Wie man jeden Modus ausführt 01 Polynom: Koeffizienten von hoch nach niedrig, kommagetrennt eintippen — 1, -6, 11, -6 ist x³ − 6x² + 11x − 6 — und Solve drücken. 02 System: die Größe einstellen (2–6), das [A|b]-Gitter füllen oder eine Matrixvariable aus dem Arbeitsbereich wählen, dann Solve. 03 Wurzeln: einen Ausdruck in x, ein Intervall a < b eingeben und Solve drücken; das Ergebnis listet x₁ ≈ …, jeweils mit |f(x)| und einer Warnzeile, wenn eine Wurzel eine Berührung gerader Vielfachheit ist. 04 Die Urteile lesen. Ein Polynom vom Grad 2 druckt Δ und beide Wurzeln; höhere Grade kommen als Begleitmatrix-Eigenwerte mit dem Hinweis zurück, dass die Methode näherungsweise ist. 05 Die Antwort weitergeben als Vektor an den Arbeitsbereich, einen Berichtsblock oder ein anderes Panel, das Vektoren akzeptiert. Rechenbeispiele
Modus · Eingabe
Ablesung
Polynom 1, -6, 11, -6
x1 = 1.00000000 , x2 = 2.00000000 , x3 = 3.00000000
Polynom 1, 1e8, 1
x₁ = −100000000 , x₂ = −1e-8 , Δ = 9999999999999996
Polynom 1, 0, 1
x₁ = 0.000000+1.000000i , x₂ = 0.000000-1.000000i
System 3×3, [A|b]-Zeilen 2 1 −1 8; −3 −1 2 −11; −2 1 2 −3
x1 = 2.00000000 , x2 = 3.00000000 , x3 = −1.00000000
Wurzeln x^2 - 4, [−10, 10]
x1 ≈ −2 , x2 ≈ 2 , je |f(x)| = 0.00e+0
Wurzeln sin(x), [−10, 10]
7 Wurzeln von x1 ≈ −9.424777961 bis x7 ≈ 9.424777961
Das kubische Polynom faktorisiert als (x−1)(x−2)(x−3), und die Eigenwerte treffen die ganzen Zahlen auf acht Nachkommastellen. Das 3×3-System erfüllt alle drei Zeilen: 2·2 + 3 − (−1) = 8, −6 − 3 + 2·(−1) = −11, −4 + 3 + 2·(−1) = −3.
Warum die kleine Wurzel stimmt Bei x² + 10⁸·x + 1 unterscheiden sich die beiden Wurzeln um acht Größenordnungen, und die Lehrbuchformel verliert die kleine Wurzel größtenteils an Auslöschung: (−b + √Δ)/2a direkt berechnet ergibt −7.45058e-9 , etwa 25.5 % entfernt von der wahren −10⁻⁸. Das Panel nimmt den Zweig, der die Subtraktion vermeidet — q = −(b + sign(b)·√Δ)/2 — und gewinnt die andere Wurzel über Vietas Relation c/q zurück, also druckt es −1e-8 . Die Δ-Zeile zeigt weiterhin die exakt wirkende 9999999999999996 , den Doppelpräzisionswert von 10¹⁶ − 4.
Grenzen
Grad ≥ 3 ist numerisch. Wurzeln höhergradiger Polynome stammen aus Begleitmatrix-Eigenwerten und sind als näherungsweise markiert; erwarten Sie Ausgaben im Stil 1.00000000, keine symbolischen Formen. Der Leitkoeffizient muss ungleich null sein und jeder Koeffizient als Zahl parsen.
Der Wurzeln-Modus durchsucht ein endliches Intervall. Existiert in [a, b] kein Nulldurchgang, sagt er das, statt zu raten; Vorzeichenwechsel an Polen sind ausgeschlossen, und eine Berührung gerader Vielfachheit wird gekennzeichnet. Was es nicht tut. Es löst keine Ungleichungen, Systeme mit mehr als sechs Unbekannten oder symbolische Gleichungen mit Parametern, und es zeigt keine Herleitung — bringen Sie die Gleichung zu Schritt für Schritt für Faktorisieren, quadratische Ergänzung und Substitutionsproben oder zu den Matrix-Werkzeugen für Rang und Determinanten der Systemmatrix. Die Auslöschungsfalle Tippen Sie 1, 1e8, 1 und das Panel antwortet x₂ = −1e-8 . Dieselbe quadratische Gleichung mit der naiven Formel auf Papier oder in einer Tabellenkalkulation ergibt −7.45e-9 — noch nahe null, aber ein relativer Fehler von 25 % auf der Wurzel. Die Lehre verallgemeinert sich: Wenn Koeffizienten sich um viele Größenordnungen unterscheiden, ist die angezeigte Wurzel nur deshalb vertrauenswürdig, weil das Panel die Algebra umordnet; reproduzieren Sie sie nicht von Hand mit dem Lehrbuchausdruck.
Wobei es nützlich ist Einen Fit oder eine Konstruktionsgleichung prüfen Ein Kalibrierungspolynom oder eine charakteristische Gleichung kann als Koeffizienten eingefügt und Wurzel für Wurzel geprüft werden. Das komplexe Paar aus 1, 0, 1 zeigt, dass keine reelle Wurzel existiert, eine reellwertige Konstruktionstabelle hat also nichts zu finden.
Kleine Gleichgewichtssysteme lösen Dreiknoten-Netze, Bilanzgleichungen und Maschenströme reduzieren sich auf 2×2–6×6-Systeme; das erweiterte Gitter nimmt sie direkt auf, und eine Arbeitsbereichsmatrix ist mit einem Klick gewählt. Der LU-Solve druckt acht Nachkommastellen, genug, um eine Handrechnung zu prüfen.
Datenschutz Alle drei Löser laufen lokal in Ihrem Browser; Koeffizienten, Matrizen und Intervalle werden nie hochgeladen.
Referenzen
Wikipedia, Quadratic equation , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— Diskriminante und numerisch stabile Wurzelformen.
Wikipedia, Companion matrix , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— Wurzeln als Eigenwerte der Begleitmatrix.
Wikipedia, Brent's method , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— geklammerte Wurzelfindung auf einem Intervall.
Wikipedia, System of linear equations , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— erweiterte Matrizen und Elimination.
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Sources & review
Updated 2026-10-07