Steigung und Geradengleichung: m und y-Achsenabschnitt b

Über diesen Rechner

Der Steigungsrechner bestimmt aus zwei Punkten $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ einer Geraden die Steigung $m$ und den $y$ -Achsenabschnitt $b$ , schreibt die Gerade also in die Form $y = mx + b$ .

Die Steigung beantwortet die Frage „um wie viel sich $y$ ändert, wenn $x$ um 1 zunimmt“: wie viel eine Rampe auf 100 m zurückgelegter Strecke an Höhe gewinnt, um wie viel Grad Fahrenheit die Temperatur pro Grad Celsius steigt, um wie viel die Geschwindigkeit in jeder Sekunde zunimmt. Solange zwischen zwei Größen ein linearer Zusammenhang besteht, genügen zwei gemessene Punkte für die ganze Gerade, und danach lässt sich zu jedem $x$ das zugehörige $y$ aus der Gleichung berechnen.

Was er nicht tut: Er prüft nicht, ob zwei Punkte wirklich auf einer gemeinsamen „echten“ Geraden liegen (zwei Punkte bestimmen immer eine Gerade), er behandelt keine senkrechten Geraden (Steigung undefiniert), er sucht keine Schnittpunkte zweier Geraden und er macht keine Kurvenanpassung – für drei oder mehr nicht kollineare Punkte braucht es eine Regression, nicht diesen Rechner.

Formeln und Variablen

Die Steigung ist das Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung (rise over run):

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Setzt man einen beliebigen bekannten Punkt in $y = mx + b$ ein, ergibt sich der Achsenabschnitt:

b = y_1 - m\,x_1

Die Geradengleichung lautet also $y = mx + b$ . Zusammenhang zwischen Steigung, Neigungswinkel $\theta$ (Winkel zwischen der Geraden und der positiven $x$ -Achse) und dem Gefälle in Prozent:

m = \tan\theta,\qquad \theta = \arctan m,\qquad \text{Gefälle} = m \times 100\%

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$x_1, y_1$	Koordinaten des ersten Punkts	x₁, y₁	wie die Achsen	beliebige reelle Zahlen; Vorgabe (1, 2)
$x_2, y_2$	Koordinaten des zweiten Punkts	x₂, y₂	wie die Achsen	beliebige reelle Zahlen; Vorgabe (4, 8); es muss $x_2 \ne x_1$ gelten
$\Delta x$	horizontale Änderung (run)	(Zwischenwert)	Einheit von x	$x_2 - x_1$ ; bei 0 ist die Gerade senkrecht und die Steigung undefiniert
$\Delta y$	vertikale Änderung (rise)	(Zwischenwert)	Einheit von y	$y_2 - y_1$
$m$	Steigung	Steigung m	y-Einheit / x-Einheit	Ausgabe; positiv = steigend, negativ = fallend, 0 = waagerecht
$b$	$y$ -Achsenabschnitt ( $y$ -Wert des Schnittpunkts mit der $y$ -Achse)	y-Achsenabschnitt b	Einheit von y	Ausgabe; der $y$ -Wert bei $x = 0$

Die Steigung hat eine Einheit: Ist $x$ in Sekunden und $y$ in Metern, dann ist $m$ in m/s. Nur wenn beide Achsen dieselbe Einheit haben (rein geometrische Koordinaten), ist $m$ dimensionslos und lässt sich in einen Winkel umrechnen.

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Steigung / Geradengleichung“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.slope). Beim Öffnen sind nur x₁ = 1 und y₁ = 2 vorbelegt; tragen Sie x₂ und y₂ ebenfalls ein (das Vorgabebeispiel ist 4, 8) – erst wenn alle vier Koordinaten „Eingabe“ sind, hat das Ergebnis eine Bedeutung.
Zwei Punkte eintragenDie Reihenfolge ist beliebig; vertauscht man die Punkte, wechseln $\Delta y$ und $\Delta x$ gleichzeitig das Vorzeichen, die Steigung bleibt gleich.
Steigung und Achsenabschnitt ablesen„Steigung m“ und „y-Achsenabschnitt b“ tragen die Markierung „berechnet“ und aktualisieren sich sofort, mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen. In $y = mx + b$ eingesetzt ergeben sie die Geradengleichung.
Senkrechte GeradenBei $x_1 = x_2$ zeigt die Steigung ∞ und auch der Achsenabschnitt ∞ – diese Gerade lautet $x = x_1$ und hat keine Steigungs-Achsenabschnitt-Form.
In Winkel oder Gefälle umrechnenDas Panel gibt keinen Winkel aus; rechnen Sie mit $\theta = \arctan m$ um (tan⁻¹ des wissenschaftlichen Taschenrechners), das Gefälle in Prozent ist $m \times 100$ .

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine slope nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen. Die Winkel sind zusätzlich mit $\arctan m$ umgerechnet.

Beispiel 1: Vorgabewerte des Panels (1, 2) und (4, 8)

$\Delta x = 4 - 1 = 3$ , $\Delta y = 8 - 2 = 6$ .
$m = 6/3 = 2$ .
$b = y_1 - m x_1 = 2 - 2 \times 1 = 0$ .

Die Oberfläche zeigt: Steigung 2, y-Achsenabschnitt 0. Geradengleichung $y = 2x$ , sie geht durch den Ursprung; Neigungswinkel $\arctan 2 = 63.43°$ .

Abbildung 1: Beispiel 1. Die Steigung ist das Verhältnis von „Anstieg“ zu „Strecke“, der Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse

Beispiel 2: eine fallende Gerade (2, 5) und (6, 3)

$\Delta x = 4$ , $\Delta y = 3 - 5 = -2$ .
$m = -2/4 = -0.5$ .
$b = 5 - (-0.5)(2) = 6$ .

Die Oberfläche zeigt: Steigung −0.5, y-Achsenabschnitt 6. Gleichung $y = -0.5x + 6$ ; Neigungswinkel $\arctan(-0.5) = -26.57°$ (fallend). Die dazu senkrechte Gerade hat die Steigung $-1/m = 2$ .

Beispiel 3: Gefälle und Neigungswinkel

Eine Straße steigt auf 100 m waagerechter Strecke um 6 m an: eintragen $(0, 0)$ und $(100, 6)$ .

Die Oberfläche zeigt: Steigung 0.06, Achsenabschnitt 0. Gefälle $= 0.06 \times 100\% = 6\%$ , Neigungswinkel $\arctan 0.06 = 3.43°$ . Ein Gefälle von 6 % ist nicht 6°: Das Gefälle ist $\tan\theta$ , der Winkel ist $\theta$ ; bei kleinen Winkeln gilt $\theta(\text{rad}) \approx \tan\theta$ , also 6 % ≈ 0.06 rad ≈ 3.4°. Ein Dach mit „4:12“ hat die Steigung $4/12 = 0.333$ und einen Neigungswinkel von 18.43°.

Beispiel 4: Eine Einheitenumrechnung ist eine Gerade

Celsius und Fahrenheit: Gefrierpunkt von Wasser $(0\,°\text{C}, 32\,°\text{F})$ , Siedepunkt $(100\,°\text{C}, 212\,°\text{F})$ .

Die Oberfläche zeigt: Steigung 1.8, Achsenabschnitt 32. Es ergibt sich $F = 1.8\,C + 32$ – die Steigung 1.8 °F/°C bedeutet „pro 1 °C steigt die Temperatur um 1.8 °F“, der Achsenabschnitt 32 ist die Fahrenheit-Temperatur bei 0 °C. Hier hat $m$ eine Einheit (°F/°C) und lässt sich nicht in einen Winkel umrechnen.

Die Eingaben aus Beispiel 1 lassen sich direkt in das Panel übernehmen; ändert man y₂ auf 2, wird die Steigung 0 (waagerechte Gerade).

Grundlagen und Herleitung

Die Steigung ist eine Änderungsrate

Das Wesen einer Geraden ist, dass sich $y$ gleichmäßig mit $x$ ändert: Egal welche zwei Punkte man misst, $\Delta y / \Delta x$ ist immer gleich. Dieses konstante Verhältnis ist die Steigung; es verbindet die geometrische „Neigung“ mit der algebraischen Aussage „ $y$ -Änderung pro Einheit $x$ “. In der Physik ist die Steigung eines Verschiebung–Zeit-Diagramms die Geschwindigkeit und die eines Geschwindigkeit–Zeit-Diagramms die Beschleunigung; in der Wirtschaft ist die Steigung der Kosten-Geraden über der Ausbringungsmenge die Grenzkosten. Die Analysis verallgemeinert diesen Gedanken auf Kurven: Die Ableitung an einer Stelle ist die Steigung der dortigen Tangente.

Warum zwei Punkte genügen

Durch einen Punkt lassen sich unendlich viele Geraden zeichnen, mit einem zweiten Punkt bleibt nur eine übrig. Mit ähnlichen Dreiecken lässt sich begründen, warum die Steigung nicht von den gewählten zwei Punkten abhängt: Nimmt man zwei beliebige Punktepaare der Geraden, so sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke aus ihnen und den Koordinatenachsen ähnlich (entsprechende Winkel gleich), also ist „vertikale Seite / horizontale Seite“ gleich. Das erklärt auch, warum das Vertauschen der Punkte nichts ändert – Zähler und Nenner wechseln gleichzeitig das Vorzeichen.

Schreibweisen der Geradengleichung

Form	Gleichung	Wann praktisch
Steigungs-Achsenabschnitt-Form	$y = mx + b$	Steigung und $y$ -Achsenabschnitt bekannt; die Ausgabe dieses Rechners
Punkt-Steigungs-Form	$y - y_1 = m(x - x_1)$	Steigung und ein beliebiger Punkt bekannt
Zwei-Punkte-Form	$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$	nur zwei Punkte bekannt, $m$ soll nicht zuerst berechnet werden
Allgemeine Form	$Ax + By + C = 0$	erfasst auch senkrechte Geraden ( $B = 0$ ); Steigung $-A/B$
Achsenabschnitts-Form	$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$	die Schnittpunkte mit beiden Achsen $(a, 0)$ , $(0, b)$ sind bekannt

Multipliziert man die Zwei-Punkte-Form auf beiden Seiten mit $(y_2 - y_1)$ und sortiert um, erhält man die Punkt-Steigungs-Form; ausmultipliziert ergibt sich die Steigungs-Achsenabschnitt-Form mit $b = y_1 - m x_1$ – genau so berechnet die Engine den Achsenabschnitt.

Parallel, senkrecht und der Winkel zwischen Geraden

Zwei nicht senkrechte Geraden sind parallel ⟺ ihre Steigungen sind gleich; senkrecht ⟺ das Produkt der Steigungen ist $-1$ ( $m_2 = -1/m_1$ ). Das Senkrecht-Kriterium erhält man, indem man eine Gerade um 90° dreht: Aus „vorwärts $\Delta x$ , aufwärts $\Delta y$ “ wird „vorwärts $-\Delta y$ , aufwärts $\Delta x$ “, die neue Steigung ist $\Delta x / (-\Delta y) = -1/m$ . Für den Winkel $\varphi$ zwischen zwei Geraden gilt $\tan\varphi = \left|\dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|$ .

Neigungswinkel, Gefälle und „Prozent“

$m = \tan\theta$ verbindet Steigung und Neigungswinkel. Im Bauwesen ist das Gefälle in Prozent $m \times 100\%$ gebräuchlicher: Ein Gefälle von 6 % steigt auf 100 m um 6 m, ein Gefälle von 45° entspricht 100 %, eine senkrechte Wand hat ein unendliches Gefälle und nicht 100 %. Bahnen verwenden Promille (‰), Dächer das Verhältnis „x zu zwölf“ (rise : 12), Bergsteiger den Winkel – sie alle sind nur andere Schreibweisen derselben Steigung $m$ . Bei kleinen Winkeln gilt $\tan\theta \approx \theta$ (im Bogenmaß), deshalb ist 6 % ≈ 3.4° und nicht 6°.

Zusammenhang mit der Abstandsformel

$\Delta x$ und $\Delta y$ sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die Hypotenuse ist der Abstand der beiden Punkte $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ (siehe Abstandsrechner). Die Steigung nutzt nur das Verhältnis der Katheten, der Abstand die Summe ihrer Quadrate: Bei demselben Punktepaar lesen beide Rechner verschiedene Seiten desselben Dreiecks.

Annahmen

Zwei Punkte bestimmen genau eine Gerade: Zwei verschiedene Punkte legen immer eine Gerade fest; der Rechner prüft nicht, ob sie zu einer „echten“ Geraden gehören (Messdaten können rauschen).
Kartesisches Koordinatensystem, beide Achsen linear: Es sind gewöhnliche kartesische Koordinaten; auf logarithmischen Koordinaten oder in Polarkoordinaten bedeutet „Steigung“ etwas anderes.
$x_2 \ne x_1$ : Zwei Punkte mit gleicher $x$ -Koordinate bestimmen eine senkrechte Gerade, die Steigung ist undefiniert und die Oberfläche zeigt ∞.
Die Einheit folgt den Achsen: Die Einheit der Steigung ist y-Einheit / x-Einheit; nur bei gleicher Einheit beider Achsen lässt sie sich in einen Winkel umrechnen.
Alle vier Koordinaten eintragen: Beim Öffnen sind nur x₁ und y₁ vorbelegt, leere Koordinaten zählen als 0; das Vorgabebeispiel ergibt zufällig dasselbe Ergebnis wie (1, 2)–(4, 8), im Allgemeinen sollten aber alle vier Felder „Eingabe“ sein.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: Steigung und $y$ -Achsenabschnitt der Geraden durch zwei beliebige Punkte der Ebene (mit unterschiedlicher $x$ -Koordinate); Ergebnisse mit höchstens 8 Nachkommastellen.
Nur näherungsweise: Stammen die Punkte aus Messungen, beträgt der Fehler der Steigung etwa $(|\Delta y|\,\varepsilon_x + |\Delta x|\,\varepsilon_y)/\Delta x^2$ ; je näher die Punkte beieinanderliegen, desto stärker wird er verstärkt.
Nicht berechenbar: die Gleichung einer senkrechten Geraden (dafür $x = x_1$ ), die beste Ausgleichsgerade durch drei oder mehr Punkte (dafür die lineare Regression), die Tangentensteigung in einem Kurvenpunkt (dafür die Ableitung).
Keine Zusatzfunktionen: keine Ausgabe von Winkel oder Gefälle in Prozent (von Hand umrechnen), kein $x$ -Achsenabschnitt ( $-b/m$ ), keine Kollinearitätsprüfung, keine Einheitenumrechnung.
Numerik: Liegen die Punkte sehr nahe beieinander, geht $\Delta x$ gegen 0, der Gleitkommafehler wird verstärkt und das Ergebnis kann stark rauschen.

Häufige Fehler

Ungleiche Reihenfolge in Zähler und Nenner: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ , die Indizes beider Differenzen müssen dieselbe Reihenfolge haben; bei $(y_2 - y_1)/(x_1 - x_2)$ kehrt sich das Vorzeichen um.
$\Delta x$ in den Zähler schreiben: Die Steigung ist „Anstieg / Strecke“, nicht „Strecke / Anstieg“; Letzteres ist der Kehrwert der Steigung.
Prozent-Gefälle mit einem Winkel verwechseln: 6 % bedeutet $\tan\theta = 0.06$ , also 3.4°; ein Gefälle von 100 % sind 45° und nicht 90°.
Vergessen, den Achsenabschnitt mit dem Punkt zurückzurechnen: $b$ ist nicht $y_1$ , sondern $y_1 - m x_1$ ; nur bei $x_1 = 0$ sind beide gleich.
Bei einer senkrechten Geraden ∞ ablesen und die Steigungsform trotzdem weiterverwenden: Die Gerade $x = 3$ hat keine Form $y = mx + b$ ; das ∞ ist ein Hinweis und keine verwendbare Zahl.
Nur die ersten beiden Koordinaten ausfüllen: Beim Öffnen sind nur x₁ und y₁ vorbelegt, die anderen beiden zählen als 0; tragen Sie x₂ und y₂ ebenfalls ein.
Auf Achsen mit verschiedenen Einheiten Winkel anwenden: Die „1.8“ im Temperatur–Fahrenheit-Diagramm ist °F/°C und nicht $\tan 61°$ .

Typische Anwendungen

Lehre: von zwei Punkten zur Gleichung

Zuerst mit (1, 2) und (4, 8) die Gleichung $y = 2x$ gewinnen, dann y₂ auf 5, 2 und −1 ändern und beobachten, wie die Steigung von positiv über null nach negativ wandert; x₂ auf 1 setzen und das ∞ erscheinen lassen – eine anschauliche Vorführung dafür, dass senkrechte Geraden keine Steigung haben.

Straßen, Rampen und Dächer

Waagerechten Abstand und Höhenunterschied (in derselben Einheit) als (0, 0) und (run, rise) eingeben; die Steigung mal 100 ergibt das Gefälle in Prozent, $\arctan$ liefert den Neigungswinkel. Eine barrierefreie Rampe von 1:12 entspricht der Steigung 0.0833, einem Gefälle von 8.3 % und einem Winkel von 4.76°.

Kalibrierung linearer Zusammenhänge

Zwei Kalibrierpunkte (etwa Gefrier- und Siedepunkt zweier Temperaturskalen oder zwei Eichmesswerte eines Sensors) ergeben die Umrechnungsformel $y = mx + b$ , in die danach jeder Messwert direkt eingesetzt wird. Bei einem Achsenabschnitt von 0 vereinfacht sie sich zur einfachen Proportionalität.

Steigungen in physikalischen Diagrammen

Im Geschwindigkeit–Zeit-Diagramm ist die Steigung die Beschleunigung, im Verschiebung–Zeit-Diagramm die Geschwindigkeit, im $U$ – $I$ -Diagramm eines Widerstands der Widerstandswert. Zwei beliebige Punkte des Diagramms sind zulässig, je weiter sie aber auseinanderliegen, desto kleiner wird der Fehler.

Häufige Fragen

Was bedeutet eine negative Steigung?

Wenn $x$ zunimmt, nimmt $y$ ab; die Gerade fällt von links oben nach rechts unten. Je größer der Betrag der Steigung, desto steiler die Gerade.

Warum zeigt die Steigung ∞?

Die beiden Punkte haben dieselbe $x$ -Koordinate, $\Delta x = 0$ , die Division ist undefiniert. Die Gerade ist die Senkrechte $x = x_1$ ; sie hat keine Steigungs-Achsenabschnitt-Form und keinen $y$ -Achsenabschnitt (außer sie ist selbst die $y$ -Achse).

Wie erhalte ich den Neigungswinkel?

$\theta = \arctan m$ . Steigung 2 entspricht 63.43°, Steigung 1 entspricht 45°, Steigung 0.06 entspricht 3.43°. Eine geometrische Bedeutung hat das nur, wenn beide Achsen dieselbe Einheit haben.

Wie berechne ich den $x$ -Achsenabschnitt?

$y = 0$ setzen: $x = -b/m$ . In Beispiel 2 ist $x = -6/(-0.5) = 12$ .

Wie prüfe ich, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen?

Je zwei Punktepaare auswählen und die Steigungen berechnen; stimmen sie überein (unter Berücksichtigung von Gleitkommafehlern mit kleiner Toleranz), sind die Punkte kollinear. Für drei oder mehr nicht kollineare Punkte braucht es eine lineare Regression für die „beste“ Gerade; dieser Rechner bietet sie nicht an.

Sind die Ergebnisse zuverlässig, wenn die Punkte nahe beieinander liegen?

Eher nicht. Ist $\Delta x$ klein, wird ein kleiner Koordinatenfehler durch die Division verstärkt, die Steigung kann deutlich abweichen. Wählen Sie zwei möglichst weit auseinanderliegende Punkte.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition slope im Engine-Quelltext src/data/formulas.ts von CalcX ( $m = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ , $b = y_1 - m x_1$ ); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet, die Winkel mit $\arctan m$ umgerechnet.
Wikipedia, Slope（访问日期：2026-09-08）– Definition, Neigungswinkel, Parallelität und Senkrechtstellung, Zusammenhang mit der Ableitung.
Wikipedia, Linear equation（访问日期：2026-09-08）– die verschiedenen Formen der Geradengleichung.
Wikipedia, Grade (slope)（访问日期：2026-09-08）– Umrechnung zwischen Gefälle in Prozent, Verhältnis und Winkel.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. Appendix B “Coordinate Geometry and Lines” – die Standardherleitung von Steigung, Geradengleichung und Parallel- und Senkrechtbedingungen.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Slope（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Linear equation（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Grade (slope)（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, Appendix B “Coordinate Geometry and Lines”