Physik-Sim: Wurf, Pendel, Feder, Orbit & E×B

Der Physics Sim führt sechs klassische Anfangswertprobleme im Browser aus: Wurfbewegung mit optionalem linearem oder quadratischem Luftwiderstand, ein Großwinkelpendel, ein Doppelpendel, ein Feder-Masse-Dämpfer-System, eine Kepler-Zweikörperbahn und ein geladenes Teilchen in gekreuzten E- und B-Feldern. Die Tabs teilen sich eine Engine, eine Integratorauswahl und ein Erhaltungs-Drift-Diagramm; jeder Tab hat seine eigene Adresse (/science/physics/kepler) und Preset-Chips wie Drag-free 45° oder Eccentric e=0.9. Die Einheiten sind SI, der Luftwiderstand ist standardmäßig aus, und g = 9.80665 m/s² gilt in den drei Gravitationssystemen.

更新 2026-10-016 个来源约 5 分钟读完

Wie ein Durchlauf funktioniert

System wählenüber die Tab-Leiste oder die URL öffnen; ein Preset-Chip füllt einen bekannten Fall, und die Gleichungs-Karte nennt das Modell und seine Erhaltungsgröße.
Parameter setzenmit Schiebereglern oder Eingabefeldern: Geschwindigkeit, Winkel in Grad, Masse und g; Pendellänge und -rate; Dämpfung und Steifigkeit; Exzentrizität, Periapsis und μ; Ladung, Felder und Anfangsgeschwindigkeit.
Integrator und Auflösung wählen.Explizites Euler, klassisches RK4, adaptives RK45 (Dormand–Prince) und Velocity Verlet (symplektisch) auf den separablen Systemen; Compare integrators führt alle aus. Außer beim Wurf dauert der Lauf eine Anzahl charakteristischer Perioden (Gyroperioden bei E×B), wobei steps per period die Schrittweite festlegt.
Abspielen, scrollen, ablesen.Abspielen mit 1× bis 16×, die Zeitleiste ziehen, die Spur umschalten; Ergebniskarten tragen die Kernzahlen, und der Konfidenz-Chip nennt die Methode, ihr Residuum und jede gelbe Warnung.
Ergebnis weiterverwenden.Eine Karte veröffentlichen, anheften, einem Bericht hinzufügen oder die Trajektorie als Tabelle und die Hauptreihe als Vektor senden; open with these inputs stellt den Schnappschuss wieder her. Ein hierher gesendeter Ausdruck wird zu einer benutzerdefinierten Federanregung F(t).

Durchgerechnete Beispiele

Jeder Messwert stammt aus diesen Panels mit dem Standard-Integrator (RK4, 400 Schritte pro charakteristischer Periode).

Panel · Eingabe	Messwert
Wurf · Drag-free 45°, v₀ 30 m/s	Reichweite 91.7745 m, maximale Höhe 22.9436 m, Flugzeit 4.32629 s; Abweichung von v₀²sin2θ/g 2.63e-15
Wurf · quadratischer Widerstand, 60 m/s bei 40°, c 0.012	Reichweite 104.524 m, Aufprall 22.694 m/s bei -64.71°, Endgeschwindigkeit 28.587 m/s; widerstandsfreie Reichweite 361.52 m (−71.1%)
Pendel · 60°, L 1 m	exakte Periode 2.153242 s, Kleinwinkel 2.006409 s (-6.819%)
Feder · m 1 kg, c 0.4 N·s/m, k 16 N/m	ω_n 4 rad/s, ζ 0.05, ω_d 3.995 rad/s, c_c 8 N·s/m, Q 10
Kepler · Ellipse e 0.6, r_p 1, μ 1	Periode 24.83647 s, gemessen 24.83645 s, a 2.5, r_p/r_a 1 / 4, Kepler-III-Abweichung 7.43e-7
Doppelpendel · starkes Chaos 180°/90°	Normalmoden 2.6215 / 1.0859 s, λ 1.255 /s (R²=0.945), 1/λ 0.7966 s
E×B-Drift · q 1 C, m 1 kg, Eₓ 1 V/m, B_z 2 T	v_d (0, -0.5) m/s, gemessen (-5.0401e-10, -0.5) m/s, ω_c 2 rad/s, Gyroperiode 3.14159 s, Gyroradius 0.559017 m

Bei den gemeinsamen Werten — R = v₀²sin2θ/g, T = 2π√(a³/μ), v_d = E×B/B² — stimmen Theorie und Simulation auf 1e-7 oder besser überein (2.63e-15 bei der widerstandsfreien Reichweite), und das Panel gibt das Residuum aus.

Annahmen und Grenzen

Ein Modell pro Tab.: Der Wurf startet auf Höhe h₀, der Widerstand ist standardmäßig aus (-bv linear oder -c|v|v quadratisch, wenn aktiviert), und die geschlossene Formel für die Reichweite setzt eine Rückkehr auf die Abwurfhöhe voraus. Das Pendel behält sin θ — das Kleinwinkel-T₀ ist nur eine Vergleichszeile. Die Feder ist ein linearer Dämpfer, angetrieben durch F₀cos ωt oder ein eingegebenes F(t); Kepler ist ein ideales ebenes Zweikörperproblem; E×B nutzt uniforme statische Felder mit B entlang z.
Die Schritte bestimmen die Genauigkeit.: Euler und RK4 mit fester Schrittweite lösen schnelle Durchläufe zu grob auf; das Drift-Diagramm und die gelbe Warnung quantifizieren das und nennen die Abhilfe — adaptives RK45 oder mehr Schritte pro Periode. Messwerte werden für die Anzeige gerundet (meist sechs signifikante Stellen), und die numerische stationäre Amplitude der erzwungenen Feder ist erst sinnvoll, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist.
Was er nicht tut.: Keine starren Körper, Kollisionen, Fluide oder N-Körper, keine Einheitenumrechnung, kein Unsicherheitsbudget: Er integriert Punktmassen in SI. Fehlerbalken gehören zu Uncertainty, Signale und Regler zum Engineering Lab, und typisierte Ausdrücke oder symbolische Arbeit zum scientific calculator und zu Math Tools.

Die Integrator-Falle: eine Bahn, die zu früh schließt

Lade Eccentric e=0.9 im Kepler-Tab (r_p 1, μ 1) und lasse RK4 bei 400 Schritten pro Periode: Die gemessene Periode ist 190.7812 s gegenüber 2π√(a³/μ) = 198.6918 s — eine Kepler-III-Abweichung von 3.98e-2 — mit einem Residuum der Kegelschnitt-Anpassung von 1.36e-1 und der gelben Warnung zur unteraufgelösten Periapsis. Der Schritt kann dem schnellen Periapsis-Durchgang nicht folgen, daher erscheint der Fehler als scheinbare Präzession, und die Ellipse schließt etwa 4% zu früh. Wechsle zu adaptivem RK45, und es steht 198.6918 s, 1.85e-7, 2.53e-7; sogar die Standardellipse mit e = 0.6 löst unter RK4 die Warnung aus (Residuum 3.55e-6), die RK45 beseitigt (1.98e-7).

Wo das Labor eingesetzt wird

Lehre und Studium

Das Pendel macht den Kleinwinkelfehler sichtbar: Bei 5° weicht T₀ nur um -0.048% vom exakten 2.007365 s ab, bei 60° ist es -6.819% kürzer als 2.153242 s, und bei 179° beträgt die Periode 7.82713 s, T/T₀ = 3.90107, Fehler -74.366%. Das Drift-Diagramm lehrt die Integratoren: Über vier Perioden erreicht der Energie-Drift von Euler 4.43e-1, RK4 hält 5.13e-10, und Velocity Verlet schwingt innerhalb von 6.51e-5, ohne anzusteigen.

Ballistik und Sport

Der Widerstand schreibt den Flug um: Ein Wurf mit 60 m/s und 40° bei c = 0.012 landet bei 104.524 m statt 361.52 m (−71.1%), kommt mit -64.71° an, verliert 85.69% seiner mechanischen Energie und zeigt eine Endgeschwindigkeit von 28.587 m/s.

Bahnen und Plasma

Die Bahn mit e = 0.6 liefert a = 2.5, r_p/r_a = 1 / 4, ε = -0.2, h = 1.26491, und der symplektische Lauf hält den Drehimpuls auf 4.39e-15. Im E×B-Tab behält das Preset für negative Ladung v_d = (0, -0.5) m/s — die Drift interessiert weder das Vorzeichen der Ladung noch die Masse.

Referenzen

BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9. Auflage — die im gesamten Labor verwendeten SI-Einheiten. bipm.org （访问日期：2026-10-01）
NIST Special Publication 811, Appendix B.8 — Standard-Erdbeschleunigung 9.806 65 m/s², der Standardwert von g. nist.gov （访问日期：2026-10-01）
Wikipedia, Pendulum (mechanics) — die exakte Periode 4√(L/g)·K(sin θ₀/2) und die Kleinwinkelentwicklung. en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
Wikipedia, Kepler's laws of planetary motion — Einteilung der Bahnen nach Energie und die Periode T = 2π√(a³/μ). en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
Wikipedia, Guiding center — die E×B-Drift v_d = E×B/B², unabhängig von Ladungsvorzeichen und Masse. en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）
Wikipedia, Lyapunov time — exponentielle Trennung benachbarter Trajektorien und der Chaos-Horizont 1/λ. en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）