Satz des Pythagoras: Hypotenuse, Kathete und Fläche

Über diesen Rechner

Der Pythagoras-Rechner bestimmt aus zwei beliebigen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte Seite: Sind die beiden Katheten $a$ und $b$ bekannt, liefert er die Hypotenuse $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; sind die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, rechnet er die andere Kathete zurück; zusätzlich gibt er die Dreiecksfläche $ab/2$ an.

Wo immer in einer Aufgabe ein rechter Winkel auftaucht – Wand und Boden, Breite und Höhe eines Bildschirms, zwei Wegabschnitte auf den Koordinatenachsen, Leiter und Wand –, lässt er sich einsetzen: zwei Seiten messen, die dritte muss nicht gemessen werden. Er ist zugleich der Ausgangspunkt für den Abstand zweier Punkte, den Kosinussatz und die Länge von Vektoren; wer ihn versteht, versteht, wie „Länge“ im kartesischen Koordinatensystem definiert ist.

Was er nicht tut: Er behandelt keine nicht rechtwinkligen Dreiecke (dafür braucht es den Kosinus- oder den Sinussatz), prüft nicht, ob drei gegebene Seiten überhaupt ein Dreieck bilden, und rechnet keine Einheiten um – alle drei Seiten müssen dieselbe Längeneinheit verwenden.

Formeln und Variablen

Seien $a$ und $b$ die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und $c$ die Hypotenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende und längste Seite):

a^2 + b^2 = c^2

Daraus ergeben sich drei Lösungsrichtungen und die Fläche:

c = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad a = \sqrt{c^2 - b^2},\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2},\qquad S = \tfrac{1}{2}\,ab

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$a$	eine der Katheten	Kathete a	Länge	$a > 0$ ; Vorgabe 3
$b$	die andere Kathete	Kathete b	Länge	$b > 0$ ; Vorgabe 4
$c$	Hypotenuse	Hypotenuse c	Länge	$c > a$ und $c > b$ ; beim Rückrechnen gibt es keine Lösung, wenn $c \le$ der bekannten Kathete
$S$	Fläche	Fläche	Länge²	Ausgabe, $S = ab/2$ , nur sinnvoll, wenn beide Katheten bekannt sind

Alle drei Seiten müssen dieselbe Längeneinheit verwenden (alle in Metern, allen in Zentimetern, allen in Pixeln …); die Einheit der Fläche ist das Quadrat dieser Längeneinheit.

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Satz des Pythagoras“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.pythagorean). Beim Öffnen sind die ersten beiden Felder mit $a = 3$ und $b = 4$ vorbelegt, und Hypotenuse sowie Fläche werden automatisch berechnet.
Hypotenuse berechnen„Kathete a“ und „Kathete b“ ändern; die mit „Eingabe“ markierten Felder sind Ihre Werte, die mit „berechnet“ markierten aktualisieren sich sofort. Hypotenuse $c$ und Fläche erscheinen gleichzeitig.
Kathete zurückrechnen„Kathete a“ (oder b) leeren, in „Hypotenuse c“ die Länge der Hypotenuse eintragen und die andere Kathete als Eingabe stehen lassen; die geleerte Seite wechselt auf „berechnet“ und zeigt das Ergebnis.
Ergebnisse ablesenWerte werden mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen angezeigt, zum Beispiel $\sqrt{2}$ als 1.41421356. Ist beim Rückrechnen die Hypotenuse nicht länger als die bekannte Kathete, bleibt das Ergebnisfeld leer – die Eingaben bilden dann kein rechtwinkliges Dreieck.
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert den Formeltext a² + b² = c² in die Zwischenablage, praktisch für Hausaufgaben oder Dokumente.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine pythagorean nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen.

Beispiel 1: der Klassiker 3-4-5

Eingaben: $a = 3$ , $b = 4$ .

$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$ .
$c = \sqrt{25} = 5$ .
Fläche $S = 3 \times 4 / 2 = 6$ .

Anzeige: Hypotenuse 5, Fläche 6. Das ist das kleinste pythagoreische Tripel ganzer Zahlen; im chinesischen Klassiker Zhoubi Suanjing steht dafür der Merksatz „Gou drei, Gu vier, Xian fünf“.

Abbildung 1: das rechtwinklige Dreieck aus Beispiel 1. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste Seite

Beispiel 2: aus der Hypotenuse eine Kathete zurückrechnen

Eingaben: $c = 13$ , $b = 5$ (a geleert).

$c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144$ .
$a = \sqrt{144} = 12$ .

Anzeige: Kathete a 12. Beachten Sie, dass das Feld „Fläche“ jetzt 0 zeigt: Die Engine berechnet die Fläche nur, wenn beide Katheten Eingaben sind; die zurückgerechnete $a$ fließt nicht in die Fläche ein. Um die Fläche zu sehen, 12 als „Kathete a“ eintragen und die Hypotenuse leeren – dann ergibt sich 30.

Beispiel 3: die Leiteraufgabe

Eine 6.5 m lange Leiter lehnt an einer Wand, der Fuß steht 2.5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter? Hier ist die Leiter die Hypotenuse und „Abstand zur Wand“ sowie „Höhe“ sind die Katheten.

Eingaben: $c = 6.5$ , $a = 2.5$ (b geleert).

$c^2 - a^2 = 42.25 - 6.25 = 36$ .
$b = \sqrt{36} = 6$ .

Anzeige: Kathete b 6. Umgekehrt: Sind 2.5 m Abstand und 6 m Höhe bekannt, ergeben $a = 2.5$ und $b = 6$ eine Hypotenuse von 6.5 und eine Fläche von 7.5.

Beispiel 4: irrationale Ergebnisse und die Bildschirmdiagonale

Eingaben: $a = 1$ , $b = 1$ : $c = \sqrt{2}$ , die Anzeige lautet 1.41421356 (8 Nachkommastellen), die Fläche 0.5. Das ist die erste Länge der Geschichte, für die bewiesen wurde, dass sie kein Bruch ist.

Eingaben: $a = 1920$ , $b = 1080$ (Pixelbreite und -höhe eines 1080p-Bildschirms): Diagonale 2202.90717008 Pixel. Ist dieser Bildschirm mit 27 Zoll (Diagonale 27 in) angegeben, ergibt die Rückrechnung mit $c = 27$ und $b = 13.24$ (Höhe) eine Breite von 23.53088184 in – „27 Zoll“ bezeichnet die Diagonale, nicht die Breite.

Die Eingaben aus Beispiel 1 lassen sich direkt in das Panel übernehmen; setzt man a und b beide auf 1, ergibt sich als Hypotenuse 1.41421356.

Grundlagen und Herleitung

Warum die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist

Der anschaulichste Beweis ist ein Zerlegungsbeweis. Man nimmt ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$ und zerlegt es auf zwei Weisen:

Zerlegung 1: Auf jeder der vier Seiten wird ein Punkt markiert, sodass das große Quadrat in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke (Katheten $a$ und $b$ ) und ein schief stehendes Quadrat in der Mitte zerfällt. Die Seiten des schiefen Quadrats sind genau die Hypotenusen $c$ der Dreiecke, seine Fläche ist also $c^2$ .
Zerlegung 2: Dieselben vier Dreiecke werden paarweise zu zwei Rechtecken von $a \times b$ zusammengesetzt und in zwei Ecken des großen Quadrats gelegt; übrig bleiben genau ein Quadrat $a \times a$ und ein Quadrat $b \times b$ , zusammen mit der Fläche $a^2 + b^2$ .

Beide Zerlegungen verwenden dieselben vier Dreiecke und dasselbe große Quadrat, die Restflächen müssen also gleich groß sein: $c^2 = a^2 + b^2$ .

Abbildung 2: zwei Zerlegungen desselben (a+b)². Die vier Dreiecke sind identisch, also gilt c² = a² + b²

Euklid gibt in Buch I, Proposition 47 der Elemente einen anderen Beweis – er errichtet über den drei Seiten Quadrate und zeigt, dass die Summe der beiden kleineren gleich dem großen ist; Proposition 48 beweist die Umkehrung: Erfüllt ein Dreieck $a^2 + b^2 = c^2$ , so ist es rechtwinklig. Diese Umkehrung ist die Grundlage der Handwerksregel „rechter Winkel mit 3-4-5“: Ein Dreieck aus den drei Längen 3, 4 und 5 hat einen exakten Winkel von 90°.

Eigentlich ist er die Definition des Abstands

Im kartesischen Koordinatensystem stehen die beiden Verschiebungen $\Delta x$ und $\Delta y$ von $(x_1, y_1)$ nach $(x_2, y_2)$ senkrecht aufeinander, die geradlinige Verbindung der beiden Punkte ist also die Hypotenuse: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . Das ist die Formel des Abstandsrechners; die Erweiterung auf drei Dimensionen wendet den Satz einfach ein zweites Mal an (erst die Bodendiagonale, dann mit der Höhe ein neues rechtwinkliges Dreieck). Der Betrag eines Vektors, der Betrag einer komplexen Zahl und die Standardabweichung der Statistik (die Wurzel aus der Summe der Abweichungsquadrate) sind dieselbe Formel.

Zusammenhang mit dem Kosinussatz

Für ein beliebiges Dreieck gilt $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . Für einen eingeschlossenen Winkel $C = 90°$ ist $\cos C = 0$ , der letzte Term verschwindet, und es bleibt der Satz des Pythagoras. Der Satz ist also der Sonderfall des Kosinussatzes für den rechten Winkel; umgekehrt lässt sich am Verhältnis von $c^2$ zu $a^2 + b^2$ ablesen, ob der eingeschlossene Winkel spitz ( $c^2 < a^2+b^2$ ) oder stumpf ( $c^2 > a^2+b^2$ ) ist.

Pythagoreische Tripel

Rechtwinklige Dreiecke, deren drei Seitenlängen ganze Zahlen sind, heißen pythagoreische Tripel. Die kleinsten davon:

$(a, b, c)$	Probe
(3, 4, 5)	$9 + 16 = 25$
(5, 12, 13)	$25 + 144 = 169$
(8, 15, 17)	$64 + 225 = 289$
(7, 24, 25)	$49 + 576 = 625$
(20, 21, 29)	$400 + 441 = 841$

Mit der Formel von Euklid lassen sich alle primitiven pythagoreischen Tripel erzeugen: Man wählt teilerfremde positive ganze Zahlen $m > n$ mit unterschiedlicher Parität und setzt $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ , $c = m^2 + n^2$ . $m = 2, n = 1$ ergibt (3, 4, 5); $m = 3, n = 2$ ergibt (5, 12, 13). Jedes pythagoreische Tripel bleibt beim maßstäblichen Vervielfachen eines – (6, 8, 10) und (0.3, 0.4, 0.5) liefern im Rechner ebenso glatte Ergebnisse.

Geschichte

Die babylonische Tontafel Plimpton 322 (um 1800 v. Chr.) listet bereits zahlreiche pythagoreische Tripel auf; im chinesischen Zhoubi Suanjing ist der Merksatz „Gou drei, Gu vier, Xian fünf“ überliefert, und das Jiuzhang Suanshu („Neun Kapitel über die mathematische Kunst“) widmet dem Satz ein eigenes Kapitel mit Lösungsverfahren; die „Hypotenusen-Figur“ in Zhao Shuangs Kommentar ist genau der Zerlegungsbeweis von oben. Der Schule des Pythagoras (um das 6. Jahrhundert v. Chr.) wird der erste allgemeine Beweis zugeschrieben; an ihr wurde auch anhand von $\sqrt{2}$ klar, dass es Längen gibt, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. „Gou“ und „Gu“ sind die alten chinesischen Bezeichnungen der beiden Katheten (Gou für die kürzere, Gu für die längere), „Xian“ bezeichnet die Hypotenuse.

Er gilt nur in der Ebene

Der Satz des Pythagoras ist ein Satz der euklidischen ebenen Geometrie. Auf einer Kugeloberfläche erfüllen zwei senkrecht aufeinander stehende Großkreisbögen $a$ und $b$ mit der dritten Seite $c$ die Beziehung $\cos c = \cos a \cos b$ (Einheitskugel); nur wenn alle drei Seiten sehr viel kürzer als der Kugelradius sind, nähert sich das wieder $a^2 + b^2 = c^2$ an. Auf Landkarten lässt sich der Satz über einige Kilometer hinweg bedenkenlos verwenden, für interkontinentale Entfernungen braucht es die Kugelformel.

Annahmen

Es ist tatsächlich ein rechtwinkliges Dreieck: Der Winkel zwischen $a$ und $b$ beträgt genau 90°. Weicht er auch nur um wenige Grad ab, entfernt sich die Hypotenuse von $\sqrt{a^2+b^2}$ (die Abweichung lässt sich mit dem Kosinussatz abschätzen).
Ebene Geometrie: Alle drei Seiten liegen in einer Ebene, und diese Ebene ist euklidisch; auf gekrümmten Flächen (in großem Maßstab auf der Erdoberfläche) gilt der Satz nicht.
Einheitliche Einheit: Alle drei Seiten werden in derselben Längeneinheit eingegeben, die Flächeneinheit ist automatisch deren Quadrat.
Positive endliche reelle Zahlen: Seitenlängen sind positiv; die Engine verhindert negative Werte oder 0 nicht, aber 0 oder eine negative Seitenlänge hat keine geometrische Bedeutung.
Konvention für die Fläche: Die Fläche wird nur aus den beiden eingegebenen Katheten berechnet; im Rückrechnungsmodus zeigt das Feld „Fläche“ den Wert 0, was nicht bedeutet, dass die Fläche null ist.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: die dritte Seite und die Fläche jedes rechtwinkligen Dreiecks aus zwei bekannten Seiten, einschließlich der Rückrechnung einer Kathete; Ergebnisse mit 8 Nachkommastellen (ohne abschließende Nullen).
Nur näherungsweise: Messwerte haben selbst Unsicherheit; der Fehler des Ergebnisses beträgt etwa $\Delta c \approx (a\,\Delta a + b\,\Delta b)/c$ . Die angezeigten 8 Nachkommastellen sind keine Messgenauigkeit.
Nicht berechenbar: nicht rechtwinklige Dreiecke (dafür der Kosinussatz), Aufgaben mit nur einer Seite und einem Winkel (dafür die Winkelfunktionen), „Dreiecke“ auf einer Kugel- oder sonstigen gekrümmten Fläche.
Keine Zusatzfunktionen: Es wird nicht geprüft, ob drei Seiten die Dreiecksungleichung erfüllen, es werden keine Einheiten umgerechnet und keine Winkel ausgegeben.
Numerik: Bei extrem großen Werten (etwa $10^{200}$ ) läuft das Quadrat auf unendlich über; die Engine verwendet direkt $a^2 + b^2$ statt des numerisch stabileren hypot, was für alltagsübliche Größenordnungen keine Rolle spielt.

Häufige Fehler

Die Hypotenuse in ein Kathetenfeld eintragen: Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Wer 5 als a und 3 als b einträgt, erhält als „Hypotenuse“ 5.83 – das ist keine Seite des ursprünglichen Dreiecks.
Beim Rückrechnen eine zu kurze Hypotenuse eintragen: Dann wird $c^2 - b^2$ negativ und das Ergebnis bleibt leer. Zuerst klären, welche Seite die Hypotenuse ist.
Unterschiedliche Einheiten für die beiden Seiten: Eine Seite in Metern, eine in Zentimetern ergibt ein sinnloses Ergebnis. Erst die Einheiten vereinheitlichen, dann eingeben.
Die Wurzel vergessen: $3^2 + 4^2 = 25$ ist $c^2$ , nicht $c$ ; der Rechner zieht die Wurzel bereits, beim Kopfrechnen wird dieser Schritt am häufigsten ausgelassen.
Den Satz auf nicht rechtwinklige Dreiecke anwenden: Die dritte Seite gleichschenkliger oder beliebiger Dreiecke lässt sich so nicht berechnen, solange nicht zuerst ein rechter Winkel nachgewiesen ist.
Fläche 0 im Rückrechnungsmodus: Siehe „Annahmen“ – das ist die Konvention der Engine, nicht eine Dreiecksfläche von null.
„27 Zoll“ als Breite verstehen: Die Nenngröße von Bildschirmen und Fernsehern ist die Diagonale; Breite und Höhe ergeben sich aus dem Satz des Pythagoras und dem Seitenverhältnis.

Typische Anwendungen

Lehre: von der Zahl zur Form

Zuerst einige pythagoreische Tripel eingeben (3-4-5, 5-12-13) und die ganzzahligen Ergebnisse betrachten, dann 1-1 für $\sqrt{2}$ , und schließlich $a$ festhalten und $b$ schrittweise vergrößern, um zu beobachten, wie sich die Hypotenuse an $b$ annähert – ein anschaulicher Zugang zu Quadratsummen, Wurzeln und Grenzwerten.

Baustelle und Ausbau: rechte Winkel abstecken, Diagonalen messen

Auf dem Boden 3 m und 4 m abmessen – beträgt die Diagonale genau 5 m, ist der Winkel rechtwinklig; beim Verlegen von Bodenfliesen oder beim Bau von Schränken lässt sich mit der Diagonalen prüfen, ob alles im Winkel steht. Umgekehrt liefert der Rechner aus Länge und Breite eines Raums die Diagonale, mit der sich klären lässt, ob eine große Platte schräg durch die Tür passt.

Bildschirme und Bildformate

Aus Pixelbreite und -höhe die Diagonale in Pixeln bestimmen (zusammen mit der Nenngröße ergibt das die Pixeldichte PPI) oder aus der Zoll-Diagonale und dem Seitenverhältnis die tatsächliche Breite und Höhe zurückrechnen.

Koordinaten und Navigation

Der geradlinige Abstand zweier Punkte in der Ebene, die resultierende Verschiebung zweier Achsenbewegungen eines Roboters und das Impedanzdreieck der Elektrotechnik (Wirkwiderstand, Blindwiderstand, Scheinwiderstand) sind direkte Anwendungen des Satzes.

Häufige Fragen

Reicht eine Seite und ein Winkel?

Mit diesem Rechner nicht – er braucht zwei Seiten. Eine Seite plus einen spitzen Winkel behandeln die Winkelfunktionen: Gegenkathete = Hypotenuse × sin(Winkel), Ankathete = Hypotenuse × cos(Winkel).

Wie prüfe ich mit drei bekannten Seiten, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

Die längste Seite als $c$ nehmen und prüfen, ob $a^2 + b^2$ gleich $c^2$ ist (Messfehler erlauben kleine Abweichungen). Bei Gleichheit ist der Winkel rechtwinklig (Umkehrung), ein kleinerer Wert bedeutet einen stumpfen, ein größerer einen spitzen Winkel.

Warum haben die Ergebnisse so viele Nachkommastellen?

Die Hypotenuse der meisten rechtwinkligen Dreiecke ist irrational, ihre Dezimaldarstellung bricht also nie ab. Die Oberfläche zeigt höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen; für die praktische Verwendung genügt die Genauigkeit der Messung.

Warum zeigt die Fläche beim Rückrechnen 0?

Die Engine berechnet die Fläche nur aus den beiden eingegebenen Katheten; eine zurückgerechnete Seite wird nicht zurückgeschrieben. Trägt man das Ergebnis von Hand in ein Kathetenfeld ein und leert die Hypotenuse, wird die Fläche korrekt angezeigt.

Was passiert bei negativen Eingaben?

Beim Quadrieren verschwindet das Vorzeichen, die Hypotenuse ist dieselbe wie bei den positiven Werten, die Fläche wird jedoch negativ. Eine negative Seitenlänge hat keine geometrische Bedeutung; geben Sie positive Werte ein.

Wie berechne ich die Diagonale im dreidimensionalen Raum?

Zuerst aus den beiden Seiten der Grundfläche die Bodendiagonale bestimmen, diese dann zusammen mit der Höhe als neues Kathetenpaar ein zweites Mal einsetzen; oder direkt den Abstandsrechner mit dreidimensionalen Koordinaten verwenden.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition pythagorean in src/data/formulas.ts der CalcX-Engine (compute(known, solveFor) löst in den Richtungen a / b / c und berechnet die Fläche); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Euklid, Elemente, Buch I, Proposition 47 und Proposition 48, kommentierte Ausgabe von D. E. Joyce, Clark University（访问日期：2026-09-08）– der klassische Beweis von Satz und Umkehrung.
Wikipedia, Pythagorean theorem（访问日期：2026-09-08）– zahlreiche Beweise, Verallgemeinerungen und Geschichte.
Wikipedia, Pythagorean triple（访问日期：2026-09-08）– die Erzeugungsformel von Euklid und primitive Tripel.
Wikipedia, Zhoubi Suanjing（访问日期：2026-09-08）– der Klassiker Zhoubi Suanjing und der Merksatz „Gou drei, Gu vier, Xian fünf“.
Jiuzhang Suanshu („Neun Kapitel über die mathematische Kunst“), Kapitel 9 „Gou Gu“, mit den Kommentaren von Liu Hui und Zhao Shuangs „Figur zu Gou und Gu“ – die chinesische Quelle des Zerlegungsbeweises.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09