Calculateur du théorème de Pythagore : hypoténuse et aire

À propos de ce calculateur

Le calculateur du théorème de Pythagore détermine le troisième côté d'un triangle rectangle à partir de deux côtés quelconques : connaissant les deux côtés de l'angle droit $a$ et $b$ , il donne l'hypoténuse $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; connaissant l'hypoténuse et un côté de l'angle droit, il résout l'autre côté. Il fournit en même temps l'aire du triangle, $ab/2$ .

Dès qu'un problème comporte un angle droit — un mur et le sol, la largeur et la hauteur d'un écran, deux déplacements sur des axes de coordonnées, une échelle contre un mur —, il s'applique : on mesure deux côtés, le troisième se déduit sans mesure. C'est aussi le point de départ de la distance entre deux points, du théorème d'Al-Kashi et de la norme d'un vecteur ; le comprendre, c'est comprendre comment la « longueur » se définit dans un repère cartésien.

Ce qu'il ne fait pas : il ne traite pas les triangles sans angle droit (il faut alors le théorème d'Al-Kashi ou la loi des sinus), il ne vérifie pas si trois côtés donnés peuvent former un triangle, et il ne convertit pas les unités — les trois côtés doivent utiliser la même unité de longueur.

Formules et variables

Soit $a$ et $b$ les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et $c$ l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, donc le plus long) :

a^2 + b^2 = c^2

Il en découle trois sens de résolution, plus l'aire :

c = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad a = \sqrt{c^2 - b^2},\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2},\qquad S = \tfrac{1}{2}\,ab

Symbole	Signification	Champ du calculateur	Unité	Plage et remarques
$a$	Un des côtés de l'angle droit	Cathète a	longueur	$a > 0$ ; 3 par défaut
$b$	L'autre côté de l'angle droit	Cathète b	longueur	$b > 0$ ; 4 par défaut
$c$	Hypoténuse	Hypoténuse c	longueur	$c > a$ et $c > b$ ; en résolution inverse, aucune solution si $c \le$ au côté connu
$S$	Aire	Aire	longueur²	Résultat, $S = ab/2$ , significatif seulement lorsque les deux côtés de l'angle droit sont connus

Les trois côtés doivent utiliser la même unité de longueur (tous en mètres, tous en centimètres, tous en pixels…) ; l'aire s'exprime dans le carré de cette unité.

Comment utiliser ce calculateur

Ouvrir le panneaucette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Théorème de Pythagore » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.pythagorean). À l'ouverture, les deux premiers champs sont préremplis avec $a = 3$ et $b = 4$ et l'hypoténuse ainsi que l'aire sont calculées automatiquement.
Calculer l'hypoténusemodifiez « Cathète a » et « Cathète b » ; les champs marqués « saisi » sont les vôtres, ceux marqués « calculé » se mettent à jour en direct. L'hypoténuse $c$ et l'aire sont données simultanément.
Résoudre un côté de l'angle droitvidez « Cathète a » (ou b), saisissez la longueur de l'hypoténuse dans « Hypoténuse c » et laissez l'autre côté saisi ; le côté vidé passe en « calculé » et affiche le résultat.
Lire le résultatla valeur s'affiche avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés, par exemple $\sqrt{2}$ s'écrit 1.41421356. Si, en résolution inverse, l'hypoténuse n'est pas plus grande que le côté connu, le champ du résultat reste vide : cela signifie que les données ne forment pas un triangle rectangle.
Copier la formulele bouton de copie à droite du titre du panneau place le texte de la formule a² + b² = c² dans le presse-papiers, pour le coller dans un devoir ou un document.

Exemples de calcul

Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur pythagorean ; l'affichage retient au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés.

Exemple 1 : le classique 3-4-5

Entrées : $a = 3$ , $b = 4$ .

$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$ .
$c = \sqrt{25} = 5$ .
Aire $S = 3 \times 4 / 2 = 6$ .

Affichage : hypoténuse 5, aire 6. C'est le plus petit triplet pythagoricien d'entiers ; le Zhoubi Suanjing le résume par la formule « crochet 3, jambe 4, corde 5 ».

Figure 1 : le triangle rectangle de l'exemple 1. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long

Exemple 2 : résoudre un côté à partir de l'hypoténuse

Entrées : $c = 13$ , $b = 5$ (a vidé).

$c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144$ .
$a = \sqrt{144} = 12$ .

Affichage : cathète a 12. Notez que le champ « Aire » affiche 0 : le moteur ne calcule l'aire que lorsque les deux côtés de l'angle droit sont des valeurs saisies, et le $a$ obtenu par résolution n'entre pas dans ce calcul. Pour obtenir l'aire, saisissez 12 dans « Cathète a » et videz l'hypoténuse : vous obtiendrez 30.

Exemple 3 : le problème de l'échelle

Une échelle de 6.5 m est posée contre un mur, son pied à 2.5 m du mur : à quelle hauteur arrive-t-elle ? Ici, l'hypoténuse est l'échelle, et les côtés de l'angle droit sont la « distance au mur » et la « hauteur ».

Entrées : $c = 6.5$ , $a = 2.5$ (b vidé).

$c^2 - a^2 = 42.25 - 6.25 = 36$ .
$b = \sqrt{36} = 6$ .

Affichage : cathète b 6. Inversement, si l'on connaît une distance au mur de 2.5 m et une hauteur de 6 m, les entrées $a = 2.5$ et $b = 6$ donnent une hypoténuse de 6.5 et une aire de 7.5.

Exemple 4 : résultats irrationnels et diagonale d'écran

Entrées : $a = 1$ , $b = 1$ : $c = \sqrt{2}$ , l'interface affiche 1.41421356 (8 décimales) et une aire de 0.5. C'est la première longueur dont l'histoire a démontré qu'elle n'est pas une fraction.

Entrées : $a = 1920$ , $b = 1080$ (la largeur et la hauteur en pixels d'un écran 1080p) : la diagonale vaut 2202.90717008 pixels. Si cet écran est annoncé 27 pouces (27 in de diagonale), alors en prenant $c = 27$ et $b = 13.24$ (la hauteur), la résolution inverse donne une largeur de 23.53088184 in — « 27 pouces » désigne la diagonale, pas la largeur.

Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau pour le reproduire ; en remplaçant a et b par 1, l'hypoténuse devient 1.41421356.

Principes et démonstration

Pourquoi la somme des carrés des côtés de l'angle droit égale le carré de l'hypoténuse

La démonstration la plus intuitive est un puzzle. Prenons un grand carré de côté $a + b$ et découpons-le de deux façons :

Première découpe : placer un point sur chacun des quatre côtés et partager le grand carré en quatre triangles rectangles identiques (de côtés de l'angle droit $a$ et $b$ ) et un carré incliné au centre. Le côté de ce carré incliné est précisément l'hypoténuse $c$ du triangle rectangle : l'aire centrale vaut donc $c^2$ .
Seconde découpe : assembler les mêmes quatre triangles deux par deux pour former deux rectangles $a \times b$ placés dans deux coins du grand carré ; il reste exactement un carré $a \times a$ et un carré $b \times b$ , d'aire totale $a^2 + b^2$ .

Les deux découpes utilisent les quatre mêmes triangles et le même grand carré, donc les aires restantes doivent être égales : $c^2 = a^2 + b^2$ .

Figure 2 : deux découpes du même (a+b)². Les quatre triangles sont identiques, donc c² = a² + b²

Les Éléments d'Euclide donnent une autre démonstration à la proposition 47 du livre I — construire des carrés sur les trois côtés et montrer que la somme des aires des deux petits carrés égale celle du grand — et la proposition 48 établit la réciproque : si un triangle vérifie $a^2 + b^2 = c^2$ , il est nécessairement rectangle. C'est cette réciproque qui fonde la méthode de chantier « 3-4-5 » pour tracer un angle droit : un triangle dont les trois segments mesurent 3, 4 et 5 a un angle de 90° exactement.

C'est en fait la définition de la distance

Dans un repère cartésien, les deux déplacements $\Delta x$ et $\Delta y$ entre $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ sont perpendiculaires : la distance en ligne droite entre les deux points est donc l'hypoténuse, $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . C'est la formule du calculateur de distance entre deux points ; en passant à trois dimensions, il suffit d'appliquer Pythagore une seconde fois (calculer d'abord la diagonale de la base, puis la combiner avec la hauteur dans un nouveau triangle rectangle). La norme d'un vecteur, le module d'un nombre complexe et l'écart-type en statistique (racine de la somme des carrés des écarts) relèvent de la même expression.

Relation avec le théorème d'Al-Kashi

Pour un triangle quelconque, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . Lorsque l'angle $C = 90°$ , $\cos C = 0$ et le dernier terme disparaît : on retrouve le théorème de Pythagore. Celui-ci est donc un cas particulier du théorème d'Al-Kashi en présence d'un angle droit ; réciproquement, la comparaison de $c^2$ avec $a^2 + b^2$ permet de dire si l'angle est aigu ( $c^2 < a^2+b^2$ ) ou obtus ( $c^2 > a^2+b^2$ ).

Les triplets pythagoriciens

Un triangle rectangle dont les trois côtés sont des entiers s'appelle un triplet pythagoricien. Les plus petits :

$(a, b, c)$	Vérification
(3, 4, 5)	$9 + 16 = 25$
(5, 12, 13)	$25 + 144 = 169$
(8, 15, 17)	$64 + 225 = 289$
(7, 24, 25)	$49 + 576 = 625$
(20, 21, 29)	$400 + 441 = 841$

La formule d'Euclide engendre tous les triplets primitifs : en prenant des entiers $m > n$ premiers entre eux et de parités différentes, on pose $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ , $c = m^2 + n^2$ . Pour $m = 2, n = 1$ , on obtient (3, 4, 5) ; pour $m = 3, n = 2$ , (5, 12, 13). Tout triplet multiplié par un même facteur reste un triplet — (6, 8, 10) et (0.3, 0.4, 0.5) donnent également des résultats ronds dans le calculateur.

Histoire

La tablette babylonienne Plimpton 322 (vers 1800 av. J.-C.) énumère déjà de nombreux triplets pythagoriciens ; en Chine, le Zhoubi Suanjing rapporte la règle « crochet 3, jambe 4, corde 5 » et le chapitre « Gougu » des Neuf Chapitres sur l'art mathématique expose systématiquement la résolution de problèmes par le théorème, avec la « figure de la corde » de Zhao Shuang pour illustration — précisément la démonstration par réarrangement ci-dessus ; l'école pythagoricienne (vers le 6e siècle av. J.-C.) est créditée de la première démonstration générale, et c'est aussi elle qui, en découvrant $\sqrt{2}$ , a pris conscience de l'existence de longueurs non exprimables par une fraction. En chinois ancien, « gou » et « gu » désignaient les deux côtés de l'angle droit (le plus court étant le gou) et « xian » l'hypoténuse.

Elle n'est vraie que dans le plan

Le théorème de Pythagore appartient à la géométrie euclidienne plane. Sur une sphère, deux grands cercles orthogonaux $a$ et $b$ et le troisième côté $c$ vérifient $\cos c = \cos a \cos b$ (sphère unité) ; on ne retrouve $a^2 + b^2 = c^2$ qu'en première approximation, quand les trois côtés sont très petits devant le rayon de la sphère. Sur une carte, on peut utiliser Pythagore sans crainte sur quelques dizaines de kilomètres, mais une distance intercontinentale exige la formule sphérique.

Hypothèses

Le triangle est bien rectangle : l'angle entre $a$ et $b$ vaut exactement 90°. Même à quelques degrés près, l'hypoténuse s'écarte de $\sqrt{a^2+b^2}$ (l'écart s'estime avec le théorème d'Al-Kashi).
Géométrie plane : les trois côtés sont dans un même plan, et ce plan est euclidien ; le théorème ne s'applique pas sur une surface courbe (la surface terrestre sur de grandes distances).
Même unité : les trois côtés sont saisis dans la même unité de longueur ; l'unité d'aire est automatiquement son carré.
Réels positifs finis : les longueurs sont positives ; le moteur n'interdit ni les valeurs négatives ni 0, mais une longueur nulle ou négative n'a pas de sens géométrique.
Convention pour l'aire : l'aire n'est calculée qu'à partir des deux côtés de l'angle droit saisis ; en mode inverse, le champ d'aire affiche 0, ce qui ne signifie pas que l'aire est nulle.

Champ d'application et limites

Ce qu'il sait calculer: le troisième côté et l'aire de tout triangle rectangle dont deux côtés sont connus, y compris la résolution d'un côté de l'angle droit ; le résultat est affiché avec 8 décimales (zéros de fin supprimés).
Ce qu'il ne peut qu'approcher: lorsque les mesures sont elles-mêmes entachées d'erreur, l'erreur du résultat vaut environ $\Delta c \approx (a\,\Delta a + b\,\Delta b)/c$ ; les 8 décimales affichées ne traduisent pas une précision de mesure.
Ce qu'il ne peut pas calculer: les triangles non rectangles (théorème d'Al-Kashi), le cas où l'on ne connaît qu'un côté et un angle (trigonométrie), les « triangles » sphériques ou situés sur une surface courbe.
Ce qu'il ne fait pas: il ne vérifie pas l'inégalité triangulaire, ne convertit pas les unités et ne renvoie pas d'angles.
Numérique: le carré de très grandes valeurs (comme $10^{200}$ ) déborde en infini ; le moteur calcule directement $a^2 + b^2$ au lieu d'utiliser la fonction hypot, numériquement plus robuste, ce qui n'a aucune incidence aux ordres de grandeur usuels.

Erreurs fréquentes

Saisir l'hypoténuse dans un champ de côté de l'angle droit : l'hypoténuse est toujours le côté le plus long, opposé à l'angle droit. En saisissant 5 dans a et 3 dans b, l'« hypoténuse » obtenue, 5.83, ne correspond à aucun côté du triangle d'origine.
Saisir une hypoténuse plus courte qu'un côté en résolution inverse : $c^2 - b^2$ devient négatif et le résultat est vide. Vérifiez d'abord quel côté est l'hypoténuse.
Mélanger les unités de deux côtés : un côté en mètres et l'autre en centimètres donnent un résultat dénué de sens. Convertissez d'abord dans la même unité.
Oublier la racine carrée : $3^2 + 4^2 = 25$ donne $c^2$ , pas $c$ ; le calculateur extrait la racine, mais c'est l'étape la plus souvent oubliée dans un calcul à la main.
L'appliquer à un triangle non rectangle : le troisième côté d'un triangle isocèle ou quelconque ne se calcule pas ainsi, sauf à avoir d'abord prouvé la présence d'un angle droit.
L'aire à 0 en mode inverse : voir « Hypothèses » — c'est la convention du moteur, pas une aire nulle.
Prendre « 27 pouces » pour la largeur : la taille annoncée d'un écran ou d'un téléviseur est la diagonale ; largeur et hauteur se déduisent avec le théorème et le rapport d'aspect.

Cas d'usage typiques

Pédagogie : des nombres aux figures

Saisissez d'abord quelques triplets pythagoriciens (3-4-5, 5-12-13) pour obtenir des résultats entiers, puis 1-1 pour voir $\sqrt{2}$ , et enfin fixez $a$ en augmentant progressivement $b$ pour observer l'hypoténuse se rapprocher de $b$ — une façon concrète d'aborder la somme des carrés, la racine carrée et les limites.

Chantier et aménagement : tracer un angle droit, vérifier une diagonale

Mesurez 3 m puis 4 m au sol : si la diagonale vaut exactement 5 m, l'angle est droit ; pour la pose de carrelage ou la fabrication d'un meuble, contrôlez l'équerrage en mesurant la diagonale. Inversement, connaissant la longueur et la largeur d'une pièce, le calculateur donne la diagonale, ce qui permet de savoir si un panneau entier passe par la porte en biais.

Écrans et cadrages

Calculer la diagonale en pixels à partir de la largeur et de la hauteur en pixels (puis la densité en ppp avec la taille annoncée), ou retrouver la largeur et la hauteur réelles à partir de la diagonale en pouces et du rapport d'aspect.

Coordonnées et navigation

La distance en ligne droite entre deux points d'un repère cartésien, le déplacement résultant de deux axes d'un robot, ou le triangle des impédances en électricité (résistance, réactance, impédance) sont des applications directes du théorème de Pythagore.

Questions fréquentes

Peut-on le calculer avec un seul côté et un angle ?

Pas avec ce calculateur, qui exige deux côtés. Un côté et un angle aigu relèvent de la trigonométrie : côté opposé = hypoténuse × sin(angle), côté adjacent = hypoténuse × cos(angle).

Je connais les trois côtés ; comment savoir si le triangle est rectangle ?

Prenez le côté le plus long pour $c$ et vérifiez si $a^2 + b^2$ égale $c^2$ (en tolérant un petit écart dû aux erreurs de mesure). S'il y a égalité, l'angle est droit (réciproque) ; si $a^2 + b^2$ est plus petit, l'angle est obtus ; s'il est plus grand, il est aigu.

Pourquoi le résultat a-t-il autant de décimales ?

L'hypoténuse de la plupart des triangles rectangles est irrationnelle, avec un développement décimal infini non périodique ; l'interface en conserve au plus 8, zéros de fin supprimés. En pratique, arrondissez selon la précision de vos mesures.

Pourquoi l'aire affiche-t-elle 0 en résolution inverse ?

Le moteur ne calcule l'aire qu'avec les deux côtés de l'angle droit saisis, et n'y réinjecte pas le côté résolu. Saisissez le résultat dans le champ du côté de l'angle droit et videz l'hypoténuse : l'aire s'affichera correctement.

Que se passe-t-il si je saisis un nombre négatif ?

Le carré efface le signe : l'hypoténuse est la même que pour la valeur positive, mais l'aire devient négative. Une longueur négative n'a pas de sens géométrique : saisissez des nombres positifs.

Comment calculer une diagonale en trois dimensions ?

Calculez d'abord la diagonale de la base avec les deux côtés de cette base, puis reprenez-la avec la hauteur comme nouveaux côtés de l'angle droit ; ou utilisez directement le calculateur de distance entre deux points en saisissant des coordonnées 3D.

Références et pour aller plus loin

Code source du moteur CalcX src/data/formulas.ts, définition pythagorean (compute(known, solveFor) résout a / b / c dans les trois sens, plus l'aire) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Euclide, Éléments, livre I, proposition 47 et proposition 48, édition commentée de D. E. Joyce, Clark University（访问日期：2026-09-08）——démonstrations classiques du théorème et de sa réciproque.
Wikipédia, Pythagorean theorem（访问日期：2026-09-08）——nombreuses démonstrations, généralisations et histoire.
Wikipédia, Pythagorean triple（访问日期：2026-09-08）——formule de génération d'Euclide et triplets primitifs.
Wikipédia, Zhoubi Suanjing（访问日期：2026-09-08）——le Zhoubi Suanjing et la règle « crochet 3, jambe 4, corde 5 ».
Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, livre IX « Gougu », commentaire de Liu Hui, et Commentaire du Zhoubi Suanjing de Zhao Shuang avec sa « figure de la corde » —— sources chinoises classiques de la démonstration par réarrangement.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09