弧长与扇形计算器：弧长、扇形面积与弦长

计算器说明

弧长与扇形计算器根据圆的半径 $r$ 和圆心角 $\theta$ （以度输入）求出三样东西：这段圆弧的长度 $L$ 、这个扇形（圆心与圆弧围成的「披萨块」）的面积 $A$ 、以及连接弧两端的弦长。反过来，已知弧长和半径，它也能求出圆心角。

凡是「圆的一部分」都能用它：钟表指针扫过的距离、弯道的长度、一块披萨的面积、齿轮上一段齿距对应的角度、地球表面沿经线走 1° 是多少公里。它也是把「度」和「弧度」两种角度单位真正联系起来的地方——弧度的定义就是弧长与半径之比。

它不做的事：不算圆本身的周长与面积（把角度填 360° 即可得到），不算弓形（弧与弦之间那一块）的面积——但本页给出了公式，用扇形面积减去三角形面积即可；不把角度归一化到 0°–360°；不做单位换算。

公式与变量

先把角度从度换成弧度 $\theta = \theta_{\deg} \times \pi / 180$ ，然后

L = r\,\theta,\qquad A = \tfrac{1}{2}\,r^2\theta,\qquad \text{弦长} = 2r\sin\frac{\theta}{2}

由弧长反解角度： $\theta_{\deg} = \dfrac{L}{r} \times \dfrac{180}{\pi}$ 。弓形（弧与弦之间的区域）面积不在输出里，但可由扇形减去等腰三角形得到：

A_{\text{弓形}} = \tfrac{1}{2}\,r^2\,(\theta - \sin\theta)

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$r$	圆的半径	半径 r	长度	$r > 0$ ；默认 10
$\theta_{\deg}$	圆心角（度）	角度(°)	度	通常 $0 < \theta_{\deg} \le 360$ ；默认 60；引擎不限制范围，超过 360° 会按「多于一整圈」计算
$\theta$	圆心角（弧度）	（中间量）	rad	$\theta = \theta_{\deg}\,\pi/180$ ；60° = π/3 ≈ 1.0472 rad
$L$	弧长	弧长	长度	输出； $\theta_{\deg} = 360$ 时等于周长 $2\pi r$ ；可作输入反解角度
$A$	扇形面积	扇形面积	长度²	输出； $\theta_{\deg} = 360$ 时等于圆面积 $\pi r^2$
弦长	弧两端点的直线距离	弦长	长度	输出； $\theta_{\deg} = 180$ 时等于直径 $2r$ ，是弦长的最大值

半径、弧长、弦长使用同一长度单位，面积是该单位的平方。

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 弧长 / 扇形」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arc-sector）。打开时半径 r = 10、角度 60° 已填入，弧长、扇形面积、弦长自动算出。
算弧长、面积、弦长改写半径和角度（角度用度，不是弧度），三个带「计算」标记的字段实时更新，最多 8 位小数、去尾零。
由弧长反解角度清空「角度(°)」，在「弧长」里填入已知弧长，保留半径，角度字段切换为「计算」并给出度数。此时扇形面积和弦长会显示 0（引擎把未知角度当 0 计算），请忽略，或把反解出的角度填回角度字段再读它们。
整圆与半圆角度填 360 得到周长与圆面积（弦长理论上为 0，界面可能显示 1.469576e-15 这样的浮点噪声，即 0）；填 180 得到半圆弧长、半圆面积与直径。
算弓形面积用输出的扇形面积减去三角形面积 $\tfrac12 r^2 \sin\theta$ ，或直接代入 $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ 。

算例

四组算例均由引擎 arc-sector 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零。

算例 1：半径 6、圆心角 60°

弧度 $\theta = 60 \times \pi/180 = \pi/3 \approx 1.04719755$ 。
弧长 $L = 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28318531$ 。
扇形面积 $A = \tfrac12 \times 36 \times \pi/3 = 6\pi \approx 18.84955592$ 。
弦长 $= 2 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6$ 。

界面显示：弧长 6.28318531，扇形面积 18.84955592，弦长 6。圆心角 60° 时两条半径与弦组成等边三角形，所以弦长恰好等于半径。

图 1：算例 1。弧长与面积都要用弧度代入；弦长用 2r·sin(θ/2)，θ/2 用度或弧度都可以，只要和 sin 的口径一致

算例 2：面板默认值，半径 10、60°

$L = 10 \times \pi/3 \approx 10.47197551$ 。
$A = \tfrac12 \times 100 \times \pi/3 \approx 52.35987756$ 。
弦长 $= 20 \sin 30° = 10$ 。

界面显示：10.47197551、52.35987756、10。与算例 1 相比半径放大到 $10/6$ 倍，弧长与弦长同比放大，面积放大 $(10/6)^2 = 2.78$ 倍。

算例 3：优弧——半径 1.5、270°

$\theta = 270 \times \pi/180 = 3\pi/2 \approx 4.71238898$ 。
$L = 1.5 \times 3\pi/2 \approx 7.06858347$ （四分之三个周长）。
$A = \tfrac12 \times 2.25 \times 3\pi/2 \approx 5.3014376$ （四分之三个圆面积）。
弦长 $= 3 \sin 135° = 3 \times 0.70710678 \approx 2.12132034$ 。

界面显示：7.06858347、5.3014376、2.12132034。超过 180° 后弦长开始回落——270° 的弦与 90° 的弦一样长，因为它们是同一条弦的两侧。

算例 4：由弧长反解角度

一段弧长 5、半径 10 的弧对应多大的圆心角？清空角度，输入弧长 5、半径 10。

$\theta = L/r = 0.5$ rad。
$\theta_{\deg} = 0.5 \times 180/\pi \approx 28.64788976°$ 。

界面显示：角度 28.64788976。此时扇形面积与弦长字段显示 0，这是反解模式的口径（见「假设」）。把 28.64788976 填回角度字段，可得扇形面积 25、弦长 4.94808114。

半径固定为 6，让圆心角从 0° 扫到 360°：弧长随角度线性增长（0 → 37.70），弦长先增后减，在 180° 处达到最大值 12（直径），到 360° 回到 0。小角度时两条曲线几乎重合——弦长与弧长之比 $\sin(\theta/2)/(\theta/2)$ 在 10° 时为 0.9987，在 60° 时为 0.9549，在 180° 时为 0.6366。

原理与推导

弧长：周长的一部分

整个圆周长 $2\pi r$ 对应圆心角 360°；圆心角 $\theta_{\deg}$ 的弧占整圆的 $\theta_{\deg}/360$ ，所以

L = \frac{\theta_{\deg}}{360} \times 2\pi r = r \times \left(\theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180}\right) = r\,\theta

括号里的量就是弧度。弧度的定义：弧长与半径之比， $\theta = L/r$ 。一个弧度就是「弧长恰好等于半径」的圆心角，约 57.2958°；整圆是 $2\pi$ 弧度。用弧度写公式， $L = r\theta$ 里没有任何常数——这是数学与物理几乎总用弧度的原因。

扇形面积：圆面积的一部分

同样按比例： $A = \dfrac{\theta_{\deg}}{360}\,\pi r^2 = \tfrac12 r^2 \theta$ 。另一种看法是把扇形切成无数细窄的三角形，每个底边是一小段弧 $r\,d\theta$ 、高是 $r$ ，面积 $\tfrac12 r \cdot r\,d\theta$ ，加起来就是 $\tfrac12 r^2 \theta$ 。这与 $A = \tfrac12 L r$ （「底 × 高 / 2」，把弧当底、半径当高）是同一个式子。

弦长：一个等腰三角形

圆心与弧两端组成等腰三角形，两腰为 $r$ 、顶角为 $\theta$ 。从圆心向弦作垂线，把它分成两个直角三角形，每个的对边是弦的一半、斜边是 $r$ 、顶角是 $\theta/2$ ，于是弦的一半 $= r\sin(\theta/2)$ ，弦长 $= 2r\sin(\theta/2)$ 。 $\theta = 180°$ 时 $\sin 90° = 1$ ，弦长 $= 2r$ 是直径，也是弦长的最大值；再增大角度弦长回落， $360°$ 时两端重合、弦长为 0。

弓形面积

弧与弦围成的区域叫弓形（圆缺）。它等于扇形减去那个等腰三角形：三角形面积 $= \tfrac12 r^2 \sin\theta$ （两边夹角公式），所以 $A_{\text{弓形}} = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ 。算例 1 中 $= 18.84955592 - 15.58845727 = 3.26109865$ 。圆形油罐里液面以下的横截面积、拱门上方的面积都用这个式子。

小角度近似

$\theta$ 很小时 $\sin\theta \approx \theta$ （弧度），所以弦长 ≈ 弧长，弓形面积 ≈ $\tfrac12 r^2 \cdot \theta^3/6$ 趋于 0。这是测量学和天文学里「用弦代弧」的依据：1° 的弧与弦相差只有 0.0013%，地球上 1° 的弧长 111.195 km 与弦长 111.194 km 几乎无法区分。

为什么一圈是 360°

360 来自古巴比伦的六十进制与一年约 360 天的粗略观测，它有 24 个约数，便于等分；但它是人为约定，不是几何事实。弧度则由圆自身的比例决定：整圈 $2\pi$ 。「弧度」这一名称于 1873 年由 James Thomson 提出，而这一概念可追溯到 Roger Cotes（1714）。

假设

圆心角用度输入：引擎在内部乘以 $\pi/180$ 换成弧度；如果你手里的角度已经是弧度，先乘 $180/\pi$ 再输入。
不归一化角度：填 400° 会被当作「一圈又 40°」计算，弧长与面积继续增大，弦长按 $\sin 200°$ 计算为负值；负角度得到负的弧长与面积。有意义的范围是 $0° < \theta \le 360°$ 。
正半径： $r > 0$ 。反解角度时 $r = 0$ 会除零。
反解只影响角度字段：由弧长反解角度时，扇形面积与弦长按「角度 = 0」计算显示 0，应忽略。
同一长度单位：半径、弧长、弦长同单位，面积为其平方。

适用范围与限制

能算: 任意正半径与任意圆心角（度）的弧长、扇形面积、弦长；由弧长与半径反解圆心角。结果最多 8 位小数。
只能近似: 整圆（360°）的弦长理论为 0，界面可能显示 1.469576e-15 一类的浮点噪声；把它读作 0。
不能算: 弓形面积（用本页公式手算）、由弦长或面积反解角度或半径、椭圆弧、螺旋线长度、三维曲面上的弧。
不做: 不限制角度到 0°–360°，不做度分秒或弧度输入，不做单位换算。
数值: 极大半径与极小角度组合时， $\sin(\theta/2)$ 的相对精度会下降，但对日常量级无影响。

常见误区

把弧度填进「角度(°)」：填 1.0472 得到的是 1.0472°，弧长只有 0.1097（半径 6）而不是 2π。这个字段要度数。
手算时忘了换弧度： $L = r\theta$ 只对弧度成立；用 60 直接乘半径会得到 360 而不是 6.28。
弦长当弧长：小角度时两者接近，大角度差别很大——180° 时弦长 12 而弧长 18.85（半径 6）。
角度超过 360°：引擎不折回，400° 的弦长会是负数。先把角度减去整圈数。
反解模式下读面积与弦长：它们显示 0 是口径问题，不是几何事实。
面积按比例放大：半径翻倍，弧长与弦长翻倍，但扇形面积变为 4 倍。
整圆弦长的浮点噪声：1.469576e-15 就是 0，不是一个「很小的弦」。

典型使用场景

教学：弧度到底是什么

把半径填 1，角度填 57.29577951（一个弧度），弧长恰为 1；再把角度填 360，看弧长变成 6.28318531 = 2π。弧度就是「以半径为尺子量弧长」。

披萨与蛋糕的公平分配

直径 30 cm 的披萨切 8 块：r = 15、角度 45°，每块面积 88.35729338 cm²、外沿弧长 11.78097245 cm、直边间的弦长 11.4805 cm。整块面积 706.86 cm² 的八分之一，正好。

弯道、拱门与钟表

公路弯道的半径与转角给出弯道长度；拱门的半径与张角给出拱的弧长（材料用量）与弦长（跨度）；时针 1 小时转 30°，分针 20 分钟转 120°，配合指针长度即可得到针尖走过的距离。

地球与航海

r = 6371 km、1 角分（1/60°）的弧长 1.8532 km 是海里的来源；经线上纬度差 1° ≈ 111.19 km。工程与测量上用弦代弧的误差在小角度下可以忽略。

常见问题

角度应该填度还是弧度？

填度。引擎内部乘 $\pi/180$ 换成弧度。如果已知的是弧度，先乘 $180/\pi$ （约 57.2958）再填。

怎样算整圆的周长和面积？

角度填 360：弧长就是周长 $2\pi r$ ，扇形面积就是圆面积 $\pi r^2$ 。此时弦长理论为 0，界面可能显示极小的浮点噪声。

弓形（弧和弦之间）的面积怎么算？

扇形面积减去三角形面积： $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ ， $\theta$ 用弧度。算例 1 得 3.2611。

为什么 270° 的弦长和 90° 的一样？

它们是同一条弦：弦把圆分成两段弧，90° 的劣弧和 270° 的优弧共用同一条弦， $\sin 135° = \sin 45°$ 。

为什么反解角度时面积和弦长变成 0？

引擎在反解模式下把未知角度当 0 计算其它输出，得到的是无意义的值。把反解出的角度填回角度字段即可看到正确的面积与弦长。

已知弦长能反解角度吗？

本计算器不能（只支持由弧长反解）。手算： $\theta = 2\arcsin\big(\text{弦长}/(2r)\big)$ ，注意弦长不能超过直径。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulas.ts 中的 arc-sector 定义（角度以度输入、内部换弧度；arcLen、sectorArea、chordLen 三个目标与由弧长反解角度）；本页所有数字由该引擎复算。
Wikipedia, Circular sector（访问日期：2026-09-08）——扇形面积与弧长公式。
Wikipedia, Arc length（访问日期：2026-09-08）——圆弧长度与一般曲线弧长。
Wikipedia, Radian（访问日期：2026-09-08）——弧度的定义、历史与换算。
Wikipedia, Circular segment（访问日期：2026-09-08）——弓形面积与弦长公式。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09