Potenzielle Energie Eₚ = mgh: Höhe, Masse und g

Der Rechner für die potenzielle Energie löst E_p = mgh: Aus der Masse m, der Fallbeschleunigung g und der Höhe h über einem gewählten Bezugsniveau ergibt sich die potenzielle Energie eines Körpers; ebenso lassen sich aus der Energie die Höhe oder die Masse zurückrechnen – wie viel Energie eine 70-kg-Person beim Aufstieg in eine 3 m höhere Etage gewinnt, wie hoch 1000 J sie heben können und wie viel Energie in einem 100 m hohen Stausee pro Tonne Wasser steckt.

Potenzielle Energie Eₚ = mgh: Höhe, Masse und g

Über diesen Rechner

Der Rechner für die potenzielle Energie löst $E_p = mgh$ : Aus der Masse $m$ , der Fallbeschleunigung $g$ und der Höhe $h$ über einem gewählten Bezugsniveau ergibt sich die potenzielle Energie eines Körpers; ebenso lassen sich aus der Energie die Höhe oder die Masse zurückrechnen – wie viel Energie eine 70-kg-Person beim Aufstieg in eine 3 m höhere Etage gewinnt, wie hoch 1000 J sie heben können und wie viel Energie in einem 100 m hohen Stausee pro Tonne Wasser steckt.

$E_p = mgh$ ist die Kurzform für „die negative Arbeit der Gewichtskraft, wenn ein Körper vom Bezugsniveau gleichförmig auf die Höhe $h$ gehoben wird“. Sie ist der gebräuchlichste Einstieg in die Energieerhaltung: Fällt ein Körper, wird potenzielle Energie in kinetische umgewandelt ( $mgh = \tfrac12 mv^2$ ), die Formel steht beim Rechner für kinetische Energie; woher $g$ kommt und welche Einheit und welchen Wert es hat, steht beim zweiten Newtonschen Gesetz. Das Bezugsniveau ist frei wählbar; seine Verschiebung ändert nur den Zahlenwert von $E_p$ , nicht die Energiedifferenz zwischen zwei beliebigen Punkten – darauf kommt diese Seite mehrfach zurück.

Was er nicht tut: Er behandelt keine Höhen in der Nähe des Erdradius (dafür ist $-GMm/r$ nötig, eine Fehlerabschätzung steht weiter unten); er rechnet $g$ nicht zurück; er berechnet weder kinetische Energie noch Geschwindigkeit; und er rechnet keine Einheiten um (kcal und kWh stehen als Umrechnung in den Beispielen).

Formeln und Variablen

E_p = m\,g\,h

Rückrechnung (die beiden in der Engine implementierten Richtungen):

h = \frac{E_p}{m\,g},\qquad m = \frac{E_p}{g\,h}

Symbol	Bedeutung	Feld im Rechner	Einheit	Wertebereich und Hinweise
$m$	Masse	Masse m (kg)	kg	$m > 0$ ; Vorgabe 1
$g$	Fallbeschleunigung	Fallbeschleunigung g (m/s²)	m/s²	Vorgabe 9.80665 (Standardwert $g_0$ ); Mond 1.62, Mars 3.72. Beim Leeren rechnet die Engine mit 9.8
$h$	Höhe über dem Bezugsniveau	Höhe h (m)	m	beliebige reelle Zahl; unterhalb des Bezugsniveaus negativ. Keine Vorgabe
$E_p$	potenzielle Energie	Energie Eₚ (J)	J	Ausgabe; im Rückrechnungsmodus Eingabe. $1\ \text{J} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}^2$

Dimensionsprüfung: $\text{kg} \times \text{m/s}^2 \times \text{m} = \text{N·m} = \text{J}$ . Häufige Umrechnungen: $1\ \text{kcal} = 4184\ \text{J}$ , $1\ \text{kWh} = 3.6 \times 10^6\ \text{J}$ .

So rechnen Sie mit diesem Rechner

Panel öffnenDiese Seite entspricht „Mathematikwerkzeuge → Formeln → Potenzielle Energie“ (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-potential). Beim Öffnen sind „Masse m“ = 1 und „Fallbeschleunigung g“ = 9.80665 vorbelegt, „Höhe h“ ist leer; „Höhe“ und „Energie“ tragen die Markierung „berechnet“ und zeigen 0 – die Engine behandelt das leere $h$ als 0. Das ist kein Ergebnis.
Energie berechnenIn „Höhe h“ die Meterzahl eintragen; die Energie aktualisiert sich sofort. Unterhalb des Bezugsniveaus negative Werte eintragen, die Energie wird dann negativ.
g ändern„Fallbeschleunigung g“ auf 9.8, 9.81 oder auf den Wert eines anderen Himmelskörpers setzen. Wird g geleert, rechnet die Engine nicht mit 9.80665, sondern mit dem Ersatzwert 9.8 (das Feld bleibt leer); für den Standardwert bitte ausdrücklich 9.80665 eintragen.
Höhe zurückrechnen„Höhe h“ leeren und „Energie Eₚ“ eintragen; das Höhenfeld wechselt auf „berechnet“ und zeigt $E_p/(mg)$ .
Masse zurückrechnen„Masse m“ leeren und $g$ , $h$ , $E_p$ eintragen; das Massenfeld zeigt $E_p/(gh)$ .
Ergebnisse ablesenWerte werden mit höchstens 8 Nachkommastellen und ohne abschließende Nullen angezeigt; J in kcal durch 4184 teilen, in kWh durch 3 600 000.
Formel kopierenDie Schaltfläche rechts neben dem Panel-Titel kopiert das LaTeX E_p = mgh in die Zwischenablage.

Rechenbeispiele

Alle vier Beispiele wurden mit compute aus der Engine phys-potential nachgerechnet; die Anzeige erfolgt mit höchstens 8 Nachkommastellen ohne abschließende Nullen, die Einheiten sind kg, m/s², m und J.

Beispiel 1: 1 kg um 1 m anheben

Eingaben: $m = 1$ , $g = 9.80665$ , $h = 1$ . $E_p = 1 \times 9.80665 \times 1 = 9.80665$ . Anzeige: Energie Eₚ 9.80665 – rund 10 J. Das ist $g$ in einer zweiten Lesart: 9.8 Joule pro Kilogramm und Meter. Eine 500-mL-Flasche Wasser benötigt vom Boden bis auf den Tisch (0.75 m) etwa 3.7 J; eine AA-Batterie speichert rund 10 000 J und könnte diese Flasche damit etwa 2 km hochheben.

Beispiel 2: Treppensteigen, Bücherregal und Keller

Treppensteigen: Eine 70-kg-Person steigt 3 m hoch. $m = 70$ , $g = 9.80665$ , $h = 3$ : $E_p = 70 \times 9.80665 \times 3 = 2059.3965$ . Anzeige: Energie Eₚ 2059.3965 – rund 0.49 kcal. Mit $g = 9.8$ zeigt die Oberfläche 2058; die beiden Werte unterscheiden sich um 0.07 %. Zehn Etagen sind etwa 5 kcal und damit weniger als ein Stück Würfelzucker (rund 16 kcal): Der „Verbrauch“ beim Treppensteigen liegt vor allem am Muskelwirkungsgrad (etwa 20 %–25 %) und an der Wärmebildung, nicht an der potenziellen Energie selbst.

Buch im Regal: Ein 0.5 kg schweres Buch steht in 1.2 m Höhe. $m = 0.5$ , $h = 1.2$ : $E_p = 0.5 \times 9.80665 \times 1.2 = 5.88399$ . Anzeige: 5.88399.

Keller: Ein Körper von 2 kg liegt 1.5 m unter dem Erdboden, als Bezugsniveau dient die Erdoberfläche. $m = 2$ , $h = -1.5$ : $E_p = -29.41995$ . Für $h = -3$ zeigt die Oberfläche −58.8399. Das Minuszeichen bedeutet, dass der Punkt unter dem Bezugsniveau liegt, nicht dass Energie „fehlt“: Wählt man den Kellerboden als Bezugsniveau, ist dieser Wert 0, und die Differenz zur Erdoberfläche beträgt weiterhin $2 \times 9.80665 \times 1.5 = 29.4\ \text{J}$ .

Abbildung 1: drei Höhen über demselben Bezugsniveau (Beispiel 2). Ob über Treppe, Aufzug oder Seil – der Zuwachs an potenzieller Energie bis zur gleichen Etage ist gleich

Beispiel 3: aus der Energie Höhe und Masse zurückrechnen

Höhe zurückrechnen: Wie hoch heben 1000 J eine 70-kg-Person? $h$ leeren und $m = 70$ , $g = 9.80665$ , $E_p = 1000$ eintragen: $h = 1000 / 686.4655 = 1.45673745$ . Anzeige: Höhe h 1.45673745 – nicht einmal eine Etage. 1 kcal (4184 J) entspricht 6.09 m, also etwa zwei Etagen.

Masse zurückrechnen: Wie schwer ist ein Körper, der in 10 m Höhe 500 J speichert? $m$ leeren und $g = 9.80665$ , $h = 10$ , $E_p = 500$ eintragen: $m = 500 / 98.0665 = 5.09858106$ . Anzeige: Masse m 5.09858106.

Beispiel 4: Stausee, Mond und Everest

Pumpspeicher: 1000 kg (1 m³) Wasser werden um 100 m angehoben. $m = 1000$ , $g = 9.80665$ , $h = 100$ : $E_p = 980665$ . Anzeige: Energie Eₚ 980665 – 0.272 kWh. Umgekehrt hebt 1 kWh einen Kubikmeter Wasser um 367 m. Ein Pumpspeicherkraftwerk mit 100 m Fallhöhe und einem Speichervolumen von $10^7\ \text{m}^3$ speichert rund 2.7 GWh; genau darauf beruht die Idee, Strom zu speichern, indem Wasser auf den Berg gepumpt wird.

Mond: Dieselbe Person steigt dieselben 3 m, $g = 1.62$ : $E_p = 70 \times 1.62 \times 3 = 340.2$ . Anzeige: 340.2, ein Sechstel des Wertes auf der Erde.

Everest: Eine 70-kg-Person steigt vom Meeresspiegel auf 8849 m: $E_p = 70 \times 9.80665 \times 8849 \approx 6.07 \times 10^6\ \text{J} \approx 1452\ \text{kcal}$ – nur etwa eine Tagesration Nahrung. Der tatsächliche Verbrauch beim Bergsteigen liegt weit darüber, aus demselben Grund wie beim Treppensteigen: Die potenzielle Energie ist nur der Nettoeffekt. Auf dieser Höhe ist $g$ bereits etwa 0.28 % kleiner als auf Meereshöhe; der relative Fehler von $mgh$ gegenüber der exakten Formel $GMm(1/r_1 - 1/r_2)$ beträgt etwa $h/R_\oplus = 0.14\%$ und bleibt damit vertretbar.

inputs='{"m":70,"g":9.80665,"h":3}' outputs="E" Die Eingaben aus Beispiel 2 lassen sich direkt in das Panel übernehmen; setzt man die Höhe auf 6, 9 oder 30, wächst die Energie linear; mit g = 1.62 (Mond), 3.72 (Mars) oder 24.79 (Jupiter) lässt sich der Unterschied für dieselben 3 m vergleichen.

Grundlagen und Herleitung

Von der Arbeit der Gewichtskraft zur potenziellen Energie

Wird ein Körper der Masse $m$ gleichförmig um $h$ angehoben, ist dafür eine nach oben gerichtete Kraft $F = mg$ nötig (zweites Newtonsches Gesetz: Bei der Beschleunigung null ist die aufzuwendende Kraft gleich der Gewichtskraft), und es wird die Arbeit $W = Fh = mgh$ verrichtet. Diese Arbeit verschwindet nicht, sondern ist im System aus Körper und Erde „gespeichert“ und kann beim Fallen als kinetische Energie zurückgewonnen werden – deshalb wird die potenzielle Energie als $E_p = mgh$ definiert. Genauer ist $E_p$ der negative Wert der Arbeit der Gewichtskraft: Beim Heben verrichtet die Gewichtskraft die negative Arbeit $-mgh$ , die potenzielle Energie wächst um $mgh$ .

Unabhängig vom Weg

Die Gewichtskraft ist konservativ: Die Arbeit von A nach B hängt nur von der Höhendifferenz zwischen A und B ab, nicht von der zurückgelegten Strecke. Treppe, Aufzug, Seil oder Serpentinenstraße – bei gleicher Ausgangs- und Endhöhe ist der Zuwachs an potenzieller Energie derselbe. Deshalb genügt für $h$ die „vertikale Höhe“; Hanglänge und Seillänge kommen in der Formel nicht vor. Die drei Szenen in Abbildung 1 lassen sich mit einer einzigen Höhenskala vergleichen.

Bezugsniveau und „negative potenzielle Energie“

Das $h$ in $E_p = mgh$ wird relativ zu einer vereinbarten Fläche $h = 0$ gemessen. Wählt man ein anderes Bezugsniveau, verschieben sich alle $E_p$ -Werte um dieselbe Konstante; die Differenzen bleiben gleich. Physikalische Gesetze handeln nur von Differenzen (Arbeit, Energieerhaltung), das Bezugsniveau ist daher frei. Daraus ergibt sich der negative Wert im Keller von Beispiel 2. In der Himmelsmechanik ist es üblich, den Nullpunkt ins Unendliche zu legen; dann sind die Energien aller gebundenen Bahnen negativ – eine andere Konvention, die $mgh$ nicht widerspricht.

Mechanische Energieerhaltung und $\sqrt{2gh}$

Ohne Luftwiderstand gilt für einen aus der Ruhe um $h$ fallenden Körper: Die potenzielle Energie nimmt um $mgh$ ab, die kinetische um $\tfrac12 mv^2$ zu, beide sind gleich, und es folgt $v = \sqrt{2gh}$ , unabhängig von der Masse. Die Person aus Beispiel 2 erreicht nach einem Sprung aus 3 m die Auftreffgeschwindigkeit $\sqrt{2 \times 9.80665 \times 3} = 7.67\ \text{m/s}$ (rund 28 km/h). Das ist zugleich die Energieform von $v^2 = 2as$ auf der Seite Weg bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung.

Welchen Wert für $g$ verwenden

$g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ ist der 1901 von der dritten Generalkonferenz für Maß und Gewicht festgelegte Standardwert; er dient zur Definition von Einheiten wie dem Kilopond und ist die Vorgabe der Engine. Die tatsächliche Fallbeschleunigung hängt von der geografischen Breite (Äquator 9.780, Pole 9.832) und der Höhe ab (pro Kilometer Anstieg etwa 0.03 % weniger). Lehrbücher verwenden häufig 9.8 oder 9.81; die drei Werte unterscheiden sich um weniger als 0.1 % und damit weit weniger als übliche Messfehler. Sollen mehrere Rechner miteinander verglichen werden, überall denselben Wert verwenden.

Wann $mgh$ nicht mehr genügt

$mgh$ setzt voraus, dass $g$ über den gesamten Höhenbereich konstant ist, also $h \ll R_\oplus = 6371\ \text{km}$ . Die exakte Energiedifferenz ist $GMm\left(\dfrac1{r_1} - \dfrac1{r_2}\right)$ , der relative Fehler beträgt etwa $h/R_\oplus$ : Everest 0.14 %, Internationale Raumstation (400 km) 6 %, geostationäre Bahn (35 786 km) – dort ist $mgh$ völlig unbrauchbar. Für Raketen und Satelliten ist das Gravitationsgesetz zu verwenden.

Annahmen

$g$ ist konstant: Die Höhe ist viel kleiner als der Erdradius.
Ein Bezugsniveau ist gewählt: $h$ ist die senkrechte Höhe über dieser Fläche und kann positiv oder negativ sein.
Die Masse bleibt konstant: Relativistische Effekte und Massenänderungen wie durch Treibstoffverbrauch werden nicht berücksichtigt.
Nur potenzielle Energie im Schwerefeld: Elastische Energie, elektrische Energie und Ähnliches sind nicht enthalten.
SI-Einheiten: kg, m/s², m, J; es wird nicht umgerechnet.
Verhalten der Oberfläche: Ein leeres $h$ geht als 0 ein, deshalb zeigt das Panel beim Öffnen 0; wird $g$ geleert, rechnet die Engine mit dem Ersatzwert 9.8 statt mit der Vorgabe 9.80665.

Geltungsbereich und Grenzen

Berechenbar: aus $m$ , $g$ und $h$ der vierte Wert $E_p$ oder aus $E_p$ die Werte $h$ bzw. $m$ ; negative Höhen und negative Energien werden unterstützt.
Nur näherungsweise: Bei Höhen über einigen Dutzend Kilometern wächst der Fehler etwa mit $h/R_\oplus$ ; auch die Wahl von $g$ hat je nach Quelle eine Unsicherheit in der Größenordnung von 0.1 %.
Nicht berechenbar: $g$ zurückrechnen (von Hand $g = E_p/(mh)$ ); die Fallgeschwindigkeit (über $\sqrt{2gh}$ oder den Rechner für kinetische Energie); Bahnenergien (über $-GMm/r$ ).
Keine Zusatzfunktionen: Einheitenumrechnung (kcal, kWh, kp·m).
Numerik: Rückgerechnete Ergebnisse haben 8 Nachkommastellen; beim Einsetzen entsteht ein Rundungsrest in der letzten Stelle.

Häufige Fehler

Negative potenzielle Energie mit „keine Energie“ verwechseln: Das Minuszeichen bedeutet nur, dass der Punkt unter dem Bezugsniveau liegt (der Keller in Beispiel 2).
Die Hanglänge für $h$ einsetzen: $h$ ist die senkrechte Höhe; wer auf einer 30°-Rampe 10 m zurücklegt, steigt nur um 5 m.
Gewicht und Masse verwechseln: Für $m$ in kg eintragen; ist die Gewichtskraft in N bekannt, ergibt die Division durch $g$ die Masse.
Leeres g für die Vorgabe halten: Nach dem Leeren rechnet die Engine mit 9.8, nicht mit 9.80665 (Schritt 3 im Abschnitt „So rechnen Sie mit diesem Rechner“).
Mit mgh den „Verbrauch“ beim Bergsteigen abschätzen: Die potenzielle Energie ist nur der Nettoeffekt; der Wirkungsgrad des Körpers liegt bei etwa 20 %–25 %, der tatsächliche Verbrauch ist vier- bis fünfmal so hoch.
Bei zu großen Höhen weiter mit mgh rechnen: Für Satelliten und Raketen braucht es die potenzielle Energie des Gravitationsfeldes.
Unterschiedliche Bezugsniveaus übersehen: Wer zwei Körper vergleicht, muss dasselbe Bezugsniveau verwenden.

Typische Anwendungen

Unterricht

Definition der potenziellen Energie, Wahl des Bezugsniveaus und negative Energien; Energieerhaltung $mgh = \tfrac12 mv^2$ ; Arbeit-Energie-Beziehung; die Werte von $g$ .

Energie

Abschätzung von Speichervermögen und Leistung bei Pumpspeicher- und Wasserkraftwerken (zusammen mit Durchfluss und Wirkungsgrad); Untergrenze des Energiebedarfs von Kränen und Aufzügen.

Sport und Gesundheit

Zuwachs an potenzieller Energie und Kalorienumrechnung beim Treppensteigen und Bergsteigen (Wirkungsgrad beachten); Obergrenze der Eintauch- oder Endgeschwindigkeit beim Springen und Bungeespringen.

Technik und Sicherheit

Abschätzung der Aufprallenergie herabfallender Gegenstände ( $mgh$ ist die kinetische Energie beim Aufprall); der Anteil der potenziellen Energie bei Lastannahmen für Stapel und Regale.

Häufige Fragen

Warum ist die Energie beim Öffnen des Panels 0?

Die Höhe ist noch nicht eingetragen, die Engine rechnet $h$ als 0. Sobald eine Höhe eingetragen ist, wird normal gerechnet.

Kann die potenzielle Energie negativ sein?

Ja. Liegt $h$ unter dem Bezugsniveau, ist $E_p$ negativ; das bedeutet nur, dass der Punkt tiefer liegt, und lässt die Energiedifferenz zwischen zwei Punkten unberührt.

9.8, 9.81 oder 9.80665 eintragen?

Nach der Aufgabenstellung oder der geltenden Norm; die Vorgabe der Engine ist 9.80665 (Standardwert $g_0$ ), die drei Werte unterscheiden sich um höchstens 0.1 %. Beachten Sie, dass die Engine nach dem Leeren von g mit 9.8 rechnet.

Ist der Zuwachs an potenzieller Energie gleich, ob man die Treppe nimmt oder den Aufzug?

Ja. Die Gewichtskraft ist konservativ, die potenzielle Energie hängt nur von der Höhendifferenz ab, nicht vom Weg.

Wie berechnet man die Geschwindigkeit beim Aufprall auf dem Boden?

Ohne Luftwiderstand gilt $v = \sqrt{2gh}$ , unabhängig von der Masse; oder man trägt $E_p$ in den Rechner für kinetische Energie ein und rechnet $v$ zurück.

Bis zu welcher Höhe ist mgh genau genug?

Der relative Fehler beträgt etwa $h/R_\oplus$ : bei 10 km rund 0.16 %, bei 400 km rund 6 %. Für Satellitenbahnen ist $-GMm/r$ zu verwenden.

Quellen und weiterführende Literatur

Die Definition phys-potential in src/data/formulasScience.ts der CalcX-Engine (compute(known, solveFor) löst nach E / h / m; Vorgabe für g ist 9.80665, beim Leeren gilt 9.8); alle Zahlen dieser Seite wurden mit dieser Engine nachgerechnet.
Wikipedia, Gravitational energy（访问日期：2026-09-09）– der Zusammenhang zwischen $mgh$ und $-GMm/r$ und die Gültigkeitsbereiche.
Wikipedia, Potential energy — Gravitational potential energy（访问日期：2026-09-09）– konservative Kraft, Wegunabhängigkeit und Bezugsniveau.
NIST, CODATA 2018: standard acceleration of gravity（访问日期：2026-09-09）– $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ .
BIPM, The International System of Units (SI), 9th edition（访问日期：2026-09-09）– die Definition des Joule und die Grundlage der Umrechnung von Kalorien und Kilowattstunden.
Wikipedia, Pumped-storage hydroelectricity（访问日期：2026-09-09）– technische Anwendung und Wirkungsgrad der Energiespeicherung in Pumpspeichern.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09