Regelmäßiges Vieleck: Fläche, Umfang, Innenwinkel, Apothem

Über diesen Rechner

Der Rechner für regelmäßige Vielecke liefert aus der Seitenzahl $n$ und der Seitenlänge $s$ die Fläche $A = \dfrac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}$ , den Umfang $P = ns$ und jeden Innenwinkel $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ ; umgekehrt lässt sich aus Fläche und Seitenzahl die Seitenlänge rückrechnen.

„Regelmäßiges Vieleck“ meint ein Vieleck mit lauter gleich langen Seiten und lauter gleichen Winkeln: das gleichseitige Dreieck, das Quadrat, das regelmäßige Fünfeck, das regelmäßige Sechseck (Muttern, Bienenwabe), das regelmäßige Achteck (Stoppschild) … erfüllt eine Figur beide Bedingungen, genügt das Messen einer Seite, um alles zu kennen. Die Seite verbindet die „Grundschulgeometrie“ von Dreieck und Quadrat mit dem Kreis (dem Grenzfall $n \to \infty$ ) und ist der Ausgangspunkt für das Verständnis, wie Vielecke einen Kreis annähern.

Was sie nicht tut: keine unregelmäßigen Vielecke (Figuren mit ungleichen Seiten oder Winkeln werden in Dreiecke zerlegt und einzeln berechnet), keine Sternvielecke und keine Einheitenumrechnung – welche Einheit die Seitenlänge hat, hat die Fläche als ihr Quadrat.

Formeln und Variablen

Das regelmäßige $n$ -Eck habe die Seitenlänge $s$ , der Abstand vom Mittelpunkt zu den Ecken (Umkreisradius) sei $R$ , der Abstand vom Mittelpunkt zu den Seitenmitten (Apothem, Inkreisradius) sei $a$ :

A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)},\qquad P = n\,s,\qquad \theta_{\text{innen}} = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

Drei Hilfsgrößen und zwei gleichwertige Schreibweisen der Fläche (der Rechner verwendet intern nur die erste Formel, die übrigen dienen der Handrechnung und Kontrolle):

a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)},\qquad A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2}\,n\,R^2 \sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)

Seitenlänge aus der Fläche:

s = \sqrt{\frac{4A\tan(\pi/n)}{n}}

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$n$	Seitenzahl	Seitenzahl n	Stück	ganze Zahl, $n \ge 3$ ; Vorgabe 6. Das Feld zeigt den Hinweis `min: 3`, die Engine verhindert aber keine nicht ganzzahligen Werte
$s$	Seitenlänge	Seitenlänge s	Länge	$s > 0$ ; Vorgabe 5
$A$	Fläche	Fläche	Länge²	Ausgabe; im Rückrechnungsmodus Eingabe
$P$	Umfang	Umfang	Länge	Ausgabe, $P = ns$
$\theta_{\text{innen}}$	jeder Innenwinkel	Innenwinkel(°)	Grad	Ausgabe, $(n-2)\cdot 180^\circ/n$ , strebt mit wachsendem $n$ gegen 180°
$a$	Apothem (Inkreisradius)	(wird nicht angezeigt)	Länge	senkrechter Abstand vom Mittelpunkt zur Seite, die „Höhe“ bei der Handrechnung der Fläche
$R$	Umkreisradius	(wird nicht angezeigt)	Länge	Abstand vom Mittelpunkt zur Ecke; beim regelmäßigen Sechseck gilt genau $R = s$
$\pi/n$	halber Mittelpunktswinkel	(Zwischengröße)	Bogenmaß	Das $\tan(\pi/n)$ in der Formel ist im Bogenmaß; bei Handrechnung im Gradmaß $\tan(180^\circ/n)$ schreiben

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Regelmäßiges Vieleck“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.regular-polygon). Beim Öffnen sind „Seitenzahl n“ = 6 und „Seitenlänge s“ = 5 vorbelegt; Fläche, Umfang und Innenwinkel werden sogleich berechnet.
Fläche, Umfang und Innenwinkel bestimmenSeitenzahl und Seitenlänge ändern; mit „Eingabe“ markierte Felder sind Ihre Werte, die drei mit „berechnet“ markierten Felder aktualisieren sich sofort. Für die Seitenzahl eine ganze Zahl ab 3 eintragen.
Seitenlänge aus der Fläche rückrechnen„Seitenlänge s“ leeren, die bekannte Fläche in „Fläche“ eintragen, „Seitenzahl n“ stehen lassen; das Feld der Seitenlänge wechselt auf „berechnet“ und zeigt das Ergebnis. Beachten Sie, dass „Umfang“ dann 0 zeigt (die Engine berechnet den Umfang mit der nicht ausgefüllten Seitenlänge als 0, und die rückgerechnete Seitenlänge wird nicht zurückgeschrieben); tragen Sie das Ergebnis von Hand in das Feld der Seitenlänge ein, um den Umfang zu sehen.
Ergebnis ablesenWerte mit höchstens 8 Nachkommastellen, abschließende Nullen entfallen; die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks mit Seitenlänge 5 wird zum Beispiel als 64.95190528 angezeigt; der Innenwinkel ist bei ganzzahligem $n$ meist ganzzahlig oder ein endlicher Dezimalbruch (Fünfeck 108, Siebeneck 128.57142857).
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert den Formeltext A = n×s²/(4tan(π/n)) in die Zwischenablage.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine regular-polygon nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen.

Beispiel 1: Vorgabewerte, regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge 5

Eingabe: $n = 6$ , $s = 5$ .

Halber Mittelpunktswinkel $\pi/6 = 30^\circ$ , $\tan 30^\circ = 0.57735027$ .
Fläche $A = \dfrac{6 \times 25}{4 \times 0.57735027} = \dfrac{150}{2.30940108} = 64.95190528$ .
Umfang $P = 6 \times 5 = 30$ .
Innenwinkel $= (6-2)\times 180^\circ / 6 = 120^\circ$ .

Anzeige: Fläche 64.95190528, Umfang 30, Innenwinkel 120. Kontrolle von Hand: Apothem $a = 5/(2\tan 30^\circ) = 4.33012702$ , Fläche $= \tfrac12 \times 30 \times 4.33012702 = 64.95190528$ , stimmt überein; Umkreisradius $R = 5/(2\sin 30^\circ) = 5 = s$ – das regelmäßige Sechseck ist das einzige regelmäßige Vieleck, bei dem der Umkreisradius gleich der Seitenlänge ist, weil es aus 6 gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt ist.

Abbildung 1: das regelmäßige Sechseck aus Beispiel 1. Fläche = 6 gleichschenklige Dreiecke mit Grundseite s und Höhe a

Beispiel 2: gleichseitiges Dreieck und Quadrat – Kontrolle mit bekannten Formeln

Eingabe $n = 3$ , $s = 4$ :

$\tan(\pi/3) = \tan 60^\circ = 1.73205081$ .
$A = \dfrac{3 \times 16}{4 \times 1.73205081} = \dfrac{48}{6.92820323} = 6.92820323$ .

Anzeige: Fläche 6.92820323, Umfang 12, Innenwinkel 60. Das ist gleich der Schulformel $\dfrac{\sqrt 3}{4}s^2 = \dfrac{\sqrt 3}{4}\times 16 = 4\sqrt 3 = 6.92820323$ .

Eingabe $n = 4$ , $s = 4$ : $\tan 45^\circ = 1$ , $A = 4 \times 16 / 4 = 16 = s^2$ , Anzeige Fläche 16, Umfang 16, Innenwinkel 90 – die Quadratformel $s^2$ ist der Sonderfall der allgemeinen Formel für $n = 4$ .

Beispiel 3: das Stoppschild – regelmäßiges Achteck mit Seitenlänge 10

Eingabe: $n = 8$ , $s = 10$ .

$\tan(\pi/8) = \tan 22.5^\circ = 0.41421356 = \sqrt 2 - 1$ .
$A = \dfrac{8 \times 100}{4 \times 0.41421356} = \dfrac{800}{1.65685425} = 482.84271247$ .
$P = 80$ , Innenwinkel $= 6 \times 180^\circ / 8 = 135^\circ$ .

Anzeige: Fläche 482.84271247, Umfang 80, Innenwinkel 135. Geschlossene Schreibweise $A = 2(1+\sqrt 2)s^2 = 200(1+\sqrt 2) = 482.84271247$ . Ist die Seitenlänge in Zentimetern angegeben, hat ein solches Schild eine Fläche von etwa 0.048 m²; das Apothem ist $a = 10/(2\tan 22.5^\circ) = 12.07106781$ , die „Schlüsselweite“ (gemessen wie bei einem Schraubenschlüssel) also $2a = 24.14$ .

Beispiel 4: Seitenlänge rückrechnen und die Annäherung an den Kreis bei großem n

Eingabe: Fläche $A = 100$ , $n = 6$ (Seitenlänge leeren).

$s = \sqrt{\dfrac{4 \times 100 \times \tan 30^\circ}{6}} = \sqrt{\dfrac{230.94010768}{6}} = \sqrt{38.49001795} = 6.20403239$ .

Anzeige: Seitenlänge s 6.20403239, Innenwinkel 120; „Umfang“ zeigt 0 (siehe die Konvention in Schritt 3). Trägt man 6.20403239 von Hand in das Feld der Seitenlänge ein, zeigt der Umfang 37.22419436.

Eingabe $n = 360$ , $s = 1$ : Fläche 10312.97851164, Umfang 360, Innenwinkel 179. Ein Kreis mit demselben Umfang 360 hat die Fläche $360^2/(4\pi) = 10313.24031235$ ; das Vieleck ist nur 0.0025% kleiner als der Kreis – bei vielen Seiten sind regelmäßiges Vieleck und Kreis praktisch nicht mehr zu unterscheiden, genau darauf beruht die Idee, mit der Archimedes $\pi$ mit 96-Ecken einkeilte.

Die Eingaben aus Beispiel 1 lassen sich direkt in das Panel übernehmen; die Seitenzahl von 6 nacheinander auf 8, 12 und 100 ändern und beobachten, wie der Innenwinkel gegen 180° strebt und die Fläche sich der eines Kreises mit gleichem Umfang annähert.

Grundlagen und Herleitung

Zerlegung in n gleichschenklige Dreiecke

Verbindet man den Mittelpunkt des regelmäßigen $n$ -Ecks mit jeder Ecke, entstehen $n$ kongruente gleichschenklige Dreiecke: Grundseite $s$ , Schenkel $R$ , Spitzenwinkel der in $n$ Teile geteilte Vollwinkel von 360°, also der Mittelpunktswinkel $2\pi/n$ . Fällt man vom Mittelpunkt das Lot auf die Grundseite, wird das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt mit den Katheten $s/2$ und dem Apothem $a$ und dem spitzen Winkel $\pi/n$ . Somit

\tan\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{a}\;\Rightarrow\; a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad \sin\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{R}\;\Rightarrow\; R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}

Jedes gleichschenklige Dreieck hat die Fläche $\tfrac12 s a$ ; die $n$ Stück addiert:

A = n \cdot \tfrac12 s a = \tfrac12 (ns)\,a = \tfrac12 P a = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}

Die Form „Fläche = Umfang × Apothem ÷ 2“ ist völlig isomorph zur Kreisformel $A = \tfrac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ – der Kreis ist das „unendliche Vieleck“, dessen Apothem gleich dem Radius und dessen Umfang gleich $2\pi r$ ist.

Warum der Innenwinkel (n − 2)·180° / n ist

Zieht man von einer Ecke Diagonalen zu allen übrigen Ecken, wird jedes $n$ -Eck in $n - 2$ Dreiecke zerlegt, jedes mit der Winkelsumme 180°, die Winkelsumme des Vielecks ist also $(n-2)\cdot 180^\circ$ . Beim regelmäßigen Vieleck sind alle Winkel gleich; verteilt man die Summe gleichmäßig auf die $n$ Winkel, erhält man den einzelnen Innenwinkel. Eine andere Sicht: Jeder Außenwinkel ist $360^\circ/n$ (einmal um das Vieleck gegangen sind es insgesamt 360°), der Innenwinkel also $180^\circ - 360^\circ/n$ , was sich zur gleichen Formel vereinfacht. Für $n = 3, 4, 5, 6, 8$ ergeben sich 60°, 90°, 108°, 120°, 135°.

Welche regelmäßigen Vielecke die Ebene parkettieren

Treffen an einem Eckpunkt mehrere gleiche regelmäßige Vielecke zusammen, muss die Summe der Innenwinkel genau 360° betragen. $360^\circ / \theta_{\text{innen}}$ muss also eine ganze Zahl sein: gleichseitiges Dreieck (6 Stück), Quadrat (4) und regelmäßiges Sechseck (3) gehen; Fünfeck $360/108 = 3.33$ und Achteck $360/135 = 2.67$ nicht. Nur diese drei regelmäßigen Vielecke parkettieren die Ebene allein. Dass die Bienenwabe das Sechseck wählt, ist kein Zufall: Von den dreien umschließt das Sechseck eine gegebene Fläche mit dem kürzesten Umfang (die 1999 von Hales bewiesene „Bienenwaben-Vermutung“).

Annäherung an den Kreis: vom Vieleck zu π

Bei festem Umfang $P$ hat das regelmäßige $n$ -Eck die Fläche $A_n = \dfrac{P^2}{4n\tan(\pi/n)}$ . Für $n \to \infty$ gilt $n\tan(\pi/n) \to \pi$ , also $A_n \to P^2/(4\pi)$ , genau die Fläche des Kreises mit dem Umfang $P$ . In Beispiel 4 liegt $n = 360$ bereits nur 0.0025% daneben. Archimedes klemmte in Kreismessung mit ein- und umbeschriebenen regelmäßigen 96-Ecken $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$ ein, genau mit dieser Konvergenz; Liu Huis „Kreisteilungsmethode“ erreichte mit einem regelmäßigen 3072-Eck $\pi \approx 3.1416$ .

Ausgehend vom Umkreisradius oder Apothem

Ist nicht die Seitenlänge bekannt, sondern $R$ (etwa bei einem einem Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Vieleck) oder $a$ (etwa die Schlüsselweite einer Mutter), rechnet man zuerst in die Seitenlänge um und verwendet dann diesen Rechner: $s = 2R\sin(\pi/n)$ , $s = 2a\tan(\pi/n)$ . Die gleichwertigen direkten Formeln sind $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ und $A = na^2\tan(\pi/n)$ .

Annahmen

Die Figur ist wirklich ein regelmäßiges Vieleck: alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich. Ist nur eine Bedingung erfüllt (etwa bei einer Raute: gleiche Seiten, aber ungleiche Winkel), gilt die Formel nicht.
Konvexes Vieleck: die Formeln gelten für konvexe regelmäßige Vielecke; Sternvielecke wie der fünfzackige Stern haben eine andere Definition der „Fläche“ und liegen außerhalb des Geltungsbereichs.
Ebene Geometrie: in der euklidischen Ebene; regelmäßige Vielecke auf der Kugel haben eine größere Winkelsumme.
Seitenzahl ist eine ganze Zahl ≥ 3: die Engine prüft das nicht, die Ausgaben für nicht ganzzahlige $n$ haben keine geometrische Bedeutung.
Einheitliche Einheit: Seitenlänge, Apothem und Radius verwenden dieselbe Längeneinheit, die Fläche ist ihr Quadrat.
Konvention beim Rückrechnen: Wird die Seitenlänge aus der Fläche rückgerechnet, wird der Umfang mit der nicht ausgefüllten Seitenlänge (0) berechnet und zeigt 0; das bedeutet nicht, dass der Umfang null ist.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: für jedes regelmäßige Vieleck mit $n \ge 3$ aus der Seitenlänge Fläche, Umfang und Innenwinkel; aus Fläche und Seitenzahl die Seitenlänge.
Nur näherungsweise: Ein gemessenes „regelmäßiges“ Vieleck hat immer Fertigungsabweichungen; der relative Fehler der Fläche ist doppelt so groß wie der relative Fehler der Seitenlänge ( $\Delta A/A \approx 2\,\Delta s/s$ ).
Nicht berechenbar: unregelmäßige Vielecke (in Dreiecke zerlegen oder die Koordinatenmethode „Schnürsenkelformel“ verwenden), direkte Eingabe von $R$ oder $a$ (zuerst wie oben in $s$ umrechnen), Sternvielecke, die Oberfläche dreidimensionaler Polyeder.
Keine Zusatzfunktionen: Es werden keine Hilfsgrößen wie Apothem, Umkreisradius, Außenwinkel oder Diagonalenzahl ( $n(n-3)/2$ ) ausgegeben; bei Bedarf mit den Formeln von Hand berechnen.
Numerik: Bei sehr großem $n$ ist $\tan(\pi/n)$ sehr klein; in doppelter Genauigkeit liefert $n$ bis in die Größenordnung $10^7$ noch mehr als 8 signifikante Stellen, der Alltagsgebrauch ist nicht betroffen.

Häufige Fehler

Bei der Handrechnung im Gradmaß tan(π/n) schreiben: $\pi/n$ ist das Bogenmaß. Auf einem gewöhnlichen Taschenrechner im Gradmodus $\tan(180^\circ/n)$ verwenden; für das Sechseck $\tan(30^\circ)$ und nicht $\tan(0.5236^\circ)$ eintragen.
Den Umkreisradius für die Seitenlänge halten: Nur beim regelmäßigen Sechseck gilt $R = s$ . Beim Quadrat $R = s/\sqrt 2$ , beim gleichseitigen Dreieck $R = s/\sqrt 3$ , beim regelmäßigen Achteck $R = 1.3066\,s$ .
Die „Schlüsselweite“ für die Seitenlänge halten: Die Nennweite einer Mutter (z. B. 17 mm bei einer M10-Mutter) ist die Schlüsselweite $2a$ , nicht die Seitenlänge. Die Seitenlänge ist $s = 2a\tan(\pi/n)$ , beim Sechseck $s = 2a \times 0.57735 = 1.1547\,a$ : Eine 17-mm-Mutter hat $a = 8.5$ mm und eine Seitenlänge von 9.81 mm.
Die Formel auf eine unregelmäßige Figur anwenden: Ein Fünfeck mit fünf Seiten der Länge 5, aber ungleichen Winkeln hat eine kleinere Fläche als das regelmäßige Fünfeck; die Formel gilt nur für regelmäßige Vielecke.
Das Quadrat in der Flächeneinheit vergessen: Das regelmäßige Sechseck mit Seitenlänge 5 cm hat eine Fläche von 64.95 cm², nicht 64.95 cm.
Eine Dezimalzahl oder einen Wert unter 3 als Seitenzahl eintragen: Die Engine rechnet trotzdem, das Ergebnis ist aber bedeutungslos (siehe Hinweis nach Beispiel 4).
Umfang zeigt im Rückrechnungsmodus 0: Das ist die Konvention, kein Ergebnis; die rückgerechnete Seitenlänge wieder eintragen.

Typische Anwendungen

Lehre: vom Dreieck und Quadrat zum Kreis

Zuerst mit $n = 3$ und $4$ die vertrauten Formeln prüfen, dann $n$ bis 100 und 1000 steigern und beobachten, wie der Innenwinkel gegen 180° und die Fläche gegen die des Kreises mit gleichem Umfang strebt – ein Erlebnis von Grenzwert und der Herkunft von $\pi$ in einem.

Bau und Garten: Pavillons, Beete, Bodenfliesen

Beim sechseckigen Pavillon aus der Seitenlänge die Grundfläche ermitteln (Material für den Boden); beim achteckigen Beet den Umfang (Länge der Einfassung); entscheiden, welche regelmäßigen Vielecke sich als Fliesen fugenlos verlegen lassen (nur 3, 4 und 6 Seiten).

Mechanik und Eisenwaren: Muttern und Wellenbohrungen

Die Mutter ist ein regelmäßiges Sechseck: aus der Schlüsselweite Seitenlänge und Querschnittsfläche umrechnen; für Vielzahn oder Schraubenschlüsselöffnungen mit Achteck oder Zwölfeck gilt dasselbe.

Schilder und Design

Größenumrechnung und Flächenabschätzung für Stoppschilder (regelmäßiges Achteck), Wabenmuster (regelmäßiges Sechseck), Abzeichen (regelmäßiges Fünfeck oder Zehneck).

Häufige Fragen

Wie berechne ich die Fläche, wenn der Umkreisradius R bekannt ist?

Mit $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ oder zuerst die Seitenlänge $s = 2R\sin(\pi/n)$ berechnen und eintragen. Beim regelmäßigen Sechseck ist bei $R = 5$ die Seite $s = 5$ und die Fläche 64.95.

Und wenn das Apothem (Inkreisradius) a bekannt ist?

$A = na^2\tan(\pi/n)$ , oder $s = 2a\tan(\pi/n)$ . Beim regelmäßigen Sechseck ist bei $a = 4.3301$ die Seite $s = 5$ .

Warum zeigt der Innenwinkel eine Dezimalzahl wie 128.57142857?

Der Innenwinkel des regelmäßigen Siebenecks ist $5 \times 180^\circ / 7 = 900^\circ/7$ , keine ganze Zahl; ganzzahlig ist der Innenwinkel nur, wenn $n$ ein Teiler von 360 ist ( $n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ ).

Was hat die größere Fläche, regelmäßiges Vieleck oder Kreis?

Bei gleichem Umfang hat der Kreis die größte Fläche; je mehr Seiten, desto näher kommt das regelmäßige Vieleck dem Kreis (isoperimetrische Ungleichung). In Beispiel 4 ist das 360-Eck nur 0.0025% kleiner als der Kreis.

Kann man auch unregelmäßige Vielecke berechnen?

Nein. Sind die Koordinaten der Eckpunkte bekannt, verwendet man die Schnürsenkelformel $A = \tfrac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ ; sind Seiten und Winkel bekannt, zerlegt man in Dreiecke.

Was passiert, wenn ich 2 oder 1 als Seitenzahl eingebe?

Für $n = 2$ ist $\tan(\pi/2)$ unendlich, die Fläche 0 und der Innenwinkel 0; für $n = 1$ ist $\tan\pi = 0$ und die Fläche unendlich. Beides hat keine geometrische Bedeutung; der Mindesthinweis des Feldes ist 3.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition regular-polygon im CalcX-Engine-Quelltext src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) unterstützt area / perimeter / intAngle und die Rückrechnung von s aus der Fläche); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Wikipedia, Regular polygon（访问日期：2026-09-09）– die verschiedenen gleichwertigen Formeln für Fläche, Apothem und Umkreisradius.
Wikipedia, Apothem（访问日期：2026-09-09）– die Herleitung von $A = \tfrac12 Pa$ .
Euklid, Elemente, Buch IV, herausgegeben und kommentiert von D. E. Joyce, Clark University（访问日期：2026-09-09）– die Konstruktionen ein- und umbeschriebener regelmäßiger Vielecke mit Zirkel und Lineal.
Wikipedia, Honeycomb conjecture（访问日期：2026-09-09）– das regelmäßige Sechseck hat unter flächengleichen Aufteilungen den kleinsten Umfang, 1999 von Hales bewiesen.
Wikipedia, Euclidean tilings by convex regular polygons（访问日期：2026-09-09）– nur gleichseitiges Dreieck, Quadrat und regelmäßiges Sechseck parkettieren die Ebene allein.
Archimedes, Kreismessung Satz 3; Liu Huis Kreisteilungsmethode im Kommentar zur „Kreisregel“ der Neun Kapitel über die mathematische Kunst – die klassischen Quellen für die Annäherung des Kreises durch regelmäßige Vielecke.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09