Diskontierung: Barwert, Endwert und der gemeinsame Faktor

„100 heute sind mehr wert als 100 morgen“ ist das Axiom der gesamten Finanzmathematik. Künftiges Geld in heutigen Wert umzurechnen heißt Abzinsung (Diskontierung, discounting); die Gegenrichtung – heutiges Geld in die Zukunft fortzuschreiben – heißt Aufzinsung (compounding). Beide verwenden denselben Faktor (1+i)^n, einmal multipliziert, einmal dividiert. Der Zinseszinsrechner und der NPV-Rechner sind zwei Richtungen derselben mathematischen Tatsache; dieser Artikel ist ihr gemeinsamer Hintergrund.

Überblick

„100 heute sind mehr wert als 100 morgen“ ist das Axiom der gesamten Finanzmathematik. Künftiges Geld in heutigen Wert umzurechnen heißt Abzinsung (Diskontierung, discounting); die Gegenrichtung – heutiges Geld in die Zukunft fortzuschreiben – heißt Aufzinsung (compounding). Beide verwenden denselben Faktor $(1+i)^n$ , einmal multipliziert, einmal dividiert. Der Zinseszinsrechner und der NPV-Rechner sind zwei Richtungen derselben mathematischen Tatsache; dieser Artikel ist ihr gemeinsamer Hintergrund.

Ein Faktor, zwei Richtungen

Sei $i$ der Zinssatz pro Periode. Ein heutiger Betrag $PV$ wächst über $n$ Perioden der Aufzinsung auf

FV = PV\,(1+i)^{n}

Löst man umgekehrt nach $PV$ auf, ergibt sich die Abzinsung:

PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}}

$(1+i)^{-n}$ heißt Abzinsungsfaktor (Diskontfaktor, discount factor); er rechnet „einen Betrag am Ende der $n$ -ten Periode“ in heutigen Wert um. Im Aufzinsungskontext heißt $i$ Zinssatz, im Abzinsungskontext Diskontsatz – der Name wechselt mit der Richtung, die Mathematik ist dieselbe.

Perioden $n$	Abzinsungsfaktor ( $i=8\%$ )	100 am Ende von Jahr $n$ , auf heute abgezinst
1	0.9259	92.59
2	0.8573	85.73
5	0.6806	68.06
10	0.4632	46.32

Je höher der Diskontsatz und je mehr Perioden, desto „weniger wert“ ist künftiges Geld – das ist keine Inflation (Inflation ist etwas anderes), sondern die Opportunitätskosten des Kapitals: Läge das Geld heute vor, könnte es mit $i$ wachsen.

Vom Abzinsungsfaktor zum NPV

Der Zahlungsstrom eines Projekts besteht aus einer heutigen Investition und späteren Rückflüssen. Zinst man jeden Zahlungsstrom $C_t$ einzeln auf heute ab und summiert, erhält man den Nettobarwert (Net Present Value, NPV):

NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^{t}}

$C_0$ ist meist negativ (Anfangsinvestition; bei $t=0$ wird nicht abgezinst). Ein NPV größer als 0 bedeutet, dass dieser Zahlungsstrom gemessen am Diskontsatz $r$ „profitabel“ ist. Beispiel: Investition 1,000, danach zwei Jahre je 600 Rückfluss, bei $r = 8\%$ :

NPV = -1000 + \frac{600}{1.08} + \frac{600}{1.08^{2}} = -1000 + 555.56 + 514.40 = 69.96

Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Diskontsatz, bei dem der NPV genau null ergibt – betrachtet man den NPV als Funktion von $r$ , ist der IRR der Schnittpunkt der Kurve mit der horizontalen Achse. Er beantwortet die Frage, mit welchem Zinssatz dieser Zahlungsstrom effektiv wächst.

Nominalzins und Effektivzins

Die 5 % in „5 % Jahreszins, monatliche Aufzinsung“ sind der Nominalzins (APR): eine Konvention, bei der der Periodenzins einfach mit der Zahl der Perioden multipliziert wird. Das tatsächliche Wachstum in einem Jahr ist der Effektivzins (EAR):

EAR = \left(1+\frac{r}{m}\right)^{m} - 1

5 % bei monatlicher Aufzinsung entsprechen einem EAR von 5.1162 %. Um zwei Angebote mit unterschiedlicher Aufzinsungsfrequenz zu vergleichen, vergleicht man den EAR; für die Abzinsung von Zahlungsströmen verwendet man den Periodenzins, der zum Zahlungsrhythmus passt. Sind diese beiden Konventionen falsch, ist jede weitere Zahl falsch.

Typische Fehler

Abzinsung mit Inflation verwechseln: Der Diskontsatz spiegelt Opportunitätskosten und Risiko des Kapitals wider; die Inflation ist nur eine mögliche Komponente davon. Nominale Zahlungsströme gehören zu nominalen Diskontsätzen, reale zu realen – nicht mischen.
Die Investition bei $t=0$ abzinsen: Heutiges Geld wird nicht abgezinst; $C_0$ geht direkt ein.
Nominalzinssätze über verschiedene Frequenzen hinweg vergleichen: Bei gleichen 5 % ist die monatliche Aufzinsung effektiv höher als die jährliche, siehe oben zum EAR.
Den IRR für eine Allzweckkennzahl halten: Wechselt der Zahlungsstrom mehrfach das Vorzeichen, ist der IRR möglicherweise nicht eindeutig; beim Vergleich sich ausschließender Projekte ist der NPV verlässlicher als der IRR.

Quellen und weiterführende Literatur

Brealey, R. A., Myers, S. C., Allen, F., & Edmans, A. Principles of Corporate Finance, 14th ed. McGraw Hill, 2022. Kapitel 2 „How to Calculate Present Values“ – die Standardherleitung von Barwert, Annuitäten und Abzinsungsfaktoren.
Wikipedia, Present value（访问日期：2026-09-09）– Barwert und Abzinsungsfaktoren.
Wikipedia, Net present value（访问日期：2026-09-09）– Definition des NPV und Zusammenhang mit dem IRR.