Distance entre deux points et milieu : calculateur 2D / 3D

À propos de ce calculateur

Le calculateur de distance entre deux points déduit de leurs coordonnées cartésiennes $(x_1, y_1, z_1)$ et $(x_2, y_2, z_2)$ la distance en ligne droite (distance euclidienne) $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ et donne les coordonnées $x$ et $y$ du milieu du segment. En saisissant 0 pour les deux $z$ , il donne la distance entre deux points du plan.

Il répond à des questions comme : à quelle distance sont deux points d'une carte ou d'un plan, quel est l'écart entre deux pixels à l'écran, quel déplacement sépare deux positions successives d'un bras robotique, quelle longueur a l'arête entre deux sommets d'un modèle 3D, « à quel point » deux échantillons se ressemblent en analyse de données. Tout ce qui s'écrit sous forme de coordonnées peut se mesurer avec lui.

Ce qu'il ne fait pas : pas de distance le long d'une route ou d'une grille (c'est la distance de Manhattan ou de la planification d'itinéraire), pas de distance orthodromique entre deux points du globe (les latitudes et longitudes exigent une formule sphérique), pas de coordonnée $z$ du milieu, et pas de conversion d'unités — toutes les coordonnées doivent être dans la même unité de longueur.

Formules et variables

Distance euclidienne entre deux points de l'espace :

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Quand $z_1 = z_2$ (0 pour les deux, par exemple), elle se réduit à la formule du plan, $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . Le milieu du segment est la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités :

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

Symbole	Signification	Champ du calculateur	Unité	Plage et remarques
$x_1, y_1, z_1$	Coordonnées du premier point	x₁, y₁, z₁	longueur	Réel quelconque ; (0, 0, 0) par défaut ; pour un problème plan, z₁ = 0
$x_2, y_2, z_2$	Coordonnées du second point	x₂, y₂, z₂	longueur	Réel quelconque ; (3, 4, 0) par défaut ; pour un problème plan, z₂ = 0
$\Delta x, \Delta y, \Delta z$	Les trois différences de coordonnées	(grandeurs intermédiaires)	longueur	Le signe n'a pas d'importance : le carré l'efface
$d$	Distance entre les deux points	Distance d	longueur	Résultat, $d \ge 0$ ; nulle si les deux points coïncident
$M_x, M_y$	Coordonnées $x$ et $y$ du milieu	Milieu X, Milieu Y	longueur	Résultats ; le moteur ne donne pas le $z$ du milieu, à calculer à la main $(z_1+z_2)/2$

Les six coordonnées doivent être dans la même unité de longueur ; la distance est dans cette unité.

Comment utiliser ce calculateur

Ouvrir le panneaucette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Distance (2D/3D) » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.distance). À l'ouverture, seuls x₁ = 0 et y₁ = 0 sont préremplis ; les quatre autres coordonnées sont vides et comptent pour 0, donc la distance affichée est 0 — saisissez les six coordonnées.
Saisir les deux pointspour un problème plan, mettez 0 pour z₁ et z₂ ; en trois dimensions, saisissez la hauteur réelle. Les coordonnées peuvent être négatives ou décimales.
Lire la distance« Distance d » porte la mention « calculé » et se met à jour en direct, avec au plus 8 décimales et zéros de fin supprimés.
Lire le milieu« Milieu X » et « Milieu Y » sont les moyennes des coordonnées correspondantes ; pour le $z$ du milieu en trois dimensions, calculez $(z_1 + z_2)/2$ vous-même.
Vérifieren échangeant les deux points, distance et milieu ne changent pas ; en donnant les mêmes coordonnées aux deux points, la distance doit valoir 0.

Exemples de calcul

Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur distance ; l'affichage retient au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés.

Exemple 1 : de l'origine à (3, 4, 12)

Entrées : $(0, 0, 0)$ et $(3, 4, 12)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 12$ .
Somme des carrés : $9 + 16 + 144 = 169$ .
$d = \sqrt{169} = 13$ ; milieu $(1.5, 2, 6)$ .

Affichage : distance 13, milieu X 1.5, milieu Y 2. Cet exemple se lit comme deux applications du théorème de Pythagore : la diagonale de la base vaut $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , puis elle forme avec la hauteur 12 un nouveau triangle rectangle, $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ .

Figure 1 : la distance en trois dimensions est la diagonale d’un pavé droit, égale à la diagonale de la base combinée une seconde fois avec Pythagore

Exemple 2 : (1, 2) et (4, 6) dans le plan

Entrées : $(1, 2, 0)$ et $(4, 6, 0)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 0$ .
$d = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; milieu $\big((1+4)/2, (2+6)/2\big) = (2.5, 4)$ .

Affichage : distance 5, milieu X 2.5, milieu Y 4. Comparaison : en suivant la grille (3 horizontalement puis 4 verticalement), la distance de Manhattan vaut 7 ; la distance en ligne droite, 5, ne lui est jamais supérieure.

Exemple 3 : points en trois dimensions avec coordonnées négatives

Entrées : $(-2, 3, 1)$ et $(4, -1, 5)$ .

$\Delta x = 4 - (-2) = 6$ , $\Delta y = -1 - 3 = -4$ , $\Delta z = 5 - 1 = 4$ .
Somme des carrés : $36 + 16 + 16 = 68$ .
$d = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.2462$ ; milieu $(1, 1, 3)$ .

Affichage : distance 8.24621125, milieu X 1, milieu Y 1. Les signes négatifs disparaissent au carré — la distance ne dépend que de la taille des écarts.

Exemple 4 : diagonales du carré et du cube unité

Entrées $(0, 0, 0)$ et $(1, 1, 0)$ : distance 1.41421356 ( $\sqrt 2$ ). Entrées $(0, 0, 0)$ et $(1, 1, 1)$ : distance 1.73205081 ( $\sqrt 3$ ). La diagonale du cube unité de dimension $n$ vaut $\sqrt n$ — plus la dimension est élevée, plus la diagonale est longue par rapport à l'arête.

Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau ; passez z₂ à 0 : la distance redevient 5, celle du plan.

Principes et démonstration

Du théorème de Pythagore à la formule de distance

Soient deux points du plan $P_1(x_1, y_1)$ et $P_2(x_2, y_2)$ . Menons par $P_1$ une horizontale et par $P_2$ une verticale, qui se coupent en $Q(x_2, y_1)$ . Le segment $P_1 Q$ mesure $|\Delta x|$ , le segment $Q P_2$ mesure $|\Delta y|$ et les deux sont perpendiculaires : $P_1 P_2$ est donc l'hypoténuse du triangle rectangle, $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ . C'est le théorème de Pythagore dit dans une autre langue.

En trois dimensions, on recommence : dans le plan horizontal $z = z_1$ , on obtient la diagonale de base $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ , perpendiculaire au déplacement vertical $\Delta z$ , d'où $d^2 = (\Delta x^2 + \Delta y^2) + \Delta z^2$ . Chaque dimension supplémentaire perpendiculaire ajoute un carré sous la racine — voilà pourquoi la distance euclidienne en dimension $n$ s'écrit $\sqrt{\sum_i (\Delta x_i)^2}$ , et pourquoi la « distance » entre deux vecteurs de 100 caractéristiques en science des données utilise encore la même formule.

Pourquoi le milieu est une moyenne

En parcourant le segment de $P_1$ à $P_2$ , chaque coordonnée passe linéairement de $x_1$ à $x_2$ ; à mi-chemin, elle se trouve exactement entre les deux extrémités, soit $(x_1 + x_2)/2$ . Plus généralement, le point situé à la fraction $t$ du segment est $P_1 + t\,(P_2 - P_1)$ : $t = 1/2$ donne le milieu, $t = 1/3$ le point au tiers — c'est la forme géométrique des proportions et de l'interpolation linéaire.

Ce qu'une « distance » doit vérifier

En mathématiques, on appelle distance (métrique) toute fonction satisfaisant quatre propriétés : positivité ; valeur nulle si et seulement si les deux points coïncident ; symétrie ( $d(P, Q) = d(Q, P)$ ) ; inégalité triangulaire ( $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ : un détour n'est jamais plus court). La distance euclidienne les vérifie toutes les quatre et constitue l'expression exacte de l'intuition « la ligne droite est le plus court chemin ». L'inégalité triangulaire explique pourquoi, dans l'exemple 2, la distance de Manhattan (7) dépasse la distance en ligne droite (5).

Au-delà de la distance euclidienne

Distance de Manhattan $|\Delta x| + |\Delta y|$ : la distance parcourue lorsqu'on ne peut se déplacer que le long d'une grille (damier, rues d'une ville, certains routages de circuits).
Distance de Tchebychev $\max(|\Delta x|, |\Delta y|)$ : le nombre de coups que met un roi d'échecs à passer d'une case à une autre.
Distance orthodromique : le plus court chemin à la surface du globe entre deux points, qui exige de convertir latitudes et longitudes ; sa formule relève de la trigonométrie sphérique (haversine) et n'est pas implémentée ici. Sur de petites distances (quelques dizaines de kilomètres), on peut approximer avec la distance euclidienne après conversion proportionnelle des degrés en mètres.

Ces distances satisfont elles aussi les quatre propriétés d'une métrique, mais donnent des valeurs différentes : le choix dépend de « comment on peut se déplacer ».

Lien avec la pente

$\Delta x$ et $\Delta y$ déterminent deux grandeurs à la fois : la racine de la somme de leurs carrés est la distance, leur rapport est la pente. Sur le même triangle rectangle, la distance lit l'hypoténuse et la pente le rapport des deux côtés de l'angle droit.

Hypothèses

Repère cartésien : les trois axes sont perpendiculaires et gradués de la même façon. Des coordonnées obliques ou à échelle non uniforme (latitude/longitude, axes logarithmiques) ne s'y substituent pas directement.
Espace euclidien : la « distance » entre deux points est la longueur du segment, et l'espace est plat.
Même unité : les six coordonnées sont dans la même unité de longueur, et la distance aussi.
$z = 0$ signifie « plan » : pour un problème à deux dimensions, mettez 0 (ou la même valeur) pour z₁ et z₂.
Les six coordonnées doivent être saisies : le panneau ne préremplit que x₁ et y₁ et calcule les autres avec 0 ; saisissez tout comme entrées.
Le milieu n'est donné qu'en x et y : le $z$ du milieu se calcule à la main, $(z_1 + z_2)/2$ .

Champ d'application et limites

Ce qu'il sait calculer: la distance euclidienne et le milieu en x, y de deux points quelconques (coordonnées cartésiennes en 2D ou 3D) ; résultat à 8 décimales au plus.
Ce qu'il ne peut qu'approximer: quand les coordonnées proviennent de mesures, l'erreur sur la distance est la somme des projections des erreurs de coordonnées sur la direction du segment ; remplacer la surface terrestre par un plan sur un petit domaine s'écarte d'autant plus que le domaine grandit.
Ce qu'il ne peut pas calculer: la distance le long d'une grille ou d'une route, la distance orthodromique, la distance d'un point à une droite ou à un plan, le plus court chemin entre plusieurs points.
Ce qu'il ne fait pas: il ne donne ni le $z$ du milieu, ni l'angle ou le vecteur directeur, ne convertit pas les unités et ne juge pas la plausibilité des entrées.
Numérique: avec des coordonnées énormes (comme $10^{200}$ ), les carrés débordent vers l'infini ; aux ordres de grandeur courants, le problème ne se pose pas.

Erreurs fréquentes

Ne saisir que deux coordonnées : le panneau ne préremplit que x₁ et y₁ et traite le reste comme 0, d'où une distance 0 qui ne veut rien dire. Saisissez les six champs.
Oublier d'élever au carré avant la racine : $\Delta x + \Delta y$ n'est pas une distance ; 3 + 4 = 7 est la distance de Manhattan, la distance euclidienne vaut 5.
Avoir peur des signes négatifs : un écart négatif n'est pas un problème, son carré est positif ; dans l'exemple 3, $\Delta y = -4$ contribue pour $+16$ .
Prendre des latitudes et longitudes pour des coordonnées : 1° de longitude vaut environ 111 km à l'équateur mais seulement 56 km à 60° de latitude ; la substitution directe fausse gravement le résultat. Convertissez d'abord en mètres dans le plan ou utilisez la formule orthodromique.
Unités incohérentes : $x$ en mètres et $y$ en centimètres donnent un résultat dénué de sens. Unifiez d'abord.
Confondre le milieu et la moitié de la distance : le milieu est un point (des coordonnées), la moitié de la distance est une longueur ; ce ne sont pas des grandeurs de même nature.
Attendre un $z$ du milieu : le moteur ne donne que les milieux en x et y ; celui en z se calcule à la main.

Cas d'usage typiques

Pédagogie : Pythagore en trois dimensions

Partez de (0, 0, 0)–(3, 4, 0) pour obtenir 5, puis passez z₂ à 12 pour obtenir 13 : les élèves voient les deux étapes, « diagonale de la base » puis « diagonale de l'espace ».

Plans, écrans et CAO

Distance en ligne droite entre deux points cotés ou deux pixels ; le milieu sert d'axe de symétrie ou de position d'annotation. Sur un écran, un axe $y$ dirigé vers le bas ne change pas la distance.

Mécanique et robotique

Longueur du déplacement entre deux poses d'un effecteur, entraxe de deux perçages, distance entre deux points d'un nuage de numérisation 3D.

Analyse de données

La distance euclidienne entre deux échantillons dans l'espace des caractéristiques est la base des algorithmes des $k$ plus proches voisins ou de la classification automatique ; la formule à trois dimensions de ce calculateur en est la version de basse dimension.

Questions fréquentes

Pourquoi la distance affiche-t-elle 0 à l'ouverture ?

Le panneau ne préremplit que x₁ et y₁, les autres coordonnées sont vides et comptent pour 0 : les deux points coïncident à l'origine. Saisissez les six coordonnées pour obtenir un résultat correct.

Comment saisir z pour un problème à deux dimensions ?

Mettez 0 pour les deux $z$ (ou la même valeur) : $\Delta z = 0$ ne change pas le résultat.

Peut-on calculer la distance entre des coordonnées géographiques ?

Pas directement. Latitude et longitude sont des coordonnées angulaires sur une sphère : convertissez-les en mètres dans le plan (petites distances) ou utilisez la formule de la distance orthodromique (grandes distances).

Où est le milieu en Z ?

Le moteur ne le donne pas. Calculez $(z_1 + z_2)/2$ à la main : dans l'exemple 1, le $z$ du milieu vaut 6.

Quelle différence entre distance et déplacement ?

Ce calculateur donne la longueur du segment entre deux points, une grandeur scalaire. Le déplacement possède en plus une direction, portée par le vecteur $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ , dont la longueur est justement cette distance.

Pourquoi le résultat n'est-il pas entier ?

La plupart des combinaisons de coordonnées donnent une distance irrationnelle (comme $\sqrt 2$ ou $\sqrt{68}$ ) ; seuls les triplets pythagoriciens du type 3-4-5 ou 5-12-13 tombent sur un entier. L'interface retient au plus 8 décimales.

Références et pour aller plus loin

Code source du moteur CalcX : définition distance dans src/data/formulas.ts ( $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ , milieu X / Y comme moyenne des coordonnées des extrémités) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Wikipédia, Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）——formules en 2D, 3D et $n$ dimensions, propriétés métriques.
Wikipédia, Midpoint（访问日期：2026-09-08）——formule du milieu et généralisations.
Wikipédia, Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）——comparaison entre distance de Manhattan et distance euclidienne.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. §12.1 « Three-Dimensional Coordinate Systems » — démonstration de la formule de distance en trois dimensions et milieu.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipédia : Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）
Wikipédia : Midpoint（访问日期：2026-09-08）
Wikipédia : Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, §12.1 « Three-Dimensional Coordinate Systems »