比例计算器：A/B = C/D 求第四项、交叉相乘与相似三角形

计算器说明

比例计算器解的是 $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ ：四个数里已知任意三个，它给出第四个。这就是小学到中学一路在用的「三率法」（rule of three）——按配方放大用量、按比例尺读地图距离、用影子量树高、把分数换成百分数，本质上都是同一件事：两个比相等，缺哪个就求哪个。

「比例」这个词有两层意思。 $A : B$ 是一个比（ratio），比值 $k = A/B$ 是一个数；「 $A : B = C : D$ 」才是一个比例（proportion），说的是两个比相等。计算器默认把 $A$ 、 $B$ 当作已知的一组，把 $C$ 、 $D$ 当作要匹配的另一组，最常见的用法是填好 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 求 $D$ 。

它不做的事：只处理正比例（一个量增大另一个按同样倍数增大）；反比例（工人越多天数越少）、按比例分配（把总量按 $2:3$ 分成两份）、连比（ $A : B : C$ ）都要先转成正比例再用，见常见误区与 FAQ。

公式与变量

\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\;\Longleftrightarrow\; A \cdot D = B \cdot C

由「外项积等于内项积」可以解出任意一项：

D = \frac{B\,C}{A},\qquad C = \frac{A\,D}{B},\qquad A = \frac{B\,C}{D},\qquad B = \frac{A\,D}{C}

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$A$	第一组的分子（第一项、外项）	A	任意	默认 3。作分母求 $D$ 时不能为 0
$B$	第一组的分母（第二项、内项）	B	任意	默认 4。与 $A$ 同一量的单位，或与 $D$ 同一量
$C$	第二组的分子（第三项、内项）	C	任意	与 $A$ 同一类量（同一单位）
$D$	第二组的分母（第四项、外项）	D	任意	与 $B$ 同一类量；默认由 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 求出
$k$	比例常数	（不显示）	单位 = $A$ 的单位 / $B$ 的单位	$k = A/B = C/D$ ，「每 1 个 $B$ 对应多少 $A$ 」

单位规则： $A$ 与 $C$ 同单位、 $B$ 与 $D$ 同单位（横着看：3 个鸡蛋 / 300 g 面粉 = 5 个鸡蛋 / 750 g 面粉），或者 $A$ 与 $B$ 同单位、 $C$ 与 $D$ 同单位（竖着看：图上 1 cm / 实地 25000 cm）。两种摆法算出来的数一样，只要四个格子的对应关系摆对。

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 比例计算器」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.proportion）。打开时只有「A」= 3、「B」= 4 已填好，C、D 两个字段都带「计算」标记并显示 0——因为还没有第三个已知数，引擎把空字段当 0。
求 D（最常见）：在「C」里填入已知值，「D」立即变成 $BC/A$ 。例如填 6 得到 8。
求 C不填 C，改在「D」里填值，「C」字段切换成「计算」并显示 $AD/B$ 。
求 A 或 B清空要求的那一项，把另外三项填满；被清空的字段自动变成「计算」。字段可以任意组合，引擎对四个方向都有公式。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零（ $4 \times 100 / 3 = 133.33333333$ ）。分母为 0 时显示 ∞ 或 0（见常见误区）。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把 A/B = C/D → D = B×C/A 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 proportion 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零。

算例 1：默认输入，3 : 4 = 6 : D

输入： $A = 3$ ， $B = 4$ ， $C = 6$ 。

交叉相乘： $3 \times D = 4 \times 6 = 24$ 。
$D = 24 / 3 = 8$ 。

界面显示：D 8。检验： $3/4 = 0.75$ ， $6/8 = 0.75$ ，两个比相等。比例常数 $k = 0.75$ ，也可以读成「 $C$ 是 $A$ 的 2 倍，所以 $D$ 也是 $B$ 的 2 倍」——这种「横向倍数」和「纵向比值」两条路必然得到同一个答案。

换成求 $C$ ：保留 $A = 3$ 、 $B = 4$ ，不填 C，在 D 里填 12，界面显示 C 9（ $3 \times 12 / 4$ ）。

算例 2：配方放大——2 个鸡蛋配 300 g 面粉，750 g 面粉要几个鸡蛋

输入： $A = 2$ （鸡蛋）， $B = 300$ （g 面粉）， $D = 750$ （g 面粉），求 $C$ 。

$C = A D / B = 2 \times 750 / 300 = 1500 / 300 = 5$ 。

界面显示：C 5。这里 $A$ 、 $C$ 是鸡蛋个数， $B$ 、 $D$ 是面粉克数，「横着看」单位一致。倍数 $750 / 300 = 2.5$ ，鸡蛋也乘 2.5。若算出来不是整数（例如 700 g 面粉得 4.67 个鸡蛋），说明配方不能精确整倍放大，要四舍五入或改面粉量。

算例 3：用影子量树高（相似三角形）

同一时刻阳光平行，一根高 3 m 的杆子影长 4.5 m，旁边一棵树影长 12 m，树多高？

输入： $A = 3$ （杆高）， $B = 4.5$ （杆影）， $D = 12$ （树影），求 $C$ （树高）。

两个直角三角形相似，对应边成比例： $\dfrac{3}{4.5} = \dfrac{C}{12}$ 。
交叉相乘： $4.5\,C = 3 \times 12 = 36$ ， $C = 36 / 4.5 = 8$ 。

界面显示：C 8。比例常数 $k = 3 / 4.5 = 0.66666667$ ：每 1 m 影长对应 0.667 m 高度，所以 12 m 影长对应 8 m。这是泰勒斯量金字塔高度的方法，两千多年没有变过。

图 1：算例 3。阳光平行 ⇒ 两个三角形相似 ⇒ 对应边成比例。A、C 是「高」，B、D 是「影长」，横向单位一致

算例 4：地图比例尺与百分数

比例尺 1 : 25000 的地图上两点相距 3.6 cm，实地距离？输入 $A = 1$ ， $B = 25000$ ， $C = 3.6$ ，界面显示 D 90000（cm），即 900 m。这里 $A$ 、 $B$ 都是「长度」， $C$ 、 $D$ 也都是长度，「竖着看」单位一致（图上 cm 对实地 cm）。

百分数：45 是 60 的百分之几？百分数就是「分母为 100 的比」，列成 $\dfrac{45}{60} = \dfrac{C}{100}$ ：输入 $A = 45$ ， $B = 60$ ， $D = 100$ ，界面显示 C 75，即 75%。如果把 100 填进 C 而不是 D（ $A = 45$ ， $B = 60$ ， $C = 100$ ），界面会显示 D 133.33333333——这回答的是「60 是 45 的百分之几」，问题反了。百分数的增减、逆运算等更多口径见百分比计算器。

算例 1 的输入可以直接填进面板复现；把 C 从 6 改成 3、9、12，观察 D 始终保持 C 的 $4/3$ 倍——比例常数不变，是「正比例」的标志。

原理与推导

为什么可以交叉相乘

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ 两边同乘 $BD$ （ $B$ 、 $D$ 都不为 0）：左边 $\dfrac{A}{B} \cdot BD = AD$ ，右边 $\dfrac{C}{D} \cdot BD = BC$ ，于是 $AD = BC$ 。欧几里得《原本》卷五把这叫做「外项之积等于内项之积」：把 $A : B = C : D$ 写成一行， $A$ 、 $D$ 在两头是外项， $B$ 、 $C$ 在中间是内项。反过来，从 $AD = BC$ 两边除以 $BD$ 又回到原比例，所以两种写法完全等价。求哪一项，就把 $AD = BC$ 两边除以它旁边的那个数。

比例常数与正比例

$A/B = C/D = k$ 意味着 $A = kB$ 、 $C = kD$ ：「分子永远是分母的 $k$ 倍」。凡是满足 $y = kx$ 的两个量就叫成正比例——鸡蛋数与面粉量、图上距离与实地距离、影长与物高。画在坐标系里， $(B, A)$ 与 $(D, C)$ 都落在过原点、斜率为 $k$ 的同一条直线上；这也是为什么正比例关系可以用斜率来检验：任取两点算斜率，等于 $k$ 且直线过原点，就是正比例。

反比例不是这个公式

「4 个工人 6 天完工，8 个工人几天」——工人越多天数越少，乘积（总工时 24 人·天）不变，这是反比例 $xy = c$ 。如果套进本计算器 $A = 4$ ， $B = 6$ ， $C = 8$ ，会得到 D 12，方向完全错了。正确做法是先把它改写成正比例： $4 \times 6 = 8 \times D$ ，即 $\dfrac{4}{D} = \dfrac{8}{6}$ ，输入 $A = 4$ ， $B = D$ （未知）， $C = 8$ ， $D = 6$ ——也就是求 B，得到 3 天。判断标准很简单：一个量增大时另一个量也增大才是正比例。

相似三角形：比例最重要的几何来源

两个三角形三个角分别相等，则对应边成比例（《原本》卷六命题 4）。算例 3 中杆、影、光线围成的三角形和树、影、光线围成的三角形都有一个直角、一个相同的太阳高度角，第三个角自然也相等，所以「高 : 影长」两者相同。所有用「量小的推大的」的测量——用手指宽度估距离、用照片里的已知物体量未知物体、投影仪放大、相机成像——底层都是这条命题。

从比例到函数

把比例里的 $D$ 当作自变量、 $C$ 当作因变量， $C = (A/B) \cdot D$ 就是最简单的一次函数（正比例函数）。中学接着学的一次函数 $y = kx + b$ 多了一个截距，等差数列 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 则是自变量只取正整数的一次函数——见等差数列。比例是这一串概念的第一步。

假设

正比例关系成立：两个量之间确实是「一个乘 $k$ 、另一个也乘 $k$ 」。配方能整倍放大、地图各处比例尺一致、阳光平行——这些是前提，不是计算器能检查的。
四项按同一顺序摆放： $A$ 对 $C$ 、 $B$ 对 $D$ 是同类量。摆错位置得到的是另一个问题的答案（见算例 4 的百分数）。
分母不为 0：求 $D$ 时 $A \ne 0$ ，求 $C$ 时 $B \ne 0$ ，求 $A$ 时 $D \ne 0$ ，求 $B$ 时 $C \ne 0$ 。
数值是精确的：测量误差按比例传递， $C$ 的相对误差约等于 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 相对误差之和。
界面口径：只预填 $A$ 、 $B$ ，未填的字段在引擎里按 0 参与运算（求 $D$ 时 $A$ 未填按 1），因此打开面板时 C、D 显示 0。

适用范围与限制

能算: $A/B = C/D$ 中任意一项，包括同时清空多项后的部分结果。
只能近似: 实际问题往往只近似成正比（大批量采购有折扣、地图投影有形变、树影落在斜坡上）。
不能算: 反比例（先改写成正比例，见原理）、按比例分配（先求「每份多少」再乘份数）、连比 $A : B : C$ （拆成两个比例分别算）、复合比例（多个量同时变化）。
不做: 不化简比（ $6 : 8 \to 3 : 4$ ）、不输出比例常数 $k$ 、不做单位换算。
数值: 结果以 8 位小数显示；分母为 0 时显示 ∞（如 $A = 0$ 求 $D$ ）。

常见误区

把反比例当正比例：工人—天数、速度—时间、齿轮齿数—转速都是反比例，直接套公式方向会反（原理一节的 12 天 vs 3 天）。
四项摆错格：算例 4 里把 100 放在 C 还是 D，答案是 75 和 133.33 的差别。写比例前先说清「谁对谁」。
单位不配对： $A$ 用 kg、 $C$ 用 g 会差 1000 倍。同类量必须同单位；不同类量（鸡蛋个数与面粉克数）可以在同一比例里，只要横向对齐。
把「比」读成「分数」再约分错位： $3 : 4 = 6 : 8$ 是对的，但 $3 : 4 = 4 : 3$ 不是——比有方向。
分母为 0： $A = 0$ 求 $D$ 显示 ∞； $B = 0$ 求 $D$ 显示 0（ $0 \times C / A$ ）。两者都说明题目本身有问题，不是结果。
百分数与比例混淆：45 是 60 的 75%，60 是 45 的 133.33%，「增加了 33.33%」和「减少了 25%」——同一对数字，四种问法四个答案。

典型使用场景

厨房与配方

按人数放大缩小配方、调饮料浓度（浓缩液 : 水）、调配涂料或混凝土的配比。

地图、图纸与模型

比例尺换算（图上距离 ↔ 实地距离）、建筑图纸读尺寸、模型与实物的尺寸对应。

测量与相似形

影长测高、用已知尺寸物体估算照片中另一物体尺寸、投影放大倍数。

价格与汇率

5 kg 42.5 元，8 kg 多少（68 元）；1 美元兑 7.2 元，250 美元兑多少（1800 元）；单价一致的采购与报价核对。

教学

体验「交叉相乘」为什么成立、正比例与反比例的区分、相似三角形对应边成比例。

常见问题

只知道两个数能算吗？

不能。比例有四项，至少要三项已知。只填 $A$ 、 $B$ 时 C、D 显示 0 是「还没输入」，不是答案。

怎么算「把 120 按 2 : 3 分成两份」？

先算每份： $120 / (2 + 3) = 24$ ，两份分别是 48 和 72。也可以用本计算器： $\dfrac{2}{5} = \dfrac{C}{120}$ ，输入 $A = 2$ ， $B = 5$ ， $D = 120$ 得 $C = 48$ 。

反比例怎么用这个计算器？

把「乘积相等」改写成比例： $x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$ 。注意右边分子分母调换了位置。

连比 A : B : C = 2 : 3 : 5 怎么算？

拆成两个比例 $A : B = 2 : 3$ 和 $B : C = 3 : 5$ ，知道任意一项就能依次求出其余两项。

为什么分母是 0 时显示 ∞？

引擎按 $D = BC/A$ 计算， $A = 0$ 时是除以零。数学上 $0 : B = C : D$ 只在 $C = 0$ 时有意义（此时 $D$ 任意），计算器无法表达，所以显示 ∞。

比例和百分比计算器有什么区别？

百分比是「分母固定为 100 的比例」，百分比计算器专门处理「 $A$ 是 $B$ 的百分之几」「 $B$ 的 $p\%$ 是多少」以及增减幅度；本计算器更通用，但要自己摆对四项。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulas.ts 中的 proportion 定义（compute(known, solveFor) 对 a / b / c / d 四向求解，分母缺省按 1 兜底）；本页所有数字由该引擎复算。
Wikipedia, Proportionality (mathematics)（访问日期：2026-09-09）——正比例、反比例与比例常数。
Wikipedia, Cross-multiplication（访问日期：2026-09-09）——交叉相乘的推导与使用条件。
Euclid, Elements, Book V，D. E. Joyce 编注版（访问日期：2026-09-09）——欧多克索斯的比例论，「外项积 = 内项积」的原始表述。
Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4（访问日期：2026-09-09）——相似三角形对应边成比例。
Wikipedia, Rule of three (mathematics)（访问日期：2026-09-09）——「三率法」的历史与算法。
《九章算术》卷二「粟米」：今有术——中国古代的比例算法（「以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一」）。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09