Zylinder und Kegel: Volumen, Oberfläche, Mantellinie

Der Zylinder-und-Kegel-Rechner vereint zwei Rotationskörper mit „gleicher Grundfläche und gleicher Höhe“ in einem Panel: Aus dem Grundkreisradius r und der Höhe h ergeben sich auf einmal das Zylindervolumen \pi r^2 h, die Zylinderoberfläche 2\pi r(r+h), das Kegelvolumen \tfrac13 \pi r^2 h und die Kegeloberfläche \pi r(r + l), wobei die Mantellinie l = \sqrt{r^2 + h^2} von der Engine automatisch berechnet wird. Sind Zylindervolumen und Höhe bekannt, lässt sich zusätzlich der Radius zurückrechnen.

Zylinder und Kegel: Volumen, Oberfläche, Mantellinie

Über diesen Rechner

Der Zylinder-und-Kegel-Rechner vereint zwei Rotationskörper mit „gleicher Grundfläche und gleicher Höhe“ in einem Panel: Aus dem Grundkreisradius $r$ und der Höhe $h$ ergeben sich auf einmal das Zylindervolumen $\pi r^2 h$ , die Zylinderoberfläche $2\pi r(r+h)$ , das Kegelvolumen $\tfrac13 \pi r^2 h$ und die Kegeloberfläche $\pi r(r + l)$ , wobei die Mantellinie $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ von der Engine automatisch berechnet wird. Sind Zylindervolumen und Höhe bekannt, lässt sich zusätzlich der Radius zurückrechnen.

Trinkbecher, Getränkedosen, Wasserrohre, Öltanks und der zylindrische Teil eines Getreidesilos sind Zylinder; Trichter, Eistüten, kegelförmige Absperrhütchen und die Kegelspitze eines Silos sind Kegel. Beide teilen sich denselben Grundkreis, daher rechnet es sich am bequemsten gemeinsam: Das Fassungsvermögen eines Silos ist „Zylindervolumen + Kegelvolumen“, mit einem Satz $r$ und $h$ je einmal rechnen und addieren.

Was er nicht tut: Er behandelt keine schiefen Zylinder und schiefen Kegel (die Volumenformel gilt weiterhin, die Oberflächenformel nicht), keine Kegelstümpfe (abgeschnittene Kegel), kein Wandvolumen hohler Rohre und rechnet keine Einheiten um – für Radius und Höhe gilt: In welcher Längeneinheit sie eingegeben werden, in deren Kubik ist das Volumen und in deren Quadrat die Fläche angegeben.

Formeln und Variablen

V_{\text{Zyl}} = \pi r^2 h,\qquad S_{\text{Zyl}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r\,(r + h)

V_{\text{Keg}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h,\qquad l = \sqrt{r^2 + h^2},\qquad S_{\text{Keg}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r\,(r + l)

Rückrechnung des Radius aus dem Zylindervolumen:

r = \sqrt{\frac{V_{\text{Zyl}}}{\pi h}}

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$r$	Grundkreisradius	Radius r	Länge	$r > 0$ ; Vorgabe 3. Achtung: Radius, nicht Durchmesser
$h$	Höhe (axial)	Höhe h	Länge	$h > 0$ ; Vorgabe 10. Die Höhe des Kegels ist der senkrechte Abstand von der Spitze zum Grundkreismittelpunkt, nicht die Mantellinie
$V_{\text{Zyl}}$	Zylindervolumen	Zylindervolumen	Länge³	Ausgabe; im Rückrechnungsmodus als Eingabe
$S_{\text{Zyl}}$	Gesamtoberfläche des Zylinders	Zylinderoberfläche	Länge²	Ausgabe, einschließlich der beiden Grundflächen
$V_{\text{Keg}}$	Kegelvolumen	Kegelvolumen	Länge³	Ausgabe, genau $\tfrac13$ des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe
$S_{\text{Keg}}$	Gesamtoberfläche des Kegels	Kegeloberfläche	Länge²	Ausgabe, einschließlich einer Grundfläche
$l$	Mantellinie (schräge Höhe)	(wird nicht angezeigt)	Länge	Abstand von der Spitze zum Grundkreisrand, $l = \sqrt{r^2+h^2}$ , nach dem Satz des Pythagoras
$2\pi r h$	Mantelfläche des Zylinders	(wird nicht angezeigt)	Länge²	abgerollt ein Rechteck $2\pi r \times h$
$\pi r l$	Mantelfläche des Kegels	(wird nicht angezeigt)	Länge²	abgerollt ein Sektor mit Radius $l$ und Bogenlänge $2\pi r$

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Zylinder / Kegel“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.cylinder-cone). Beim Öffnen sind „Radius r“ = 3 und „Höhe h“ = 10 vorbelegt; die vier Ergebnisfelder erscheinen gleichzeitig, mit „berechnet“ markiert.
Volumen und Oberfläche berechnenRadius und Höhe ändern, die vier Ergebnisse aktualisieren sich sofort. Wurde der Durchmesser gemessen, zuerst durch 2 teilen.
Radius aus dem Zylindervolumen zurückrechnen„Radius r“ leeren, in „Zylindervolumen“ das bekannte Volumen eintragen und „Höhe h“ stehen lassen; das Radiusfeld wechselt auf „berechnet“ und liefert $\sqrt{V/(\pi h)}$ . Die übrigen drei Felder zeigen dann 0 – die Engine rechnet sie mit dem nicht eingetragenen Radius als 0, das ist eine Konvention und kein Ergebnis; den zurückgerechneten Radius wieder in „Radius r“ eintragen und das Volumenfeld leeren, dann sind alle vier Werte sichtbar.
Nur einen Teil benötigenFür die „Mantelfläche des Zylinders“ die Oberfläche minus zwei Grundflächen $2\pi r^2$ rechnen; für die „Mantelfläche des Kegels“ die Kegeloberfläche minus eine Grundfläche $\pi r^2$ ; für einen „Zylinder ohne Deckel“ (Eimer) eine Grundfläche abziehen.
Ergebnisse ablesenWerte mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen; die Volumeneinheit ist die dritte Potenz, die Fläche das Quadrat der Längeneinheit. 1 m³ = 1000 L, 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL.
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert V_cyl=πr²h, V_cone=πr²h/3 in die Zwischenablage.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute der Engine cylinder-cone nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen.

Beispiel 1: Vorgabewerte r = 3, h = 10

Eingabe: $r = 3$ , $h = 10$ .

Grundfläche $\pi r^2 = 9\pi = 28.27433388$ .
Zylindervolumen $V_{\text{Zyl}} = 9\pi \times 10 = 90\pi = 282.74333882$ .
Zylinderoberfläche $S_{\text{Zyl}} = 2\pi \times 3 \times (3 + 10) = 78\pi = 245.04422698$ .
Kegelvolumen $V_{\text{Keg}} = 90\pi / 3 = 30\pi = 94.24777961$ .
Mantellinie $l = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} = 10.44030651$ ; Kegeloberfläche $S_{\text{Keg}} = \pi \times 3 \times (3 + 10.44030651) = 126.67190457$ .

Anzeige: Zylindervolumen 282.74333882, Zylinderoberfläche 245.04422698, Kegelvolumen 94.24777961, Kegeloberfläche 126.67190457. Aufgeschlüsselt: Die Mantelfläche des Kegels beträgt $\pi r l = 98.39757069$ , der Mittelpunktswinkel des abgerollten Sektors ist $360^\circ \times r/l = 103.45^\circ$ .

Beispiel 2: r = 3, h = 4 – der 3-4-5-Kegel

Eingabe: $r = 3$ , $h = 4$ .

$V_{\text{Zyl}} = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi = 113.09733553$ .
$S_{\text{Zyl}} = 2\pi \times 3 \times 7 = 42\pi = 131.94689145$ : Mantelfläche $24\pi = 75.39822369$ plus zwei Grundflächen $18\pi = 56.54866776$ .
$V_{\text{Keg}} = 12\pi = 37.69911184$ .
$l = \sqrt{9 + 16} = 5$ (pythagoreisches Tripel 3-4-5), $S_{\text{Keg}} = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi = 75.39822369$ .

Anzeige: Zylindervolumen 113.09733553, Zylinderoberfläche 131.94689145, Kegelvolumen 37.69911184, Kegeloberfläche 75.39822369. Eine hübsche Koinzidenz: Die Gesamtoberfläche dieses Kegels $24\pi$ ist genau so groß wie die Mantelfläche des Zylinders $2\pi r h = 24\pi$ . Die Mantelfläche des Kegels beträgt $\pi r l = 15\pi = 47.12388980$ ; abgerollt entsteht ein Sektor mit Radius 5, dessen Bogenlänge dem Grundkreisumfang $6\pi$ entspricht, mit dem Mittelpunktswinkel $= 6\pi / 5 \text{ rad} = 216^\circ$ .

Abb. 1: der Zylinder aus Beispiel 1 und der Kegel aus Beispiel 2. Die abgerollte Mantelfläche des Kegels ist ein Sektor: Der Radius ist die Mantellinie l, die Bogenlänge der Grundkreisumfang 2πr, also Mantelfläche = ½ · 2πr · l = πrl

Beispiel 3: Fassungsvermögen 1000, Höhe 10 – Radius zurückrechnen

Eingabe: Zylindervolumen $V_{\text{Zyl}} = 1000$ , $h = 10$ (Radius leeren).

$r = \sqrt{\dfrac{1000}{\pi \times 10}} = \sqrt{31.83098862} = 5.64189584$ .

Anzeige: Radius r 5.64189584; Zylinderoberfläche, Kegelvolumen und Kegeloberfläche zeigen 0 (Konvention aus Schritt 3). Trägt man 5.64189584 wieder als Radius ein und leert das Volumenfeld, zeigt die Oberfläche Zylindervolumen 1000.0000016 (Rundungsrest durch das Wiedereinsetzen des auf 8 Nachkommastellen gerundeten Radius), Zylinderoberfläche 554.49077079, Kegelvolumen 333.33333387, Kegeloberfläche 303.50903342. In Zentimetern wäre das ein Becher mit 1 L Fassungsvermögen, 10 cm Höhe und etwa 11.3 cm Durchmesser.

Beispiel 4: Gleiches Volumen, andere Form

Eingabe: $r = 6$ , $h = 2.5$ .

$V_{\text{Zyl}} = \pi \times 36 \times 2.5 = 90\pi = 282.74333882$ – genau wie in Beispiel 1, denn $36 \times 2.5 = 9 \times 10 = 90$ .
$S_{\text{Zyl}} = 2\pi \times 6 \times 8.5 = 102\pi = 320.44245067$ , also 31 % mehr als die $78\pi$ aus Beispiel 1.
$l = \sqrt{36 + 6.25} = 6.5$ , $S_{\text{Keg}} = \pi \times 6 \times 12.5 = 75\pi = 235.61944902$ .

Anzeige: Zylindervolumen 282.74333882, Zylinderoberfläche 320.44245067, Kegelvolumen 94.24777961, Kegeloberfläche 235.61944902. Bei gleichem Fassungsvermögen von 90π Einheiten braucht die gedrungene Dose mehr Material – der Ausgangspunkt der Verpackungsfrage „Wie kommt man bei gleichem Volumen mit möglichst wenig Material aus?“ (Antwort: $h = 2r$ , siehe FAQ).

Noch ein Wasserrohr: $r = 0.5$ m, $h = 100$ m; die Oberfläche zeigt Zylindervolumen 78.53981634 (m³, also 78,540 L), Zylinderoberfläche 315.73006169, davon die Mantelfläche $100\pi = 314.16$ m² – genau die Zahl, die man beim Streichen mit Rostschutzfarbe braucht; die $0.5\pi$ m² an den beiden Enden sind vernachlässigbar.

Die Eingaben aus Beispiel 1 lassen sich direkt ins Panel übernehmen; den Radius von 3 auf 6 ändern (Höhe unverändert) und beobachten, wie das Volumen auf das Vierfache wächst, die Oberfläche aber nicht einmal das Dreifache erreicht; die Höhe von 10 auf 20 ändern: Volumen und Mantelfläche verdoppeln sich genau.

Grundlagen und Herleitung

Zylinder: die Grundfläche um eine Höhe „verschieben“

Ein Zylinder entsteht, wenn der Grundkreis senkrecht um $h$ verschoben wird. Jeder solche „gerade Prismen- / Zylinderkörper“ hat das Volumen Grundfläche mal Höhe: In viele dünne Scheiben geschnitten, ist jede Scheibe derselbe Kreis, das Volumen also $= \pi r^2 \times h$ . Schneidet man die Mantelfläche entlang einer Mantellinie auf und rollt sie aus, entsteht ein Rechteck mit der Breite $2\pi r$ (Grundkreisumfang) und der Höhe $h$ , die Mantelfläche ist daher $2\pi r h$ ; zusammen mit den beiden Grundflächen $2\pi r^2$ ergibt sich die Gesamtoberfläche $2\pi r(r+h)$ .

Warum das Kegelvolumen genau ein Drittel beträgt

Das ist die denkwürdigste Tatsache dieser Seite. Drei Zugänge:

Scheibenvergleich (Prinzip von Zu Geng / Cavalieri). Zylinder und Kegel mit gleicher Grundfläche und Höhe nebeneinander stellen und im Abstand $x$ von der Spitze aus schneiden: Der Querschnitt des Kegels hat den Radius $r x / h$ und die Fläche $\pi r^2 x^2/h^2$ , wächst also quadratisch mit $x$ ; der Querschnitt des Zylinders ist immer $\pi r^2$ . Summieren (integrieren):

V_{\text{Keg}} = \int_0^h \pi r^2 \frac{x^2}{h^2}\,\mathrm dx = \pi r^2 \cdot \frac{h^3}{3h^2} = \tfrac13 \pi r^2 h

Analog zur Pyramide. Ein Würfel lässt sich in drei kongruente vierseitige Pyramiden zerlegen (die Grundflächen sind drei in einer Ecke zusammenstoßende Würfelseiten, die Spitze liegt der Ecke durch die Würfelmitte hindurch gegenüber), daher ist das Volumen einer Pyramide $\tfrac13$ des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe; ersetzt man das Grundquadrat durch einen Kreis, bleibt das Ergebnis (Euklid beweist in den Elementen, Buch XII, Proposition 10, mit der Exhaustionsmethode, dass der Kegel ein Drittel des Zylinders ist).

Praktisch nachprüfen. Füllt man mit einem kegelförmigen Gefäß Wasser in ein zylindrisches Gefäß gleicher Grundfläche und Höhe, ist es nach genau drei Füllungen voll – der klassische Versuch aus dem Unterricht.

Warum die abgerollte Kegelmantelfläche ein Sektor ist

Schneidet man die Mantelfläche des Kegels entlang einer Mantellinie auf und rollt sie aus, wird die Spitze zum Sektorzentrum, jede Mantellinie hat die Länge $l$ , es entsteht also ein Sektor mit Radius $l$ ; aus dem Grundkreis wird der Bogen des Sektors mit der Länge $2\pi r$ . Sektorfläche $= \tfrac12 \times \text{Bogenlänge} \times \text{Radius} = \tfrac12 \times 2\pi r \times l = \pi r l$ . Der Mittelpunktswinkel des Sektors (im Bogenmaß) ist $= 2\pi r / l$ ; daher die $216^\circ$ aus Beispiel 2 in Abb. 1 rechts. Die vollständige Herleitung von Bogenlänge, Sektorfläche und Bogenmaß steht unter Bogenlänge und Sektor, hier genügen die Ergebnisse.

Mantellinie: ein rechtwinkliges Dreieck

Schneidet man den Kegel entlang der Achse, ist der Querschnitt ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Hälfte ein rechtwinkliges Dreieck ist: Die beiden Katheten sind $r$ und $h$ , die Hypotenuse die Mantellinie $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ . Das ist genau der Satz des Pythagoras. In Beispiel 2 wurden $r = 3$ und $h = 4$ gewählt, damit $l = 5$ ganzzahlig wird.

Skalierungsgesetze

Werden Radius und Höhe gemeinsam um den Faktor $k$ vergrößert, wächst die Oberfläche um $k^2$ und das Volumen um $k^3$ : Der Zylinder mit $r = 6$ , $h = 20$ hat das Volumen 2261.94671058, das Achtfache von Beispiel 1. Vergrößert man nur den Radius, wächst das Volumen mit $r^2$ (Beispiel 1 mit $r = 6$ ergibt das Vierfache), vergrößert man nur die Höhe, linear mit $h$ – auf diesen beiden Regeln beruht jede Anpassung von Verpackungsgrößen.

Annahmen

Gerader Zylinder, gerader Kegel: Die Achse steht senkrecht auf der Grundfläche. Für schiefe Zylinder / Kegel gilt die Volumenformel weiterhin (gleiche Scheibenflächen), die Mantelflächenformel aber nicht.
Der Kegel ist vollständig: von der Spitze bis zur Grundfläche. Für einen oben abgeschnittenen Kegelstumpf gilt $V = \tfrac13\pi h (R^2 + Rr + r^2)$ , das liegt außerhalb dieses Rechners.
Oberfläche bedeutet Gesamtoberfläche: Zylinder mit zwei Grundflächen, Kegel mit einer. Für offene Behälter nach Schritt 4 selbst abziehen.
Wandstärke null: Berechnet werden Volumen / Außenfläche des geometrischen Körpers, ohne Unterscheidung von Innen- und Außendurchmesser.
Dieselbe Einheit: $r$ und $h$ in derselben Einheit, das Volumen ist deren Kubik, die Fläche deren Quadrat.
Konvention beim Rückrechnen: Unterstützt wird nur die Rückrechnung des Radius aus Zylindervolumen und Höhe; dabei werden die übrigen drei Felder mit Radius 0 berechnet und zeigen 0.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: Volumen und Gesamtoberfläche von Zylinder und Kegel für beliebige positive $r$ , $h$ ; Rückrechnung des Radius aus Zylindervolumen und Höhe.
Nur näherungsweise: Reale Behälter haben Wandstärke, abgerundete Kanten und Verformungen; die Nennfüllmenge einer Getränkedose kann um einige Prozent vom geometrischen Volumen abweichen.
Nicht berechenbar: Kegelstumpf, schiefer Zylinder, Volumen der Wand eines Hohlrohrs (Außenzylinder minus Innenzylinder, in zwei Schritten rechnen und subtrahieren), Rückrechnung beim Kegel (aus dem Kegelvolumen $r$ oder $h$ von Hand: $r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ), Rückrechnung beliebiger Größen aus der Oberfläche.
Keine Zusatzfunktionen: Mantellinie, Mantelfläche, Grundfläche und Mittelpunktswinkel des abgerollten Sektors werden nicht ausgegeben; bei Bedarf mit den Formeln von Hand rechnen.
Numerik: Bei sehr großem oder sehr kleinem $r$ , $h$ erscheinen die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise (Betrag $\ge 10^{12}$ oder $< 10^{-8}$ ).

Häufige Fehler

Durchmesser als Radius: Gemessen wird meist der Durchmesser $d$ , das Volumen ist dann $\pi (d/2)^2 h = \pi d^2 h/4$ . Wer $d$ direkt in „Radius“ einträgt, vergrößert das Volumen auf das Vierfache.
Mantellinie als Höhe: Die Höhe des Kegels ist der senkrechte Abstand von der Spitze zum Grundkreismittelpunkt; die an einer Eistüte gemessene „Seitenkante“ ist die Mantellinie $l$ , die Höhe ergibt sich über $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ .
Beim Kegelvolumen die Division durch 3 vergessen: $\pi r^2 h$ ist das Volumen des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.
Eine Grundfläche bei der Oberfläche vergessen oder doppelt zählen: Ein Eimer ohne Deckel hat nur eine Grundfläche, $S = \pi r^2 + 2\pi r h$ ; ein kegelförmiges Zelt hat gar keine Grundfläche, nur die Mantelfläche $\pi r l$ .
Volumeneinheiten in Zehnerschritten umrechnen: 1 m = 100 cm, aber 1 m³ = 1,000,000 cm³ = 1000 L; der Umrechnungsfaktor für das Volumen ist die dritte Potenz des Längenverhältnisses.
Die drei Nullen im Rückrechnungsmodus als Ergebnis nehmen: Das ist der Ersatzwert der Engine für den nicht eingetragenen Radius; Radius wieder eintragen, dann stimmen die Werte.

Typische Anwendungen

Behältervolumen

Trinkbecher, Wassertanks, Ölfässer, Getreidesilos (Zylinder + Kegelspitze, beide Teile einzeln rechnen und addieren); bei bekanntem Zielvolumen und bekannter Höhe den benötigten Radius zurückrechnen.

Materialbedarf

Blechfläche eines zylindrischen Behälters (Oberfläche), zu streichende Fläche der Außenwand eines Wasserrohrs (Mantelfläche), Stoff- oder Blechfläche eines kegelförmigen Zeltes oder Trichters (Kegelmantelfläche $\pi r l$ ).

Technik und Erdbewegung

Volumenschätzung kegelförmiger Sand- oder Kohlenhalden (aus dem Grundkreisumfang $r$ , aus der Höhe $h$ ), Betonmenge für Pfähle (Zylinder).

Unterricht

Erfahren, dass „der Kegel ein Drittel des Zylinders“ ist, die Quadrat- / Kubikregel der Skalierung, den Zusammenhang von Mantelabwicklung und Sektor; zusammen mit Bogenlänge und Sektor den Mittelpunktswinkel des abgerollten Sektors berechnen.

Häufige Fragen

Wie erhält man die Mantelfläche des Zylinders allein?

Von der Zylinderoberfläche die beiden Grundflächen abziehen: $S_{\text{Zyl}} - 2\pi r^2 = 2\pi r h$ . In Beispiel 1: $245.04 - 56.55 = 188.50$ .

Mantelfläche des Kegels und Mittelpunktswinkel des abgerollten Sektors?

Mantelfläche $\pi r l = S_{\text{Keg}} - \pi r^2$ ; Mittelpunktswinkel $\theta = 2\pi r / l$ (Bogenmaß) $= 360^\circ \cdot r / l$ . Beispiel 2: $216^\circ$ ; Beispiel 1: $103.45^\circ$ .

Wie kommt ein Zylinder bei gleichem Volumen mit möglichst wenig Material aus?

Bei festem Volumen $V$ ist die Gesamtoberfläche $2\pi r^2 + 2V/r$ minimal für $h = 2r$ (Höhe gleich Durchmesser). Beispiel 4 und Beispiel 1 haben dasselbe Volumen; die Oberfläche von $r = 3$ , $h = 10$ (245) ist kleiner als die von $r = 6$ , $h = 2.5$ (320), aber noch nicht optimal; optimal ist $r = \sqrt[3]{45} \approx 3.557$ , $h \approx 7.11$ . Echte Getränkedosen sind höher und schlanker, weil der Deckel dicker ist und getrennt kostet.

Wie rechnet man aus einem bekannten Kegelvolumen den Radius zurück?

$r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ; die Engine bietet diese Rückrechnung nicht, sie ist von Hand zu rechnen und der Wert wieder einzutragen.

Wie berechnet man einen Kegelstumpf (abgeschnittenen Kegel)?

$V = \tfrac13\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ , Mantelfläche $\pi (R + r)\,l$ , $l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}$ . Dieser Rechner unterstützt das nicht; man kann in zwei Schritten „großer Kegel minus kleiner Kegel“ rechnen.

Wie hängen Halbkugel, Kugel, Zylinder und Kegel zusammen?

Eine Kugel mit Radius $r$ hat das Volumen $\tfrac43\pi r^3$ , genau $\tfrac23$ des Zylinders mit $h = 2r$ ( $2\pi r^3$ ); der Kegel mit gleichem Radius und $h = r$ hat $\tfrac13\pi r^3$ , die Hälfte der Halbkugel $\tfrac23\pi r^3$ . Archimedes hielt „Kegel : Kugel : Zylinder = 1 : 2 : 3“ (für $h = 2r$ ) für seine schönste Entdeckung.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition cylinder-cone im CalcX-Engine-Quellcode src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) gibt cylVol / cylSurf / coneVol / coneSurf aus und unterstützt die Rückrechnung von r aus cylVol und h); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Wikipedia, Cylinder（访问日期：2026-09-09）– Volumen, Oberfläche und Erläuterungen zum schiefen Zylinder.
Wikipedia, Cone — Volume（访问日期：2026-09-09）– Integralherleitung des Kegelvolumens und die Mantellinie.
Euklid, Elemente, Buch XII, Proposition 10, kommentierte Ausgabe von D. E. Joyce（访问日期：2026-09-09）– der Exhaustionsbeweis für „jeder Kegel ist ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe“.
Wikipedia, Cavalieri's principle（访问日期：2026-09-09）– das Prinzip von Zu Geng: Bei gleicher Querschnittsfläche auf jeder Höhe sind die Volumina gleich.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time – Definitionen der Größen und Einheiten für Länge, Fläche und Volumen.
Archimedes, Über Kugel und Zylinder – die klassische Quelle zu den Volumenverhältnissen von Kugel, Kegel und Zylinder.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09