Calculateur d'aire du trapèze : bases, hauteur, résolutions
À propos de ce calculateur Le calculateur d'aire du trapèze déduit l'aire A = ( a + b ) h / 2 A = (a + b)\,h / 2 A = ( a + b ) h /2 a a a b b b h h h
Le trapèze est un quadrilatère « dont deux côtés opposés sont parallèles », plus fréquent dans la vie réelle qu'on ne le croit : sections de canaux et de fossés, versants de toiture, parcelles en forme d'échelle, panneaux latéraux d'escalier, profils de digues, développés de tronc de cône. Toute région découpée par deux droites parallèles a pour aire « la longueur moyenne des deux côtés parallèles × la hauteur ».
Ce qu'il ne fait pas : il n'a pas besoin des deux côtés obliques (les jambes) et ne les accepte pas — l'aire ne dépend pas d'eux ; il ne vérifie pas que les trois nombres donnés forment un trapèze concret ; il ne calcule pas le périmètre (il faudrait les jambes) ; il ne convertit pas les unités.
Comment utiliser ce calculateur 01 Ouvrir le panneau cette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Trapèze » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.trapezoid). À l'ouverture, Base a = 4 et Base b = 8 sont déjà saisies et Hauteur h est vide , comptée pour 0 : l'aire initiale affiche donc 0 — commencez par saisir la hauteur (l'exemple par défaut utilise 5). 02 Calculer l'aire une fois les trois longueurs saisies, « Aire A » porte la mention « calculé » et se met à jour en direct, avec au plus 8 décimales et zéros de fin supprimés. 03 Résoudre la hauteur à partir de l'aire videz « Hauteur h », saisissez l'aire dans « Aire A » en conservant a a a b b b 04 Résoudre une base à partir de l'aire videz « Base a », saisissez l'aire, la base b b b 05 Mesurer la hauteur, pas la jambe la hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases parallèles. Si l'on ne dispose que de la jambe c c c α \alpha α h = c sin α h = c\sin\alpha h = c sin α h = c 2 − ( ( b − a ) / 2 ) 2 h = \sqrt{c^2 - \big((b-a)/2\big)^2} h = c 2 − ( ( b − a ) /2 ) 2 Exemples de calcul Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur trapezoid ; l'affichage retient au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés.
Exemple 1 : les valeurs par défaut du panneau, 4, 8 et 5
Somme des bases : a + b = 12 a + b = 12 a + b = 12 m = 6 m = 6 m = 6
A = 12 × 5 / 2 = 30 A = 12 \times 5 / 2 = 30 A = 12 × 5/2 = 30
Affichage : aire 30 . S'il s'agit d'un trapèze isocèle, chaque jambe mesure 5 2 + 2 2 = 5.385 \sqrt{5^2 + 2^2} = 5.385 5 2 + 2 2 = 5.385
Figure 1 : l’exemple 1 et sa démonstration. Deux trapèzes identiques forment exactement un parallélogramme Exemple 2 : nombres décimaux — 3.5, 6.5, 2
a + b = 10 a + b = 10 a + b = 10 m = 5 m = 5 m = 5 A = 10 × 2 / 2 = 10 A = 10 \times 2 / 2 = 10 A = 10 × 2/2 = 10
Affichage : aire 10 . C'est la section d'un fossé large de 2 m dont les deux berges mesurent 3.5 m et 6.5 m (en m²).
Exemple 3 : résoudre la hauteur à partir de l'aire
Une parcelle trapézoïdale a une aire de 30 m² et des bases parallèles de 4 m et 8 m : à quelle distance sont-elles ? Videz la hauteur, saisissez l'aire 30, a = 4 et b = 8.
h = 2 A / ( a + b ) = 60 / 12 = 5 h = 2A/(a + b) = 60/12 = 5 h = 2 A / ( a + b ) = 60/12 = 5
Affichage : hauteur 5 .
Exemple 4 : résoudre une base à partir de l'aire
Aire 48, base b 10, hauteur 6 : quelle est la base a ? Videz la base a, saisissez l'aire 48, b = 10 et h = 6.
a = 2 A / h − b = 96 / 6 − 10 = 16 − 10 = 6 a = 2A/h - b = 96/6 - 10 = 16 - 10 = 6 a = 2 A / h − b = 96/6 − 10 = 16 − 10 = 6
Affichage : base 6 . En remplaçant l'aire par 10 (le reste inchangé), on obtient 20 / 6 − 10 = − 6.67 20/6 - 10 = -6.67 20/6 − 10 = − 6.67
Deux cas extrêmes
Base a = 0 (a = 0, b = 8, h = 5) : aire 20 , la formule dégénère en triangle b h / 2 bh/2 bh /2 24 , la formule dégénère en parallélogramme b h bh bh
Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau ; passez la base a à 8 : l'aire devient 40 (parallélogramme) ; passez-la à 0 : l'aire devient 20 (triangle).
Principes et démonstration Puzzle : deux trapèzes = un parallélogramme
Copiez le trapèze, faites-le pivoter de 180° et collez-le le long d'une jambe : les deux bases s'enchaînent bout à bout et l'on obtient un parallélogramme de base a + b a + b a + b h h h = ( a + b ) h = (a + b)h = ( a + b ) h A = ( a + b ) h / 2 A = (a + b)h/2 A = ( a + b ) h /2
Découpage : une diagonale, deux triangles
En coupant le trapèze le long d'une diagonale, on obtient deux triangles de bases a a a b b b h h h A = 1 2 a h + 1 2 b h = 1 2 ( a + b ) h A = \tfrac12 ah + \tfrac12 bh = \tfrac12(a + b)h A = 2 1 ah + 2 1 bh = 2 1 ( a + b ) h a a a
La médiane : redresser le trapèze en rectangle
Le segment qui joint les milieux des deux jambes s'appelle la médiane et mesure m = ( a + b ) / 2 m = (a + b)/2 m = ( a + b ) /2 m × h m \times h m × h A = m h A = m h A = mh l'aire d'un trapèze, c'est « largeur moyenne × hauteur » . C'est aussi l'intuition utilisée pour estimer l'aire d'une parcelle irrégulière — mesurer plusieurs largeurs, en faire la moyenne, multiplier par la longueur.
La méthode des trapèzes : approcher l'aire sous une courbe
Découpez la région sous une courbe en bandes de largeur Δ x \Delta x Δ x
∫ x 0 x n f ( x ) d x ≈ Δ x [ 1 2 f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + ⋯ + f ( x n − 1 ) + 1 2 f ( x n ) ] \int_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx \approx \Delta x \left[\tfrac12 f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1}) + \tfrac12 f(x_n)\right] ∫ x 0 x n f ( x ) d x ≈ Δ x [ 2 1 f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + ⋯ + f ( x n − 1 ) + 2 1 f ( x n ) ] L'intégration numérique en ingénierie et en sciences, l'estimation de totaux à partir de mesures discrètes (profondeur d'eau, débit, puissance) ne font que répéter ( a + b ) h / 2 (a + b)h/2 ( a + b ) h /2 Δ x 2 \Delta x^2 Δ x 2
Le trapèze et les autres quadrilatères
Le rectangle, le carré et le parallélogramme satisfont tous à « deux côtés opposés parallèles ». Avec la définition inclusive (celle des manuels anglo-saxons et de ce calculateur), ce sont des cas particuliers du trapèze et la formule s'applique automatiquement (cas extrêmes des exemples) ; avec la définition exclusive (manuels chinois continentaux : une seule paire de côtés parallèles), ce ne sont pas des trapèzes, mais la formule d'aire reste valable — elle se moque des noms. Attention aussi au vocabulaire : en anglais américain, trapezoid = trapèze, tandis qu'en anglais britannique le trapèze s'appelle trapezium et trapezoid désigne un quadrilatère sans côtés parallèles.
Trapèze isocèle et longueur des jambes
Un trapèze dont les deux jambes sont égales est isocèle. Sa jambe, sa hauteur et la moitié de la différence des bases forment un triangle rectangle : c 2 = h 2 + ( ( b − a ) / 2 ) 2 c^2 = h^2 + \big((b - a)/2\big)^2 c 2 = h 2 + ( ( b − a ) /2 ) 2
Hypothèses
a a a b b b h h h Figure plane : le trapèze est dans un plan ; un « quadrilatère gauche » de l'espace ne convient pas.Même unité : les trois longueurs sont dans la même unité, l'aire dans son carré.Longueurs non négatives : le moteur n'interdit pas les nombres négatifs, mais une longueur négative n'a pas de sens géométrique ; une base résolue négative signale une aire donnée trop petite.Les trois champs doivent être saisis : à l'ouverture, seuls a et b sont préremplis et la hauteur vide compte pour 0 ; pour résoudre a avec une hauteur vide, le moteur calcule avec 1 et le résultat n'a pas de sens. Champ d'application et limites
Ce qu'il sait calculer l'aire de tout trapèze (y compris les cas dégénérés : parallélogramme, rectangle, triangle) ; la hauteur ou une base à partir de l'aire. Résultat à 8 décimales au plus. Ce qu'il ne peut qu'approximer avec des mesures entachées d'erreur, l'erreur sur l'aire vaut environ Δ A ≈ h 2 ( Δ a + Δ b ) + a + b 2 Δ h \Delta A \approx \tfrac{h}{2}(\Delta a + \Delta b) + \tfrac{a+b}{2}\Delta h Δ A ≈ 2 h ( Δ a + Δ b ) + 2 a + b Δ h Ce qu'il ne peut pas calculer le périmètre (il faudrait les jambes), l'aire directement à partir des jambes (calculer d'abord la hauteur), l'aire d'un quadrilatère quelconque (le découper en triangles ou utiliser les coordonnées), le volume d'un tronc de cône ou de pyramide en trois dimensions (utiliser les formules du cylindre ou du cône ou du tronc de pyramide). Ce qu'il ne fait pas il ne vérifie pas que les longueurs données forment un trapèze, ne résout pas la base b b b Numérique si a + b = 0 a + b = 0 a + b = 0 Erreurs fréquentes
Prendre la jambe pour la hauteur : la hauteur est la distance perpendiculaire entre les bases. Pour un trapèze de jambe 5.385 et de hauteur 5, utiliser la jambe fait passer l'aire de 30 à 32.31.Oublier de diviser par 2 : ( a + b ) h (a + b)h ( a + b ) h Ne multiplier qu'une base par la hauteur : b h bh bh Mélanger les unités : bases en mètres et hauteur en centimètres donnent un résultat faux d'un facteur 100.Lire l'aire dès l'ouverture : la hauteur initiale est vide et l'aire 0 n'est pas un résultat. Saisissez d'abord la hauteur.Appliquer la formule à des côtés non parallèles : un quadrilatère quelconque n'a pas de formule d'aire aussi simple ; vérifiez d'abord quels côtés sont parallèles.Prendre une base négative pour une réponse : une base résolue négative signale que l'aire contredit les autres grandeurs ; vérifiez les entrées. Cas d'usage typiques Pédagogie : du rectangle au trapèze puis au triangle Fixez b = 8 et h = 5, puis faites passer a de 8 à 0 : l'aire décroît linéairement de 40 (parallélogramme) à 20 (triangle), en passant par tous les trapèzes intermédiaires. Une façon intuitive de ressentir « aire = largeur moyenne × hauteur ».
Canaux, rivières et digues : les sections Le trapèze est la section de canal la plus courante. Une section d'ouverture 3.5 m, de fond 6.5 m (ou l'inverse) et de profondeur 2 m a une aire de 10 m² ; multipliée par la vitesse d'écoulement, elle donne le débit ; l'aire de la digue multipliée par sa longueur donne le volume de terre.
Parcelles et toitures Pour une parcelle à deux côtés parallèles et deux côtés non parallèles, il suffit de mesurer les deux bases et leur distance ; les versants trapézoïdaux d'un toit en pente se calculent de même, pour estimer le nombre de tuiles ou de panneaux.
Intégration approchée de données Pour une puissance, un débit ou une vitesse relevés au cours du temps, l'« aire » entre deux points consécutifs s'approxime par un trapèze et la somme donne l'énergie, le volume ou le déplacement total — la forme la plus quotidienne de la méthode des trapèzes.
Questions fréquentes Est-ce que l'ordre des deux bases change quelque chose ? Non. La formule est symétrique en a a a b b b
Peut-on calculer l'aire avec les quatre côtés seulement ? Pas avec ce calculateur. Un trapèze est déterminé par ses quatre côtés (les deux bases et les deux jambes fixent la hauteur), mais il faut d'abord trouver la hauteur par la géométrie : découper le trapèze en un parallélogramme et un triangle, calculer l'aire du triangle par la formule de Héron, puis la diviser par sa base pour obtenir la hauteur.
Pourquoi l'aire vaut-elle 0 à l'ouverture du panneau ? Le champ de la hauteur est vide et compte pour 0. Saisissez la hauteur et l'aire apparaît.
Peut-on utiliser ce calculateur pour un parallélogramme ou un triangle ? Oui. Avec a = b, on obtient l'aire du parallélogramme, b h bh bh b h / 2 bh/2 bh /2
Que signifie une base résolue négative ? Que l'aire donnée est plus petite que celle du triangle de même base et de même hauteur : un tel trapèze n'existe pas. Vérifiez l'aire, la base et la hauteur.
Quel est le lien entre la méthode des trapèzes et cette formule ? La méthode des trapèzes découpe la région sous une courbe en de nombreux trapèzes étroits dont l'aire se calcule par ( a + b ) h / 2 (a + b)h/2 ( a + b ) h /2 a a a b b b h h h
Références et pour aller plus loin
Code source du moteur CalcX : définition trapezoid dans src/data/formulas.ts (A = ( a + b ) h / 2 A = (a+b)h/2 A = ( a + b ) h /2
Wikipédia, Trapezoid （访问日期：2026-09-08）——définitions concurrentes (inclusive/exclusive, usages américain et britannique), aire, médiane et autres propriétés.
Wikipédia, Trapezoidal rule （访问日期：2026-09-08）——méthode des trapèzes et analyse de l'erreur.
Wolfram MathWorld, Trapezoid （访问日期：2026-09-08）——formules d'aire, de médiane et de diagonales.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals , 8th ed. Cengage, 2016. §7.7 « Approximate Integration » — démonstration de la méthode des trapèzes et bornes d'erreur.
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