Proportionalrechner: A/B = C/D, Dreisatz und Kreuzprodukt

Der Proportionalrechner löst \dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}: Von den vier Werten werden drei vorgegeben, den vierten liefert er. Das ist der „Dreisatz“, der von der Grundschule bis zur Oberstufe ständig gebraucht wird – ein Rezept auf die gewünschte Menge hochrechnen, eine Kartenentfernung über den Maßstab lesen, eine Baumhöhe über den Schatten bestimmen, einen Bruch in Prozent umwandeln: Immer geht es um dasselbe, nämlich zwei gleiche Verhältnisse, bei denen der fehlende Wert gesucht ist.

Proportionalrechner: A/B = C/D, Dreisatz und Kreuzprodukt

Über diesen Rechner

Der Proportionalrechner löst $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ : Von den vier Werten werden drei vorgegeben, den vierten liefert er. Das ist der „Dreisatz“, der von der Grundschule bis zur Oberstufe ständig gebraucht wird – ein Rezept auf die gewünschte Menge hochrechnen, eine Kartenentfernung über den Maßstab lesen, eine Baumhöhe über den Schatten bestimmen, einen Bruch in Prozent umwandeln: Immer geht es um dasselbe, nämlich zwei gleiche Verhältnisse, bei denen der fehlende Wert gesucht ist.

Das Wort „Verhältnis“ hat zwei Bedeutungsebenen. $A : B$ ist ein Verhältnis (englisch ratio), der Quotient $k = A/B$ ist eine Zahl; erst „ $A : B = C : D$ “ ist eine Proportion (Verhältnisgleichung), die aussagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind. Der Rechner behandelt $A$ , $B$ standardmäßig als die bekannte Gruppe und $C$ , $D$ als die dazu passende zweite Gruppe; der häufigste Fall ist, $A$ , $B$ und $C$ auszufüllen und $D$ zu erhalten.

Was er nicht tut: Er behandelt nur die direkte Proportionalität (wächst die eine Größe, wächst die andere im selben Verhältnis); umgekehrte Proportionalität (mehr Arbeiter, weniger Tage), proportionales Aufteilen (eine Gesamtmenge im Verhältnis $2:3$ zerlegen) und verkettete Verhältnisse ( $A : B : C$ ) müssen zuerst in eine direkte Proportionalität umgeformt werden – siehe „Häufige Fehler“ und die FAQ.

Formeln und Variablen

\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\;\Longleftrightarrow\; A \cdot D = B \cdot C

Aus „Produkt der Außenglieder gleich Produkt der Innenglieder“ lässt sich jedes Glied berechnen:

D = \frac{B\,C}{A},\qquad C = \frac{A\,D}{B},\qquad A = \frac{B\,C}{D},\qquad B = \frac{A\,D}{C}

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$A$	Zähler der ersten Gruppe (erstes Glied, Außenglied)	A	beliebig	Vorgabe 3. Als Nenner zur Bestimmung von $D$ darf der Wert nicht 0 sein
$B$	Nenner der ersten Gruppe (zweites Glied, Innenglied)	B	beliebig	Vorgabe 4. Gleiche Einheit wie $A$ oder gleiche Einheit wie $D$
$C$	Zähler der zweiten Gruppe (drittes Glied, Innenglied)	C	beliebig	gleiche Größenart wie $A$ (gleiche Einheit)
$D$	Nenner der zweiten Gruppe (viertes Glied, Außenglied)	D	beliebig	gleiche Größenart wie $B$ ; wird standardmäßig aus $A$ , $B$ und $C$ berechnet
$k$	Proportionalitätskonstante	(wird nicht angezeigt)	Einheit = Einheit von $A$ / Einheit von $B$	$k = A/B = C/D$ , „wie viel von $A$ gehört zu je 1 von $B$ “

Einheitenregel: Entweder haben $A$ und $C$ dieselbe Einheit und $B$ und $D$ dieselbe Einheit (horizontal gelesen: 3 Eier / 300 g Mehl = 5 Eier / 750 g Mehl), oder $A$ und $B$ haben dieselbe Einheit und $C$ und $D$ dieselbe Einheit (vertikal gelesen: 1 cm auf der Karte / 25000 cm in der Wirklichkeit). Beide Anordnungen liefern dieselbe Zahl, solange die vier Felder einander richtig zugeordnet sind.

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Proportionalrechner“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.proportion). Beim Öffnen sind nur „A“ = 3 und „B“ = 4 vorbelegt, die Felder C und D tragen die Markierung „berechnet“ und zeigen 0 – es fehlt noch die dritte bekannte Zahl, und die Engine behandelt leere Felder als 0.
D berechnen(der häufigste Fall): In „C“ den bekannten Wert eintragen; „D“ wird sofort zu $BC/A$ . Mit 6 ergibt sich zum Beispiel 8.
C berechnenC leer lassen und stattdessen in „D“ einen Wert eintragen; das Feld „C“ wechselt auf „berechnet“ und zeigt $AD/B$ .
A oder B berechnenDas gesuchte Feld leeren und die anderen drei ausfüllen; das geleerte Feld wird automatisch zu „berechnet“. Die Felder lassen sich beliebig kombinieren, die Engine hat für alle vier Richtungen eine Formel.
Ergebnisse ablesenWerte werden mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen angezeigt ( $4 \times 100 / 3 = 133.33333333$ ). Bei einem Nenner von 0 erscheint ∞ oder 0 (siehe „Häufige Fehler“).
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert A/B = C/D → D = B×C/A in die Zwischenablage.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine proportion nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen.

Beispiel 1: Voreinstellungen, 3 : 4 = 6 : D

Eingaben: $A = 3$ , $B = 4$ , $C = 6$ .

Über Kreuz multiplizieren: $3 \times D = 4 \times 6 = 24$ .
$D = 24 / 3 = 8$ .

Anzeige: D 8. Probe: $3/4 = 0.75$ und $6/8 = 0.75$ , die beiden Verhältnisse sind gleich. Die Proportionalitätskonstante ist $k = 0.75$ ; man kann auch sagen: „ $C$ ist doppelt so groß wie $A$ , also ist $D$ auch doppelt so groß wie $B$ “ – der Weg über den horizontalen Faktor und der Weg über das vertikale Verhältnis führen zwangsläufig zum selben Ergebnis.

Stattdessen $C$ berechnen: $A = 3$ und $B = 4$ bleiben stehen, C bleibt leer, in D wird 12 eingetragen; die Anzeige für C lautet 9 ( $3 \times 12 / 4$ ).

Beispiel 2: Rezept hochrechnen – 2 Eier auf 300 g Mehl, wie viele Eier braucht man für 750 g Mehl?

Eingaben: $A = 2$ (Eier), $B = 300$ (g Mehl), $D = 750$ (g Mehl), gesucht ist $C$ .

$C = A D / B = 2 \times 750 / 300 = 1500 / 300 = 5$ .

Anzeige: C 5. Hier sind $A$ und $C$ die Eierzahlen, $B$ und $D$ die Mehlmengen in Gramm, „horizontal“ also einheitlich. Der Faktor beträgt $750 / 300 = 2.5$ , die Eierzahl wird ebenfalls mit 2.5 multipliziert. Kommt keine ganze Zahl heraus (700 g Mehl ergäben zum Beispiel 4.67 Eier), lässt sich das Rezept nicht exakt vervielfachen – dann runden oder die Mehlmenge anpassen.

Beispiel 3: Baumhöhe über den Schatten messen (ähnliche Dreiecke)

Zur selben Zeit fällt das Sonnenlicht parallel; ein 3 m hoher Stab wirft einen 4.5 m langen Schatten, ein daneben stehender Baum einen 12 m langen Schatten. Wie hoch ist der Baum?

Eingaben: $A = 3$ (Stabhöhe), $B = 4.5$ (Stabschatten), $D = 12$ (Baumschatten), gesucht ist $C$ (Baumhöhe).

Die beiden rechtwinkligen Dreiecke sind ähnlich, ihre entsprechenden Seiten stehen im gleichen Verhältnis: $\dfrac{3}{4.5} = \dfrac{C}{12}$ .
Über Kreuz multiplizieren: $4.5\,C = 3 \times 12 = 36$ , $C = 36 / 4.5 = 8$ .

Anzeige: C 8. Die Proportionalitätskonstante ist $k = 3 / 4.5 = 0.66666667$ : Auf 1 m Schattenlänge entfallen 0.667 m Höhe, auf 12 m Schatten also 8 m. Das ist die Methode, mit der Thales die Höhe der Pyramiden bestimmte – seit über zweitausend Jahren unverändert.

Abbildung 1: Beispiel 3. Paralleles Sonnenlicht ⇒ die beiden Dreiecke sind ähnlich ⇒ entsprechende Seiten stehen im gleichen Verhältnis. A und C sind die „Höhen“, B und D die „Schattenlängen“, horizontal sind die Einheiten einheitlich

Beispiel 4: Kartenmaßstab und Prozentwerte

Maßstab: Auf einer Karte im Maßstab 1 : 25000 liegen zwei Punkte 3.6 cm auseinander. Wie groß ist die Entfernung in der Wirklichkeit? Eingaben: $A = 1$ , $B = 25000$ , $C = 3.6$ ; die Anzeige für D lautet 90000 (cm), also 900 m. Hier sind $A$ und $B$ beides Längen und $C$ und $D$ ebenfalls, „vertikal“ stimmen die Einheiten also überein (Zentimeter auf der Karte gegen Zentimeter in der Wirklichkeit).

Prozentwerte: Wie viel Prozent sind 45 von 60? Ein Prozentwert ist ein „Verhältnis mit dem Nenner 100“, als Gleichung $\dfrac{45}{60} = \dfrac{C}{100}$ : Mit $A = 45$ , $B = 60$ , $D = 100$ zeigt die Anzeige für C den Wert 75, also 75%. Trägt man die 100 dagegen in C statt in D ein ( $A = 45$ , $B = 60$ , $C = 100$ ), erscheint für D der Wert 133.33333333 – das beantwortet die umgekehrte Frage, nämlich „wie viel Prozent sind 60 von 45“. Zu Zunahmen, Abnahmen und weiteren Konventionen von Prozentwerten siehe den Prozentrechner.

Die Eingaben aus Beispiel 1 lassen sich direkt in das Panel übernehmen; ändert man C von 6 auf 3, 9 oder 12, bleibt D stets das $4/3$ -Fache von C – die Proportionalitätskonstante ändert sich nicht, das ist das Kennzeichen der direkten Proportionalität.

Grundlagen und Herleitung

Warum man über Kreuz multiplizieren darf

Multipliziert man beide Seiten von $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ mit $BD$ ( $B$ und $D$ beide ungleich 0), ergibt sich links $\dfrac{A}{B} \cdot BD = AD$ und rechts $\dfrac{C}{D} \cdot BD = BC$ , also $AD = BC$ . Euklid nennt das in Buch V der Elemente „das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder“: Schreibt man $A : B = C : D$ in einer Zeile, stehen $A$ und $D$ außen, $B$ und $C$ innen. Umgekehrt führt die Division von $AD = BC$ durch $BD$ wieder zur ursprünglichen Proportion, beide Schreibweisen sind also völlig gleichwertig. Um ein Glied zu berechnen, teilt man $AD = BC$ auf beiden Seiten durch die Zahl daneben.

Proportionalitätskonstante und direkte Proportionalität

$A/B = C/D = k$ bedeutet $A = kB$ und $C = kD$ : „Der Zähler ist immer das $k$ -Fache des Nenners.“ Zwei Größen, die $y = kx$ erfüllen, heißen direkt proportional – Eierzahl und Mehlmenge, Kartenentfernung und wirkliche Entfernung, Schattenlänge und Objekthöhe. Im Koordinatensystem liegen $(B, A)$ und $(D, C)$ auf derselben Ursprungsgeraden mit der Steigung $k$ ; deshalb lässt sich eine direkte Proportionalität auch über die Steigung prüfen: Zwei beliebige Punkte nehmen, die Steigung berechnen – ist sie gleich $k$ und geht die Gerade durch den Ursprung, liegt direkte Proportionalität vor.

Umgekehrte Proportionalität folgt nicht dieser Formel

„4 Arbeiter brauchen 6 Tage, wie lange brauchen 8 Arbeiter?“ – je mehr Arbeiter, desto weniger Tage; das Produkt (insgesamt 24 Personentage) bleibt konstant, das ist die umgekehrte Proportionalität $xy = c$ . Setzt man das direkt in diesen Rechner ein ( $A = 4$ , $B = 6$ , $C = 8$ ), erhält man für D den Wert 12 – die Richtung wäre völlig falsch. Richtig ist, zuerst in eine direkte Proportionalität umzuformen: $4 \times 6 = 8 \times D$ , also $\dfrac{4}{D} = \dfrac{8}{6}$ , und dann $A = 4$ , $B = D$ (unbekannt), $C = 8$ , $D = 6$ einzugeben – man löst also nach B auf und erhält 3 Tage. Das Kriterium ist einfach: Nur wenn die eine Größe wächst, während die andere ebenfalls wächst, liegt direkte Proportionalität vor.

Ähnliche Dreiecke: die wichtigste geometrische Quelle der Proportion

Stimmen zwei Dreiecke in allen drei Winkeln überein, stehen ihre entsprechenden Seiten im gleichen Verhältnis (Buch VI, Proposition 4 der Elemente). Im Beispiel 3 haben das Dreieck aus Stab, Schatten und Lichtstrahl und das Dreieck aus Baum, Schatten und Lichtstrahl je einen rechten Winkel und denselben Sonnenhöhenwinkel, also ist auch der dritte Winkel gleich, und das Verhältnis „Höhe : Schattenlänge“ stimmt bei beiden überein. Alle Messungen nach dem Muster „mit dem Kleinen auf das Große schließen“ – Entfernungen über die Fingerbreite schätzen, in einem Foto von einem bekannten Objekt auf ein unbekanntes schließen, ein Projektor vergrößert, eine Kamera bildet ab – beruhen auf diesem Satz.

Von der Proportion zur Funktion

Nimmt man im Verhältnis $D$ als unabhängige und $C$ als abhängige Größe, ist $C = (A/B) \cdot D$ die einfachste lineare Funktion (eine Ursprungsgerade). Die lineare Funktion $y = kx + b$ der weiterführenden Schule hat zusätzlich einen Achsenabschnitt, und die arithmetische Folge $a_n = a_1 + (n-1)d$ ist eine lineare Funktion, deren Argument nur positive ganze Zahlen annimmt – siehe arithmetische Folge. Die Proportion ist der erste Schritt dieser Begriffskette.

Annahmen

Direkte Proportionalität liegt vor: Zwischen den beiden Größen gilt tatsächlich „multipliziert man die eine mit $k$ , multipliziert sich die andere ebenfalls mit $k$ “. Dass sich ein Rezept exakt vervielfachen lässt, der Maßstab überall auf der Karte stimmt und das Sonnenlicht parallel einfällt, sind Voraussetzungen, die der Rechner nicht prüfen kann.
Die vier Glieder sind in derselben Reihenfolge angeordnet: $A$ gehört zu $C$ , $B$ gehört zu $D$ , jeweils als gleiche Größenart. Eine falsche Anordnung beantwortet eine andere Frage (siehe Beispiel 4 zu Prozentwerten).
Nenner ungleich 0: Für $D$ muss $A \ne 0$ sein, für $C$ muss $B \ne 0$ sein, für $A$ muss $D \ne 0$ sein und für $B$ muss $C \ne 0$ sein.
Die Werte sind exakt: Messfehler pflanzen sich proportional fort; der relative Fehler von $C$ entspricht ungefähr der Summe der relativen Fehler von $A$ , $B$ und $D$ .
Konvention der Oberfläche: Vorbelegt sind nur $A$ und $B$ ; nicht ausgefüllte Felder gehen in der Engine als 0 in die Rechnung ein (bei der Bestimmung von $D$ wird ein fehlendes $A$ als 1 behandelt), deshalb zeigen C und D beim Öffnen des Panels 0.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: jedes Glied in $A/B = C/D$ , einschließlich Teilergebnissen, wenn mehrere Felder gleichzeitig geleert werden.
Nur näherungsweise: In der Praxis stimmt die Proportionalität oft nur ungefähr (Mengenrabatte beim Großeinkauf, Verzerrungen einer Kartenprojektion, ein Baumschatten, der auf eine Böschung fällt).
Nicht berechenbar: umgekehrte Proportionalität (zuerst in eine direkte Proportionalität umformen, siehe Grundlagen), proportionales Aufteilen (erst den Wert „pro Anteil“ bestimmen und dann mit der Anzahl der Anteile multiplizieren), verkettete Verhältnisse $A : B : C$ (in zwei einzelne Proportionen zerlegen), zusammengesetzte Verhältnisse (mehrere Größen ändern sich gleichzeitig).
Keine Zusatzfunktionen: Verhältnisse werden nicht gekürzt ( $6 : 8 \to 3 : 4$ ), die Proportionalitätskonstante $k$ wird nicht ausgegeben, und Einheiten werden nicht umgerechnet.
Numerik: Ergebnisse werden mit 8 Nachkommastellen angezeigt; bei einem Nenner von 0 erscheint ∞ (etwa bei $A = 0$ und der Suche nach $D$ ).

Häufige Fehler

Umgekehrte für direkte Proportionalität halten: Arbeiter und Tage, Geschwindigkeit und Zeit, Zähnezahl und Drehzahl sind umgekehrt proportional; setzt man sie direkt in die Formel ein, kehrt sich die Richtung um (im Abschnitt „Grundlagen“: 12 Tage gegen 3 Tage).
Die vier Glieder falsch einsetzen: In Beispiel 4 entscheidet die Frage, ob die 100 in C oder in D steht, zwischen den Antworten 75 und 133.33. Vor dem Aufschreiben der Proportion klarstellen, „was zu was“ gehört.
Einheiten nicht passend kombinieren: $A$ in kg und $C$ in g ergeben einen Faktor 1000. Gleiche Größenarten müssen dieselbe Einheit verwenden; verschiedene Größenarten (Eierzahl und Mehlmenge in Gramm) dürfen in derselben Proportion stehen, solange die Zuordnung horizontal stimmt.
Das Verhältnis als Bruch lesen und falsch kürzen: $3 : 4 = 6 : 8$ ist richtig, $3 : 4 = 4 : 3$ nicht – ein Verhältnis hat eine Richtung.
Nenner gleich 0: Bei $A = 0$ und der Suche nach $D$ erscheint ∞; bei $B = 0$ erscheint 0 ( $0 \times C / A$ ). Beides zeigt, dass die Aufgabe selbst nicht stimmt, nicht das Ergebnis.
Prozentwerte und Proportionen verwechseln: 45 sind 75% von 60, 60 sind 133.33% von 45, „Zunahme um 33.33%“ und „Abnahme um 25%“ – dasselbe Zahlenpaar, vier Fragestellungen, vier Antworten.

Typische Anwendungen

Küche und Rezepte

Rezepte für eine andere Personenzahl hoch- oder herunterrechnen, die Konzentration von Getränken einstellen (Sirup : Wasser), Mischungsverhältnisse für Farbe oder Beton ansetzen.

Karten, Zeichnungen und Modelle

Maßstab umrechnen (Kartenentfernung ↔ wirkliche Entfernung), Maße aus Bauzeichnungen ablesen, Maße von Modell und Original einander zuordnen.

Messen und ähnliche Formen

Höhen über die Schattenlänge bestimmen, aus einem bekannten Objekt im Foto auf die Größe eines anderen schließen, den Vergrößerungsfaktor eines Projektors ermitteln.

Preise und Wechselkurse

5 kg kosten 42.5, wie viel kosten 8 kg (68)? Eine Einheit der einen Währung entspricht 7.2 Einheiten der anderen – wie viel sind 250 (1800)? Dazu der Abgleich von Bestellungen und Angeboten bei gleichbleibendem Stückpreis.

Lehre

Erleben, warum die Kreuzmultiplikation gilt, die direkte von der umgekehrten Proportionalität unterscheiden, die Seitenverhältnisse ähnlicher Dreiecke nachvollziehen.

Häufige Fragen

Reichen zwei bekannte Zahlen?

Nein. Eine Proportion hat vier Glieder, mindestens drei müssen bekannt sein. Werden nur $A$ und $B$ ausgefüllt, bedeuten die Nullen in C und D „noch keine Eingabe“, nicht „Ergebnis“.

Wie teile ich 120 im Verhältnis 2 : 3 auf zwei Teile auf?

Zuerst den Wert pro Anteil berechnen: $120 / (2 + 3) = 24$ ; die beiden Teile sind also 48 und 72. Mit diesem Rechner geht es ebenfalls: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{C}{120}$ , also $A = 2$ , $B = 5$ , $D = 120$ und $C = 48$ .

Wie verwendet man diesen Rechner bei umgekehrter Proportionalität?

Die Gleichheit der Produkte in eine Proportion umschreiben: $x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$ . Achtung: Auf der rechten Seite sind Zähler und Nenner vertauscht.

Wie rechne ich mit einem verketteten Verhältnis A : B : C = 2 : 3 : 5?

In zwei Proportionen zerlegen, $A : B = 2 : 3$ und $B : C = 3 : 5$ ; ist ein beliebiges Glied bekannt, lassen sich die beiden anderen der Reihe nach bestimmen.

Warum erscheint bei einem Nenner von 0 ein ∞?

Die Engine rechnet mit $D = BC/A$ ; für $A = 0$ wird durch null geteilt. Mathematisch ist $0 : B = C : D$ nur für $C = 0$ sinnvoll (dann ist $D$ beliebig), und das kann der Rechner nicht ausdrücken – daher die Anzeige ∞.

Worin unterscheidet sich der Proportionalrechner vom Prozentrechner?

Ein Prozentwert ist eine „Proportion mit festem Nenner 100“; der Prozentrechner behandelt speziell Fragen wie „wie viel Prozent sind $A$ von $B$ “, „wie viel sind $p\%$ von $B$ “ sowie Zu- und Abnahmen. Dieser Rechner ist allgemeiner, dafür müssen die vier Glieder selbst richtig gesetzt werden.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition proportion in src/data/formulas.ts der CalcX-Engine (compute(known, solveFor) löst in den vier Richtungen a / b / c / d; ein fehlender Nenner wird als 1 aufgefangen); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Wikipedia, Proportionality (mathematics)（访问日期：2026-09-09）– direkte und umgekehrte Proportionalität sowie die Proportionalitätskonstante.
Wikipedia, Cross-multiplication（访问日期：2026-09-09）– Herleitung und Anwendungsbedingungen der Kreuzmultiplikation.
Euklid, Elemente, Buch V, kommentierte Ausgabe von D. E. Joyce（访问日期：2026-09-09）– die Proportionenlehre des Eudoxos und die ursprüngliche Fassung von „Produkt der Außenglieder = Produkt der Innenglieder“.
Euklid, Elemente, Buch VI, Proposition 4（访问日期：2026-09-09）– entsprechende Seiten ähnlicher Dreiecke stehen im gleichen Verhältnis.
Wikipedia, Rule of three (mathematics)（访问日期：2026-09-09）– Geschichte und Verfahren des Dreisatzes.
Jiuzhang Suanshu („Neun Kapitel über die mathematische Kunst“), Kapitel 2 „Su Mi“: die Regel „Jin You“ – das altchinesische Proportionalverfahren („Man multipliziere die vorhandene Zahl mit dem gesuchten Satz als Dividenden, nehme den vorhandenen Satz als Divisor und dividiere“).

Datenschutz

Alle Eingaben und Berechnungen laufen in Ihrem Browser und werden nicht auf einen Server übertragen; der Text dieser Seite ist statischer Inhalt und enthält und speichert keine Nutzereingaben.

来源与审阅

更新: 2026-09-09