Kreisbogen- und Sektor-Rechner: Bogenlänge, Fläche, Sehne

Über diesen Rechner

Der Rechner für Bogenlänge und Kreisausschnitt liefert aus dem Radius $r$ eines Kreises und dem Mittelpunktswinkel $\theta$ (in Grad eingegeben) drei Größen: die Länge $L$ des Kreisbogens, die Fläche $A$ des Sektors (das „Pizzastück“ aus Kreismitte und Bogen) und die Sehnenlänge zwischen den beiden Bogenenden. Umgekehrt lässt sich aus Bogenlänge und Radius auch der Mittelpunktswinkel bestimmen.

Einsetzbar ist er für jedes „Teilstück eines Kreises“: die Strecke, die ein Uhrzeiger überstreicht, die Länge einer Straßenkurve, die Fläche eines Pizzastücks, der Winkel zu einer Zahnteilung eines Zahnrads, die Kilometer bei 1° entlang eines Meridians auf der Erdoberfläche. Er stellt außerdem die Verbindung zwischen den Winkeleinheiten „Grad“ und „Bogenmaß“ her – das Bogenmaß ist gerade als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius definiert.

Was er nicht tut: Er berechnet nicht Umfang und Fläche des Vollkreises (dafür den Winkel 360° eintragen), nicht die Fläche des Kreisabschnitts (des Stücks zwischen Bogen und Sehne) – dafür steht auf dieser Seite aber die Formel, nämlich Sektorfläche minus Dreiecksfläche; er normalisiert Winkel nicht auf 0°–360° und rechnet keine Einheiten um.

Formeln und Variablen

Zuerst wird der Winkel von Grad in Bogenmaß umgerechnet: $\theta = \theta_{\deg} \times \pi / 180$ , dann gilt

L = r\,\theta,\qquad A = \tfrac{1}{2}\,r^2\theta,\qquad \text{Sehne} = 2r\sin\frac{\theta}{2}

Rückrechnung des Winkels aus der Bogenlänge: $\theta_{\deg} = \dfrac{L}{r} \times \dfrac{180}{\pi}$ . Die Fläche des Kreisabschnitts (der Bereich zwischen Bogen und Sehne) gehört nicht zu den Ausgaben, ergibt sich aber aus Sektor minus gleichschenkligem Dreieck:

A_{\text{Segment}} = \tfrac{1}{2}\,r^2\,(\theta - \sin\theta)

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$r$	Radius des Kreises	Radius r	Länge	$r > 0$ ; Vorgabe 10
$\theta_{\deg}$	Mittelpunktswinkel (Grad)	Winkel (°)	Grad	für gewöhnlich $0 < \theta_{\deg} \le 360$ ; Vorgabe 60; die Engine begrenzt den Bereich nicht, über 360° wird als „mehr als ein Vollkreis“ gerechnet
$\theta$	Mittelpunktswinkel (Bogenmaß)	(Zwischenwert)	rad	$\theta = \theta_{\deg}\,\pi/180$ ; 60° = π/3 ≈ 1.0472 rad
$L$	Bogenlänge	Bogenlänge	Länge	Ausgabe; bei $\theta_{\deg} = 360$ gleich dem Umfang $2\pi r$ ; als Eingabe für die Rückrechnung des Winkels verwendbar
$A$	Sektorfläche	Sektorfläche	Länge²	Ausgabe; bei $\theta_{\deg} = 360$ gleich der Kreisfläche $\pi r^2$
Sehne	gerader Abstand der beiden Bogenenden	Sehne	Länge	Ausgabe; bei $\theta_{\deg} = 180$ gleich dem Durchmesser $2r$ und damit die größte Sehnenlänge

Radius, Bogenlänge und Sehne verwenden dieselbe Längeneinheit, die Fläche ist deren Quadrat.

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Bogenlänge / Sektor“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arc-sector). Beim Öffnen sind Radius r = 10 und Winkel 60° vorbelegt; Bogenlänge, Sektorfläche und Sehne werden automatisch berechnet.
Bogenlänge, Fläche und Sehne berechnenRadius und Winkel ändern (der Winkel in Grad, nicht im Bogenmaß); die drei mit „berechnet“ markierten Felder aktualisieren sich sofort, mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen.
Winkel aus der Bogenlänge zurückrechnen„Winkel (°)“ leeren, in „Bogenlänge“ die bekannte Bogenlänge eintragen und den Radius stehen lassen; das Winkelfeld wechselt auf „berechnet“ und zeigt Grad. Sektorfläche und Sehne zeigen dann 0 (die Engine rechnet mit dem unbekannten Winkel als 0) – bitte ignorieren oder den zurückgerechneten Winkel wieder ins Winkelfeld eintragen und die Werte erneut ablesen.
Vollkreis und HalbkreisWinkel 360 ergibt Umfang und Kreisfläche (die Sehne ist theoretisch 0, die Oberfläche zeigt unter Umständen Gleitkomma-Rauschen wie 1.469576e-15, also 0); 180 ergibt Halbkreisbogen, Halbkreissektorfläche und Durchmesser.
Kreisabschnittsfläche berechnenvon der ausgegebenen Sektorfläche die Dreiecksfläche $\tfrac12 r^2 \sin\theta$ abziehen oder direkt $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ einsetzen.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute der Engine arc-sector nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen.

Beispiel 1: Radius 6, Mittelpunktswinkel 60°

Bogenmaß $\theta = 60 \times \pi/180 = \pi/3 \approx 1.04719755$ .
Bogenlänge $L = 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28318531$ .
Sektorfläche $A = \tfrac12 \times 36 \times \pi/3 = 6\pi \approx 18.84955592$ .
Sehne $= 2 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6$ .

Anzeige: Bogenlänge 6.28318531, Sektorfläche 18.84955592, Sehne 6. Bei 60° bilden die beiden Radien und die Sehne ein gleichseitiges Dreieck, die Sehne ist daher genau so lang wie der Radius.

Abb. 1: Beispiel 1. Für Bogenlänge und Fläche muss der Winkel im Bogenmaß eingesetzt werden; für die Sehne gilt 2r·sin(θ/2), wobei θ/2 in Grad oder Bogenmaß stehen kann – beides muss nur mit der verwendeten Sinusfunktion übereinstimmen

Beispiel 2: Vorgabewerte des Panels, Radius 10, 60°

$L = 10 \times \pi/3 \approx 10.47197551$ .
$A = \tfrac12 \times 100 \times \pi/3 \approx 52.35987756$ .
Sehne $= 20 \sin 30° = 10$ .

Anzeige: 10.47197551, 52.35987756, 10. Verglichen mit Beispiel 1 ist der Radius um den Faktor $10/6$ größer; Bogenlänge und Sehne wachsen im selben Verhältnis, die Fläche um $(10/6)^2 = 2.78$ .

Beispiel 3: Überstumpfer Bogen – Radius 1.5, 270°

$\theta = 270 \times \pi/180 = 3\pi/2 \approx 4.71238898$ .
$L = 1.5 \times 3\pi/2 \approx 7.06858347$ (drei Viertel des Umfangs).
$A = \tfrac12 \times 2.25 \times 3\pi/2 \approx 5.3014376$ (drei Viertel der Kreisfläche).
Sehne $= 3 \sin 135° = 3 \times 0.70710678 \approx 2.12132034$ .

Anzeige: 7.06858347, 5.3014376, 2.12132034. Ab 180° nimmt die Sehnenlänge wieder ab – die Sehne bei 270° ist so lang wie die bei 90°, denn beide gehören zu derselben Sehne.

Beispiel 4: Winkel aus der Bogenlänge zurückrechnen

Welcher Mittelpunktswinkel gehört zu einem Bogen der Länge 5 bei Radius 10? Den Winkel leeren, Bogenlänge 5 und Radius 10 eintragen.

$\theta = L/r = 0.5$ rad.
$\theta_{\deg} = 0.5 \times 180/\pi \approx 28.64788976°$ .

Anzeige: Winkel 28.64788976. Sektorfläche und Sehne zeigen jetzt 0; das ist die Konvention des Rückrechnungsmodus (siehe „Annahmen“). Trägt man 28.64788976 wieder ins Winkelfeld ein, ergeben sich Sektorfläche 25 und Sehne 4.94808114.

Der Radius bleibt bei 6, während der Mittelpunktswinkel von 0° bis 360° läuft: Die Bogenlänge wächst linear mit dem Winkel (0 → 37.70), die Sehne wächst zunächst und nimmt dann wieder ab, ihr Maximum 12 (Durchmesser) liegt bei 180°, und bei 360° ist sie wieder 0. Bei kleinen Winkeln fallen beide Kurven fast zusammen – das Verhältnis von Sehne zu Bogenlänge $\sin(\theta/2)/(\theta/2)$ beträgt 0.9987 bei 10°, 0.9549 bei 60° und 0.6366 bei 180°.

Grundlagen und Herleitung

Bogenlänge: ein Teil des Umfangs

Der ganze Umfang $2\pi r$ gehört zum Mittelpunktswinkel 360°; der Bogen zum Winkel $\theta_{\deg}$ macht den Anteil $\theta_{\deg}/360$ des Vollkreises aus, also

L = \frac{\theta_{\deg}}{360} \times 2\pi r = r \times \left(\theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180}\right) = r\,\theta

Die Größe in der Klammer ist das Bogenmaß. Definition des Bogenmaßes: Verhältnis von Bogenlänge zu Radius, $\theta = L/r$ . Ein Radiant ist der Mittelpunktswinkel, bei dem der Bogen genau so lang ist wie der Radius, also etwa 57.2958°; der Vollkreis misst $2\pi$ Radiant. Im Bogenmaß geschrieben enthält $L = r\theta$ keine Konstante – deshalb rechnen Mathematik und Physik fast immer im Bogenmaß.

Sektorfläche: ein Teil der Kreisfläche

Ebenso über den Anteil: $A = \dfrac{\theta_{\deg}}{360}\,\pi r^2 = \tfrac12 r^2 \theta$ . Eine andere Sichtweise zerlegt den Sektor in unendlich viele schmale Dreiecke, jedes mit der Grundseite $r\,d\theta$ und der Höhe $r$ , also der Fläche $\tfrac12 r \cdot r\,d\theta$ ; die Summe ergibt $\tfrac12 r^2 \theta$ . Das ist dieselbe Formel wie $A = \tfrac12 L r$ („Grundseite × Höhe / 2“, Bogen als Grundseite, Radius als Höhe).

Sehne: ein gleichschenkliges Dreieck

Kreismitte und die beiden Bogenenden bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln $r$ und dem Öffnungswinkel $\theta$ . Die Höhe von der Kreismitte auf die Sehne teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke; jeweils ist die Gegenkathete die halbe Sehne, die Hypotenuse $r$ und der halbe Öffnungswinkel $\theta/2$ . Damit ist die halbe Sehne $= r\sin(\theta/2)$ und die Sehne $= 2r\sin(\theta/2)$ . Bei $\theta = 180°$ ist $\sin 90° = 1$ , die Sehne $= 2r$ als Durchmesser und damit maximal; bei größerem Winkel nimmt sie wieder ab, bei $360°$ fallen die Enden zusammen und die Sehne wird 0.

Kreisabschnittsfläche

Der von Bogen und Sehne begrenzte Bereich heißt Kreisabschnitt (Segment). Er ist Sektor minus gleichschenkliges Dreieck: Die Dreiecksfläche beträgt $= \tfrac12 r^2 \sin\theta$ (Formel über zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel), also $A_{\text{Segment}} = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ . In Beispiel 1 ergibt das $= 18.84955592 - 15.58845727 = 3.26109865$ . Die Querschnittsfläche unterhalb des Flüssigkeitsspiegels in einem liegenden Rundtank und die Fläche über einem Rundbogen werden mit dieser Formel berechnet.

Näherung für kleine Winkel

Für kleine $\theta$ gilt $\sin\theta \approx \theta$ (im Bogenmaß), daher ist die Sehne ≈ Bogenlänge und die Kreisabschnittsfläche ≈ $\tfrac12 r^2 \cdot \theta^3/6$ , strebt also gegen 0. Darauf beruht das „Ersetzen des Bogens durch die Sehne“ in Vermessung und Astronomie: Bei 1° unterscheiden sich Bogen und Sehne um nur 0.0013 %, auf der Erde sind 111.195 km Bogenlänge und 111.194 km Sehne praktisch nicht zu unterscheiden.

Warum ein Vollkreis 360° hat

Die 360 stammt aus dem Sexagesimalsystem der Babylonier und der groben Beobachtung eines Jahres mit etwa 360 Tagen; die Zahl hat 24 Teiler und lässt sich daher gut unterteilen. Sie ist aber eine menschliche Konvention, keine geometrische Tatsache. Das Bogenmaß dagegen folgt aus den Proportionen des Kreises selbst: Der Vollkreis ist $2\pi$ . Der Name „Radiant“ wurde 1873 von James Thomson vorgeschlagen, das Konzept reicht bis Roger Cotes (1714) zurück.

Annahmen

Winkel in Grad eingegeben: Die Engine multipliziert intern mit $\pi/180$ und rechnet ins Bogenmaß um; liegt der Winkel bereits im Bogenmaß vor, zuerst mit $180/\pi$ multiplizieren und dann eintragen.
Winkel wird nicht normalisiert: Eingetragene 400° werden als „ein Vollkreis plus 40°“ gerechnet, Bogenlänge und Fläche wachsen weiter, die Sehne wird über $\sin 200°$ negativ; negative Winkel ergeben eine negative Bogenlänge und Fläche. Sinnvoll ist der Bereich $0° < \theta \le 360°$ .
Positiver Radius: $r > 0$ . Beim Rückrechnen des Winkels führt $r = 0$ zu einer Division durch null.
Rückrechnung betrifft nur das Winkelfeld: Bei der Rückrechnung aus der Bogenlänge werden Sektorfläche und Sehne mit „Winkel = 0“ berechnet und zeigen 0; diese Werte sind zu ignorieren.
Dieselbe Längeneinheit: Radius, Bogenlänge und Sehne verwenden dieselbe Einheit, die Fläche ist deren Quadrat.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: Bogenlänge, Sektorfläche und Sehne bei beliebigem positiven Radius und beliebigem Mittelpunktswinkel (Grad); Rückrechnung des Mittelpunktswinkels aus Bogenlänge und Radius. Ergebnisse mit höchstens 8 Nachkommastellen.
Nur näherungsweise: Die Sehne des Vollkreises (360°) ist theoretisch 0, die Oberfläche zeigt unter Umständen Gleitkomma-Rauschen wie 1.469576e-15; als 0 lesen.
Nicht berechenbar: Kreisabschnittsfläche (mit der Formel dieser Seite von Hand), Rückrechnung von Winkel oder Radius aus Sehne oder Fläche, Ellipsenbögen, Länge von Spiralen, Bögen auf dreidimensionalen Flächen.
Keine Zusatzfunktionen: keine Begrenzung des Winkels auf 0°–360°, keine Eingabe in Grad/Minuten/Sekunden oder im Bogenmaß, keine Einheitenumrechnung.
Numerik: Bei sehr großem Radius und sehr kleinem Winkel sinkt die relative Genauigkeit von $\sin(\theta/2)$ , was für alltagsübliche Größenordnungen aber keine Rolle spielt.

Häufige Fehler

Bogenmaß ins Feld „Winkel (°)“ eintragen: Wer 1.0472 einträgt, erhält 1.0472°, die Bogenlänge beträgt dann nur 0.1097 (bei Radius 6) statt 2π. Dieses Feld erwartet Grad.
Beim Kopfrechnen die Umrechnung ins Bogenmaß vergessen: $L = r\theta$ gilt nur im Bogenmaß; 60 direkt mit dem Radius multipliziert ergibt 360 statt 6.28.
Sehne und Bogenlänge verwechseln: Bei kleinen Winkeln liegen sie nahe beieinander, bei großen unterscheiden sie sich stark – bei 180° ist die Sehne 12, die Bogenlänge aber 18.85 (Radius 6).
Winkel über 360°: Die Engine faltet nicht zurück; die Sehne bei 400° wird negativ. Zuerst ganze Vollkreise abziehen.
Fläche und Sehne im Rückrechnungsmodus ablesen: Dass dort 0 steht, ist eine Frage der Konvention, keine geometrische Tatsache.
Fläche proportional skalieren: Verdoppelt sich der Radius, verdoppeln sich Bogenlänge und Sehne, die Sektorfläche wird aber viermal so groß.
Gleitkomma-Rauschen bei der Vollkreissehne: 1.469576e-15 ist 0, keine „sehr kleine Sehne“.

Typische Anwendungen

Unterricht: Was das Bogenmaß eigentlich ist

Radius 1 eintragen und Winkel 57.29577951 (ein Radiant): Die Bogenlänge ist genau 1; dann Winkel 360 eintragen und beobachten, wie die Bogenlänge zu 6.28318531 = 2π wird. Das Bogenmaß misst die Bogenlänge mit dem Radius als Maßstab.

Pizza und Kuchen gerecht aufteilen

Eine Pizza mit 30 cm Durchmesser wird in 8 Stücke geschnitten: r = 15, Winkel 45°; jedes Stück hat eine Fläche von 88.35729338 cm², am Rand eine Bogenlänge von 11.78097245 cm und zwischen den geraden Kanten eine Sehne von 11.4805 cm. Ein Achtel der Gesamtfläche von 706.86 cm² – passt genau.

Kurven, Rundbögen und Uhren

Radius und Drehwinkel einer Straßenkurve ergeben deren Länge; Radius und Öffnungswinkel eines Rundbogens ergeben Bogenlänge (Materialbedarf) und Sehne (Spannweite); ein Stundenzeiger dreht in einer Stunde um 30°, ein Minutenzeiger in 20 Minuten um 120° – zusammen mit der Zeigerlänge ergibt das den Weg der Zeigerspitze.

Erde und Seefahrt

Bei r = 6371 km beträgt die Bogenlänge für 1 Bogenminute (1/60°) 1.8532 km – daher stammt die Seemeile; ein Breitenunterschied von 1° auf einem Meridian entspricht etwa 111.19 km. In Technik und Vermessung ist der Fehler beim Ersetzen des Bogens durch die Sehne bei kleinen Winkeln vernachlässigbar.

Häufige Fragen

Soll der Winkel in Grad oder im Bogenmaß eingegeben werden?

In Grad. Die Engine multipliziert intern mit $\pi/180$ und rechnet ins Bogenmaß um. Liegt der Winkel bereits im Bogenmaß vor, zuerst mit $180/\pi$ (etwa 57.2958) multiplizieren und dann eintragen.

Wie berechnet man Umfang und Fläche des Vollkreises?

Winkel 360 eintragen: Die Bogenlänge ist der Umfang $2\pi r$ , die Sektorfläche die Kreisfläche $\pi r^2$ . Die Sehne ist dann theoretisch 0, die Oberfläche zeigt unter Umständen ein sehr kleines Gleitkomma-Rauschen.

Wie berechnet man die Fläche des Kreisabschnitts (zwischen Bogen und Sehne)?

Sektorfläche minus Dreiecksfläche: $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ , mit $\theta$ im Bogenmaß. Beispiel 1 ergibt 3.2611.

Warum ist die Sehne bei 270° so lang wie bei 90°?

Es ist dieselbe Sehne: Eine Sehne teilt den Kreis in zwei Bögen; der kleine Bogen von 90° und der große von 270° teilen sich dieselbe Sehne, und $\sin 135° = \sin 45°$ .

Warum werden Fläche und Sehne beim Rückrechnen des Winkels 0?

Im Rückrechnungsmodus behandelt die Engine den unbekannten Winkel als 0 und berechnet die übrigen Ausgaben damit; das sind bedeutungslose Werte. Den zurückgerechneten Winkel wieder ins Winkelfeld eintragen, dann stimmen Fläche und Sehne.

Lässt sich der Winkel aus der Sehne zurückrechnen?

Mit diesem Rechner nicht (er unterstützt nur die Rückrechnung aus der Bogenlänge). Von Hand: $\theta = 2\arcsin\big(\text{Sehne}/(2r)\big)$ , wobei die Sehne den Durchmesser nicht überschreiten darf.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition arc-sector im CalcX-Engine-Quellcode src/data/formulas.ts (Winkel wird in Grad eingegeben, intern ins Bogenmaß umgerechnet; die drei Ziele arcLen, sectorArea, chordLen sowie die Rückrechnung des Winkels aus der Bogenlänge); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Wikipedia, Circular sector（访问日期：2026-09-08）– Formeln für Sektorfläche und Bogenlänge.
Wikipedia, Arc length（访问日期：2026-09-08）– Länge von Kreisbögen und allgemeinen Kurven.
Wikipedia, Radian（访问日期：2026-09-08）– Definition, Geschichte und Umrechnung des Bogenmaßes.
Wikipedia, Circular segment（访问日期：2026-09-08）– Formeln für Kreisabschnittsfläche und Sehnenlänge.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09