Abstand zweier Punkte 2D/3D: Distanz und Mittelpunkt

Über diesen Rechner

Der Abstandsrechner ermittelt aus den kartesischen Koordinaten zweier Punkte $(x_1, y_1, z_1)$ und $(x_2, y_2, z_2)$ ihren geradlinigen Abstand (euklidischen Abstand) $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ und gibt zusätzlich die $x$ - und $y$ -Koordinate des Mittelpunkts der Verbindungsstrecke an. Werden beide $z$ auf 0 gesetzt, ergibt sich der ebene Abstand zweier Punkte.

Typische Fragen: Wie weit liegen zwei Punkte auf einer Karte oder Zeichnung auseinander, wie groß ist der Abstand zweier Pixel auf dem Bildschirm, welche Verschiebung liegt zwischen zwei Positionen des Roboterarms, wie lang ist eine Kante zwischen zwei Eckpunkten eines 3D-Modells, wie „ähnlich“ sind sich zwei Stichproben in der Datenanalyse. Alles, was sich als Koordinate schreiben lässt, lässt sich damit messen.

Was er nicht tut: Er berechnet keine Wegstrecke entlang von Straßen oder Gittern (das ist die Manhattan-Distanz oder die Wegplanung), nicht den Großkreisabstand zweier Punkte auf der Erdoberfläche (dafür brauchen Längen- und Breitengrade eine Kugelformel), gibt keinen $z$ -Mittelpunkt aus und rechnet keine Einheiten um – alle Koordinaten müssen dieselbe Längeneinheit haben.

Formeln und Variablen

Der euklidische Abstand zweier Punkte im Raum:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Für $z_1 = z_2$ (etwa beide 0) geht die Formel in den ebenen Abstand $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ über. Der Mittelpunkt der Strecke ist das arithmetische Mittel der Endkoordinaten:

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$x_1, y_1, z_1$	Koordinaten des ersten Punkts	x₁, y₁, z₁	Länge	beliebige reelle Zahlen; Vorgabe (0, 0, 0); für ebene Aufgaben z₁ = 0
$x_2, y_2, z_2$	Koordinaten des zweiten Punkts	x₂, y₂, z₂	Länge	beliebige reelle Zahlen; Vorgabe (3, 4, 0); für ebene Aufgaben z₂ = 0
$\Delta x, \Delta y, \Delta z$	die drei Koordinatendifferenzen	(Zwischenwerte)	Länge	das Vorzeichen spielt keine Rolle, es verschwindet beim Quadrieren
$d$	Abstand der beiden Punkte	Abstand d	Länge	Ausgabe, $d \ge 0$ ; bei zusammenfallenden Punkten 0
$M_x, M_y$	$x$ - und $y$ -Koordinate des Mittelpunkts	Mittelpunkt X, Mittelpunkt Y	Länge	Ausgabe; die Engine gibt keinen $z$ -Mittelpunkt aus, dieser ist von Hand $(z_1+z_2)/2$

Alle sechs Koordinaten müssen dieselbe Längeneinheit verwenden; der Abstand hat dieselbe Einheit.

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Abstandsrechner (2D/3D)“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.distance). Beim Öffnen sind nur x₁ = 0 und y₁ = 0 vorbelegt; die übrigen vier Koordinaten sind leer und werden als 0 gerechnet, der anfänglich angezeigte Abstand ist daher 0 – bitte alle sechs Koordinaten eintragen.
Zwei Punkte eintragenFür ebene Aufgaben z₁ und z₂ auf 0 setzen; für räumliche Aufgaben die tatsächliche Höhe eintragen. Koordinaten dürfen negativ und gebrochen sein.
Abstand ablesen„Abstand d“ trägt die Markierung „berechnet“ und aktualisiert sich sofort, mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen.
Mittelpunkt ablesen„Mittelpunkt X“ und „Mittelpunkt Y“ sind die Mittelwerte der entsprechenden Endkoordinaten; den $z$ -Mittelpunkt einer räumlichen Aufgabe selbst als $(z_1 + z_2)/2$ berechnen.
PrüfenVertauscht man die beiden Punkte, bleiben Abstand und Mittelpunkt gleich; trägt man zweimal dieselben Koordinaten ein, muss der Abstand 0 sein.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine distance nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen.

Beispiel 1: vom Ursprung zu (3, 4, 12)

Eingaben: $(0, 0, 0)$ und $(3, 4, 12)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 12$ .
Summe der Quadrate $9 + 16 + 144 = 169$ .
$d = \sqrt{169} = 13$ ; Mittelpunkt $(1.5, 2, 6)$ .

Anzeige: Abstand 13, Mittelpunkt X 1.5, Mittelpunkt Y 2. Dieses Beispiel lässt sich als zweimaliger Satz des Pythagoras lesen: Die Bodendiagonale ist $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , und zusammen mit der Höhe 12 ergibt sich ein neues rechtwinkliges Dreieck, $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ .

Abbildung 1: Der Abstand im Raum ist die Raumdiagonale des Quaders, also der Satz des Pythagoras ein zweites Mal, angewendet auf die Bodendiagonale

Beispiel 2: (1, 2) und (4, 6) in der Ebene

Eingaben: $(1, 2, 0)$ und $(4, 6, 0)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 0$ .
$d = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; Mittelpunkt $\big((1+4)/2, (2+6)/2\big) = (2.5, 4)$ .

Anzeige: Abstand 5, Mittelpunkt X 2.5, Mittelpunkt Y 4. Zum Vergleich: Der Weg entlang des Gitters (erst 3 waagerecht, dann 4 senkrecht) ergibt die Manhattan-Distanz 7; der geradlinige Abstand 5 ist nie größer als sie.

Beispiel 3: räumliche Punkte mit negativen Koordinaten

Eingaben: $(-2, 3, 1)$ und $(4, -1, 5)$ .

$\Delta x = 4 - (-2) = 6$ , $\Delta y = -1 - 3 = -4$ , $\Delta z = 5 - 1 = 4$ .
Summe der Quadrate $36 + 16 + 16 = 68$ .
$d = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.2462$ ; Mittelpunkt $(1, 1, 3)$ .

Anzeige: Abstand 8.24621125, Mittelpunkt X 1, Mittelpunkt Y 1. Das negative Vorzeichen verschwindet beim Quadrieren – für den Abstand zählt nur der Betrag der Koordinatendifferenz.

Beispiel 4: Diagonalen des Einheitsquadrats und des Einheitswürfels

Eingaben $(0, 0, 0)$ und $(1, 1, 0)$ : Abstand 1.41421356 ( $\sqrt 2$ ). Eingaben $(0, 0, 0)$ und $(1, 1, 1)$ : Abstand 1.73205081 ( $\sqrt 3$ ). Die Diagonale des $n$ -dimensionalen Einheitswürfels ist $\sqrt n$ – je höher die Dimension, desto länger die Diagonale im Verhältnis zur Kantenlänge.

inputs='{"x1":0,"y1":0,"z1":0,"x2":3,"y2":4,"z2":12}' outputs="d,midX,midY" Die Eingaben aus Beispiel 1 lassen sich direkt in das Panel übernehmen; setzt man z₂ auf 0, ergibt sich wieder der ebene Abstand 5.

Grundlagen und Herleitung

Vom Satz des Pythagoras zur Abstandsformel

Für zwei Punkte $P_1(x_1, y_1)$ und $P_2(x_2, y_2)$ in der Ebene legt man durch $P_1$ eine Waagerechte und durch $P_2$ eine Senkrechte; sie schneiden sich in $Q(x_2, y_1)$ . $P_1 Q$ hat die Länge $|\Delta x|$ , $Q P_2$ die Länge $|\Delta y|$ , beide stehen senkrecht aufeinander, also ist $P_1 P_2$ die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks: $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ . Das ist der Satz des Pythagoras in einer anderen Sprache.

Für drei Dimensionen wird das Verfahren ein zweites Mal angewendet: Zuerst ergibt sich in der Ebene $z = z_1$ die Bodendiagonale $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ ; sie steht senkrecht auf der vertikalen Strecke $\Delta z$ , also gilt $d^2 = (\Delta x^2 + \Delta y^2) + \Delta z^2$ . Mit jeder weiteren zueinander senkrechten Dimension kommt unter der Wurzel ein Quadrat hinzu – deshalb lautet der euklidische Abstand im $n$ -dimensionalen Raum $\sqrt{\sum_i (\Delta x_i)^2}$ ; auch der „Abstand“ zweier 100-dimensionaler Merkmalsvektoren in der Datenanalyse verwendet dieselbe Formel.

Warum der Mittelpunkt der Mittelwert ist

Geht man auf der Strecke von $P_1$ nach $P_2$ , ändert sich jede Koordinate linear von $x_1$ nach $x_2$ ; auf der Hälfte des Weges liegt jede Koordinate genau in der Mitte zwischen den beiden Enden, also bei $(x_1 + x_2)/2$ . Allgemeiner liegt der Punkt im Verhältnis $t$ auf der Strecke bei $P_1 + t\,(P_2 - P_1)$ ; $t = 1/2$ ergibt den Mittelpunkt, $t = 1/3$ einen Drittelpunkt – das ist die geometrische Form der Proportionalität und der linearen Interpolation.

Welche Eigenschaften ein „Abstand“ erfüllen muss

In der Mathematik heißt jede Funktion eine Metrik (Abstandsfunktion), welche die folgenden vier Eigenschaften erfüllt: nicht negativ; null genau dann, wenn die beiden Punkte zusammenfallen; symmetrisch ( $d(P, Q) = d(Q, P)$ ); und die Dreiecksungleichung ( $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ , ein Umweg ist nie kürzer). Der euklidische Abstand erfüllt alle vier – die präzise Fassung der Intuition „die gerade Linie ist der kürzeste Weg“. Die Dreiecksungleichung erklärt, warum in Beispiel 2 die Manhattan-Distanz 7 größer ist als der geradlinige Abstand 5.

Jenseits des euklidischen Abstands

Manhattan-Distanz $|\Delta x| + |\Delta y|$ : die Wegstrecke, wenn man nur entlang eines Gitters laufen kann (Schachbrett, Häuserblocks, manche Verdrahtungen auf Leiterplatten).
Tschebyschew-Distanz $\max(|\Delta x|, |\Delta y|)$ : die Zahl der Züge eines Königs im Schach von einem Feld zum anderen.
Großkreisabstand: der kürzeste Weg zweier Punkte auf der Erdoberfläche entlang der Kugelfläche; Längen- und Breitengrade müssen zuerst umgerechnet werden, die Formel ist die Haversine-Formel der sphärischen Trigonometrie, die dieser Rechner nicht verwendet. Über kleine Entfernungen (bis zu einigen Dutzend Kilometern) lassen sich Längen- und Breitengrade proportional in ebene Meterkoordinaten umrechnen; der euklidische Abstand ist dann eine Näherung.

Sie erfüllen wie der euklidische Abstand alle vier Eigenschaften einer Metrik, liefern aber andere Zahlen; welche die richtige ist, hängt davon ab, „wie man sich fortbewegen kann“.

Zusammenhang mit der Steigung

$\Delta x$ und $\Delta y$ bestimmen zugleich zwei Größen: Die Quadratwurzel aus der Summe ihrer Quadrate ist der Abstand, ihr Verhältnis die Steigung. Im selben rechtwinkligen Dreieck liest der Abstand die Hypotenuse ab, die Steigung das Verhältnis der beiden Katheten.

Annahmen

Kartesisches Koordinatensystem: Die drei Achsen stehen senkrecht aufeinander und sind gleich skaliert. Schiefe oder ungleich skalierte Koordinaten (etwa Längen- und Breitengrade oder logarithmische Achsen) lassen sich nicht direkt einsetzen.
Euklidischer Raum: „Abstand“ zweier Punkte ist die Länge der geraden Verbindungsstrecke; der Raum ist flach.
Gleiche Einheit: Alle sechs Koordinaten verwenden dieselbe Längeneinheit; der Abstand hat dieselbe Einheit.
z = 0 bedeutet Ebene: Bei zweidimensionalen Aufgaben beide $z$ -Werte auf 0 setzen (oder denselben Wert eintragen).
Alle sechs Koordinaten eintragen: Das Panel ist anfangs nur mit x₁ und y₁ vorbelegt; die übrigen Felder werden als 0 gerechnet. Bitte alle Felder als „Eingabe“ belegen.
Mittelpunkt nur in x und y: Den $z$ -Mittelpunkt von Hand als $(z_1 + z_2)/2$ berechnen.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: der euklidische Abstand zweier Punkte (ebene oder räumliche kartesische Koordinaten) sowie x- und y-Mittelpunkt; Ergebnisse mit höchstens 8 Nachkommastellen.
Nur näherungsweise: Stammen die Koordinaten aus Messungen, entspricht der Fehler des Abstands ungefähr der Summe der auf die Verbindungsrichtung projizierten Koordinatenfehler; bei kleinen Bereichen auf der Erdoberfläche wächst der Fehler der ebenen Näherung mit der Ausdehnung.
Nicht berechenbar: Wegstrecken entlang von Gittern oder Straßen, Großkreisabstände auf der Erdoberfläche, der Abstand eines Punktes von einer Geraden oder einer Ebene, der kürzeste Weg zwischen mehreren Punkten.
Keine Zusatzfunktionen: kein $z$ -Mittelpunkt, kein Richtungswinkel oder Richtungsvektor, keine Einheitenumrechnung, keine Plausibilitätsprüfung der Eingaben.
Numerik: Bei extrem großen Koordinaten (etwa $10^{200}$ ) läuft das Quadrat auf unendlich über; bei alltagsüblichen Größenordnungen tritt das nicht auf.

Häufige Fehler

Nur zwei Koordinaten eingetragen: Das Panel ist anfangs nur mit x₁ und y₁ vorbelegt, der Rest wird als 0 gerechnet; der angezeigte Abstand 0 hat dann keine Aussage. Alle sechs Felder ausfüllen.
Quadrieren und Wurzelziehen vergessen: $\Delta x + \Delta y$ ist kein Abstand; 3 + 4 = 7 ist die Manhattan-Distanz, der euklidische Abstand ist 5.
Von negativen Vorzeichen abgeschreckt: Eine negative Koordinatendifferenz ist unproblematisch, sie wird beim Quadrieren positiv; in Beispiel 3 liefert $\Delta y = -4$ den Beitrag $+16$ .
Längen- und Breitengrade direkt als Koordinaten verwenden: 1° Länge entspricht am Äquator etwa 111 km, auf 60° Breite nur etwa 56 km; direkt eingesetzt ergibt das grob falsche Werte. Zuerst in ebene Meterkoordinaten umrechnen oder die Großkreisformel verwenden.
Unterschiedliche Koordinateneinheiten: x in Metern und y in Zentimetern ergibt ein völlig sinnloses Ergebnis. Zuerst die Einheiten vereinheitlichen.
Den Mittelpunkt für den halben Abstand halten: Der Mittelpunkt ist ein Punkt (ein Koordinatenpaar), der halbe Abstand eine Länge; das sind verschiedene Größen.
Einen $z$ -Mittelpunkt erwarten: Die Engine gibt nur x- und y-Mittelpunkt aus; den $z$ -Mittelpunkt von Hand berechnen.

Typische Anwendungen

Unterricht: der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen

Zuerst mit (0, 0, 0)–(3, 4, 0) den Wert 5 erhalten, dann z₂ auf 12 ändern und 13 erhalten – so wird der zweistufige Weg „erst Bodendiagonale, dann Raumdiagonale“ sichtbar.

Zeichnung, Bildschirm und CAD

Der geradlinige Abstand zwischen zwei bemaßten Punkten oder Pixeln; der Mittelpunkt als Symmetrieachse oder Beschriftungsposition. Dass die y-Achse der Bildschirmkoordinaten nach unten zeigt, ändert den Abstand nicht.

Mechanik und Robotik

Der Betrag der Verschiebung zwischen zwei Stellungen des Endeffektors, der Achsabstand zweier Bohrungen, der Abstand zweier Punkte in einer 3D-Punktwolke.

Datenanalyse

Der euklidische Abstand zweier Stichproben im Merkmalsraum ist die Grundlage von Verfahren wie der k-Nächste-Nachbarn-Klassifikation und dem Clustering; die dreidimensionale Formel dieses Rechners ist die niedrigdimensionale Fassung davon.

Häufige Fragen

Warum wird beim Öffnen der Abstand 0 angezeigt?

Das Panel ist nur mit x₁ und y₁ vorbelegt; die übrigen Koordinaten sind leer und werden als 0 gerechnet, die beiden Punkte fallen also im Ursprung zusammen. Sobald alle sechs Koordinaten eingetragen sind, erscheint das richtige Ergebnis.

Wie trägt man z bei einer zweidimensionalen Aufgabe ein?

Beide $z$ -Werte auf 0 setzen (oder denselben Wert); $\Delta z = 0$ ändert das Ergebnis nicht.

Lässt sich der Abstand zwischen Längen- und Breitengraden berechnen?

Nicht direkt. Längen- und Breitengrade sind Winkelkoordinaten auf der Kugel; sie müssen zuerst in ebene Meterkoordinaten umgerechnet werden (kleine Bereiche) oder es ist die Großkreisformel zu verwenden (große Bereiche).

Wo finde ich den Mittelpunkt in z?

Die Engine gibt keinen $z$ -Mittelpunkt aus. Er ist von Hand als $(z_1 + z_2)/2$ zu berechnen; in Beispiel 1 ist der $z$ -Mittelpunkt 6.

Worin unterscheiden sich Abstand und Verschiebung?

Dieser Rechner berechnet die Länge der geraden Verbindung zweier Punkte, eine skalare Größe. Eine Verschiebung hat zusätzlich eine Richtung; der Richtungsvektor ist $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ , und seine Länge ist der Abstand von hier.

Warum ist das Ergebnis keine ganze Zahl?

Für die meisten Koordinatenkombinationen ist der Abstand irrational (etwa $\sqrt 2$ oder $\sqrt{68}$ ); nur Pythagoras-Tripel wie 3-4-5 oder 5-12-13 ergeben ganzzahlige Werte. Die Oberfläche zeigt höchstens 8 Nachkommastellen.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition distance in src/data/formulas.ts der CalcX-Engine ( $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ , Mittelpunkt X / Y als Mittelwert der Endkoordinaten); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Wikipedia, Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）– Formeln für zwei, drei und $n$ Dimensionen, Eigenschaften der Metrik.
Wikipedia, Midpoint（访问日期：2026-09-08）– Mittelpunktformel und Verallgemeinerungen.
Wikipedia, Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）– Vergleich von Manhattan-Distanz und euklidischem Abstand.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems” – Herleitung der dreidimensionalen Abstandsformel und Mittelpunkt.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Midpoint（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”