Impulsrechner p = mv: Kraftstoß und Impulserhaltung

Der Impulsrechner löst p = mv: Masse m (kg) und Geschwindigkeit v (m/s) eingeben und den eindimensionalen Impuls p (kg·m/s) erhalten; ebenso lässt sich aus Impuls und Geschwindigkeit die Masse oder aus Impuls und Masse die Geschwindigkeit zurückrechnen. Der Impuls ist die „Bewegungsgröße“ – so Newtons eigene Formulierung – und beantwortet die Frage: Welche Kraft muss wie lange wirken, um diesen bewegten Körper zum Stillstand zu bringen? Und mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich zwei Körper nach einem Zusammenstoß?

Impulsrechner p = mv: Kraftstoß und Impulserhaltung

Über diesen Rechner

Der Impulsrechner löst $p = mv$ : Masse $m$ (kg) und Geschwindigkeit $v$ (m/s) eingeben und den eindimensionalen Impuls $p$ (kg·m/s) erhalten; ebenso lässt sich aus Impuls und Geschwindigkeit die Masse oder aus Impuls und Masse die Geschwindigkeit zurückrechnen. Der Impuls ist die „Bewegungsgröße“ – so Newtons eigene Formulierung – und beantwortet die Frage: Welche Kraft muss wie lange wirken, um diesen bewegten Körper zum Stillstand zu bringen? Und mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich zwei Körper nach einem Zusammenstoß?

Auffahrunfälle, zusammenstoßende Billardkugeln, der Rückstoß eines Gewehrs, der Raketenantrieb und die Frage, warum ein Airbag nützt, sind alles Impulsprobleme. Wie auf den übrigen Physikseiten dieser Website gilt die Konvention „eindimensional mit Vorzeichen“: Zuerst wird eine positive Richtung gewählt, gleichgerichtete Geschwindigkeiten sind positiv, entgegengesetzte negativ, und der Impuls trägt entsprechend ein Vorzeichen – das ist der erste große Unterschied zur kinetischen Energie. SI-Einheiten, Dimensionen und die allgemeine Unterscheidung von Vektoren und Skalaren stehen beim zweiten Newtonschen Gesetz, Arbeit und Energie beim Rechner für kinetische Energie; diese Seite behandelt nur das für den Impuls Eigentümliche: Kraftstoß, Erhaltung und Stöße.

Was er nicht tut: Er berechnet keine Stöße direkt (dafür werden die Impulse vor und nach dem Stoß einzeln berechnet und die Erhaltung von Hand angesetzt), er berechnet keinen Drehimpuls ( $L = I\omega$ ), zerlegt keine zweidimensionalen Vektoren, rechnet keine Einheiten um (km/h und g sind zuerst in m/s und kg umzurechnen) und behandelt nicht den relativistischen Impuls ( $\gamma mv$ ).

Formeln und Variablen

\vec p = m\,\vec v \qquad\text{(eindimensional: }p = mv\text{, }p\text{ und }v\text{ haben dasselbe Vorzeichen)}

Rückrechnung:

m = \frac{p}{v},\qquad v = \frac{p}{m}

Kraftstoß und Erhaltung (rechnet der Rechner nicht direkt, sondern für die Handrechnung):

\vec F\,\Delta t = \Delta\vec p,\qquad \sum \vec p_{\text{vor}} = \sum \vec p_{\text{nach}}\ \text{(Summe der äußeren Kräfte ist null)}

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$m$	Masse	Masse m (kg)	kg	$m > 0$ ; Vorgabe 1
$v$	Geschwindigkeit (mit Vorzeichen)	Geschwindigkeit v (m/s)	m/s	beliebige reelle Zahl; Vorgabe 5. Ein Minuszeichen bedeutet die Gegenrichtung zur positiven Achse
$p$	Impuls	Impuls p (kg·m/s)	kg·m/s = N·s	Ausgabe mit demselben Vorzeichen wie $v$ ; im Rückrechnungsmodus Eingabe
$J = F\Delta t$	Kraftstoß	(wird nicht angezeigt)	N·s	gleich der Impulsänderung $\Delta p$

Einheitenkonsistenz: $\text{kg} \times \text{m/s} = \text{kg·m/s}$ ; aus $F\Delta t = \Delta p$ folgt außerdem $\text{N·s} = \text{kg·m/s}^2 \cdot \text{s} = \text{kg·m/s}$ , beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Einheit. Sie hat keinen eigenen Namen – eines der wenigen „wichtigen, aber namenlosen“ abgeleiteten SI-Einheiten.

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Impuls“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-momentum). Beim Öffnen sind „Masse m“ = 1 und „Geschwindigkeit v“ = 5 vorbelegt, und „Impuls p“ trägt die Markierung „berechnet“ und zeigt 5.
Impuls berechnenMasse und Geschwindigkeit ändern. Die Geschwindigkeit zuerst in m/s umrechnen, eine Bewegung in die Gegenrichtung mit negativem Vorzeichen eintragen.
Masse zurückrechnen„Masse m“ leeren, „Impuls p“ und „Geschwindigkeit v“ eintragen; das Massenfeld wechselt auf „berechnet“ und zeigt $p/v$ .
Geschwindigkeit zurückrechnen„Geschwindigkeit v“ leeren, „Impuls p“ und „Masse m“ eintragen; das Geschwindigkeitsfeld zeigt $p/m$ , das Vorzeichen folgt $p$ .
Stöße rechnenFür jeden Körper den Impuls vor dem Stoß berechnen und beide addieren; nach dem Stoß den Gesamtimpuls und die Gesamtmasse (bei verklebten Körpern) in „Impuls p“ und „Masse m“ eintragen und die gemeinsame Geschwindigkeit zurückrechnen. Siehe Beispiel 3.
Ergebnisse ablesenWerte werden mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen angezeigt. Wird die Masse beim Rückrechnen der Geschwindigkeit als 0 eingetragen, erscheint ∞ (Division durch null).
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert das LaTeX p = mv in die Zwischenablage.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine phys-momentum nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen, die Einheiten sind kg, m/s und kg·m/s.

Beispiel 1: Voreinstellungen und Vorzeichen

Eingaben: $m = 1$ , $v = 5$ . $p = 1 \times 5 = 5$ . Anzeige: Impuls p 5.

Mit $m = 3$ und $v = 4$ : Anzeige 12. Mit $m = 2$ und $v = -3$ : Anzeige −6 – der Körper bewegt sich in die negative Richtung, der Impuls ist negativ. Hier zeigt sich die erste Trennlinie zur kinetischen Energie: Für denselben Körper und denselben Geschwindigkeitsbetrag zeigt die Energieseite 9 J, unabhängig von der Richtung.

Beispiel 2: Auto, Geschoss, Lkw – Größenordnungen des Impulses

Körper	$m$ (kg)	$v$ (m/s)	Anzeige $p$
Auto 100 km/h	1500	27.77777778	41666.66666667
Lkw im Kriechgang	20000	2	40000
Geschoss	0.008	400	3.2
Fußballschuss	0.45	30	13.5
gehender Mensch	70	1.4	98
laufender Mensch	70	5	350

Ein Auto mit 100 km/h und ein 20-Tonnen-Lkw, der mit 2 m/s (7.2 km/h) dahinkriecht, haben fast denselben Impuls – um beide zu stoppen, ist dieselbe „Kraft × Zeit“ nötig. Das Geschoss hat mit 3.2 kg·m/s weniger Impuls als ein Fußball, seine kinetische Energie von 640 J ist aber deutlich größer als die des Balls (202.5 J): Der Impuls wächst linear mit der Geschwindigkeit, die kinetische Energie quadratisch – je höher die Geschwindigkeit, desto größer der Abstand zwischen beiden. Beim Schuss ist der Rückstoßimpuls des Gewehrs ebenfalls 3.2 kg·m/s; wiegt es 4 kg, beträgt seine Rückstoßgeschwindigkeit $3.2 / 4 = 0.8$ m/s – das ist der „Rückstoß“.

Beispiel 3: vollkommen unelastischer Stoß – Impuls bleibt erhalten, kinetische Energie nicht

Ein 2 kg schwerer Gleiter trifft mit 3 m/s auf einen ruhenden 1 kg schweren Gleiter, beide bleiben aneinander haften.

Vor dem Stoß: Mit $m = 2$ und $v = 3$ zeigt die Anzeige 6; der ruhende Gleiter hat den Impuls $1 \times 0 = 0$ . Gesamtimpuls 6 kg·m/s.
Nach dem Stoß: Die verklebten Körper wiegen 3 kg. $v$ leeren, $p = 6$ und $m = 3$ eintragen: Die Anzeige für die Geschwindigkeit lautet 2.
Probe: Mit $m = 3$ und $v = 2$ zeigt die Anzeige 6, genau wie vor dem Stoß – der Impuls ist erhalten.

Und die kinetische Energie? Vor dem Stoß $\tfrac12 \times 2 \times 3^2 = 9$ J, nach dem Stoß $\tfrac12 \times 3 \times 2^2 = 6$ J, also 3 J weniger, die in Verformung, Wärme und Schall umgewandelt wurden. Der Impuls bleibt bei jedem Stoß erhalten (solange keine äußeren Kräfte wirken), die kinetische Energie nur beim vollkommen elastischen Stoß. Das ist der eigentliche Grund, Stöße über den Impuls und nicht über die kinetische Energie zu analysieren.

Abbildung 1: Beispiel 3. Der Gesamtimpuls beträgt vor und nach dem Stoß 6 kg·m/s; die kinetische Energie sinkt von 9 J auf 6 J. Nach rechts ist positiv; bei einem frontalen Zusammenstoß müssten die Impulse mit negativem Vorzeichen addiert werden

Beispiel 4: Rückrechnung und Kraftstoß

Masse zurückrechnen: Bei 12 kg·m/s Impuls und 4 m/s Geschwindigkeit, $m$ geleert: $m = 12 / 4 = 3$ . Anzeige: Masse m 3.

Geschwindigkeit zurückrechnen: Bei 100 kg·m/s Impuls und 0.5 kg Masse, $v$ geleert: $v = 100 / 0.5 = 200$ . Anzeige: Geschwindigkeit v 200. Und mit welcher Geschwindigkeit hätte ein Lkw den Impuls des Autos aus Beispiel 2? Mit $p = 41666.66666667$ und $m = 20000$ lautet die Anzeige 2.08333333 m/s.

Kraftstoß (Handrechnung): Der Fußball aus Beispiel 2 wird aus dem Stand auf 30 m/s geschossen, $\Delta p = 13.5$ kg·m/s; der Fuß berührt den Ball etwa 0.01 s lang, die mittlere Kraft beträgt $F = \Delta p / \Delta t = 13.5 / 0.01 = 1350$ N. Soll das Auto aus Beispiel 2 zum Stehen kommen, ist $\Delta p = 41666.67$ : Bei normalem Bremsen über 5 s liegt die mittlere Kraft bei 8333 N; ein Aufprall auf eine Mauer in 0.1 s ergibt 416 667 N, das 50-Fache. Airbag, Knautschzone und Bungeeseil tun alle dasselbe – sie verlängern $\Delta t$ , sodass dasselbe $\Delta p$ einer kleineren Kraft $F$ entspricht.

Die Eingaben aus dem Zustand „vor dem Stoß“ in Abbildung 1 lassen sich direkt in das Panel übernehmen; ändert man die Geschwindigkeit auf −3, wechselt der Impuls das Vorzeichen, und mit Masse 3 und Geschwindigkeit 2 ergibt sich nach dem Stoß wieder 6.

Grundlagen und Herleitung

Die ursprüngliche Form des zweiten Newtonschen Gesetzes

Newton definiert in den Principia zuerst die „Bewegungsgröße“ als Produkt aus Geschwindigkeit und Menge der Materie – also den Impuls – und schreibt das zweite Gesetz dann als „die Änderung der Bewegung ist proportional zur einwirkenden Kraft“: $\vec F = \dfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}$ . Bei konstanter Masse reduziert sich das auf das Lehrbuch- $F = ma$ (siehe zweites Newtonsches Gesetz); bei veränderlicher Masse (Raketenschub, Sand auf einem Förderband) ist nur die Impulsform korrekt. Der Impuls ist damit „ursprünglicher“ und allgemeiner als $F = ma$ – in der speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik ist der Impuls die Erhaltungsgröße, nicht irgendeine Abwandlung von $mv$ .

Der Kraftstoß-Impuls-Satz

Integriert man $F = \mathrm dp/\mathrm dt$ über die Zeit, ergibt sich $\int F\,\mathrm dt = \Delta p$ . Die linke Seite heißt Kraftstoß $J$ ; bei konstanter Kraft gilt $J = F\Delta t$ . Bei gleicher Impulsänderung ist die nötige Kraft umso kleiner, je länger sie wirkt – in Beispiel 4 unterscheiden sich Bremsen und Maueraufprall um den Faktor 50. Umgekehrt lässt sich aus der gemessenen Kontaktzeit die mittlere Kraft eines Stoßes abschätzen, die gebräuchlichste Abschätzung in der Sportwissenschaft und der Crashsicherheit.

Das steht neben dem Arbeit-Energie-Satz der Energieseite: Kraft mal Zeit ergibt den Impuls, Kraft mal Weg die kinetische Energie. $F\Delta t = \Delta p$ und $Fs = \Delta E_k$ sind dieselbe Gleichung $F = ma$ , einmal über die Zeit und einmal über den Weg integriert.

Warum der Impuls erhalten bleibt

Wirken zwei Körper aufeinander, so sind nach dem dritten Newtonschen Gesetz die Kräfte gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und wirken gleich lange, die Kraftstöße sind also gleich groß und entgegengesetzt: Erhält der eine $+\Delta p$ , bekommt der andere $-\Delta p$ , die Summe bleibt unverändert. Solange auf das System keine äußere Kraft wirkt (oder deren Kraftstoß vernachlässigbar ist – bei sehr kurzen Stoßzeiten meist der Fall), bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Tiefer betrachtet folgt die Impulserhaltung nach dem Noether-Theorem aus der Translationssymmetrie des Raums: Die physikalischen Gesetze sind hier und dort gleich, also bleibt der Impuls erhalten. Damit ist sie ein weit größeres Prinzip als eine „Stoßregel“ und gilt von Billardkugeln bis zu kollidierenden Galaxien.

Einteilung der Stöße

Die Summe der Impulse beider Körper vor dem Stoß sei $P$ . Nach dem Stoß gilt:

Vollkommen unelastisch (verklebt): gemeinsame Geschwindigkeit $v = P / (m_1 + m_2)$ , der größtmögliche Verlust an kinetischer Energie (Beispiel 3).
Vollkommen elastisch: Impuls und kinetische Energie sind erhalten, beide Geschwindigkeiten nach dem Stoß lassen sich bestimmen; bei gleichen Massen tauschen die Körper die Geschwindigkeiten (Billard, Newton-Pendel).
Allgemeiner Stoß: liegt dazwischen und wird über die Stoßzahl $e$ (Trenngeschwindigkeit / Annäherungsgeschwindigkeit) beschrieben; $e = 1$ elastisch, $e = 0$ vollkommen unelastisch.

Dieser Rechner berechnet nur $p = mv$ eines einzelnen Körpers; für einen Stoß müssen Sie mehrere Impulse addieren und dann zurückrechnen – aber genau so wird eine Erhaltungsgleichung ohnehin Zeile für Zeile aufgestellt.

Impuls und kinetische Energie im Vergleich

	Impuls $p = mv$	kinetische Energie $E_k = \tfrac12 mv^2$
Typ	Vektor (mit Richtung / Vorzeichen)	Skalar (stets nicht negativ)
Abhängigkeit von der Geschwindigkeit	linear	quadratisch
Entsteht durch	$F\Delta t$ (Zeit)	$Fs$ (Weg)
Beim Stoß	immer erhalten (ohne äußere Kräfte)	nur beim elastischen Stoß erhalten
Zusammenhang	$E_k = p^2 / (2m)$	Geschoss aus Beispiel 2: $3.2^2 / (2 \times 0.008) = 640$ J

Zwei gleiche Kugeln prallen mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag frontal aufeinander: Der Gesamtimpuls ist null, die gesamte kinetische Energie nicht – die Kugeln können danach vollständig ruhen (die Impulserhaltung erlaubt das), während die kinetische Energie vollständig in Wärme und Verformung übergeht.

Annahmen

Eindimensional, mit Vorzeichen: Alle Geschwindigkeiten liegen auf derselben Geraden; für zweidimensionale Stöße müssen die Erhaltungssätze für die $x$ - und die $y$ -Richtung getrennt aufgestellt werden.
Punktförmige Körper: Die Rotation bleibt außen vor (der Drehimpuls $L = I\omega$ wird getrennt gerechnet).
Klassische Geschwindigkeiten: $v \ll c$ ; der relativistische Impuls $\gamma mv$ ist bei $0.1c$ um 0.5% größer als $mv$ .
Erhaltung setzt fehlende äußere Kräfte voraus: Die Stoßanalyse geht von einer sehr kurzen Stoßzeit aus, sodass der Kraftstoß äußerer Kräfte (Reibung, Gewicht) vernachlässigbar ist.
SI-Einheiten: kg, m/s, kg·m/s; die Engine rechnet nicht um; fehlt der Nenner beim Rückrechnen, wird er als 1 angenommen.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: aus zwei der drei Größen $p$ , $m$ , $v$ die jeweils dritte, auch mit negativen Werten.
Nur näherungsweise: Kontaktzeit und Stoßzahl eines realen Stoßes müssen gemessen werden; die mittlere Kraft ersetzt eine zeitlich veränderliche Kraft.
Nicht berechenbar: der Stoß selbst (die Erhaltungsgleichung ist von Hand aufzustellen, siehe Schritt 5), Vektoren in mehr als einer Dimension, Drehimpuls, der Schub eines Systems mit veränderlicher Masse ( $F = u\,\mathrm dm/\mathrm dt$ ), relativistischer und Photonenimpuls.
Keine Zusatzfunktionen: Einheitenumrechnung sowie die Berechnung von Kraftstoß, Kraft und Zeit (von Hand: $F = \Delta p / \Delta t$ ).
Numerik: Für $m = 0$ beim Rückrechnen der Geschwindigkeit erscheint ∞; sehr große Werte werden in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt.

Häufige Fehler

Das Vorzeichen der Richtung vergessen: Bei einem frontalen Zusammenstoß müssen die beiden Impulse mit entgegengesetzten Vorzeichen addiert werden; werden beide positiv eingetragen, wird aus „aufeinander zu“ ein „in dieselbe Richtung“.
Impuls und kinetische Energie verwechseln: Dass Lkw und Auto denselben Impuls haben, heißt nicht, dass ihre kinetische Energie gleich ist; ein kleiner Impuls des Geschosses heißt nicht, dass seine kinetische Energie klein ist (Beispiel 2).
Annehmen, die kinetische Energie bleibe beim Stoß erhalten: Nur der vollkommen elastische Stoß erhält sie; alltägliche Stöße verlieren kinetische Energie (die 3 J aus Beispiel 3).
km/h nicht in m/s umrechnen: Der Impuls weicht um den Faktor 3.6 ab (die kinetische Energie um 12.96). Details zur Einheitendiskussion auf der Seite zum zweiten Newtonschen Gesetz.
Eine Rakete mit $F = ma$ rechnen: Die Masse ändert sich, hier gilt $F = \mathrm dp/\mathrm dt$ .
Kraftstoß und Kraft verwechseln: Der Kraftstoß in N·s ist „Kraft × Zeit“; ein Airbag verändert die Kraft, nicht den Kraftstoß.

Typische Anwendungen

Verkehrssicherheit

Abschätzung der Geschwindigkeiten vor und nach einem Unfall (Unfallrekonstruktion), die Wirkung von Knautschzone und Airbag (Verlängerung von $\Delta t$ ), der Vergleich der Impulse verschiedener Fahrzeuge.

Sport

Impulsübertrag und mittlere Schlagkraft bei Schlag-, Tritt- und Boxbewegungen (zusammen mit der Kontaktzeit); der Kraftstoß beim Absprung und bei der Landung; der Einfluss des Rückstoßes auf Schießen und Werfen.

Raumfahrt und Maschinenbau

Das Rückstoßprinzip von Raketen und Düsenantrieben (der Impuls der ausgestoßenen Gase entspricht dem Impuls, den das Fluggerät gewinnt), Schmiedehämmer und Rammen, die Abschätzung mechanischer Stoßlasten.

Lehre

Einführung der Impulserhaltung, Unterscheidung elastischer und unelastischer Stöße, Gegenüberstellung von Impuls und kinetischer Energie, die ursprüngliche Form des zweiten Newtonschen Gesetzes.

Häufige Fragen

Was bedeutet ein negativer Impuls?

Der Körper bewegt sich entgegen der gewählten positiven Richtung. Der Impuls ist ein Vektor; in einer Dimension zeigt das Vorzeichen die Richtung an.

Wie berechne ich mit diesem Rechner einen Stoß?

Für jeden Körper den Impuls vor dem Stoß berechnen (Vorzeichen beachten) und beide Werte addieren; beim Verkleben den Gesamtimpuls und die Gesamtmasse in $p$ und $m$ eintragen und die gemeinsame Geschwindigkeit zurückrechnen. Für den elastischen Stoß kommt die Erhaltung der kinetischen Energie als zweite Gleichung hinzu – das ist Handarbeit.

Was bestimmt die „Zerstörungswirkung“ – Impuls oder kinetische Energie?

Beide wirken mit, aber in unterschiedlichen Rollen: Der Impuls bestimmt, wie viel „Kraft × Zeit“ zum Stoppen nötig ist (also die mittlere Aufprallkraft), die kinetische Energie bestimmt, wie viel Energie aufgenommen werden muss (also Verformung und Schaden). Die Vergleichstabelle steht im Abschnitt „Grundlagen“.

Warum kann eine Rakete im Vakuum beschleunigen?

Die ausgestoßenen Gase tragen Impuls nach hinten davon, die Rakete erhält den gleichen Impuls nach vorn – sie muss keine „Luft wegdrücken“. Das ist Impulserhaltung, die $F = ma$ allein nicht erklären kann.

Warum hat der Kraftstoß dieselbe Einheit wie der Impuls?

Die Einheit von $F\Delta t$ ist N·s = kg·m/s² · s = kg·m/s. Der Kraftstoß ist genau die Änderung des Impulses.

Hat Licht einen Impuls?

Ja, $p = E/c = h/\lambda$ , aber es hat keine Ruhemasse, $p = mv$ gilt dafür nicht; dieser Rechner behandelt nur Körper mit Masse.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition phys-momentum in src/data/formulasScience.ts der CalcX-Engine (compute(known, solveFor) löst in drei Richtungen; Feldeinheiten kg / m/s / kg·m/s); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Isaac Newton, Principia (1687), Definitions (Def. II „Bewegungsgröße“) und Axiome (Lex II), englische Übersetzung von Motte（访问日期：2026-09-09）.
Wikipedia, Momentum（访问日期：2026-09-09）– Definition, Erhaltung und relativistische Verallgemeinerung.
Wikipedia, Impulse (physics)（访问日期：2026-09-09）– der Kraftstoß-Impuls-Satz und seine Anwendungen.
Wikipedia, Inelastic collision（访问日期：2026-09-09）– Formeln des vollkommen unelastischen Stoßes und der Verlust an kinetischer Energie.
Wikipedia, Noether's theorem（访问日期：2026-09-09）– der Zusammenhang von Symmetrie und Erhaltungssätzen.
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics – Definition von Größen und Einheiten für Impuls und Kraftstoß.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09