
切比雪夫距离 $\max(|\Delta x|, |\Delta y|)$ ：国际象棋里王从一格到另一格的步数。
大圆距离：地球表面两地沿球面的最短路径，经纬度要先换算，公式是球面三角的 haversine，本计算器不做。小范围（几十公里以内）把经纬度按比例换成平面米制坐标后可以近似用欧氏距离。

它们和欧氏距离一样都满足度量的四条性质，但给出的数值不同；用哪一种取决于「能怎么走」。

与斜率的关系

$\Delta x$ 、 $\Delta y$ 同时决定了两个量：它们的平方和的平方根是距离，它们的比是斜率。同一个直角三角形，距离读斜边、斜率读两条直角边之比。

假设

直角坐标系：三条坐标轴互相垂直、刻度相同。倾斜或不等刻度的坐标（如经纬度、对数坐标）不能直接代入。
欧几里得空间：两点之间的「距离」指直线段长度，空间是平直的。
同一单位：六个坐标使用同一长度单位，距离的单位与之相同。
z 为 0 表示平面：二维问题把 z₁、z₂ 都填 0（或填同一个数）。
六个坐标都要填：面板初始只预填 x₁、y₁，其余按 0 计算；请全部填成「输入」。
中点只输出 x、y：z 中点由 $(z_1 + z_2)/2$ 手算。

适用范围与限制

能算: 任意两点（二维或三维直角坐标）的欧氏距离与 x、y 中点；结果最多 8 位小数。
只能近似: 坐标来自测量时，距离的误差约为各坐标误差在连线方向上的投影之和；地球表面小范围用平面坐标近似时误差随范围增大。
不能算: 沿网格或道路的路程、地球表面大圆距离、点到直线或平面的距离、多点的最短路径。
不做: 不输出 z 中点、方向角或方向向量，不做单位换算，不判断输入是否合理。
数值: 坐标极大（如 $10^{200}$ ）时平方会溢出为无穷大；日常量级无此问题。

常见误区

只填了两个坐标：面板初始只预填 x₁、y₁，其余按 0 处理，此时显示的距离 0 没有意义。六个字段都要填。
忘了平方再开方： $\Delta x + \Delta y$ 不是距离；3 + 4 = 7 是曼哈顿距离，欧氏距离是 5。
被负号吓到：坐标差为负没关系，平方后为正；算例 3 里 $\Delta y = -4$ 贡献的是 $+16$ 。
经纬度直接当坐标：1° 经度在赤道约 111 km、在北纬 60° 只有约 56 km，直接代入会严重失真；要先换成米制平面坐标或用大圆公式。
坐标单位不一致：x 用米、y 用厘米，结果毫无意义。先统一单位。
把中点当成距离的一半：中点是一个点（坐标），距离的一半是一个长度；两者不是同一种量。
期待 z 中点：引擎只输出 x、y 中点，z 中点需手算。

典型使用场景

教学：三维版勾股定理

先用 (0, 0, 0)–(3, 4, 0) 得到 5，再把 z₂ 改成 12 得到 13，让学生看到「先算底面对角线、再算空间对角线」的两步。

图纸、屏幕与 CAD

两个标注点或像素点之间的直线距离；把中点当作对称轴或标注位置。屏幕坐标 y 轴向下不影响距离。

机械与机器人

末端执行器两次位姿之间的位移大小、两个孔位的中心距、三维扫描点云中两点的间距。

数据分析

两个样本在特征空间里的欧氏距离是 k 近邻、聚类等算法的基础；本计算器的三维公式就是它的低维版本。

常见问题

为什么打开时距离显示 0？

面板只预填了 x₁、y₁，其余坐标为空、按 0 计算，两点重合于原点。把六个坐标填完整就会显示正确结果。

二维问题 z 怎么填？

两个 z 都填 0（或同一个数）， $\Delta z = 0$ 不影响结果。

能算经纬度之间的距离吗？

不能直接算。经纬度是球面角坐标，需要先换成平面米制坐标（小范围）或使用大圆距离公式（大范围）。

中点 Z 在哪里？

引擎不输出 z 中点。手算 $(z_1 + z_2)/2$ 即可，算例 1 的 z 中点是 6。

距离和位移有什么区别？

本计算器算的是两点之间的直线长度，是标量。位移还带方向，方向向量是 $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ ，长度就是这里的距离。

结果为什么不是整数？

大多数坐标组合的距离是无理数（如 $\sqrt 2$ 、 $\sqrt{68}$ ）；只有 3-4-5、5-12-13 这类勾股数组才得到整数。界面保留最多 8 位小数。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulas.ts 中的 distance 定义（ $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ ，中点 X / Y 为两端坐标平均）；本页所有数字由该引擎复算。
Wikipedia, Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）——二维、三维与 $n$ 维公式，度量性质。
Wikipedia, Midpoint（访问日期：2026-09-08）——中点公式及其推广。
Wikipedia, Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）——曼哈顿距离与欧氏距离的比较。
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”——三维距离公式的推导与中点。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09

Wikipedia: Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Midpoint（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”