Verschiebung s = v₀t + ½at²: Bremsweg und Fallhöhe

Der Rechner für die Verschiebung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung löst s = v0 t + \tfrac12 a t^2: Aus der Anfangsgeschwindigkeit v0, der konstanten Beschleunigung a und der Zeit t ergibt sich die in dieser Zeit zurückgelegte Verschiebung s; umgekehrt lassen sich aus Verschiebung und Zeit die Anfangsgeschwindigkeit oder die Beschleunigung berechnen – wie tief ein Stein nach 3 Sekunden gefallen ist, wie weit ein Auto beim Bremsen aus 100 km/h noch rollt, wie groß die mittlere Beschleunigung ist, wenn 100 m in 8 Sekunden zurückgelegt werden.

Verschiebung s = v₀t + ½at²: Bremsweg und Fallhöhe

Über diesen Rechner

Der Rechner für die Verschiebung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung löst $s = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ : Aus der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ , der konstanten Beschleunigung $a$ und der Zeit $t$ ergibt sich die in dieser Zeit zurückgelegte Verschiebung $s$ ; umgekehrt lassen sich aus Verschiebung und Zeit die Anfangsgeschwindigkeit oder die Beschleunigung berechnen – wie tief ein Stein nach 3 Sekunden gefallen ist, wie weit ein Auto beim Bremsen aus 100 km/h noch rollt, wie groß die mittlere Beschleunigung ist, wenn 100 m in 8 Sekunden zurückgelegt werden.

Sie ist die zweite der vier Grundgleichungen der Kinematik und bildet ein Paar mit dem Endgeschwindigkeitsrechner ( $v = v_0 + at$ ): Jene sagt, wie sich die Geschwindigkeit ändert, diese, wie weit man gekommen ist. Beide Gleichungen beschreiben physikalisch dasselbe – konstante Beschleunigung –, fragen aber nach verschiedenen Größen. Die Verschiebung ist die Fläche unter der Geraden im v–t-Diagramm; diese geometrische Deutung ist der rote Faden der Seite und die weniger auffällige Verbindung zur Trapezfläche.

Was er nicht tut: Er rechnet die Zeit nicht aus der Verschiebung zurück (das ist eine quadratische Gleichung; der Abschnitt zum Rechnen von Hand auf dieser Seite zeigt, wie es geht); er berechnet keine Endgeschwindigkeit (dafür der Partnerrechner); er behandelt keine Bewegung mit zeitlich veränderlicher Beschleunigung; er rechnet nur eindimensional – beim schrägen und beim waagerechten Wurf müssen horizontale und vertikale Richtung getrennt gerechnet werden; er rechnet keine Einheiten um.

Formeln und Variablen

s = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2

Rückrechnung (die beiden von der Engine umgesetzten Richtungen):

v_0 = \frac{s - \tfrac12 a t^2}{t},\qquad a = \frac{2\,(s - v_0 t)}{t^2}

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$v_0$	Anfangsgeschwindigkeit (bei $t = 0$ )	Anfangsgeschwindigkeit v₀ (m/s)	m/s	beliebige reelle Zahl; Vorgabe 0. Ein negatives Vorzeichen bedeutet Bewegung gegen die positive Richtung
$a$	Beschleunigung (konstant)	Beschleunigung a (m/s²)	m/s²	beliebige reelle Zahl; Vorgabe 9.8. Negativ, wenn sie $v_0$ entgegenwirkt
$t$	verstrichene Zeit	Zeit t (s)	s	$t \ge 0$ ; keine Vorgabe, beim Öffnen leer
$s$	Verschiebung (gerichteter Abstand vom Startpunkt zum Zeitpunkt $t$ )	Verschiebung s (m)	m	Ausgabe; im Rückrechnungsmodus Eingabe. Mit Vorzeichen

Dimensionsprobe: $\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}$ , $\text{m/s}^2 \times \text{s}^2 = \text{m}$ , beide Terme sind Längen. Das $\tfrac12$ stammt aus der Dreiecksfläche (siehe Grundlagen).

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Verschiebung bei gleichmäßiger Beschleunigung“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-displacement). Beim Öffnen sind „Anfangsgeschwindigkeit v₀“ = 0 und „Beschleunigung a“ = 9.8 vorbelegt, „Zeit t“ ist leer; das Zeitfeld bleibt leer, das Feld „Verschiebung“ trägt die Markierung „berechnet“ und zeigt 0 – die Engine rechnet die Zeit nicht aus der Verschiebung zurück, und ein leeres $t$ zählt als 0, also ist $s = 0$ . Das ist kein Ergebnis.
Verschiebung berechnenDie Sekunden in „Zeit t“ eintragen, die Verschiebung aktualisiert sich sofort. Für eine Abbremsung $a$ negativ eintragen; die Verschiebung kann negativ werden (zurück unter den Startpunkt).
Beschleunigung zurückrechnen„Beschleunigung a“ leeren, $v_0$ , $t$ und $s$ eintragen; das Beschleunigungsfeld wechselt auf „berechnet“ und zeigt $2(s - v_0 t)/t^2$ .
Anfangsgeschwindigkeit zurückrechnen„Anfangsgeschwindigkeit v₀“ leeren, $a$ , $t$ und $s$ eintragen; das Feld zeigt $(s - \tfrac12 at^2)/t$ .
Zeit berechnenDie Engine unterstützt das nicht. Nach dem Leeren von $t$ bleibt das Feld leer. Von Hand: $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ , $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ (die positive Wurzel nehmen); oder zuerst mit dem Endgeschwindigkeitsrechner $t$ aus $v$ zurückrechnen und dann hierher zurückkehren.
Ergebnisse ablesenWerte werden mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen angezeigt.
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert das LaTeX s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 in die Zwischenablage.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine phys-displacement nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen, die Einheiten sind m/s, m/s², s und m.

Beispiel 1: der freie Fall und die Folge 1 : 4 : 9

Eingabe: $v_0 = 0$ , $a = 9.8$ , $t = 1$ . $s = 0 + \tfrac12 \times 9.8 \times 1 = 4.9$ . Die Oberfläche zeigt: Verschiebung s 4.9.

Setzt man die Zeit auf 2 und 3, zeigt die Oberfläche nacheinander 19.6 und 44.1. Die drei Zahlen stehen im Verhältnis $4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9$ – die Fallstrecke ist proportional zum Quadrat der Zeit. Der Zuwachs in jeder einzelnen Sekunde beträgt 4.9, 14.7 und 24.5, also 1 : 3 : 5; das ist das Gesetz der ungeraden Zahlen, das Galileo 1638 aus seinen Fallrinnen-Experimenten ableitete und das ihn erkennen ließ, dass die Geschwindigkeit der Zeit (und nicht dem Weg) proportional ist.

Beispiel 2: der Bremsweg aus 100 km/h

Ein Auto fährt 100 km/h ( $27.78\ \text{m/s}$ ) und wird mit $-5\ \text{m/s}^2$ abgebremst. Zuerst im Endgeschwindigkeitsrechner die Bremszeit 5.55555556 s zurückrechnen, dann hierher zurückkehren: $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ , $t = 5.55555556$ . $s = 27.78 \times 5.56 - \tfrac12 \times 5 \times 5.56^2 = 154.32 - 77.16 = 77.16$ . Die Oberfläche zeigt: Verschiebung s 77.16049384.

Probe: Die zeitfreie Gleichung $v^2 = v_0^2 + 2as$ ergibt $s = 27.78^2 / (2 \times 5) = 77.1604938$ , dasselbe; auch die mittlere Geschwindigkeit $\tfrac12 \times 27.78 = 13.89\ \text{m/s}$ mal 5.56 s ergibt 77.16. Der Bremsweg ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit: doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfacher Weg – das ist die physikalische Grundlage von Tempolimits.

Abbildung 1: Die Verschiebung ist die Fläche unter dem v–t-Diagramm (links: das Bremsdreieck aus Beispiel 2); das s–t-Diagramm ist eine Parabel (rechts: der freie Fall aus Beispiel 1, 1 : 4 : 9)

Beispiel 3: Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit aus der Verschiebung zurückrechnen

Beschleunigung zurückrechnen: Ein Auto startet aus dem Stand und legt in 8 Sekunden 100 m zurück – wie groß ist die mittlere Beschleunigung? $a$ leeren, $v_0 = 0$ , $t = 8$ , $s = 100$ eintragen: $a = 2 \times 100 / 64 = 3.125$ . Die Oberfläche zeigt: Beschleunigung a 3.125.

Zum Vergleich der Wert $a = 3.47222222$ aus dem Endgeschwindigkeitsrechner für „in 8 Sekunden auf 100 km/h“: In denselben 8 Sekunden legt dieses Auto $\tfrac12 \times 3.47222222 \times 64 = 111.11$ m zurück. Trägt man $v_0 = 0$ , $a = 3.47222222$ , $t = 8$ ein, zeigt die Oberfläche die Verschiebung 111.11111104 – die Endziffern 04 sind ein Rundungsrest aus der Rückrechnung mit 8 Nachkommastellen und kein Fehler.

Anfangsgeschwindigkeit zurückrechnen: Ein Körper legt unter der Abbremsung $a = -5$ in 2 Sekunden 50 m zurück – wie schnell war er beim Start? $v_0$ leeren, $a = -5$ , $t = 2$ , $s = 50$ eintragen: $v_0 = (50 + 10)/2 = 30$ . Die Oberfläche zeigt: Anfangsgeschwindigkeit v₀ 30.

Beispiel 4: senkrechter Wurf nach oben und ein Zug

Senkrechter Wurf nach oben (nach oben positiv, $a = -9.8$ ): Ein Ball wird mit 19.6 m/s geworfen, bei $t = 2$ ist $s = 39.2 - 19.6 = 19.6$ . Die Oberfläche zeigt: Verschiebung s 19.6 – das ist die Höhe des höchsten Punkts (dort ist $v = 0$ , siehe Beispiel 3 des Endgeschwindigkeitsrechners). Bei $t = 4$ ist $s = 78.4 - 78.4 = 0$ . Die Oberfläche zeigt: 0 – der Ball ist auf die Abwurfhöhe zurückgekehrt. Die Verschiebung ist null, aber der vom Ball zurückgelegte Weg beträgt 39.2 m: Die Verschiebung ist die gerichtete Nettoänderung, der Weg die insgesamt durchlaufene Länge.

Zug: Ein Zug, der mit 20 m/s fährt, beschleunigt 1 Minute lang mit 0.5 m/s². $v_0 = 20$ , $a = 0.5$ , $t = 60$ : $s = 1200 + 900 = 2100$ . Die Oberfläche zeigt: Verschiebung s 2100. Der gleichförmige Anteil von 1200 m und die 900 m aus der Beschleunigung sind die beiden Summanden.

Die Eingaben aus Beispiel 1 lassen sich direkt in das Panel übernehmen; ändert man die Zeit auf 1, 2 und 4, wächst die Verschiebung wie 1 : 4 : 9 : 16; mit der Beschleunigung 1.62 (Mond) fällt der Körper in denselben 3 Sekunden nur 7.29 m.

Grundlagen und Herleitung

Die Verschiebung ist die Fläche unter dem v–t-Diagramm

Bei gleichförmiger Bewegung ist die Verschiebung $= vt$ , die Fläche eines Rechtecks im v–t-Diagramm. Bei gleichmäßiger Beschleunigung ändert sich die Geschwindigkeit, aber man kann die Zeit in viele kleine Abschnitte zerlegen, jeden näherungsweise als gleichförmig betrachten, und die Summe der Verschiebungen ist die Fläche des Trapezes unter der Geraden. Die Gerade steigt von $v_0$ auf $v_0 + at$ , die Trapezfläche ist $= \tfrac12 (v_0 + v_0 + at)\,t = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ – daher stammt das $\tfrac12$ . Das Bremsdreieck links in Abbildung 1 ist der Sonderfall, in dem $v_0 = 27.78$ auf 0 sinkt: Fläche $\tfrac12 \times 27.78 \times 5.56$ . Der Trapezflächen-Rechner berechnet genau dasselbe.

Verständnis über die mittlere Geschwindigkeit

Bei konstanter Beschleunigung ist die mittlere Geschwindigkeit genau das arithmetische Mittel aus Anfangs- und Endgeschwindigkeit, $\bar v = \tfrac12 (v_0 + v)$ , und die Verschiebung ist $= \bar v\, t$ . Setzt man $v = v_0 + at$ ein, erhält man wieder $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ . Das ist zugleich die vierte kinematische Gleichung $s = \tfrac12 (v_0 + v)\,t$ . Sie gilt nur für gleichmäßige Beschleunigung – bei veränderlicher Beschleunigung ist die mittlere Geschwindigkeit nicht mehr der Mittelpunkt zwischen Anfangs- und Endwert.

Die Zeit eliminieren: $v^2 = v_0^2 + 2as$

Löst man $v = v_0 + at$ nach $t = (v - v_0)/a$ auf, setzt in die Verschiebungsformel ein und vereinfacht, erhält man $v^2 = v_0^2 + 2as$ ohne Zeit. Beispiel 2 hat damit den Bremsweg geprüft. Multipliziert man beide Seiten mit $\tfrac12 m$ , ergibt sich $\tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = mas = Fs$ – der Arbeit-Energie-Satz: Die Arbeit der resultierenden Kraft ist gleich der Änderung der kinetischen Energie. Der Rechner für kinetische Energie übernimmt von hier.

Das s–t-Diagramm ist eine Parabel

$s$ ist eine quadratische Funktion von $t$ , der Graph ist eine Parabel (Abbildung 1 rechts). Bei $v_0 = 0$ liegt der Scheitel im Ursprung, die Öffnungsrichtung bestimmt das Vorzeichen von $a$ . Die Tangentensteigung der Parabel an einer Stelle ist die momentane Geschwindigkeit: Bei $t = 0$ beträgt sie $v_0$ . Beim senkrechten Wurf nach oben ist das s–t-Diagramm eine nach unten geöffnete Parabel, der Scheitel ist der höchste Punkt und der zweite Schnittpunkt mit der Zeitachse der Zeitpunkt der Rückkehr auf die Abwurfhöhe ( $t = 4$ in Beispiel 4).

Warum das Rückrechnen der Zeit eine quadratische Gleichung ist

Sind $s$ , $v_0$ und $a$ gegeben und $t$ gesucht, ist $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ zu lösen. Es kann zwei positive Lösungen geben (der nach oben geworfene Ball passiert dieselbe Höhe zweimal: beim Aufstieg und beim Abstieg) oder keine (der Ball erreicht die Höhe nicht). Die Engine gibt deshalb in einem Feld keinen einzelnen Wert aus, um nicht stillschweigend eine Lösung zu verwerfen; bei Bedarf rechnet man wie in §3 Schritt 5 von Hand und betrachtet beide Lösungen.

Galileos Fallrinne

Der freie Fall ist zu schnell, 1638 gab es keine Uhr, die ihn messen konnte. Galileo ließ Kugeln eine glatte Fallrinne hinunterrollen, maß die Zeit mit einer Wasseruhr und fand, dass die Strecke proportional zum Quadrat der Zeit ist und dass die Strecken in aufeinanderfolgenden gleichen Zeitabschnitten im Verhältnis 1 : 3 : 5 : 7 stehen, und zwar unabhängig vom Neigungswinkel der Rinne. Daraus schloss er, dass der senkrechte Fall (Neigungswinkel 90°) sich ebenso verhält. Die Konstante $g$ in $s = \tfrac12 g t^2$ wurde erst nach 1638 genau gemessen.

Annahmen

Konstante Beschleunigung: $a$ ändert sich über das gesamte $t$ nicht. Die tatsächliche Beschleunigung eines Fahrzeugs hängt von der Geschwindigkeit ab; berechnet wird ein äquivalenter Mittelwert.
Geradlinige, eindimensionale Bewegung: Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung liegen auf einer Geraden, die Richtung wird durch das Vorzeichen ausgedrückt.
Die Bewegung dauert bis $t$ an: Die Formel endet nicht von selbst, wenn der Körper stehen bleibt (siehe den Hinweis nach Beispiel 4).
Widerstand vernachlässigt: Die Beispiele zum freien Fall berücksichtigen keinen Luftwiderstand.
SI-Einheiten: m/s, m/s², s, m; es wird nicht umgerechnet.
Konvention der Oberfläche: Ein leeres $t$ zählt als 0, deshalb zeigt die Verschiebung beim Öffnen des Panels 0; beim Rückrechnen wird ein leeres $t$ im Nenner als 1 angenommen.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: $s$ aus $v_0$ , $a$ und $t$ ; $a$ oder $v_0$ aus $s$ , $t$ und der jeweils anderen Größe; negative Werte und negative Verschiebungen werden unterstützt.
Nur näherungsweise: Bewegungen mit veränderlicher Beschleunigung lassen sich nur abschnittsweise annähern; der Wert $g = 9.8$ weicht um etwa 0.1 % vom genauen Wert ab.
Nicht berechenbar: die Zeit aus der Verschiebung (quadratische Gleichung, von Hand); die Endgeschwindigkeit (dafür der Partnerrechner); zweidimensionale Würfe (Richtungen getrennt rechnen); der Weg (Summe der Beträge, dafür muss bekannt sein, ob die Richtung gewechselt wird).
Keine Zusatzfunktionen: Einheitenumrechnung; Prüfung, ob die Bewegung schon beendet ist.
Numerik: Die Rückrechnung mit 8 Nachkommastellen erzeugt Rundungsreste in den letzten Stellen (111.11111104 in Beispiel 3).

Häufige Fehler

Das ½ vergessen: $s = at^2$ ergibt für drei Sekunden freien Fall 88.2 m, das Doppelte des richtigen Werts. Das $\tfrac12$ stammt aus der Dreiecksfläche und ist keine Option.
Verschiebung mit Weg verwechseln: Beim senkrechten Wurf nach oben ist die Verschiebung bei der Rückkehr 0, der Weg nicht (Beispiel 4).
Nach dem Anhalten weiterrechnen: Wird $t$ größer als die Bremszeit gewählt, lässt die Formel das Auto rückwärts fahren (der Hinweis nach Beispiel 4).
km/h direkt einsetzen: 100 km/h als 100 eingetragen ergibt einen Bremsweg von 1000 m. Zuerst in 27.78 m/s umrechnen.
Das Minuszeichen beim Abbremsen vergessen: Die Bremsbeschleunigung ist $-5$ ; mit $+5$ wird der Abstand immer größer.
Die Endgeschwindigkeit statt der Anfangsgeschwindigkeit einsetzen: $v_0$ in der Formel ist die Geschwindigkeit am Anfang des betrachteten Zeitraums.
Andere Größen als $t$ quadrieren: In $\tfrac12 a t^2$ wird nur $t$ quadriert.

Typische Anwendungen

Lehre

Freier Fall mit 1 : 4 : 9 und das Gesetz der ungeraden Zahlen; die Flächenmethode im v–t-Diagramm; Verschiebung und Weg; die Symmetrie des senkrechten Wurfs; die Herkunft des Arbeit-Energie-Satzes.

Verkehrssicherheit

Der Bremsweg zu gegebener Geschwindigkeit und Verzögerung (zusammen mit dem gleichförmigen Abschnitt während der Reaktionszeit $= v \times t_\text{Reaktion}$ ); die anschauliche Erklärung des quadratischen Zusammenhangs zwischen Tempolimit und Bremsweg.

Technik

Fahrwege der Beschleunigungs- und Bremsphasen von Aufzügen und Förderbändern; Positionierstrecken beim Heben und beim Vorschub von Werkzeugmaschinen; aus bekanntem Weg und bekannter Zeit die nötige Beschleunigung zurückrechnen.

Sport und Alltag

Abschätzung von Eintauchzeit und Eintauchgeschwindigkeit für die Höhe eines Sprungturms; die maximale Höhe eines Wurfs; die Schacht- oder Gebäudehöhe aus der Fallzeit (die Schallaufzeit ist zu beachten).

Häufige Fragen

Warum ist die Verschiebung beim Öffnen 0 und die Zeit leer?

Die Zeit ist noch nicht eingetragen, die Engine nimmt $t$ als 0 an; die Zeit rechnet sie nicht aus der Verschiebung zurück, deshalb bleibt das Zeitfeld leer. Nach dem Eintragen der Zeit stimmt die Anzeige.

Wie berechne ich die Zeit aus der Verschiebung?

Die quadratische Gleichung $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ lösen, $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ ; für $v_0 = 0$ vereinfacht sich das zu $t = \sqrt{2s/a}$ . Oder zuerst mit dem Endgeschwindigkeitsrechner $t$ aus $v$ zurückrechnen.

Worin unterscheiden sich Verschiebung und Weg?

Die Verschiebung ist der gerichtete geradlinige Abstand vom Endpunkt zum Startpunkt, mit Vorzeichen; der Weg ist die insgesamt durchlaufene Streckenlänge. Bei geradliniger Bewegung ohne Richtungswechsel sind beide gleich; nach einer Umkehr wird die Verschiebung kleiner, während der Weg weiter wächst.

Warum ist der Bremsweg proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit?

In $v^2 = v_0^2 + 2as$ ist $v = 0$ , also $s = v_0^2 / (2|a|)$ . Verdoppelt sich die Geschwindigkeit, vervierfacht sich $v_0^2$ .

Legt ein senkrecht nach oben geworfener Ball beim Aufstieg und beim Abstieg denselben Weg zurück?

Ohne Widerstand ja: Die s–t-Parabel ist symmetrisch zum höchsten Punkt. Mit Widerstand ist der Abstieg langsamer und dauert länger.

Kann man die Formel bei starkem Luftwiderstand noch verwenden?

Nein. Der Widerstand wächst mit der Geschwindigkeit, die Beschleunigung ist nicht mehr konstant. Regentropfen, Fallschirmspringer und Federn bewegen sich nicht gleichmäßig beschleunigt.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition phys-displacement in src/data/formulasScience.ts der CalcX-Engine (compute(known, solveFor) löst nach s / v₀ / a); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）– die vollständige Tabelle der fünf Größen und vier Gleichungen mit Herleitung.
Wikipedia, Displacement (geometry)（访问日期：2026-09-09）– die Definitionen von Verschiebung und Weg.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day, englische Übersetzung von Crew & de Salvio（访问日期：2026-09-09）– der Originaltext zum Gesetz der ungeraden Zahlen und zu den Fallrinnen-Experimenten.
Wikipedia, Braking distance（访问日期：2026-09-09）– die Formel für den Bremsweg, der Reaktionsweg und typische Verzögerungen.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time – Definition der Größen und Einheiten für Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09