Gleichmäßig beschleunigte Bewegung berechnen: v = v₀ + at

Der Rechner für gleichmäßig beschleunigte Bewegung löst v = v0 + at: Aus Anfangsgeschwindigkeit v0, Beschleunigung a und Zeit t ergibt sich die Endgeschwindigkeit v; sind drei der vier Größen bekannt, lässt sich die vierte zurückrechnen – wie viele Sekunden das Bremsen bis zum Stillstand dauert, welche Beschleunigung in 8 Sekunden auf 100 km/h führt oder wie schnell ein Ball abgeworfen wird, der nach 2 Sekunden seinen höchsten Punkt erreicht.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung berechnen: v = v₀ + at

Über diesen Rechner

Der Rechner für gleichmäßig beschleunigte Bewegung löst $v = v_0 + at$ : Aus Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ , Beschleunigung $a$ und Zeit $t$ ergibt sich die Endgeschwindigkeit $v$ ; sind drei der vier Größen bekannt, lässt sich die vierte zurückrechnen – wie viele Sekunden das Bremsen bis zum Stillstand dauert, welche Beschleunigung in 8 Sekunden auf 100 km/h führt oder wie schnell ein Ball abgeworfen wird, der nach 2 Sekunden seinen höchsten Punkt erreicht.

„Gleichmäßig beschleunigt“ bedeutet: Die Beschleunigung ist konstant. Freier Fall ( $a = g$ ), gleichmäßiges Anfahren und Bremsen eines Autos, die Einfahrt eines Zuges oder ein senkrechter Wurf nach oben lassen sich alle näherungsweise so beschreiben. Die Formel ist die grundlegendste der Kinematik – nichts anderes als die Definitionsgleichung der Beschleunigung in umgestellter Form – und zugleich der Ausgangspunkt aller weiteren Bewegungsgleichungen: Die Wegformel $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ steht im Rechner für den Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung; woher die Beschleunigung kommt ( $a = F/m$ ) und was Einheiten und Vektorkonventionen bedeuten, steht beim zweiten Newtonschen Gesetz.

Was er nicht leistet: Er berechnet keinen Weg und keine Strecke; er behandelt keine Bewegung mit zeitlich veränderlicher Beschleunigung (Fall mit merklichem Luftwiderstand, Anfahren mit wechselnder Beschleunigung); er rechnet nur eindimensional – bei gekrümmten Bahnen und beim schiefen Wurf müssen horizontale und vertikale Richtung getrennt behandelt werden; und er rechnet keine Einheiten um (km/h bitte zuerst in m/s umrechnen).

Formeln und Variablen

v = v_0 + a\,t \qquad\Longleftrightarrow\qquad a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{\Delta v}{\Delta t}

Rückrechnung:

t = \frac{v - v_0}{a},\qquad a = \frac{v - v_0}{t},\qquad v_0 = v - a\,t

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$v_0$	Anfangsgeschwindigkeit (bei $t = 0$ )	Anfangsgeschwindigkeit v₀ (m/s)	m/s	beliebige reelle Zahl; Vorgabe 0. Ein Minuszeichen bedeutet Bewegung entgegen der positiven Richtung
$a$	Beschleunigung (konstant)	Beschleunigung a (m/s²)	m/s²	beliebige reelle Zahl; Vorgabe 9.8. Gleichgerichtet mit der Geschwindigkeit positiv (Beschleunigen), entgegengesetzt negativ (Verzögern)
$t$	verstrichene Zeit	Zeit t (s)	s	$t \ge 0$ ; kein Vorgabewert, beim Öffnen leer
$v$	Endgeschwindigkeit (zum Zeitpunkt $t$ )	Endgeschwindigkeit v (m/s)	m/s	Ausgabe; im Rückrechnungsmodus Eingabe

Einheitenkonsistenz: $\text{m/s}^2 \times \text{s} = \text{m/s}$ . Die Vorgabe 9.8 ist der in Lehrbüchern übliche Wert der Erdbeschleunigung; der Standardwert ist $g_0 = 9.806\,65$ , die Diskussion der verschiedenen Werte steht beim zweiten Newtonschen Gesetz.

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Gleichmäßig beschleunigte Bewegung“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-uniform-accel). Beim Öffnen sind „Anfangsgeschwindigkeit v₀“ = 0 und „Beschleunigung a“ = 9.8 vorbelegt und „Zeit t“ ist leer; „Zeit“ und „Endgeschwindigkeit“ tragen die Markierung „berechnet“ und zeigen 0 – die Engine behandelt das leere $t$ als 0, $v = 0 + 9.8 \times 0 = 0$ , und das ist kein Ergebnis.
Endgeschwindigkeit berechnenDie Sekunden in „Zeit t“ eintragen; die Endgeschwindigkeit wird sofort aktualisiert. Bei einer Verzögerung $a$ negativ eintragen.
Zeit zurückrechnen„Zeit t“ leeren, „Endgeschwindigkeit v“ eintragen (beim Bremsen bis zum Stillstand 0); das Zeitfeld wechselt auf „berechnet“ und zeigt $(v - v_0)/a$ .
Beschleunigung zurückrechnen„Beschleunigung a“ leeren, $v_0$ , $v$ und $t$ eintragen; das Beschleunigungsfeld zeigt $(v - v_0)/t$ .
Anfangsgeschwindigkeit zurückrechnen„Anfangsgeschwindigkeit v₀“ leeren, $a$ , $t$ und $v$ eintragen; das Feld zeigt $v - at$ .
Ergebnis ablesenWerte werden mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen angezeigt. Bei $a = 0$ ergibt die Rückrechnung der Zeit $0/0$ ; das Feld bleibt leer – bei gleichförmiger Bewegung gibt es keine eindeutige Antwort auf die Frage, wann eine bestimmte Geschwindigkeit erreicht wird.
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert das LaTeX v = v_0 + at in die Zwischenablage.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine phys-uniform-accel nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen, die Einheiten sind m/s, m/s² und s.

Beispiel 1: Freier Fall über 3 Sekunden

Eingaben: $v_0 = 0$ , $a = 9.8$ , $t = 3$ . $v = 0 + 9.8 \times 3 = 29.4$ . Anzeige: Endgeschwindigkeit v 29.4 – etwa 106 km/h. Mit jeder Sekunde wächst die Geschwindigkeit um 9.8 m/s; genau das bedeutet „Beschleunigung 9.8 m/s²“: wie stark sich die Geschwindigkeit pro Sekunde ändert. Ein Sturz aus rund 30 m Höhe (10 Stockwerke) dauert etwa 2.5 s und erreicht etwa 24 m/s.

Beispiel 2: Auto beschleunigt in 8 Sekunden auf 100 km/h, danach Bremsung

Beschleunigung zurückrechnen: $a$ leeren, $v_0 = 0$ , $v = 27.77777778$ (100 km/h) und $t = 8$ eintragen: $a = 27.77777778 / 8 = 3.47222222$ . Anzeige: Beschleunigung a 3.47222222. Zur Kontrolle wieder eintragen ( $v_0 = 0$ , $a = 3.47222222$ , $t = 8$ ): Die Anzeige liefert die Endgeschwindigkeit 27.77777776 – die abschließende 6 ist ein Rundungsrest, der entsteht, weil die auf 8 Nachkommastellen gerundete Beschleunigung eingesetzt wird, kein Fehler.

Bremsung unterwegs: $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ , $t = 3$ : $v = 27.78 - 15 = 12.77777778$ . Anzeige: Endgeschwindigkeit v 12.77777778 (etwa 46 km/h).

Bremszeit zurückrechnen: $t$ leeren, $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ und $v = 0$ eintragen: $t = (0 - 27.78)/(-5) = 5.55555556$ . Anzeige: Zeit t 5.55555556. Minus durch Minus ergibt Plus – die Zeit ist natürlich positiv. Der in dieser Zeit zurückgelegte Bremsweg von 77.16 m lässt sich mit dem Rechner für den Weg berechnen.

Abbildung 1: Im v–t-Diagramm ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung eine Gerade, ihre Steigung ist die Beschleunigung. Links: das Auto aus Beispiel 2; rechts: der senkrecht geworfene Ball aus Beispiel 3 – beim Nulldurchgang der Geschwindigkeit bleibt die Beschleunigung −9.8, die Gerade knickt nirgends

Beispiel 3: Senkrechter Wurf nach oben – bei Geschwindigkeit null ist die Beschleunigung nicht null

Nach oben sei positiv, $a = -9.8$ . Ein Ball erreicht 2 Sekunden nach dem Abwurf den höchsten Punkt ( $v = 0$ ); wie groß ist die Abwurfgeschwindigkeit? $v_0$ leeren, $v = 0$ , $a = -9.8$ und $t = 2$ eintragen: $v_0 = 0 - (-9.8)(2) = 19.6$ . Anzeige: Anfangsgeschwindigkeit v₀ 19.6.

Und zur 3. Sekunde: $v_0 = 19.6$ , $a = -9.8$ , $t = 3$ : $v = 19.6 - 29.4 = -9.8$ . Anzeige: Endgeschwindigkeit v −9.8 – das Minuszeichen bedeutet, dass der Ball fällt. Über den ganzen Vorgang bleibt die Beschleunigung $-9.8$ , auch im Moment des höchsten Punkts; es wechselt nur die Geschwindigkeit von positiv zu negativ. Die Gerade rechts in Abbildung 1 durchläuft die Null kontinuierlich, ohne Halt.

Beispiel 4: Zug und der Grenzfall der gleichförmigen Bewegung

Zug: Ein mit 20 m/s fahrender Zug beschleunigt 1 Minute lang mit 0.5 m/s². $v_0 = 20$ , $a = 0.5$ , $t = 60$ : $v = 20 + 30 = 50$ . Anzeige: Endgeschwindigkeit v 50 (180 km/h). Eine kleine Beschleunigung bedeutet keine kleine Geschwindigkeitsänderung – über eine lange Zeit wird sie ebenso groß.

Gleichförmig: $v_0 = 5$ , $a = 0$ ; die Rückrechnung der Frage „wann wird $v = 5$ erreicht“ lässt das Zeitfeld leer: $0/0$ ist nicht definiert, bei gleichförmiger Bewegung gilt zu jedem Zeitpunkt 5 m/s.

Die Eingaben aus Beispiel 1 lassen sich direkt im Panel nachvollziehen; die Zeit auf 1, 2, 4, 5 ändern und beobachten, wie die Endgeschwindigkeit in Vielfachen von 9.8 wächst; die Beschleunigung auf 1.62 (Mond) setzen und sehen, wie in ebenfalls 3 Sekunden nur 4.86 m/s erreicht werden.

Grundlagen und Herleitung

Diese Formel ist die Definition der Beschleunigung

Die Beschleunigung ist definiert als Änderungsrate der Geschwindigkeit: $a = \Delta v / \Delta t$ . Bei konstanter Beschleunigung gilt $\Delta v = a\Delta t$ ; ausgehend von $v_0$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ist nach $t$ Sekunden $v = v_0 + at$ . Das muss nicht „hergeleitet“ werden, es ist die umgestellte Definitionsgleichung. Die eigentliche inhaltliche Aussage ist „die Beschleunigung ist konstant“ – eine Annahme über die Bewegung, die das zweite Newtonsche Gesetz absichert: Ist die resultierende Kraft konstant (etwa die Gewichtskraft), ist auch die Beschleunigung konstant.

Das v–t-Diagramm: Gerade und Steigung

Trägt man die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit auf, ergibt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung eine Gerade; ihr Achsenabschnitt ist $v_0$ , ihre Steigung ist $a$ . Wählt man auf der Geraden des Autos in Abbildung 1 zwei beliebige Punkte, ergibt $\Delta v / \Delta t = 13.89 / 4 = 3.47$ genau die rückgerechnete Beschleunigung – dasselbe, was der Steigungsrechner tut. Eine negative Steigung (rechts in Abbildung 1) bedeutet Verzögern oder Beschleunigen in die Gegenrichtung; durchquert die Gerade die Zeitachse, kehrt sich die Geschwindigkeit um. Die Fläche unter der Geraden ist der Weg, Thema des nächsten Artikels.

Vorzeichenkonvention: Vektoren in einer Dimension

Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektoren; in einer Dimension zeigen die Vorzeichen die Richtung. Zuerst wird eine positive Richtung gewählt (üblicherweise die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit oder „nach oben“), danach gilt: $a$ und $v$ mit gleichem Vorzeichen → der Betrag der Geschwindigkeit wächst; mit verschiedenem Vorzeichen → er nimmt ab. Der Ball aus Beispiel 3 steigt mit $v > 0$ , $a < 0$ und wird langsamer; nach dem höchsten Punkt gilt $v < 0$ , $a < 0$ – gleiches Vorzeichen, er wird schneller; die Beschleunigung bleibt von Anfang bis Ende unverändert. Eine „Verzögerung“ ist keine eigene physikalische Größe, sondern nur eine negative Beschleunigung.

Galileo und der freie Fall

„Alle Körper fallen, unabhängig von ihrem Gewicht, mit derselben Beschleunigung“ ist das Ergebnis, zu dem Galileo 1638 in den Discorsi gelangte; er „verdünnte“ die Schwerkraft mit schiefen Ebenen und fand, dass die Geschwindigkeit proportional zur Zeit ist (nicht proportional zum Weg). $a = g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$ ist ein Näherungswert für die Erdoberfläche; auf dem Mond 1.62, auf dem Mars 3.72. Bei merklichem Luftwiderstand (Feder, Regentropfen, Fallschirm) nimmt die Beschleunigung mit der Geschwindigkeit bis auf null ab (Endgeschwindigkeit); dann liegt keine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mehr vor.

Zusammenhang mit den übrigen Bewegungsgleichungen

Neben den vier Größen $v_0$ , $v$ , $a$ und $t$ gibt es den Weg $s$ ; zwischen den fünf Größen gelten vier gängige Formeln, von denen jede eine Größe auslässt: $v = v_0 + at$ (ohne $s$ ), $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ (ohne $v$ ), $v^2 = v_0^2 + 2as$ (ohne $t$ ) und $s = \tfrac12(v_0 + v)t$ (ohne $a$ ). Dieser Rechner ist die erste; die zweite steht im Weg-Rechner; die dritte entsteht durch Eliminieren von $t$ aus den ersten beiden und ist der Ursprung der kinetischen Energie $\tfrac12 mv^2$ .

Annahmen

Konstante Beschleunigung: $a$ ändert sich über den betrachteten Zeitraum nicht. Die Beschleunigung eines realen Fahrzeugs hängt von Gang und Geschwindigkeit ab; berechnet wird ein Mittelwert.
Geradlinige Bewegung, eindimensional: Geschwindigkeit und Beschleunigung sind kollinear, die Richtung wird durch das Vorzeichen dargestellt.
Widerstand vernachlässigt: Das Beispiel zum freien Fall berücksichtigt keinen Luftwiderstand.
SI-Einheiten: m/s, m/s², s; keine Umrechnung.
Verhalten der Oberfläche: Nicht ausgefüllte Felder fließen in der Engine als 0 ein (bei der Rückrechnung fällt der Nenner auf 1 zurück); deshalb zeigt die Endgeschwindigkeit beim Öffnen des Panels 0.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: aus drei der vier Größen $v_0$ , $a$ , $t$ , $v$ die jeweils vierte, negative Werte eingeschlossen.
Nur näherungsweise: Bewegungen mit veränderlicher Beschleunigung lassen sich nur abschnittsweise annähern; der Wert 9.8 für $g$ weicht um etwa 0.1 % vom Standardwert ab.
Nicht berechenbar: der Weg (dafür der Weg-Rechner), Beziehungen ohne Zeit wie $v^2 = v_0^2 + 2as$ (von Hand), zweidimensionale Würfe (Richtungen einzeln rechnen) und Bewegungen mit zeitlich veränderlicher Beschleunigung.
Keine Zusatzfunktionen: Einheitenumrechnung; bei $a = 0$ hat die Rückrechnung der Zeit keine Lösung.
Numerik: Das Einsetzen auf 8 Nachkommastellen gerundeter Werte hinterlässt einen Rundungsrest in der letzten Stelle (27.77777776 in Beispiel 2).

Häufige Fehler

km/h direkt als m/s verwenden: Die rückgerechnete „Beschleunigung“ hat dann die Einheit (km/h)/s und ist um den Faktor 3.6 zu groß (Hinweis in Beispiel 4).
Am höchsten Punkt eine Beschleunigung von null annehmen: Im Moment verschwindender Geschwindigkeit bleibt die Beschleunigung $-9.8$ (Beispiel 3).
Beim Verzögern das Minus vergessen: Beim Bremsen ist $a$ negativ; ein positiver Wert lässt den Körper immer schneller werden.
$v$ als Betrag auffassen: $v$ trägt ein Vorzeichen; $-9.8$ in Beispiel 3 bedeutet 9.8 m/s nach unten, nicht „negative Geschwindigkeit“.
Die Zeit in Minuten eintragen: 60 s sind nicht 1; mit $t = 1$ liefert der Zug aus Beispiel 4 nur 20.5.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit für die Endgeschwindigkeit halten: Bei gleichmäßiger Beschleunigung von 0 auf 27.78 ist die Durchschnittsgeschwindigkeit 13.89; die Endgeschwindigkeit ist 27.78.

Typische Anwendungen

Lehre

Veranschaulichung der Beschleunigungsdefinition; die Steigung im v–t-Diagramm; Vorzeichenkonventionen und senkrechter Wurf; Galileos freier Fall.

Verkehr

Wechselrechnung zwischen 0–100-km/h-Zeit und mittlerer Beschleunigung; Bremszeit bei gegebener Verzögerung; benötigte Zeit, bis ein Zug seine Zielgeschwindigkeit erreicht.

Sport und Sicherheit

Geschwindigkeitszunahme beim Fallschirmsprung zu Beginn (vor Erreichen der Endgeschwindigkeit); Abschätzung der Startbeschleunigung; Abschätzung der Fallgeschwindigkeit (zusammen mit der Weg-Seite für die Höhe).

Technik

Auslegung der Beschleunigungs- und Verzögerungszeiten von Aufzügen, Förderbändern und Maschinenvorschüben; Bestimmung der Dauer eines Beschleunigungsabschnitts bei zulässiger Beschleunigung.

Häufige Fragen

Warum zeigt die Endgeschwindigkeit beim Öffnen 0?

Die Zeit ist noch nicht eingetragen, die Engine behandelt $t$ als 0. Sobald eine Zeit eingetragen ist, stimmt die Anzeige.

Wie berechnet man den Weg?

Mit dem Rechner für den Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung ( $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ ); oder zuerst hier $t$ bestimmen und dann die Durchschnittsgeschwindigkeit $\tfrac12(v_0 + v)$ mit $t$ multiplizieren.

Ist eine negative Beschleunigung immer eine Verzögerung?

Nur wenn sie der Geschwindigkeit entgegengesetzt ist. Wählt man „nach unten“ als positiv, ist die Beschleunigung im freien Fall positiv; wählt man „nach oben“ als positiv, ist sie negativ, obwohl der fallende Körper schneller wird.

Warum dauern Aufstieg und Fall beim senkrechten Wurf gleich lang?

Bei konstanter Beschleunigung ohne Widerstand ist $v$ eine lineare Funktion von $t$ ; der Abfall von $v_0$ auf 0 und von 0 auf $-v_0$ dauert gleich lang (jeweils $v_0/g$ ).

Lässt sich der Rechner bei großem Luftwiderstand noch verwenden?

Nein. Der Widerstand wächst mit der Geschwindigkeit, die Beschleunigung ist nicht mehr konstant, und schließlich wird die Endgeschwindigkeit erreicht. Regentropfen, Fallschirmspringer und Federn werden nicht gleichmäßig beschleunigt.

$g$ mit 9.8 oder 9.81 eintragen?

Nach dem in der Aufgabe oder Norm angegebenen Wert; beide unterscheiden sich um 0.1 %. Die Diskussion der verschiedenen Werte steht beim zweiten Newtonschen Gesetz.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition phys-uniform-accel in src/data/formulasScience.ts der CalcX-Engine (compute(known, solveFor) löst in vier Richtungen nach v / t / a / v0); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）– die vollständige Tabelle der fünf Größen und vier Formeln.
Wikipedia, Acceleration（访问日期：2026-09-09）– Definition, Einheiten und Vektoreigenschaften der Beschleunigung.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day, englische Übersetzung von Crew & de Salvio（访问日期：2026-09-09）– der Originaltext zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung und zum freien Fall.
NIST, CODATA 2018: standard acceleration of gravity（访问日期：2026-09-09）– $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ .
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time – Definition der Größen und Einheiten für Geschwindigkeit und Beschleunigung.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09