Arithmetische Folge: n-tes Glied, Summe, Rückrechnung

Über diesen Rechner

Der Rechner für arithmetische Folgen behandelt Zahlenfolgen, bei denen „jedes Glied um dieselbe Zahl größer ist als das vorhergehende“: Aus dem ersten Glied $a_1$ , der Differenz $d$ und der Anzahl $n$ ergeben sich das $n$ -te Glied $a_n = a_1 + (n-1)d$ und die Summe der ersten $n$ Glieder $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ; ist das letzte Glied bekannt, lassen sich zusätzlich die Anzahl $n$ oder die Differenz $d$ zurückrechnen.

1, 3, 5, 7, … (ungerade Zahlen), jede Kinoreihe mit 2 Sitzen mehr als die vorherige, jeden Monat 50 Euro mehr sparen, täglich 1.5 km weniger Lauftraining – sobald „der Zuwachs konstant“ ist, liegt eine arithmetische Folge vor. Sie ist die einfachste Zahlenfolge und der Einstieg ins Verständnis des „Aufsummierens“: Der Trick hinter der Summenformel, das „Paaren von Anfang und Ende“, ist die Idee, die dem (angeblichen) Gauß mit 8 Jahren kam.

Was er nicht tut: Er behandelt keine geometrischen Folgen (jedes Glied ist ein festes Vielfaches des vorhergehenden, etwa beim Zinseszins), keine arithmetischen Folgen zweiter Ordnung (konstante Differenz der Differenzen) oder rekursive Folgen wie Fibonacci und listet nicht alle Glieder auf – er liefert nur zwei Zahlen: das $n$ -te Glied und die Summe.

Formeln und Variablen

a_n = a_1 + (n-1)\,d,\qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = n\,a_1 + \frac{n(n-1)}{2}\,d

Rückrechnung aus dem letzten Glied:

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1,\qquad d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$a_1$	erstes Glied	Erstes Glied a₁	beliebig	Vorgabe 1; darf negativ oder eine Dezimalzahl sein
$d$	Differenz (Unterschied benachbarter Glieder $a_{k+1} - a_k$ )	Differenz d	wie $a_1$	Vorgabe 2; $d > 0$ wachsend, $d < 0$ fallend, $d = 0$ konstante Folge
$n$	Anzahl der Glieder	Anzahl n	Stück	positive ganze Zahl, $n \ge 1$ ; die Engine prüft nicht, ob der Wert ganzzahlig ist. Das Feld hat die Vorgabe 10, die Oberfläche füllt beim Öffnen aber nur die ersten beiden Felder vor, das Feld ist dann leer
$a_n$	$n$ -tes Glied (letztes Glied)	n-tes Glied aₙ	wie $a_1$	Ausgabe; im Rückrechnungsmodus als Eingabe verwendet
$S_n$	Summe der ersten $n$ Glieder	Summe S	wie $a_1$	Ausgabe, Summe der $n$ Glieder

Die beiden Schreibweisen der Summe sind äquivalent: Die erste verwendet den Mittelwert aus erstem und letztem Glied mal Anzahl, die zweite nur $a_1$ , $d$ und $n$ ; die Engine rechnet nach der ersten, die zweite dient zur Kontrolle von Hand.

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Arithmetische Folge“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arithmetic-seq). Beim Öffnen sind nur „Erstes Glied a₁“ = 1 und „Differenz d“ = 2 vorbelegt, „Anzahl n“ ist leer; das n-te Glied zeigt dann −1, die Summe 0 – die Engine setzt das leere $n$ als 0 in $a_1 + (0-1)d$ ein, das ist kein Ergebnis; sobald $n$ eingetragen ist, stimmen die Werte.
n-tes Glied und Summe berechnenIn „Anzahl n“ eine positive ganze Zahl eintragen; die beiden Ergebnisfelder aktualisieren sich gleichzeitig (mit „berechnet“ markiert).
Anzahl zurückrechnen„Anzahl n“ leeren, in „n-tes Glied aₙ“ das letzte Glied eintragen und $a_1$ , $d$ stehen lassen; das Feld für die Anzahl wechselt auf „berechnet“. Beachten: „Summe“ zeigt jetzt 0 (die Engine setzt für das leere $n$ 0 an); die berechnete $n$ wieder ins Feld für die Anzahl eintragen und $a_n$ leeren, dann ergibt sich die Summe.
Differenz zurückrechnen„Differenz d“ leeren, $a_1$ , $n$ , $a_n$ eintragen; das Feld für die Differenz liefert $(a_n - a_1)/(n-1)$ . Die „Summe“ wird dabei mit $d = 0$ gerechnet und zeigt $n \cdot a_1$ , ebenfalls nicht die echte Summe; $d$ wieder eintragen, dann stimmt die Summe.
Ergebnisse ablesenWerte werden mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen angezeigt. Ist die zurückgerechnete $n$ keine ganze Zahl (etwa 16.66666667), gehört das eingetragene $a_n$ nicht zu dieser Folge.
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert aₙ = a₁ + (n-1)d, S = n(a₁+aₙ)/2 in die Zwischenablage.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute der Engine arithmetic-seq nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen.

Beispiel 1: 3, 7, 11, 15, 19, 23 – sechs Glieder

Eingabe: $a_1 = 3$ , $d = 4$ , $n = 6$ .

1. Glied $a_6 = 3 + (6-1) \times 4 = 3 + 20 = 23$ .
Summe $S_6 = \dfrac{6 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{6 \times 26}{2} = 78$ .

Anzeige: n-tes Glied 23, Summe 78. Kontrolle mit der zweiten Schreibweise: $6 \times 3 + \dfrac{6 \times 5}{2} \times 4 = 18 + 60 = 78$ . Paarweise: $3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26$ , drei Paare zu je 26, zusammen 78.

Abb. 1: Beispiel 1. Links das Gauß-Paarverfahren (erstes plus letztes Glied ergibt immer a₁ + aₙ), rechts die geometrische Version – zwei Treppen bilden ein Rechteck der Fläche n(a₁ + aₙ), die Hälfte davon ist Sₙ

Beispiel 2: Vorgabewerte und Gauß’ 1 bis 100

Eingabe: $a_1 = 1$ , $d = 2$ , $n = 10$ (Vorgabewerte). 10. Glied $= 1 + 9 \times 2 = 19$ , Summe $= 10 \times (1 + 19) / 2 = 100$ . Anzeige: n-tes Glied 19, Summe 100. Die Summe der ersten 10 ungeraden Zahlen ist genau $10^2$ ; mit $n = 100$ zeigt die Oberfläche n-tes Glied 199, Summe 10000 – die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen ist immer $n^2$ (legt man die L-förmigen ungeraden Blöcke Schicht für Schicht zu einem Quadrat, sieht man es).

Eingabe $a_1 = 1$ , $d = 1$ , $n = 100$ : Die Oberfläche zeigt n-tes Glied 100, Summe 5050. Das ist die Aufgabe, bei der der Legende nach der junge Gauß mit „ $1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 50 + 51$ , 50 Paare zu je 101“ den Lehrer sofort verblüffte.

Beispiel 3: Theatersitze und fallende Folgen

Theater: In der ersten Reihe 20 Sitze, jede weitere Reihe 2 Sitze mehr, insgesamt 15 Reihen. Eingabe $a_1 = 20$ , $d = 2$ , $n = 15$ : letzte Reihe $20 + 14 \times 2 = 48$ Sitze, Gesamtzahl $15 \times (20 + 48)/2 = 510$ . Anzeige: n-tes Glied 48, Summe 510.

Fallende Folge: Von einem Lagerbestand von 100 kg werden täglich fest 7 kg entnommen – Bestand und Summe nach 12 Tagen? Eingabe $a_1 = 100$ , $d = -7$ , $n = 12$ : Bestand am 12. Tag $100 - 77 = 23$ , Summe der Tagesbestände $12 \times (100 + 23)/2 = 738$ (kg·Tage, „durchschnittlicher Bestand 61.5 kg × 12 Tage“). Anzeige: n-tes Glied 23, Summe 738. Bei negativer Differenz gilt die Formel unverändert, die Folge läuft nur nach unten.

Jeden Monat 50 Euro mehr sparen: Im ersten Monat 100, danach monatlich 50 mehr – was kommt in einem Jahr zusammen? Eingabe $a_1 = 100$ , $d = 50$ , $n = 12$ : im 12. Monat 650, übers Jahr 4500.

Beispiel 4: Anzahl und Differenz zurückrechnen

n zurückrechnen: Welches Glied der Folge 5, 8, 11, … ist 50? Eingabe $a_1 = 5$ , $d = 3$ , $a_n = 50$ ( $n$ leeren): $n = (50 - 5)/3 + 1 = 16$ . Anzeige: Anzahl n 16, Summe 0 (Konvention aus Schritt 3). 16 wieder als Anzahl eintragen und $a_n$ leeren: n-tes Glied 50, Summe 440.

Für die Frage, das wievielte Glied 52 ist: $n = (52 - 5)/3 + 1 = 16.66666667$ – keine ganze Zahl, 52 gehört nicht zu dieser Folge (16. Glied 50, 17. Glied 53).

d zurückrechnen: Von 2 ausgehend werden es in 8 Gliedern 30 – wie groß ist die Differenz? Eingabe $a_1 = 2$ , $n = 8$ , $a_n = 30$ ( $d$ leeren): $d = (30 - 2)/(8 - 1) = 4$ . Anzeige: Differenz d 4, Summe 16 (die Engine rechnet die Summe hier mit $d = 0$ , $8 \times 2 = 16$ , nicht die echte Summe). 4 wieder als Differenz eintragen und $a_n$ leeren: n-tes Glied 30, Summe 128.

Die Eingaben aus Beispiel 1 lassen sich direkt ins Panel übernehmen; $n$ von 6 auf 12, 24 und 48 ändern und beobachten, wie das n-te Glied linear mit $n$ wächst und die Summe quadratisch (Verdopplung der Anzahl, Summe etwa viermal so groß).

Grundlagen und Herleitung

Bildungsgesetz: von der Rekursion zur geschlossenen Formel

Die Definition ist rekursiv: $a_{k+1} = a_k + d$ . Von $a_1$ bis $a_n$ ist $d$ genau $n - 1$ Mal zu addieren, also $a_n = a_1 + (n-1)d$ . Beachten: $n - 1$ , nicht $n$ : Zwischen 6 Säulen liegen nur 5 Abstände (die fünf „+4“ in Abb. 1) – das ist das „Zaunpfahlproblem“: Es gibt ein Glied mehr als Abstände.

Betrachtet man $n$ als unabhängige Variable, ist $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$ eine Gerade: Die Steigung ist die Differenz $d$ , der Achsenabschnitt $a_1 - d$ (das „0. Glied“). Eine arithmetische Folge ist also eine lineare Funktion, deren Definitionsbereich nur die positiven ganzen Zahlen umfasst; verbindet man in Abb. 1 links die Säulenspitzen, entsteht eine Gerade. Bildet man aus zwei beliebigen Gliedern die Steigung, erhält man die Differenz; die Formel $d = (a_n - a_1)/(n-1)$ ist genau „Differenz der y-Werte durch Differenz der x-Werte“.

Summenformel: das Gauß-Paarverfahren

$S_n$ einmal vorwärts und einmal rückwärts aufschreiben und spaltenweise addieren:

\begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \\ S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \\ 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \cdots + (a_1 + a_n) = n\,(a_1 + a_n) \end{aligned}

Jede Spalte ergibt $a_1 + a_n$ – was das eine Glied an $d$ gewinnt, verliert das gegenüberliegende um $d$ . Es gibt $n$ Spalten, also $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ . Bei ungerader Anzahl paart sich das mittlere Glied mit sich selbst (es ist genau $(a_1 + a_n)/2$ , also der Mittelwert aller Glieder), die Formel bleibt unverändert. Abb. 1 rechts ist die geometrische Fassung dieser Algebra: eine Treppe aufrecht und eine umgedreht ergeben ein Rechteck von $n \times (a_1 + a_n)$ .

Einsetzen von $a_n = a_1 + (n-1)d$ ergibt die zweite Schreibweise $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2} d$ : $n$ -mal $a_1$ plus $0 + 1 + \cdots + (n-1) = n(n-1)/2$ -mal $d$ . Sie zeigt, dass $S_n$ quadratisch von $n$ abhängt – Verdopplung der Anzahl vervierfacht die Summe etwa.

Die Lesart „Mittelwert × Anzahl“

$S_n = n \cdot \dfrac{a_1 + a_n}{2}$ : Die Summe ist der Mittelwert aus erstem und letztem Glied mal Anzahl. Bei einer arithmetischen Folge ist der Mittelwert von erstem und letztem Glied zugleich der Mittelwert aller Glieder – die Glieder liegen symmetrisch um den Mittelpunkt. In der Lageraufgabe von Beispiel 3 ist 738 = 61.5 × 12 genau „durchschnittlicher Bestand × Tage“; dieselbe Lesart steckt in der Trapezfläche (obere plus untere Seite mal Höhe durch zwei) und im Weg bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung (Durchschnittsgeschwindigkeit mal Zeit).

Arithmetisch und geometrisch: einfache Verzinsung und Zinseszins

Bei einer arithmetischen Folge wird in jedem Schritt ein fester Betrag addiert, bei einer geometrischen Folge mit einem festen Faktor multipliziert. Ein Kapital von 1000 Euro zu 5 % einfacher Verzinsung bringt jedes Jahr fest 50 Euro Zinsen, die Jahresbeträge 1050, 1100, 1150, … bilden eine arithmetische Folge und nach 10 Jahren sind es 1500; bei 5 % Zinseszins entsteht die geometrische Folge $1000 \times 1.05^n$ mit 1628.89 nach 10 Jahren. Das eine ist eine Gerade, das andere eine Exponentialkurve, der Abstand wächst mit der Zeit – ausführlich im Zinseszinsrechner.

Annahmen

Konstante Differenz: Der Unterschied benachbarter Glieder ist überall derselbe. Sobald er an einer Stelle abweicht, sind Bildungsgesetz und Summenformel ungültig.
Anzahl ist eine positive ganze Zahl: Die Engine prüft es nicht, $n = 2.5$ liefert bedeutungslose Zahlen.
Zählung ab dem 1. Glied: $a_1$ ist das 1., nicht das 0. Glied; manche Lehrbücher oder Programme (Array-Indizes) zählen ab 0, dort gilt $a_n = a_0 + nd$ .
Summe der ersten $n$ Glieder: von $a_1$ bis $a_n$ ; für die Summe vom $m$ -ten bis zum $n$ -ten Glied $S_n - S_{m-1}$ verwenden.
Konvention der Oberfläche: Nicht ausgefüllte Felder gehen mit 0 in die Engine ein; deshalb zeigt „Summe“ beim Rückrechnen von $n$ oder $d$ nicht die echte Summe (Schritte 3 und 4).

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: n-tes Glied und Summe der ersten $n$ Glieder für beliebige reelle $a_1$ , $d$ und positive ganze $n$ ; Rückrechnung von $n$ aus $a_n$ (mit $d \ne 0$ ) oder von $d$ (mit $n \ne 1$ ).
Nur näherungsweise: Die „Gleichabständigkeit“ der Praxis (Sitzreihen, Lagerentnahmen) ist meist nur ungefähr; die Formel liefert Modellwerte.
Nicht berechenbar: geometrische Folgen (dafür gibt es einen eigenen Rechner), arithmetische Folgen zweiter Ordnung ( $1, 3, 6, 10, \ldots$ ), Teilsummen $a_m + \cdots + a_n$ (zweimal rechnen und subtrahieren), Rückrechnung von $n$ oder $d$ aus $S_n$ (erfordert das Lösen einer quadratischen Gleichung, bitte von Hand).
Keine Zusatzfunktionen: Es werden keine Glieder aufgelistet und nicht geprüft, ob eine Zahl Glied der Folge ist (das ergibt sich daraus, ob die zurückgerechnete $n$ ganzzahlig ist).
Numerik: Bei sehr großem $n$ zeigt $S_n$ ab etwa $10^{12}$ die wissenschaftliche Schreibweise; in doppelter Genauigkeit bleibt die Rechnung bis in die Größenordnung von $10^7$ Gliedern exakt.

Häufige Fehler

Bildungsgesetz als $a_1 + nd$ schreiben: Die $-1$ fehlt, jedes Glied wird um ein $d$ zu groß. Sechs Glieder haben nur fünf Abstände.
Die Dezimalzahl beim Rückrechnen von $n$ als Ergebnis nehmen: $n = 16.67$ bedeutet, dass das eingetragene letzte Glied nicht zur Folge gehört, nicht „das 16.67-te Glied“.
Die „Summe“ im Rückrechnungsmodus als Ergebnis nehmen: Das ist der Ersatzwert der Engine mit $n = 0$ oder $d = 0$ ; erst das Zurückschreiben des Rückrechnungsergebnisses liefert die echte Summe.
Bei fallender Folge eine positive Differenz eintragen: Die Differenz von 100, 93, 86, … ist $-7$ ; mit 7 kommt das Ergebnis einer wachsenden Folge heraus.
In der Summenformel $a_1 + a_n$ einsetzen und die Division durch 2 vergessen: $n(a_1 + a_n)$ ist die Fläche des Rechtecks aus zwei Treppen, davon die Hälfte nehmen.
Geometrische als arithmetische Folge behandeln: Zinseszins, Bevölkerungswachstum und Bakterienvermehrung sind geometrische Folgen; dieser Rechner unterschätzt sie stark.

Typische Anwendungen

Unterricht

Von der Rekursion zum Bildungsgesetz, vom Paaren zur Summenformel; beobachten, dass die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen $n^2$ ist; verstehen, dass eine arithmetische Folge „eine lineare Funktion auf den positiven ganzen Zahlen“ ist.

Zählen und Anordnen

Reihenweise zunehmende Sitzplätze in Kino oder Stadion, pyramidal gestapeltes Holz oder Konservendosen (pro Schicht weniger), Personenzahl eines Parademarschs.

Planung und Budget

Monatlich steigende Spar- oder Tilgungspläne, sinkende Lagerbestände oder Trainingsumfänge, kumuliertes Einkommen bei fester Gehaltssteigerung.

Einfache Verzinsung und Abschreibung

Zinsen bei einfacher Verzinsung summieren sich arithmetisch; bei der linearen Abschreibung sinkt der Betrag jedes Jahr um einen festen Wert, der Buchwert im $n$ -ten Jahr ist das $n$ -te Glied.

Häufige Fragen

Warum zeigt das n-te Glied beim Öffnen −1?

Die Anzahl ist noch nicht eingetragen, die Engine setzt $n$ als 0 in $1 + (0-1) \times 2 = -1$ ein. Nach dem Eintragen der Anzahl stimmt der Wert.

Wie erkennt man, ob eine Zahl zur Folge gehört?

$n$ leeren, die Zahl in „n-tes Glied“ eintragen und prüfen, ob die zurückgerechnete $n$ eine positive ganze Zahl ist. 50 gehört zu 5, 8, 11, … ( $n = 16$ ), 52 nicht ( $n = 16.67$ ).

Wie berechnet man die Summe vom 5. bis zum 12. Glied?

$S_{12}$ und $S_4$ berechnen und subtrahieren. Oder das 5. Glied als neues erstes Glied nehmen und mit 8 Gliedern neu rechnen.

Wie rechnet man aus Summe, erstem Glied und Differenz die Anzahl zurück?

Die quadratische Gleichung $\dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac d2\right)n - S_n = 0$ lösen und die positive ganzzahlige Wurzel nehmen. Dieser Rechner unterstützt diese Rückrechnung nicht.

Warum wächst die Summe quadratisch?

$S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$ enthält einen $n^2$ -Term. Anschaulich ist die Summe die Fläche unter dem Treppendiagramm, und dieses liegt unter einer Geraden – die Fläche wächst mit dem Quadrat der Breite.

Wann arithmetische, wann geometrische Folge?

Entscheidend ist, ob benachbarte Glieder eine feste Differenz oder ein festes Verhältnis haben: jedes Jahr 50 dazu ist arithmetisch, jedes Jahr mal 1.05 ist geometrisch.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition arithmetic-seq im CalcX-Engine-Quellcode src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) gibt an / sum aus und unterstützt die Rückrechnung von n und d aus an); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Wikipedia, Arithmetic progression（访问日期：2026-09-09）– Bildungsgesetz, die beiden Schreibweisen der Summe und ihre Herleitung.
Wikipedia, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯（访问日期：2026-09-09）– Dreieckszahlen $n(n+1)/2$ und die Gauß-Anekdote.
Brian Hayes, „Gauss's Day of Reckoning“, American Scientist 94(3), 2006（访问日期：2026-09-09）– die historische Einordnung der verschiedenen Versionen der Gauß-Geschichte.
Wikipedia, Rhind Mathematical Papyrus（访问日期：2026-09-09）– arithmetische Verteilungsaufgaben um 1550 v. Chr. (Aufgaben 40 und 64).
Jiuzhang Suanshu („Neun Kapitel über die mathematische Kunst“), Buch 3 „Shuai Fen“ und Buch 6 „Jun Shu“ – arithmetische Verteilungs- und Summenaufgaben des alten China.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09