圆柱与圆锥计算器：体积、表面积、母线与由体积反解半径

计算器说明

圆柱与圆锥计算器把「同底同高」的两个旋转体放在一个面板里：输入底面半径 $r$ 和高 $h$ ，一次得到圆柱体积 $\pi r^2 h$ 、圆柱表面积 $2\pi r(r+h)$ 、圆锥体积 $\tfrac13 \pi r^2 h$ 和圆锥表面积 $\pi r(r + l)$ ，其中母线 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ 由引擎自动求出。已知圆柱体积和高时，还能反解半径。

水杯、易拉罐、水管、油罐、储粮仓的柱段是圆柱；漏斗、冰淇淋筒、锥形路障、储粮仓的锥顶是圆锥。两者共享同一个底面圆，所以放在一起算最方便：一个粮仓的容积就是「圆柱体积 + 圆锥体积」，用一组 $r$ 、 $h$ 各算一遍再相加即可。

它不做的事：不处理斜圆柱、斜圆锥（体积公式仍成立，但表面积公式不成立）、圆台（截头圆锥）、空心管的壁体积，也不做单位换算——半径与高用什么长度单位，体积就是它的立方、面积就是它的平方。

公式与变量

V_{\text{柱}} = \pi r^2 h,\qquad S_{\text{柱}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r\,(r + h)

V_{\text{锥}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h,\qquad l = \sqrt{r^2 + h^2},\qquad S_{\text{锥}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r\,(r + l)

由圆柱体积反解半径：

r = \sqrt{\frac{V_{\text{柱}}}{\pi h}}

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$r$	底面半径	半径 r	长度	$r > 0$ ；默认 3。注意是半径不是直径
$h$	高（轴向）	高 h	长度	$h > 0$ ；默认 10。圆锥的高是顶点到底面圆心的垂直距离，不是母线
$V_{\text{柱}}$	圆柱体积	圆柱体积	长度³	输出；反解模式下作为输入
$S_{\text{柱}}$	圆柱全表面积	圆柱表面积	长度²	输出，含上下两个底面
$V_{\text{锥}}$	圆锥体积	圆锥体积	长度³	输出，恰为同底同高圆柱的 $\tfrac13$
$S_{\text{锥}}$	圆锥全表面积	圆锥表面积	长度²	输出，含一个底面
$l$	母线（斜高）	（不显示）	长度	顶点到底面圆周的距离， $l = \sqrt{r^2+h^2}$ ，用勾股定理得到
$2\pi r h$	圆柱侧面积	（不显示）	长度²	展开为 $2\pi r \times h$ 的矩形
$\pi r l$	圆锥侧面积	（不显示）	长度²	展开为半径 $l$ 、弧长 $2\pi r$ 的扇形

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 圆柱 / 圆锥」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.cylinder-cone）。打开时「半径 r」= 3、「高 h」= 10 已填好，四个结果字段带「计算」标记同时显示。
求体积与表面积改写半径和高即可，四个结果实时更新。测到的是直径时先除以 2 再填。
由圆柱体积反解半径清空「半径 r」，在「圆柱体积」里填入已知体积，保留「高 h」，半径字段切换成「计算」并给出 $\sqrt{V/(\pi h)}$ 。此时其余三个字段显示 0——引擎把未填的半径当 0 计算它们，这是口径而非结果；把反解得到的半径填回「半径 r」并清空体积字段，就能看到完整的四个数。
只要一部分需要「圆柱侧面积」时用表面积减去两个底面 $2\pi r^2$ ；需要「圆锥侧面积」时用圆锥表面积减去一个底面 $\pi r^2$ ；需要「无盖圆柱」（水桶）时减一个底面。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零；体积单位是长度单位的立方，表面积是平方。1 m³ = 1000 L，1 dm³ = 1 L，1 cm³ = 1 mL。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把 V_cyl=πr²h, V_cone=πr²h/3 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 cylinder-cone 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零。

算例 1：默认输入 r = 3、h = 10

输入： $r = 3$ ， $h = 10$ 。

底面积 $\pi r^2 = 9\pi = 28.27433388$ 。
圆柱体积 $V_{\text{柱}} = 9\pi \times 10 = 90\pi = 282.74333882$ 。
圆柱表面积 $S_{\text{柱}} = 2\pi \times 3 \times (3 + 10) = 78\pi = 245.04422698$ 。
圆锥体积 $V_{\text{锥}} = 90\pi / 3 = 30\pi = 94.24777961$ 。
母线 $l = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} = 10.44030651$ ；圆锥表面积 $S_{\text{锥}} = \pi \times 3 \times (3 + 10.44030651) = 126.67190457$ 。

界面显示：圆柱体积 282.74333882，圆柱表面积 245.04422698，圆锥体积 94.24777961，圆锥表面积 126.67190457。拆开看，圆锥侧面积 $\pi r l = 98.39757069$ ，展开成扇形后的圆心角是 $360^\circ \times r/l = 103.45^\circ$ 。

算例 2：r = 3、h = 4 —— 3-4-5 圆锥

输入： $r = 3$ ， $h = 4$ 。

$V_{\text{柱}} = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi = 113.09733553$ 。
$S_{\text{柱}} = 2\pi \times 3 \times 7 = 42\pi = 131.94689145$ ：侧面 $24\pi = 75.39822369$ 加两个底面 $18\pi = 56.54866776$ 。
$V_{\text{锥}} = 12\pi = 37.69911184$ 。
$l = \sqrt{9 + 16} = 5$ （勾股数 3-4-5）， $S_{\text{锥}} = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi = 75.39822369$ 。

界面显示：圆柱体积 113.09733553，圆柱表面积 131.94689145，圆锥体积 37.69911184，圆锥表面积 75.39822369。有趣的巧合：这个圆锥的全表面积 $24\pi$ 正好等于圆柱的侧面积 $2\pi r h = 24\pi$ 。圆锥侧面积 $\pi r l = 15\pi = 47.12388980$ ，展开成半径 5 的扇形，弧长等于底面周长 $6\pi$ ，圆心角 $= 6\pi / 5 \text{ rad} = 216^\circ$ 。

图 1：算例 1 的圆柱与算例 2 的圆锥。圆锥侧面展开是一个扇形：半径是母线 l，弧长是底面周长 2πr，所以侧面积 = ½ · 2πr · l = πrl

算例 3：已知容积 1000、高 10，反解半径

输入：圆柱体积 $V_{\text{柱}} = 1000$ ， $h = 10$ （清空半径）。

$r = \sqrt{\dfrac{1000}{\pi \times 10}} = \sqrt{31.83098862} = 5.64189584$ 。

界面显示：半径 r 5.64189584；圆柱表面积、圆锥体积、圆锥表面积均显示 0（见步骤 3 的口径说明）。把 5.64189584 填回半径并清空体积字段后，界面显示圆柱体积 1000.0000016（8 位小数的半径回代产生的舍入尾巴）、圆柱表面积 554.49077079、圆锥体积 333.33333387、圆锥表面积 303.50903342。若单位是 cm，这是一个容积 1 L、高 10 cm、直径约 11.3 cm 的杯子。

算例 4：同样的体积，不同的形状

输入： $r = 6$ ， $h = 2.5$ 。

$V_{\text{柱}} = \pi \times 36 \times 2.5 = 90\pi = 282.74333882$ ——与算例 1 完全相同，因为 $36 \times 2.5 = 9 \times 10 = 90$ 。
$S_{\text{柱}} = 2\pi \times 6 \times 8.5 = 102\pi = 320.44245067$ ，比算例 1 的 $78\pi$ 大 31%。
$l = \sqrt{36 + 6.25} = 6.5$ ， $S_{\text{锥}} = \pi \times 6 \times 12.5 = 75\pi = 235.61944902$ 。

界面显示：圆柱体积 282.74333882，圆柱表面积 320.44245067，圆锥体积 94.24777961，圆锥表面积 235.61944902。同样装 90π 单位体积，矮胖的罐子用料更多——这是包装设计里「等体积时怎样最省材料」问题的起点（答案是 $h = 2r$ ，见 FAQ）。

再看一根水管： $r = 0.5$ m、 $h = 100$ m，界面显示圆柱体积 78.53981634（m³，即 78,540 L），圆柱表面积 315.73006169，其中侧面 $100\pi = 314.16$ m²——刷防锈漆时要的就是这个数，两端的 $0.5\pi$ m² 可以忽略。

算例 1 的输入可以直接填进面板复现；把半径从 3 改成 6（高不变），观察体积变为 4 倍而表面积不到 3 倍；把高从 10 改成 20，体积与侧面积都恰好翻倍。

原理与推导

圆柱：把底面「推」出一段高

圆柱是底面圆沿着垂直方向平移 $h$ 得到的立体。任何这类「直棱柱 / 直圆柱」的体积都是底面积乘高：把它切成很多薄片，每片都是同样的圆，体积 $= \pi r^2 \times h$ 。侧面沿一条母线剪开摊平，是一个宽 $2\pi r$ （底面周长）、高 $h$ 的矩形，所以侧面积 $2\pi r h$ ；加上上下两个底面 $2\pi r^2$ 就是全表面积 $2\pi r(r+h)$ 。

圆锥体积为什么恰好是三分之一

这是本页最值得记住的一件事。三种看法：

切片比较（祖暅原理 / 卡瓦列里原理）。把圆锥和同底同高的圆柱并排放，在离顶点 $x$ 的高度切一刀：圆锥截面半径是 $r x / h$ ，面积 $\pi r^2 x^2/h^2$ ，随 $x$ 按平方增长；圆柱截面始终是 $\pi r^2$ 。求和（积分）：

V_{\text{锥}} = \int_0^h \pi r^2 \frac{x^2}{h^2}\,\mathrm dx = \pi r^2 \cdot \frac{h^3}{3h^2} = \tfrac13 \pi r^2 h

与棱锥类比。一个正方体可以切成三个全等的四棱锥（顶点在正方体中心的对面），所以棱锥体积是同底同高棱柱的 $\tfrac13$ ；把底面正方形换成圆，结论不变（欧几里得《原本》卷十二命题 10 用穷竭法证明了圆锥是圆柱的三分之一）。

动手验证。用同底同高的圆锥容器往圆柱容器里倒水，恰好三次倒满——中学课堂上的经典实验。

圆锥侧面为什么展开是扇形

沿一条母线把圆锥侧面剪开摊平，顶点变成扇形的圆心，每条母线都长 $l$ ，所以是半径 $l$ 的扇形；原来的底面圆周变成扇形的弧，弧长 $2\pi r$ 。扇形面积 $= \tfrac12 \times \text{弧长} \times \text{半径} = \tfrac12 \times 2\pi r \times l = \pi r l$ 。扇形的圆心角（弧度） $= 2\pi r / l$ ，图 1 右侧算例 2 的 $216^\circ$ 就是这样来的。弧长、扇形面积与弧度制的完整推导见弧长与扇形，这里只用到结论。

母线：一个直角三角形

沿轴把圆锥切开，截面是一个等腰三角形，一半是直角三角形：两直角边是 $r$ 和 $h$ ，斜边就是母线 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ 。这正是勾股定理。算例 2 选 $r = 3$ 、 $h = 4$ 就是为了让 $l = 5$ 成为整数。

缩放规律

半径与高同时放大 $k$ 倍，表面积放大 $k^2$ 倍，体积放大 $k^3$ 倍： $r = 6$ 、 $h = 20$ 的圆柱体积 2261.94671058 是算例 1 的 8 倍。只放大半径时体积按 $r^2$ 增长（算例 1 改 $r = 6$ 得 4 倍），只放大高时按 $h$ 线性增长——罐头厂改包装尺寸时靠的就是这两条。

假设

直圆柱、直圆锥：轴垂直于底面。斜圆柱 / 斜圆锥的体积公式仍成立（同样的切片面积），但侧面积公式不成立。
圆锥是完整的：从顶点到底面。截去顶部的圆台要用 $V = \tfrac13\pi h (R^2 + Rr + r^2)$ ，不在本计算器范围内。
表面积是全表面积：圆柱含两个底面，圆锥含一个底面。开口容器请按步骤 4 自行扣减。
壁厚为零：算的是几何体的容积 / 外表面，不区分内径与外径。
同一单位： $r$ 、 $h$ 同单位，体积为其立方、面积为其平方。
反解口径：只支持由圆柱体积与高反解半径；反解时其余三个字段按半径 0 计算并显示 0。

适用范围与限制

能算: 任意正数 $r$ 、 $h$ 下圆柱与圆锥的体积、全表面积；由圆柱体积与高反解半径。
只能近似: 真实容器有壁厚、圆角、拉伸变形；饮料罐的标称容量与几何体积可差几个百分点。
不能算: 圆台、斜圆柱、空心管壁的体积（外圆柱减内圆柱，可分两次算再相减）、圆锥的反解（由圆锥体积反解 $r$ 或 $h$ 需手算 $r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ）、由表面积反解任何量。
不做: 不输出母线、侧面积、底面积、展开扇形的圆心角等中间量，需要时按公式手算。
数值: $r$ 、 $h$ 极大或极小时结果以科学计数法显示（绝对值 $\ge 10^{12}$ 或 $< 10^{-8}$ ）。

常见误区

把直径当半径：量到的往往是直径 $d$ ，体积应是 $\pi (d/2)^2 h = \pi d^2 h/4$ 。直接把 $d$ 填进「半径」会把体积放大 4 倍。
把母线当高：圆锥的高是顶点到底面圆心的垂直距离；纸质冰淇淋筒上量到的「边长」是母线 $l$ ，高要用 $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ 换算。
圆锥体积忘了除以 3： $\pi r^2 h$ 是同底同高圆柱的体积。
表面积漏底面或多底面：无盖水桶只有一个底面， $S = \pi r^2 + 2\pi r h$ ；圆锥形帐篷没有底面，只有侧面 $\pi r l$ 。
体积单位换算按 10 进：1 m = 100 cm，但 1 m³ = 1,000,000 cm³ = 1000 L；长度单位换算比例的立方才是体积换算比例。
反解模式下三个 0 当结果：那是引擎对未填半径的兜底，填回半径即可。

典型使用场景

容器容积

水杯、储水罐、油桶、粮仓（圆柱 + 圆锥顶，两段分别算再相加）；已知目标容积和高反解需要多大的半径。

材料用量

圆柱罐体的板材面积（表面积）、水管外壁刷漆面积（侧面积）、锥形帐篷或漏斗的布料 / 金属皮面积（圆锥侧面积 $\pi r l$ ）。

工程与土方

锥形沙堆 / 煤堆的体积估算（量底面周长得 $r$ ，量高得 $h$ ），桩基（圆柱）的混凝土方量。

教学

体验「圆锥是圆柱的三分之一」、缩放的平方 / 立方律、侧面展开与扇形的关系；配合弧长与扇形算展开扇形的圆心角。

常见问题

圆柱的侧面积怎么单独得到？

用圆柱表面积减去两个底面： $S_{\text{柱}} - 2\pi r^2 = 2\pi r h$ 。算例 1 中 $245.04 - 56.55 = 188.50$ 。

圆锥的侧面积和展开扇形的圆心角？

侧面积 $\pi r l = S_{\text{锥}} - \pi r^2$ ；圆心角 $\theta = 2\pi r / l$ （弧度） $= 360^\circ \cdot r / l$ 。算例 2： $216^\circ$ ；算例 1： $103.45^\circ$ 。

等体积时圆柱怎样最省材料？

固定体积 $V$ ，全表面积 $2\pi r^2 + 2V/r$ 在 $h = 2r$ （高等于直径）时最小。算例 4 与算例 1 体积相同， $r = 3$ 、 $h = 10$ 的表面积（245）比 $r = 6$ 、 $h = 2.5$ （320）小，但还不是最优；最优是 $r = \sqrt[3]{45} \approx 3.557$ 、 $h \approx 7.11$ 。真实易拉罐更高更瘦，因为顶盖材料更厚、成本另计。

已知圆锥体积怎么反解半径？

$r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ，引擎不提供此反解，需手算后填回。

圆台（截头圆锥）怎么算？

$V = \tfrac13\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ ，侧面积 $\pi (R + r)\,l$ ， $l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}$ 。本计算器不支持，可以用「大圆锥减小圆锥」的思路分两次计算。

半球、球和圆柱、圆锥的关系？

半径 $r$ 的球体积 $\tfrac43\pi r^3$ ，正好是 $h = 2r$ 圆柱体积 $2\pi r^3$ 的 $\tfrac23$ ；同半径、 $h = r$ 的圆锥体积 $\tfrac13\pi r^3$ 是半球 $\tfrac23\pi r^3$ 的一半。阿基米德把「圆锥 : 球 : 圆柱 = 1 : 2 : 3」（ $h = 2r$ 时）视为自己最得意的发现。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulas.ts 中的 cylinder-cone 定义（compute(known, solveFor) 输出 cylVol / cylSurf / coneVol / coneSurf，支持由 cylVol 与 h 反解 r）；本页所有数字由该引擎复算。
Wikipedia, Cylinder（访问日期：2026-09-09）——体积、表面积与斜圆柱的说明。
Wikipedia, Cone — Volume（访问日期：2026-09-09）——圆锥体积的积分推导与母线。
Euclid, Elements, Book XII, Proposition 10，D. E. Joyce 编注版（访问日期：2026-09-09）——「任何圆锥是同底同高圆柱的三分之一」的穷竭法证明。
Wikipedia, Cavalieri's principle（访问日期：2026-09-09）——祖暅原理：等高处截面积相等则体积相等。
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time——长度、面积、体积的量与单位定义。
阿基米德《论球与圆柱》——球、圆柱、圆锥体积之比的原典。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09