等差数列计算器：第 n 项、前 n 项和、反解项数与公差

计算器说明

等差数列计算器处理「每一项比前一项多同一个数」的数列：输入首项 $a_1$ 、公差 $d$ 和项数 $n$ ，得到第 $n$ 项 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 和前 $n$ 项和 $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ；已知末项时还能反解项数 $n$ 或公差 $d$ 。

1, 3, 5, 7, …（奇数）、剧场每排比前一排多 2 个座位、每月比上月多存 50 元、每天减 1.5 km 的减量训练——只要「增量恒定」，就是等差数列。它是最简单的数列，也是理解「累加」的起点：求和公式背后那招「首尾配对」，是高斯 8 岁时（据说）就想到的办法。

它不做的事：不处理等比数列（每项是前一项的固定倍数，如复利），不处理二阶等差（差的差恒定）或斐波那契这类递推数列，也不列出全部项——它只给第 $n$ 项和总和两个数。

公式与变量

a_n = a_1 + (n-1)\,d,\qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = n\,a_1 + \frac{n(n-1)}{2}\,d

由末项反解：

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1,\qquad d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$a_1$	首项	首项 a₁	任意	默认 1；可为负数或小数
$d$	公差（相邻两项之差 $a_{k+1} - a_k$ ）	公差 d	与 $a_1$ 同	默认 2； $d > 0$ 递增， $d < 0$ 递减， $d = 0$ 常数列
$n$	项数	项数 n	个	正整数， $n \ge 1$ ；引擎不检查是否为整数。字段有默认值 10，但界面只预填前两个字段，打开时为空
$a_n$	第 $n$ 项（末项）	第n项 aₙ	与 $a_1$ 同	输出；反解模式下作为输入
$S_n$	前 $n$ 项和	求和 S	与 $a_1$ 同	输出， $n$ 个项相加

两种求和写法等价：第一种用首末两项的平均值乘项数，第二种只用 $a_1$ 、 $d$ 、 $n$ ；引擎按第一种计算，第二种供手算核对。

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 等差数列」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arithmetic-seq）。打开时只有「首项 a₁」= 1、「公差 d」= 2 已填好，「项数 n」为空；此时第 n 项显示 −1、求和显示 0——引擎把空的 $n$ 当 0 代入 $a_1 + (0-1)d$ ，这不是结果，填入 $n$ 即正常。
求第 n 项与和在「项数 n」填正整数，两个结果字段带「计算」标记同时更新。
反解项数清空「项数 n」，在「第n项 aₙ」填入末项，保留 $a_1$ 、 $d$ ，项数字段切换为「计算」。注意此时「求和」显示 0（引擎对未填的 $n$ 兜底为 0）；把算出的 $n$ 填回项数字段并清空 $a_n$ ，即可得到和。
反解公差清空「公差 d」，填入 $a_1$ 、 $n$ 、 $a_n$ ，公差字段给出 $(a_n - a_1)/(n-1)$ 。此时「求和」用 $d = 0$ 计算，显示的是 $n \cdot a_1$ ，同样不是真实的和；把 $d$ 填回去即可。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零。反解出的 $n$ 若不是整数（如 16.66666667），说明所填的 $a_n$ 不是这个数列里的项。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把 aₙ = a₁ + (n-1)d, S = n(a₁+aₙ)/2 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 arithmetic-seq 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零。

算例 1：3, 7, 11, 15, 19, 23 —— 六项

输入： $a_1 = 3$ ， $d = 4$ ， $n = 6$ 。

第 6 项 $a_6 = 3 + (6-1) \times 4 = 3 + 20 = 23$ 。
和 $S_6 = \dfrac{6 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{6 \times 26}{2} = 78$ 。

界面显示：第n项 23，求和 78。用第二种写法核对： $6 \times 3 + \dfrac{6 \times 5}{2} \times 4 = 18 + 60 = 78$ 。配对法： $3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26$ ，三对各 26，共 78。

图 1：算例 1。左边是高斯配对（首尾相加恒等于 a₁ + aₙ），右边是几何版本——两份阶梯拼成矩形，面积 n(a₁ + aₙ)，取一半就是 Sₙ

算例 2：默认输入与高斯的 1 到 100

输入： $a_1 = 1$ ， $d = 2$ ， $n = 10$ （默认值）。第 10 项 $= 1 + 9 \times 2 = 19$ ，和 $= 10 \times (1 + 19) / 2 = 100$ 。界面显示：第n项 19，求和 100。前 10 个奇数之和恰是 $10^2$ ；改 $n = 100$ ，界面显示第n项 199、求和 10000——前 $n$ 个奇数之和总是 $n^2$ （把 L 形的奇数块一层层拼成正方形就能看出）。

输入 $a_1 = 1$ ， $d = 1$ ， $n = 100$ ：界面显示第n项 100，求和 5050。这是传说中小高斯用「 $1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 50 + 51$ ，共 50 对，每对 101」秒杀老师的那道题。

算例 3：剧场座位与递减数列

剧场：第一排 20 个座位，之后每排多 2 个，共 15 排。输入 $a_1 = 20$ ， $d = 2$ ， $n = 15$ ：最后一排 $20 + 14 \times 2 = 48$ 个，总座位 $15 \times (20 + 48)/2 = 510$ 。界面显示：第n项 48，求和 510。

递减：一批 100 kg 库存每天固定出货 7 kg，12 天后库存与累计？输入 $a_1 = 100$ ， $d = -7$ ， $n = 12$ ：第 12 天库存 $100 - 77 = 23$ ，12 天库存总和 $12 \times (100 + 23)/2 = 738$ （kg·天，「平均库存 61.5 kg × 12 天」）。界面显示：第n项 23，求和 738。公差为负时公式原样成立，只是数列往下走。

每月多存 50 元：第一个月存 100，之后每月多存 50，一年下来？输入 $a_1 = 100$ ， $d = 50$ ， $n = 12$ ：第 12 个月存 650，全年共 4500。

算例 4：反解项数与公差

反解 n：数列 5, 8, 11, … 的哪一项是 50？输入 $a_1 = 5$ ， $d = 3$ ， $a_n = 50$ （清空 n）： $n = (50 - 5)/3 + 1 = 16$ 。界面显示：项数 n 16，求和 0（见步骤 3 口径）。把 16 填回项数并清空 $a_n$ ：第n项 50、求和 440。

如果问 52 是第几项： $n = (52 - 5)/3 + 1 = 16.66666667$ ——不是整数，52 不在这个数列里（第 16 项 50，第 17 项 53）。

反解 d：从 2 出发，8 项后到 30，公差是多少？输入 $a_1 = 2$ ， $n = 8$ ， $a_n = 30$ （清空 d）： $d = (30 - 2)/(8 - 1) = 4$ 。界面显示：公差 d 4，求和 16（引擎此时用 $d = 0$ 算和， $8 \times 2 = 16$ ，不是真实和）。把 4 填回公差并清空 $a_n$ ：第n项 30、求和 128。

算例 1 的输入可以直接填进面板复现；把 $n$ 从 6 依次改为 12、24、48，观察第 n 项按 $n$ 线性增长而和按 $n^2$ 增长（项数翻倍，和大约变成 4 倍）。

原理与推导

通项：从递推到直接公式

定义是递推的： $a_{k+1} = a_k + d$ 。从 $a_1$ 出发走到 $a_n$ 要加 $n - 1$ 次 $d$ ，所以 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 。注意是 $n - 1$ 而不是 $n$ ：6 根柱子之间只有 5 个间隔（图 1 里的五个「+4」），这就是「植树问题」——项数比间隔数多 1。

把 $n$ 看成自变量， $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$ 是一条直线：斜率是公差 $d$ ，截距是 $a_1 - d$ （「第 0 项」）。等差数列就是定义域只取正整数的一次函数，图 1 左边柱顶连起来是直线。任取两项算斜率得到的就是公差；反解公差的公式 $d = (a_n - a_1)/(n-1)$ 正是「纵坐标差除以横坐标差」。

求和：高斯配对

把 $S_n$ 正着写一遍、倒着写一遍，上下相加：

\begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \\ S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \\ 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \cdots + (a_1 + a_n) = n\,(a_1 + a_n) \end{aligned}

每一列的和都是 $a_1 + a_n$ ——一项多 $d$ 的同时对面那项少 $d$ 。共 $n$ 列，所以 $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ 。项数为奇数时中间那项自己配自己（它正好是 $(a_1 + a_n)/2$ ，即所有项的平均值），公式不变。图 1 右边是这段代数的几何版本：阶梯正放一份、倒放一份拼成 $n \times (a_1 + a_n)$ 的矩形。

代入 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 得第二种写法 $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2} d$ ： $n$ 个 $a_1$ 加上 $0 + 1 + \cdots + (n-1) = n(n-1)/2$ 个 $d$ 。它告诉我们 $S_n$ 关于 $n$ 是二次的——项数翻倍，和大约变 4 倍。

「平均值 × 项数」的读法

$S_n = n \cdot \dfrac{a_1 + a_n}{2}$ ：和等于「首末项的平均」乘项数。对等差数列，首末项的平均就是全部项的平均——因为项对称地分布在中点两侧。算例 3 的库存问题里，738 = 61.5 × 12 就是「平均库存 × 天数」，这一读法在梯形面积（上底加下底乘高除二）与匀变速运动的位移（平均速度乘时间）里是同一件事。

等差与等比：单利与复利

等差数列每步加固定量，等比数列每步乘固定倍数。本金 1000 元按 5% 单利，每年利息固定 50 元，各年本息 1050, 1100, 1150, … 是等差数列，10 年后 1500；按 5% 复利则是等比数列 $1000 \times 1.05^n$ ，10 年后 1628.89。前者是直线，后者是指数曲线，时间越长差距越大——详细讨论见复利计算器。

假设

公差恒定：相邻两项之差处处相同。只要有一处不等，通项和求和公式都失效。
项数是正整数：引擎不检查， $n = 2.5$ 会给出无意义的数字。
从第 1 项开始计数： $a_1$ 是第 1 项而不是第 0 项；有些教材或程序（数组下标）从 0 计数，此时 $a_n = a_0 + nd$ 。
求和是前 $n$ 项：从 $a_1$ 加到 $a_n$ ；要算第 $m$ 到第 $n$ 项之和，用 $S_n - S_{m-1}$ 。
界面口径：未填的字段在引擎里按 0 参与运算，因此反解 $n$ 或 $d$ 时「求和」显示的不是真实的和（步骤 3、4）。

适用范围与限制

能算: 任意实数 $a_1$ 、 $d$ 与正整数 $n$ 的第 $n$ 项和前 $n$ 项和；由 $a_n$ 反解 $n$ （需 $d \ne 0$ ）或 $d$ （需 $n \ne 1$ ）。
只能近似: 现实中的「等差」多半是近似（座位排数、库存出货），公式给的是模型值。
不能算: 等比数列（另有等比数列计算器）、二阶等差数列（ $1, 3, 6, 10, \ldots$ ）、部分和 $a_m + \cdots + a_n$ （分两次算再相减）、由 $S_n$ 反解 $n$ 或 $d$ （需解二次方程，请手算）。
不做: 不列出各项、不判断某数是否为数列的项（用反解 $n$ 是否为整数自行判断）。
数值: $n$ 极大时 $S_n$ 达到 $10^{12}$ 以上会以科学计数法显示；双精度下项数到 $10^7$ 量级仍精确。

常见误区

通项写成 $a_1 + nd$ ：漏掉 $-1$ ，每一项都多算一个 $d$ 。6 项只有 5 个间隔。
反解 $n$ 得到小数还当答案： $n = 16.67$ 表示所填末项不在数列中，不是「第 16.67 项」。
反解模式下的「求和」当结果：那是引擎用 $n = 0$ 或 $d = 0$ 的兜底值，把反解结果填回去才是真实的和。
递减数列把公差填成正数：100, 93, 86, … 的公差是 $-7$ ；填 7 会得到递增数列的结果。
求和公式里用 $a_1 + a_n$ 却忘了除 2： $n(a_1 + a_n)$ 是两份阶梯拼成的矩形面积，要取一半。
把等比当等差：复利、人口增长、细菌繁殖是等比数列，用本计算器会严重低估。

典型使用场景

教学

从递推到通项、从配对到求和公式；观察前 $n$ 个奇数的和是 $n^2$ ；理解等差数列是「整数点上的一次函数」。

计数与排列

剧场 / 体育场逐排递增的座位数、金字塔式堆放的木材或罐头（每层递减）、阅兵方阵的人数。

计划与预算

每月递增的储蓄或还款计划、递减的库存或训练量、按固定增量涨薪的累计收入。

单利与折旧

单利利息按等差累积；直线法折旧每年减少固定金额，第 $n$ 年账面价值就是第 $n$ 项。

常见问题

为什么打开面板时第 n 项显示 −1？

项数还没填，引擎把 $n$ 当 0 代入 $1 + (0-1) \times 2 = -1$ 。填入项数后即正常。

怎么判断一个数是否在数列里？

清空 $n$ 、把该数填进「第n项」，看反解出的 $n$ 是否为正整数。50 在 5, 8, 11, … 里（ $n = 16$ ），52 不在（ $n = 16.67$ ）。

怎么求第 5 项到第 12 项的和？

算 $S_{12}$ 和 $S_4$ 再相减。或者把第 5 项当新首项、项数 8 重新算。

已知和与首项、公差，怎么反解项数？

解二次方程 $\dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac d2\right)n - S_n = 0$ ，取正整数根。计算器不支持这一反解。

为什么和是二次增长的？

$S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$ 含 $n^2$ 项。直观上，和是阶梯图下的面积，而阶梯是一条直线下的面积——面积随宽度平方增长。

等差数列和等比数列怎么选？

看「相邻两项是相差固定还是相除固定」：每年加 50 是等差，每年乘 1.05 是等比。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulas.ts 中的 arithmetic-seq 定义（compute(known, solveFor) 输出 an / sum，支持由 an 反解 n 与 d）；本页所有数字由该引擎复算。
Wikipedia, Arithmetic progression（访问日期：2026-09-09）——通项、求和的两种写法与推导。
Wikipedia, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯（访问日期：2026-09-09）——三角形数 $n(n+1)/2$ 与高斯轶事。
Brian Hayes, “Gauss's Day of Reckoning”, American Scientist 94(3), 2006（访问日期：2026-09-09）——高斯求和故事各版本的史料考证。
Wikipedia, Rhind Mathematical Papyrus（访问日期：2026-09-09）——公元前 1550 年左右的等差分配问题（第 40、64 题）。
《九章算术》卷三「衰分」、卷六「均输」——中国古代的等差分配与求和问题。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09