正多边形计算器：面积、周长、内角、边心距与外接圆半径

计算器说明

正多边形计算器根据边数 $n$ 和边长 $s$ ，给出正多边形的面积 $A = \dfrac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}$ 、周长 $P = ns$ 和每个内角 $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ ；也可以反过来，由面积和边数反解边长。

「正多边形」指所有边等长、所有角相等的多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形（螺母、蜂巢）、正八边形（停车标志）……只要图形满足这两个条件，量一条边就知道全部。它把三角形、正方形这些「小学几何」和圆（ $n \to \infty$ 的极限）串在一条线上，是理解「用多边形逼近圆」的起点。

它不做的事：不处理不规则多边形（边长或角不相等的图形要分割成三角形逐块算），不处理星形多边形，也不做单位换算——边长用什么单位，面积就是它的平方。

公式与变量

设正 $n$ 边形边长为 $s$ ，从中心到各顶点的距离（外接圆半径）为 $R$ ，从中心到各边中点的距离（边心距、内切圆半径）为 $a$ ：

A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)},\qquad P = n\,s,\qquad \theta_{\text{内}} = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

三个辅助量与两种等价的面积写法（计算器内部只用第一式，其余供手算与核对）：

a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)},\qquad A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2}\,n\,R^2 \sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)

由面积反解边长：

s = \sqrt{\frac{4A\tan(\pi/n)}{n}}

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$n$	边数	边数 n	个	整数， $n \ge 3$ ；默认 6。字段有 `min: 3` 提示，但引擎不阻止非整数
$s$	边长	边长 s	长度	$s > 0$ ；默认 5
$A$	面积	面积	长度²	输出；反解模式下作为输入
$P$	周长	周长	长度	输出， $P = ns$
$\theta_{\text{内}}$	每个内角	内角(°)	度	输出， $(n-2)\cdot 180^\circ/n$ ，随 $n$ 增大趋于 180°
$a$	边心距（内切圆半径）	（不显示）	长度	中心到边的垂距，手算面积时的「高」
$R$	外接圆半径	（不显示）	长度	中心到顶点的距离；正六边形恰有 $R = s$
$\pi/n$	半个中心角	（中间量）	弧度	公式中的 $\tan(\pi/n)$ 以弧度计；用角度制手算写成 $\tan(180^\circ/n)$

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 正多边形」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.regular-polygon）。打开时「边数 n」= 6、「边长 s」= 5 已填好，面积、周长、内角随即算出。
求面积、周长、内角改写边数与边长，带「输入」标记的是你填的，带「计算」标记的三个字段实时更新。边数请填 3 以上的整数。
由面积反解边长清空「边长 s」，在「面积」里填入已知面积，保留「边数 n」，边长字段切换成「计算」并显示结果。注意此时「周长」会显示 0（引擎把未填的边长当 0 计算周长，反解出的边长不回填），把结果手动填回边长字段即可看到周长。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零，例如正六边形边长 5 的面积显示 64.95190528；内角在 $n$ 为整数时通常是整数或有限小数（正五边形 108，正七边形 128.57142857）。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把公式文本 A = n×s²/(4tan(π/n)) 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 regular-polygon 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零。

算例 1：默认输入，边长 5 的正六边形

输入： $n = 6$ ， $s = 5$ 。

半个中心角 $\pi/6 = 30^\circ$ ， $\tan 30^\circ = 0.57735027$ 。
面积 $A = \dfrac{6 \times 25}{4 \times 0.57735027} = \dfrac{150}{2.30940108} = 64.95190528$ 。
周长 $P = 6 \times 5 = 30$ 。
内角 $= (6-2)\times 180^\circ / 6 = 120^\circ$ 。

界面显示：面积 64.95190528，周长 30，内角 120。手算核对：边心距 $a = 5/(2\tan 30^\circ) = 4.33012702$ ，面积 $= \tfrac12 \times 30 \times 4.33012702 = 64.95190528$ ，一致；外接圆半径 $R = 5/(2\sin 30^\circ) = 5 = s$ ——正六边形是唯一「外接圆半径等于边长」的正多边形，因为它由 6 个正三角形拼成。

图 1：算例 1 的正六边形。面积 = 6 个「底 s、高 a」的等腰三角形

算例 2：正三角形与正方形——用已知公式核对

输入 $n = 3$ ， $s = 4$ ：

$\tan(\pi/3) = \tan 60^\circ = 1.73205081$ 。
$A = \dfrac{3 \times 16}{4 \times 1.73205081} = \dfrac{48}{6.92820323} = 6.92820323$ 。

界面显示：面积 6.92820323，周长 12，内角 60。它等于中学公式 $\dfrac{\sqrt 3}{4}s^2 = \dfrac{\sqrt 3}{4}\times 16 = 4\sqrt 3 = 6.92820323$ 。

输入 $n = 4$ ， $s = 4$ ： $\tan 45^\circ = 1$ ， $A = 4 \times 16 / 4 = 16 = s^2$ ，界面显示面积 16，周长 16，内角 90——正方形公式 $s^2$ 是通式在 $n = 4$ 时的特例。

算例 3：停车标志——边长 10 的正八边形

输入： $n = 8$ ， $s = 10$ 。

$\tan(\pi/8) = \tan 22.5^\circ = 0.41421356 = \sqrt 2 - 1$ 。
$A = \dfrac{8 \times 100}{4 \times 0.41421356} = \dfrac{800}{1.65685425} = 482.84271247$ 。
$P = 80$ ，内角 $= 6 \times 180^\circ / 8 = 135^\circ$ 。

界面显示：面积 482.84271247，周长 80，内角 135。闭式写法 $A = 2(1+\sqrt 2)s^2 = 200(1+\sqrt 2) = 482.84271247$ 。若边长单位是厘米，一块这样的标志面积约 0.048 m²；边心距 $a = 10/(2\tan 22.5^\circ) = 12.07106781$ ，所以「对边距离」（扳手开口那种量法）是 $2a = 24.14$ 。

算例 4：反解边长，以及 n 很大时逼近圆

输入：面积 $A = 100$ ， $n = 6$ （清空边长）。

$s = \sqrt{\dfrac{4 \times 100 \times \tan 30^\circ}{6}} = \sqrt{\dfrac{230.94010768}{6}} = \sqrt{38.49001795} = 6.20403239$ 。

界面显示：边长 s 6.20403239，内角 120；「周长」显示 0（见步骤 3 的口径说明）。手动把 6.20403239 填回边长，周长显示 37.22419436。

输入 $n = 360$ ， $s = 1$ ：面积 10312.97851164，周长 360，内角 179。周长同为 360 的圆面积是 $360^2/(4\pi) = 10313.24031235$ ，多边形只比圆小 0.0025%——边数一多，正多边形与圆几乎无法区分，这正是阿基米德用 96 边形夹逼 $\pi$ 的思路。

算例 1 的输入可以直接填进面板复现；把边数从 6 依次改为 8、12、100，观察内角向 180° 逼近、面积与「同周长的圆」越来越接近。

原理与推导

切成 n 个等腰三角形

把正 $n$ 边形的中心与每个顶点相连，得到 $n$ 个全等的等腰三角形：底边是 $s$ ，两腰是 $R$ ，顶角是整个 360° 平分成的中心角 $2\pi/n$ 。再从中心向底边作垂线，等腰三角形被分成两个直角三角形，直角边分别是 $s/2$ 和边心距 $a$ ，锐角是 $\pi/n$ 。于是

\tan\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{a}\;\Rightarrow\; a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad \sin\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{R}\;\Rightarrow\; R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}

每个等腰三角形的面积是 $\tfrac12 s a$ ， $n$ 个加起来：

A = n \cdot \tfrac12 s a = \tfrac12 (ns)\,a = \tfrac12 P a = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}

「面积 = 周长 × 边心距 ÷ 2」这一形式和圆的 $A = \tfrac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ 完全同构——圆就是边心距等于半径、周长等于 $2\pi r$ 的「无穷多边形」。

内角为什么是 (n − 2)·180° / n

从一个顶点向其余顶点连对角线，任意 $n$ 边形都被分成 $n - 2$ 个三角形，每个三角形内角和 180°，所以多边形内角和是 $(n-2)\cdot 180^\circ$ 。正多边形各角相等，平均分给 $n$ 个角就得到每个内角。另一种看法：每个外角是 $360^\circ/n$ （绕多边形走一圈总共转 360°），内角 $= 180^\circ - 360^\circ/n$ ，化简后与前式相同。 $n = 3, 4, 5, 6, 8$ 分别给出 60°、90°、108°、120°、135°。

哪些正多边形能铺满平面

在一个顶点处拼若干个相同的正多边形，内角之和必须恰好是 360°。 $360^\circ / \theta_{\text{内}}$ 要是整数：正三角形（6 个）、正方形（4 个）、正六边形（3 个）可以；正五边形 $360/108 = 3.33$ 、正八边形 $360/135 = 2.67$ 都不行，所以只有这三种正多边形能单独铺满平面。蜂巢选择正六边形不是巧合：在这三种里，围住同样面积时正六边形的周长最短（Hales 于 1999 年证明的「蜂巢猜想」）。

逼近圆：从多边形到 π

固定周长 $P$ ，正 $n$ 边形面积 $A_n = \dfrac{P^2}{4n\tan(\pi/n)}$ 。当 $n \to \infty$ ， $n\tan(\pi/n) \to \pi$ ，于是 $A_n \to P^2/(4\pi)$ ，正是周长为 $P$ 的圆的面积。算例 4 中 $n = 360$ 已经只差 0.0025%。阿基米德在《圆的度量》中用内接与外切正 96 边形夹出 $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$ ，用的就是这一收敛；刘徽的「割圆术」以正 3072 边形得到 $\pi \approx 3.1416$ 。

从外接圆半径或边心距出发

如果已知的不是边长而是 $R$ （例如圆内接正多边形）或 $a$ （例如螺母的对边距离），可以先换算成边长再用本计算器： $s = 2R\sin(\pi/n)$ ， $s = 2a\tan(\pi/n)$ 。等价的直接公式是 $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ 与 $A = na^2\tan(\pi/n)$ 。

假设

图形确实是正多边形：所有边相等且所有内角相等。只满足一个条件（例如菱形边相等但角不等）就不适用。
凸多边形：公式针对凸的正多边形；正五角星等星形多边形的「面积」有不同定义，不在范围内。
平面几何：在欧几里得平面上；球面上的正多边形内角和更大。
边数为不小于 3 的整数：引擎不做检查，非整数 $n$ 的输出没有几何意义。
同一单位：边长与边心距、半径使用同一长度单位，面积为其平方。
反解口径：由面积反解边长时，周长字段按未填写的边长（0）计算并显示 0，不代表周长为零。

适用范围与限制

能算: 任意 $n \ge 3$ 的正多边形由边长求面积、周长、内角；由面积与边数反解边长。
只能近似: 实测的「正」多边形总有制造误差；面积对边长的相对误差是边长相对误差的两倍（ $\Delta A/A \approx 2\,\Delta s/s$ ）。
不能算: 不规则多边形（请分割成三角形或用坐标法「鞋带公式」）、由 $R$ 或 $a$ 直接输入（先按上文换算成 $s$ ）、星形多边形、三维多面体的表面积。
不做: 不输出边心距、外接圆半径、外角、对角线条数（ $n(n-3)/2$ ）等辅助量，需要时按公式手算。
数值: $n$ 极大时 $\tan(\pi/n)$ 很小，双精度下 $n$ 到 $10^7$ 量级仍有 8 位以上有效数字，日常使用不受影响。

常见误区

手算时用角度制却写 tan(π/n)： $\pi/n$ 是弧度。用普通计算器在角度模式下应按 $\tan(180^\circ/n)$ ；正六边形填 $\tan(30^\circ)$ 而不是 $\tan(0.5236^\circ)$ 。
把外接圆半径当成边长：只有正六边形 $R = s$ 。正方形 $R = s/\sqrt 2$ ，正三角形 $R = s/\sqrt 3$ ，正八边形 $R = 1.3066\,s$ 。
把「对边距离」当成边长：螺母标称尺寸（如 M10 螺母的 17 mm）是对边距离 $2a$ ，不是边长。边长 $s = 2a\tan(\pi/n)$ ，对正六边形 $s = 2a \times 0.57735 = 1.1547\,a$ ：17 mm 螺母 $a = 8.5$ mm，边长 9.81 mm。
用不规则图形套公式：五条边都是 5 但角不相等的五边形，面积小于正五边形；公式只对正多边形成立。
面积单位漏掉平方：边长 5 cm 的正六边形面积是 64.95 cm²，不是 64.95 cm。
边数填小数或小于 3：引擎照算，但结果无意义（见算例 4 后的提示）。
周长在反解模式显示 0：那是口径而非结果，把反解出的边长填回去即可。

典型使用场景

教学：从三角形、正方形到圆

先用 $n = 3$ 、 $4$ 核对熟悉的公式，再把 $n$ 一路加大到 100、1000，观察内角逼近 180°、面积逼近同周长圆的面积——一次体验极限与 $\pi$ 的由来。

建筑与园艺：凉亭、花坛、地砖

六角凉亭已知边长求地面面积（算地板材料）；正八边形花坛求周长（算围边长度）；判断哪种正多边形地砖能无缝铺满（只有 3、4、6 边）。

机械与五金：螺母与轴孔

螺母是正六边形：由对边距离换算边长与截面积；正八边形、正十二边形的花键或扳手开口同理。

标志与设计

停车标志（正八边形）、蜂巢图案（正六边形）、徽章（正五边形、正十边形）的尺寸换算与面积估计。

常见问题

已知外接圆半径 R，面积怎么算？

用 $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ ，或先算边长 $s = 2R\sin(\pi/n)$ 再填进计算器。正六边形 $R = 5$ 时 $s = 5$ ，面积 64.95。

已知边心距（内切圆半径）a 呢？

$A = na^2\tan(\pi/n)$ ，或 $s = 2a\tan(\pi/n)$ 。正六边形 $a = 4.3301$ 时 $s = 5$ 。

为什么内角显示 128.57142857 这种小数？

正七边形内角 $= 5 \times 180^\circ / 7 = 900^\circ/7$ ，不是整数；只有当 $n$ 整除 $360$ 时内角才是整数（ $n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ ）。

正多边形和圆哪个面积大？

周长相同时，圆面积最大；边数越多的正多边形越接近圆（等周不等式）。算例 4 里 360 边形只比圆小 0.0025%。

能算不规则多边形吗？

不能。已知各顶点坐标时用鞋带公式 $A = \tfrac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ ；已知边和角时分割成三角形。

边数填 2 或 1 会怎样？

$n = 2$ 时 $\tan(\pi/2)$ 无穷大、面积 0，内角 0； $n = 1$ 时 $\tan\pi = 0$ ，面积为无穷。都没有几何意义，字段提示的最小值是 3。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulas.ts 中的 regular-polygon 定义（compute(known, solveFor) 支持 area / perimeter / intAngle 与由 area 反解 s）；本页所有数字由该引擎复算。
Wikipedia, Regular polygon（访问日期：2026-09-09）——面积、边心距、外接圆半径的各种等价公式。
Wikipedia, Apothem（访问日期：2026-09-09）—— $A = \tfrac12 Pa$ 的推导。
Euclid, Elements, Book IV，D. E. Joyce 编注版，Clark University（访问日期：2026-09-09）——圆内接、外切正多边形的尺规作法。
Wikipedia, Honeycomb conjecture（访问日期：2026-09-09）——正六边形是等面积分割中周长最小的，Hales 1999 年证明。
Wikipedia, Euclidean tilings by convex regular polygons（访问日期：2026-09-09）——只有正三角形、正方形、正六边形能单独铺满平面。
阿基米德《圆的度量》命题 3；刘徽《九章算术》「圆田术」注中的割圆术——用正多边形逼近圆的原典。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09