Kinetische Energie berechnen: Eₖ = ½mv² und Arbeitssatz

Der Rechner für kinetische Energie löst Ek = \tfrac12 m v^2: Masse m (kg) und Geschwindigkeit v (m/s) eingeben und die Energie Ek (J) erhalten, die ein Körper aufgrund seiner Bewegung besitzt; ebenso lässt sich aus Energie und Masse die Geschwindigkeit oder aus Energie und Geschwindigkeit die Masse zurückrechnen. Er beantwortet die Frage, wie viel Arbeit ein bewegter Körper verrichten kann – wie viel Energie beim Abbremsen aufgenommen werden muss, welchen Schaden ein Aufprall anrichten kann oder wie viel Energie nötig ist, um einen Körper auf diese Geschwindigkeit zu bringen.

Kinetische Energie berechnen: Eₖ = ½mv² und Arbeitssatz

Über diesen Rechner

Der Rechner für kinetische Energie löst $E_k = \tfrac12 m v^2$ : Masse $m$ (kg) und Geschwindigkeit $v$ (m/s) eingeben und die Energie $E_k$ (J) erhalten, die ein Körper aufgrund seiner Bewegung besitzt; ebenso lässt sich aus Energie und Masse die Geschwindigkeit oder aus Energie und Geschwindigkeit die Masse zurückrechnen. Er beantwortet die Frage, wie viel Arbeit ein bewegter Körper verrichten kann – wie viel Energie beim Abbremsen aufgenommen werden muss, welchen Schaden ein Aufprall anrichten kann oder wie viel Energie nötig ist, um einen Körper auf diese Geschwindigkeit zu bringen.

Fahrende Autos, fliegende Geschosse, laufende Menschen, fallende Regentropfen und strömendes Wasser in Rohren tragen alle kinetische Energie. Diese Seite ist zugleich der Anker für „Arbeit und Energie“ unter den Physikrechnern dieser Website: der Arbeit-Energie-Satz, die Einheiten und Umrechnungen der Energie (J, kJ, kW·h, kcal, eV), die Bedeutung der Energie als skalare Größe und die Grenzen der klassischen Formel werden hier ausgeführt; die Seiten zur potenziellen Energie und zum Impuls fassen das Thema nur zusammen und verweisen hierher. SI-Einheitensystem, Dimensionen und die allgemeine Unterscheidung von Vektoren und Skalaren stehen beim zweiten Newtonschen Gesetz.

Was er nicht tut: Er berechnet keine Rotationsenergie ( $\tfrac12 I\omega^2$ , Räder, Schwungräder) und keine relativistische kinetische Energie (nahe der Lichtgeschwindigkeit), er rechnet keine Einheiten um (km/h ist zuerst in m/s, g in kg umzurechnen) und er behandelt nicht die Energieverteilung bei einem Stoß (dafür ist die Impulserhaltung zuständig).

Formeln und Variablen

E_k = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2

Rückrechnung:

v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}},\qquad m = \frac{2E_k}{v^2}

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$m$	Masse	Masse m (kg)	kg	$m > 0$ ; Vorgabe 1
$v$	Geschwindigkeit (Betrag)	Geschwindigkeit v (m/s)	m/s	beliebige reelle Zahl; Vorgabe 10. Beim Quadrieren verschwindet das Vorzeichen, $-3$ und $3$ ergeben dieselbe kinetische Energie
$E_k$	kinetische Energie	kinetische Energie Eₖ (J)	J = kg·m²/s² = N·m	Ausgabe, stets $\ge 0$ ; im Rückrechnungsmodus Eingabe, bei negativem Wert bleibt das Geschwindigkeitsfeld leer

Einheitenkonsistenz: $\text{kg} \times (\text{m/s})^2 = \text{kg·m}^2/\text{s}^2 = \text{N·m} = \text{J}$ . Häufige Umrechnungen (die dieser Rechner nicht vornimmt, sie müssen von Hand erfolgen):

Einheit	Umrechnung in J	Hinweise
1 kJ	1 000	übliche Größenordnung für Autos und menschliche Bewegung
1 kW·h	3 600 000 (exakt)	die Einheit des Stromzählers, „eine Kilowattstunde“
1 cal	4.184 (thermochemische Kalorie, vereinbarter Wert)	1 kcal = 4 184 J; die „Kalorien“ auf Lebensmitteletiketten sind kcal
1 eV	1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ (exakt, seit der SI-Revision von 2019)	atomare und Teilchen-Maßstäbe
1 erg	10⁻⁷	CGS-System, g·cm²/s²

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Kinetische Energie“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-kinetic). Beim Öffnen sind „Masse m“ = 1 und „Geschwindigkeit v“ = 10 vorbelegt, und „kinetische Energie Eₖ“ trägt die Markierung „berechnet“ und zeigt 50.
Kinetische Energie berechnenMasse und Geschwindigkeit ändern. Die Geschwindigkeit zuerst in m/s umrechnen (km/h ÷ 3.6), die Masse in kg.
Geschwindigkeit zurückrechnen„Geschwindigkeit v“ leeren, „kinetische Energie Eₖ“ und „Masse m“ eintragen; das Geschwindigkeitsfeld wechselt auf „berechnet“ und zeigt $\sqrt{2E_k/m}$ (den positiven Wert).
Masse zurückrechnen„Masse m“ leeren, „kinetische Energie Eₖ“ und „Geschwindigkeit v“ eintragen; das Massenfeld zeigt $2E_k/v^2$ .
Ergebnisse ablesenWerte werden mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen angezeigt. Wird beim Rückrechnen der Geschwindigkeit eine negative Energie eingetragen, bleibt das Geschwindigkeitsfeld leer (aus einer negativen Zahl gibt es keine reelle Wurzel).
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert das LaTeX E_k = \tfrac{1}{2} m v^2 in die Zwischenablage.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine phys-kinetic nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen, die Einheiten sind kg, m/s und J.

Beispiel 1: Voreinstellungen, 1 kg bewegt sich mit 10 m/s

Eingaben: $m = 1$ , $v = 10$ . $E_k = \tfrac12 \times 1 \times 10^2 = 50$ . Anzeige: kinetische Energie Eₖ 50.

Mit $m = 2$ und $v = 3$ : $E_k = \tfrac12 \times 2 \times 9 = 9$ , Anzeige 9. Ändert man auf $v = -3$ (Bewegung in die Gegenrichtung), zeigt die Oberfläche weiterhin 9 – kinetische Energie ist ein Skalar und hängt nur vom Betrag der Geschwindigkeit ab, nicht von der Richtung.

Beispiel 2: Wie viel Energie muss ein Auto beim Bremsen aus 100 km/h aufnehmen?

Ein Auto von 1500 kg fährt 100 km/h.

Einheiten umrechnen: $v = 100 / 3.6 = 27.77777778$ m/s.
Eingaben $m = 1500$ , $v = 27.77777778$ : $E_k = \tfrac12 \times 1500 \times 27.77777778^2 = 578703.7037037$ .

Anzeige: kinetische Energie Eₖ 578703.7037037, also rund 579 kJ, entsprechend 0.161 kW·h oder 138 kcal – so viel Energie muss die Bremsanlage in Wärme umwandeln. Bei 50 km/h (13.88888889 m/s) zeigt die Oberfläche 144675.92592593: Halbiert sich die Geschwindigkeit, beträgt die kinetische Energie nur noch ein Viertel.

Wird die Einheitenumrechnung vergessen und direkt $v = 100$ eingetragen, liefert die Oberfläche 7500000 – das ist um den Faktor $3.6^2 = 12.96$ zu groß. Die Geschwindigkeit geht im Quadrat in die Formel ein, ein Einheitenfehler wird also ebenfalls quadriert – der häufigste Fehler auf dieser Seite.

Abbildung 1: das Auto aus Beispiel 2. Die kinetische Energie wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit: von 50 auf 100 km/h auf das Vierfache, und von 100 auf 120 km/h sind es zwar nur 20% mehr Tempo, aber 44% mehr Energie

Beispiel 3: Geschoss und Läufer – wer hat mehr kinetische Energie?

Geschoss: $m = 0.008$ kg (8 g), $v = 400$ m/s. $E_k = \tfrac12 \times 0.008 \times 160000 = 640$ . Anzeige: 640.

Läufer: $m = 70$ kg, $v = 5$ m/s. $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 25 = 875$ . Anzeige: 875.

Der Läufer hat 37% mehr kinetische Energie als das Geschoss, doch die Wirkung ist völlig verschieden – das Geschoss gibt seine 640 J auf wenigen Quadratmillimetern Querschnitt und innerhalb von Mikrosekunden ab. Die kinetische Energie nennt die „Gesamtmenge“; wie stark die Wirkung ist, hängt zusätzlich von Fläche, Zeit und Material ab. Genau deshalb werden kinetische Energie, Impuls und Kraftstoß getrennt behandelt. Nebenbei: Ein Tennisball von 58 g, der mit 50 m/s aufgeschlagen wird, hat eine kinetische Energie von 72.5 J.

Beispiel 4: Geschwindigkeit und Masse zurückrechnen

Geschwindigkeit zurückrechnen: Wie schnell muss eine 80 kg schwere Person sein, um 1000 J kinetische Energie zu haben? $v$ leeren, $E_k = 1000$ und $m = 80$ eintragen: $v = \sqrt{2 \times 1000 / 80} = \sqrt{25} = 5$ . Anzeige: Geschwindigkeit v 5.

Beispiel 2 umgekehrt: $E_k = 578703.7037037$ und $m = 1500$ ergeben die Anzeige Geschwindigkeit v 27.77777778, also wieder 100 km/h. Und die Frage „Auf welche Geschwindigkeit bringt eine Kilowattstunde (3 600 000 J) ein Auto von 1500 kg?“: Die Anzeige lautet 69.2820323 m/s, also rund 249 km/h – der theoretische Wert ohne jede Verlustbetrachtung, der zeigt, dass 1 kW·h eine recht große Energiemenge ist.

Masse zurückrechnen: Bei 9 J kinetischer Energie und 3 m/s, $m$ geleert: $m = 2 \times 9 / 9 = 2$ . Anzeige: Masse m 2.

Die lebende Fassung von Abbildung 1: Verschiebt man den Regler für die Masse, skaliert die Parabel insgesamt; die Schrittweite der waagerechten Achse von 1.3889 m/s entspricht 5 km/h

Grundlagen und Herleitung

Der Arbeit-Energie-Satz: woher ½mv² kommt

Wirkt auf einen ruhenden Körper eine konstante resultierende Kraft $F$ und verschiebt ihn um die Strecke $s$ in Kraftrichtung, so verrichtet die Kraft die Arbeit $W = Fs$ . Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz $F = ma$ und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung $v^2 = 2as$ (Anfangsgeschwindigkeit null) gilt

W = Fs = ma \cdot \frac{v^2}{2a} = \tfrac12 m v^2

Die von der resultierenden Kraft verrichtete Arbeit geht vollständig in die „Bewegungsenergie“ des Körpers über, und diese Größe wird als kinetische Energie definiert. Ist die Anfangsgeschwindigkeit nicht null, ergibt dieselbe Herleitung $W_{\text{ges}} = \tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = \Delta E_k$ : Die Arbeit der resultierenden Kraft ist gleich der Änderung der kinetischen Energie – das ist der Arbeit-Energie-Satz. Er ist das Ergebnis der Integration von $F = ma$ entlang des Weges und gilt auch für veränderliche Kräfte ( $W = \int F\,\mathrm ds$ ).

Bremsen ist eine Anwendung des Arbeit-Energie-Satzes: Die 578.7 kJ kinetische Energie aus Beispiel 2 müssen durch negative Arbeit der Bremskraft aufgebraucht werden. Ist die Bremskraft konstant 7500 N, beträgt der Bremsweg $s = E_k / F = 578703.7 / 7500 = 77.16$ m; bei 50 km/h sind es nur 19.29 m – halbe Geschwindigkeit, ein Viertel Bremsweg. Das stimmt genau mit den 77 m überein, die auf der Seite zum zweiten Newtonschen Gesetz in Beispiel 3 mit $a = -5\ \text{m/s}^2$ berechnet werden: dieselbe Sache, zwei Rechenwege.

Warum das Quadrat, und warum das ½

Das Quadrat: Auf die doppelte Geschwindigkeit zu beschleunigen kostet mehr als „noch einmal dasselbe“. Mit derselben Kraft dauert der Schritt von $v$ auf $2v$ genauso lange wie der von 0 auf $v$ , doch in dieser Zeit ist der Körper schneller unterwegs und legt die dreifache Strecke des ersten Abschnitts zurück, die Arbeit der Kraft ist also dreimal so groß – deshalb gilt $E_k(2v) = 4E_k(v)$ . Der Abstand zwischen der Parabel und der grauen Geraden in Abbildung 1 ist genau dieser Effekt.

Das ½: Leibniz führte 1686 die „lebendige Kraft“ (vis viva) $mv^2$ als Erhaltungsgröße ein; nachdem Coriolis 1829 die Arbeit als Kraft mal Weg definiert hatte, wurde die Energie als $\tfrac12 mv^2$ angesetzt, damit „Arbeit = Energieänderung“ ohne Vorfaktor gilt. Das $\tfrac12$ stammt aus der 2 in $v^2 = 2as$ , also aus der Aussage „die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Hälfte der Endgeschwindigkeit“.

Kinetische Energie ist ein Skalar

Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, aber $v^2 = \vec v \cdot \vec v$ ist ein Skalar, die kinetische Energie hat also keine Richtung: 3 m/s nach Osten und 3 m/s nach Westen ergeben dieselbe Energie (Beispiel 1). Das steht in scharfem Gegensatz zum Impuls $\vec p = m\vec v$ : Stoßen zwei gleiche Kugeln frontal zusammen, ist der Gesamtimpuls null, die gesamte kinetische Energie aber nicht. Bei zwei- und dreidimensionalen Bewegungen genügt es, den Betrag der Geschwindigkeit einzusetzen; eine Zerlegung in Komponenten ist nicht nötig.

Einheiten und Größenordnungen der Energie

Das Joule ist eine abgeleitete Einheit: $1\ \text{J} = 1\ \text{N·m} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}^2$ , also die Arbeit, die eine Kraft von 1 N auf einer Strecke von 1 m verrichtet. Setzt man kg und m/s in die Formel ein, erhält man automatisch J; andere Einheitensysteme brauchen entweder einen Umrechnungsfaktor oder liefern andere Einheiten (g und cm/s ergeben erg). Zum Gefühl für Größenordnungen: Ein Apfel, der 1 m herabfällt, setzt etwa 1 J frei, ein gehender Mensch etwa 50–100 J, ein schnell fahrendes Auto etwa $10^5$ – $10^6$ J (Beispiel 2), eine Kilowattstunde $3.6 \times 10^6$ J, die tägliche Nahrung etwa $8 \times 10^6$ J (2000 kcal). Leistung ist die Änderungsrate der Energie, $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$ , kW·h ist also „Leistung × Zeit“ – 1 kW eine Stunde lang.

Grenzen der klassischen Formel

$\tfrac12 mv^2$ ist die Näherung der relativistischen kinetischen Energie $(\gamma - 1)mc^2$ für $v \ll c$ , der relative Fehler beträgt etwa $\tfrac34 (v/c)^2$ : bei $v = 0.1c$ rund 0.75%, bei $v = 0.5c$ schon über 15%. Alle makroskopischen Bewegungen auf der Erde (die schnellste Raumsonde erreicht etwa $10^{-4}c$ ) liegen im klassischen Bereich; Elektronen und Protonen in Beschleunigern dagegen erfordern die relativistische Formel. Eine weitere Grenze ist die Rotation: Ein rollendes Rad hat neben der Translationsenergie auch $\tfrac12 I\omega^2$ , diesen Anteil enthält dieser Rechner nicht.

Annahmen

Punktförmiger Körper in Translation: Der Körper bewegt sich insgesamt mit derselben Geschwindigkeit; Rotationsenergie und innere Bewegung sind nicht enthalten.
Geschwindigkeit $v \ll c$ : Bereich der klassischen Mechanik.
$m$ und $v$ in SI-Einheiten: kg und m/s; die Engine rechnet nicht um.
Die Geschwindigkeit bezieht sich auf ein Bezugssystem: Die kinetische Energie hängt vom Bezugssystem ab; ein Fahrgast im Auto hat relativ zum Auto die Energie null, relativ zum Boden nicht.
Beim Rückrechnen wird die positive Wurzel genommen: $v = \sqrt{2E_k/m}$ ; fehlt der Nenner beim Rückrechnen von Masse oder Geschwindigkeit, wird er als 1 angenommen.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: aus zwei der drei Größen $E_k$ , $m$ , $v$ die jeweils dritte.
Nur näherungsweise: Wohin die Energie beim realen Bremsen oder Stoßen geht (Wärme, Verformung, Schall), steht nicht in der Formel; der Luftwiderstand sorgt dafür, dass zum Beschleunigen mehr Energie nötig ist als $\tfrac12 mv^2$ .
Nicht berechenbar: Rotationsenergie, relativistische kinetische Energie, die gesamte kinetische Energie eines Mehrkörpersystems (jeden Körper einzeln rechnen und addieren), die Geschwindigkeitsverteilung nach einem Stoß (dafür die Impulserhaltung), potenzielle Energie und Energieerhaltung der Mechanik (dafür die Seite zur potenziellen Energie mit dieser Seite kombinieren).
Keine Zusatzfunktionen: Einheitenumrechnung (km/h, g, kW·h, kcal); aus negativer kinetischer Energie gibt es keine Ausgabe.
Numerik: Sehr große oder sehr kleine Werte werden in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt (etwa die kinetische Energie eines Elektrons $\sim 10^{-19}$ J).

Häufige Fehler

km/h nicht in m/s umrechnen: Der Fehler wird quadriert und damit 12.96-fach verstärkt (in Beispiel 2: 7 500 000 gegen 578 704).
Das ½ vergessen: $mv^2$ ist der doppelte Wert der kinetischen Energie; die historische „lebendige Kraft“ war so geschrieben, das heutige Joule ist jedoch über $\tfrac12 mv^2$ definiert.
Annehmen, doppelte Geschwindigkeit bedeute doppelte Energie: Es ist das Vierfache. Bremsweg und Aufprallenergie wachsen quadratisch – das ist die physikalische Begründung von Tempolimits.
Der kinetischen Energie eine Richtung geben: Sie ist ein Skalar; bei umgekehrter Bewegungsrichtung ist sie gleich, und „negative kinetische Energie“ ergibt keinen Sinn.
Kinetische Energie und Impuls verwechseln: Der Impuls $mv$ ist ein Vektor und wächst linear mit $v$ ; die kinetische Energie $\tfrac12 mv^2$ ist ein Skalar und wächst quadratisch mit $v$ . Das Geschoss aus Beispiel 3 hat weniger kinetische Energie als der Läufer, sein Impuls ist aber deutlich kleiner (3.2 gegen 350 kg·m/s).
Kalorien und Kilokalorien: Die „Kalorien“ auf Lebensmitteletiketten sind kcal (4184 J), nicht cal.

Typische Anwendungen

Verkehrssicherheit

Kinetische Energie und Bremsweg bei verschiedenen Geschwindigkeiten; veranschaulichen, dass „20% mehr Tempo 44% mehr Energie“ bedeutet; die Energie, die eine Knautschzone beim Crashtest aufnehmen muss.

Sport und Geräte

Die Abwurfenergie von Bällen und Sportgeräten (Tennis, Baseball, Speer); die kinetische Energie beim Laufen und Radfahren bei verschiedenen Geschwindigkeiten; die Abschätzung der Leistungsabgabe von Fitnessgeräten.

Maschinenbau und Energie

Schwungradspeicher (der translatorische Anteil), die kinetische Energie von Wasser- und Luftströmungen (die Quelle der Leistung $\tfrac12 \rho A v^3$ ), die Schlagenergie von Schmiedehämmern und Rammen.

Lehre

Einführung des Arbeit-Energie-Satzes; die Anschauung des Quadratgesetzes; die Umrechnung von J, kW·h und kcal; der Vergleich von Skalar und Vektor (zusammen mit der Impulsseite).

Häufige Fragen

Warum ist die kinetische Energie positiv, obwohl die Geschwindigkeit negativ ist?

Die Geschwindigkeit wird in der Formel quadriert, $(-3)^2 = 9$ . Die kinetische Energie hängt nur vom Betrag der Geschwindigkeit ab und ist ein Skalar.

Beim Rückrechnen der Geschwindigkeit kommt ein positiver Wert heraus – was ist, wenn der Körper sich in die negative Richtung bewegt?

Das Vorzeichen selbst setzen. Die Engine gibt nur die arithmetische Quadratwurzel zurück.

Worin unterscheiden sich kinetische Energie und Impuls?

Der Impuls $p = mv$ ist ein Vektor und beschreibt, „welcher Kraftstoß nötig ist, um den Körper zu stoppen“; die kinetische Energie $\tfrac12 mv^2$ ist ein Skalar und beschreibt, „welche Arbeit nötig ist, um ihn zu stoppen“. Beide hängen über $E_k = p^2 / (2m)$ zusammen: Das Auto aus Beispiel 2 hat den Impuls 41666.67 kg·m/s, und $41666.67^2 / 3000 = 578703.7$ J.

Wie berechne ich den Bremsweg?

$s = E_k / F$ (bei konstanter Bremskraft). Beispiel 2: 578703.7 J ÷ 7500 N = 77.16 m.

Wie berechnet man die kinetische Energie eines rotierenden Körpers?

Translationsanteil $\tfrac12 mv^2$ plus Rotationsanteil $\tfrac12 I\omega^2$ . Rollt ein homogener Vollzylinder, ist der Rotationsanteil halb so groß wie der Translationsanteil, die gesamte kinetische Energie beträgt $\tfrac34 mv^2$ . Dieser Rechner berechnet nur den Translationsanteil.

Ab welcher Geschwindigkeit braucht man die relativistische Formel?

Der relative Fehler beträgt etwa $\tfrac34(v/c)^2$ . Für höchstens 1% Fehler muss $v < 0.115c \approx 3.5 \times 10^7$ m/s gelten; makroskopische Körper erreichen das nie, in der Teilchenphysik ist die relativistische Formel zwingend.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition phys-kinetic in src/data/formulasScience.ts der CalcX-Engine (compute(known, solveFor) löst in drei Richtungen; beim Rückrechnen der Geschwindigkeit wird die positive Wurzel von Math.sqrt genommen); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019（访问日期：2026-09-09）– die Definition des Joule und die Umrechnungstabellen für Nicht-SI-Einheiten wie eV und kW·h.
NIST, CODATA 2018: electron volt（访问日期：2026-09-09）– $1\ \text{eV} = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}$ J (exakt).
Wikipedia, Kinetic energy（访问日期：2026-09-09）– klassische und relativistische kinetische Energie, Rotationsenergie und der Zusammenhang mit dem Impuls.
Wikipedia, Work (physics) — Work–energy principle（访问日期：2026-09-09）– die Herleitung des Arbeit-Energie-Satzes.
Wikipedia, Vis viva（访问日期：2026-09-09）– die Geschichte von Leibniz' $mv^2$ und dem Faktor $\tfrac12$ .
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics – Definition von Größen und Einheiten für Arbeit, Energie und Leistung.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09