Cylindre et cône : volumes, aires, génératrice

Le calculateur cylindre-cône réunit dans un seul panneau deux solides de révolution « de même base et de même hauteur » : saisissez le rayon de la base r et la hauteur h, et vous obtenez d'un coup le volume du cylindre \pi r^2 h, son aire totale 2\pi r(r+h), le volume du cône \tfrac13 \pi r^2 h et son aire totale \pi r(r + l), la génératrice l = \sqrt{r^2 + h^2} étant calculée automatiquement par le moteur. Connaissant le volume du cylindre et sa hauteur, il retrouve aussi le rayon.

Cylindre et cône : volumes, aires, génératrice

À propos de ce calculateur

Le calculateur cylindre-cône réunit dans un seul panneau deux solides de révolution « de même base et de même hauteur » : saisissez le rayon de la base $r$ et la hauteur $h$ , et vous obtenez d'un coup le volume du cylindre $\pi r^2 h$ , son aire totale $2\pi r(r+h)$ , le volume du cône $\tfrac13 \pi r^2 h$ et son aire totale $\pi r(r + l)$ , la génératrice $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ étant calculée automatiquement par le moteur. Connaissant le volume du cylindre et sa hauteur, il retrouve aussi le rayon.

Les verres, canettes, tuyaux, citernes et la partie cylindrique des silos à grains sont des cylindres ; les entonnoirs, cornets de glace, cônes de signalisation et les toits coniques des silos sont des cônes. Les deux partagent la même base : les calculer ensemble est donc le plus commode : le volume d'un silo est « volume du cylindre + volume du cône », à calculer une fois chacun avec le même couple $r$ , $h$ puis à additionner.

Ce qu'il ne fait pas : il ne traite ni les cylindres ni les cônes obliques (la formule du volume reste valable, mais celle de l'aire latérale non), ni le tronc de cône, ni le volume de paroi d'un tube creux, et il ne convertit pas les unités — le volume est le cube de l'unité de longueur utilisée pour le rayon et la hauteur, l'aire son carré.

Formules et variables

V_{\text{cyl}} = \pi r^2 h,\qquad S_{\text{cyl}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r\,(r + h)

V_{\text{cône}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h,\qquad l = \sqrt{r^2 + h^2},\qquad S_{\text{cône}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r\,(r + l)

Retrouver le rayon à partir du volume du cylindre :

r = \sqrt{\frac{V_{\text{cyl}}}{\pi h}}

Symbole	Signification	Champ du calculateur	Unité	Plage et remarques
$r$	Rayon de la base	Rayon r	longueur	$r > 0$ ; 3 par défaut. Attention, c'est un rayon, pas un diamètre
$h$	Hauteur (axiale)	Hauteur h	longueur	$h > 0$ ; 10 par défaut. La hauteur du cône est la distance perpendiculaire du sommet au centre de la base, pas la génératrice
$V_{\text{cyl}}$	Volume du cylindre	Volume du cylindre	longueur³	Résultat ; en mode inverse, sert d'entrée
$S_{\text{cyl}}$	Aire totale du cylindre	Aire du cylindre	longueur²	Résultat, bases supérieure et inférieure comprises
$V_{\text{cône}}$	Volume du cône	Volume du cône	longueur³	Résultat, exactement $\tfrac13$ de celui du cylindre de même base et de même hauteur
$S_{\text{cône}}$	Aire totale du cône	Aire du cône	longueur²	Résultat, une base comprise
$l$	Génératrice (hauteur oblique)	(non affichée)	longueur	Distance du sommet à la circonférence de la base, $l = \sqrt{r^2+h^2}$ , obtenue par le théorème de Pythagore
$2\pi r h$	Aire latérale du cylindre	(non affichée)	longueur²	Se déploie en un rectangle de $2\pi r \times h$
$\pi r l$	Aire latérale du cône	(non affichée)	longueur²	Se déploie en un secteur de rayon $l$ et d'arc $2\pi r$

Comment utiliser ce calculateur

Ouvrir le panneaucette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Cylindre / cône » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.cylinder-cone). À l'ouverture, « Rayon r » = 3 et « Hauteur h » = 10 sont préremplis et les quatre champs de résultat marqués « calculé » s'affichent aussitôt.
Calculer volumes et airesmodifiez le rayon et la hauteur, les quatre résultats se mettent à jour en direct. Si vous avez mesuré un diamètre, divisez-le par 2 avant de le saisir.
Retrouver le rayon à partir du volume du cylindrevidez « Rayon r », saisissez le volume connu dans « Volume du cylindre » et laissez « Hauteur h » ; le champ du rayon passe en « calculé » et donne $\sqrt{V/(\pi h)}$ . Les trois autres champs affichent alors 0 — le moteur les calcule avec le rayon non saisi compté pour 0, c'est une convention et non un résultat ; recopiez le rayon retrouvé dans « Rayon r » et videz le champ de volume pour voir les quatre valeurs complètes.
Ne prendre qu'une partiepour l'aire latérale du cylindre, retranchez les deux bases $2\pi r^2$ à l'aire totale ; pour l'aire latérale du cône, retranchez une base $\pi r^2$ à l'aire totale ; pour un cylindre sans couvercle (un seau), retirez une base.
Lire le résultatles valeurs gardent au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés ; le volume s'exprime dans le cube de l'unité de longueur, l'aire dans son carré. 1 m³ = 1000 L, 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL.
Copier la formulele bouton de copie à droite du titre du panneau place V_cyl=πr²h, V_cone=πr²h/3 dans le presse-papiers.

Exemples de calcul

Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur cylinder-cone ; affichage avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés.

Exemple 1 : entrées par défaut r = 3, h = 10

Entrée : $r = 3$ , $h = 10$ .

Aire de base $\pi r^2 = 9\pi = 28.27433388$ .
Volume du cylindre $V_{\text{cyl}} = 9\pi \times 10 = 90\pi = 282.74333882$ .
Aire du cylindre $S_{\text{cyl}} = 2\pi \times 3 \times (3 + 10) = 78\pi = 245.04422698$ .
Volume du cône $V_{\text{cône}} = 90\pi / 3 = 30\pi = 94.24777961$ .
Génératrice $l = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} = 10.44030651$ ; aire du cône $S_{\text{cône}} = \pi \times 3 \times (3 + 10.44030651) = 126.67190457$ .

Affichage : volume du cylindre 282.74333882, aire du cylindre 245.04422698, volume du cône 94.24777961, aire du cône 126.67190457. En détail, l'aire latérale du cône vaut $\pi r l = 98.39757069$ et le secteur développé a un angle au centre de $360^\circ \times r/l = 103.45^\circ$ .

Exemple 2 : r = 3, h = 4 — le cône 3-4-5

Entrée : $r = 3$ , $h = 4$ .

$V_{\text{cyl}} = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi = 113.09733553$ .
$S_{\text{cyl}} = 2\pi \times 3 \times 7 = 42\pi = 131.94689145$ : aire latérale $24\pi = 75.39822369$ plus deux bases $18\pi = 56.54866776$ .
$V_{\text{cône}} = 12\pi = 37.69911184$ .
$l = \sqrt{9 + 16} = 5$ (le triplet pythagoricien 3-4-5), $S_{\text{cône}} = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi = 75.39822369$ .

Affichage : volume du cylindre 113.09733553, aire du cylindre 131.94689145, volume du cône 37.69911184, aire du cône 75.39822369. Jolie coïncidence : l'aire totale de ce cône $24\pi$ égale exactement l'aire latérale du cylindre $2\pi r h = 24\pi$ . L'aire latérale du cône vaut $\pi r l = 15\pi = 47.12388980$ : développée en secteur de rayon 5, son arc égale la circonférence de la base $6\pi$ et son angle au centre $= 6\pi / 5 \text{ rad} = 216^\circ$ .

Figure 1 : le cylindre de l’exemple 1 et le cône de l’exemple 2. Le développement latéral du cône est un secteur : le rayon est la génératrice l, l’arc est la circonférence de la base 2πr, donc l’aire latérale = ½ · 2πr · l = πrl

Exemple 3 : volume connu 1000, hauteur 10, retrouver le rayon

Entrée : volume du cylindre $V_{\text{cyl}} = 1000$ , $h = 10$ (videz le rayon).

$r = \sqrt{\dfrac{1000}{\pi \times 10}} = \sqrt{31.83098862} = 5.64189584$ .

Affichage : rayon r 5.64189584 ; aire du cylindre, volume du cône et aire du cône affichent 0 (voir la convention de l'étape 3). En recopiant 5.64189584 dans le rayon et en vidant le champ de volume, l'interface affiche volume du cylindre 1000.0000016 (la queue d'arrondi produite par le rayon à 8 décimales réinjecté), aire du cylindre 554.49077079, volume du cône 333.33333387 et aire du cône 303.50903342. Si l'unité est le centimètre, c'est un gobelet de 1 L, haut de 10 cm et d'environ 11.3 cm de diamètre.

Exemple 4 : même volume, formes différentes

Entrée : $r = 6$ , $h = 2.5$ .

$V_{\text{cyl}} = \pi \times 36 \times 2.5 = 90\pi = 282.74333882$ — exactement comme à l'exemple 1, car $36 \times 2.5 = 9 \times 10 = 90$ .
$S_{\text{cyl}} = 2\pi \times 6 \times 8.5 = 102\pi = 320.44245067$ , soit 31 % de plus que les $78\pi$ de l'exemple 1.
$l = \sqrt{36 + 6.25} = 6.5$ , $S_{\text{cône}} = \pi \times 6 \times 12.5 = 75\pi = 235.61944902$ .

Affichage : volume du cylindre 282.74333882, aire du cylindre 320.44245067, volume du cône 94.24777961, aire du cône 235.61944902. Pour le même volume de 90π unités, le pot trapu consomme plus de matière — point de départ du problème de conception d'emballage « comment économiser le matériau à volume égal » (la réponse est $h = 2r$ , voir la FAQ).

Autre cas, un tuyau : $r = 0.5$ m, $h = 100$ m ; l'interface affiche volume du cylindre 78.53981634 (m³, soit 78,540 L), aire du cylindre 315.73006169, dont l'aire latérale $100\pi = 314.16$ m² — c'est ce chiffre qu'il faut pour la peinture antirouille, les $0.5\pi$ m² des deux extrémités étant négligeables.

Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau ; passez le rayon de 3 à 6 (hauteur inchangée) pour voir le volume quadrupler alors que l'aire augmente de moins de 3 fois ; passez la hauteur de 10 à 20 pour doubler exactement volume et aire latérale.

Principes et démonstration

Le cylindre : pousser la base sur une hauteur

Un cylindre est le solide obtenu en translatant un disque de base sur une hauteur $h$ dans la direction perpendiculaire. Le volume de tout « prisme droit ou cylindre droit » de ce type vaut aire de base × hauteur : découpé en tranches minces, chacune est le même disque, d'où le volume $= \pi r^2 \times h$ . La surface latérale, fendue le long d'une génératrice et mise à plat, est un rectangle de largeur $2\pi r$ (la circonférence de la base) et de hauteur $h$ , donc d'aire $2\pi r h$ ; en ajoutant les deux bases $2\pi r^2$ , l'aire totale vaut $2\pi r(r+h)$ .

Pourquoi le volume du cône vaut exactement un tiers

C'est le point le plus utile à retenir de cette page. Trois points de vue :

Comparaison de tranches (principe de Zu Geng / Cavalieri). Plaçons côte à côte un cône et un cylindre de même base et de même hauteur et coupons à la hauteur $x$ depuis le sommet : la section du cône a pour rayon $r x / h$ et pour aire $\pi r^2 x^2/h^2$ , qui croît en $x^2$ ; celle du cylindre reste $\pi r^2$ . En sommant (intégrale) :

V_{\text{cône}} = \int_0^h \pi r^2 \frac{x^2}{h^2}\,\mathrm dx = \pi r^2 \cdot \frac{h^3}{3h^2} = \tfrac13 \pi r^2 h

Analogie avec la pyramide. Un cube se découpe en trois pyramides à base carrée superposables (sommet au centre du cube, côté opposé), donc le volume d'une pyramide vaut $\tfrac13$ de celui du prisme de même base et de même hauteur ; en remplaçant le carré de base par un disque, la conclusion ne change pas (Euclide, Éléments, livre XII, proposition 10, démontre par exhaustion que le cône vaut le tiers du cylindre).

Vérification pratique. Remplissez d'eau un récipient conique et versez-le dans un récipient cylindrique de même base et de même hauteur : il faut exactement trois fois — l'expérience classique en classe.

Pourquoi le développement latéral du cône est un secteur

En fendant la surface latérale du cône le long d'une génératrice et en la mettant à plat, le sommet devient le centre du secteur, chaque génératrice mesure $l$ , on obtient donc un secteur de rayon $l$ ; la circonférence de base devient l'arc du secteur, de longueur $2\pi r$ . Aire du secteur $= \tfrac12 \times \text{arc} \times \text{rayon} = \tfrac12 \times 2\pi r \times l = \pi r l$ . L'angle au centre du secteur (en radians) vaut $2\pi r / l$ : c'est ainsi que l'exemple 2 de la figure 1, à droite, donne $216^\circ$ . La démonstration complète de la longueur d'arc, de l'aire du secteur et du radian figure sur longueur d'arc et secteur ; ici, seuls les résultats sont utilisés.

La génératrice : un triangle rectangle

En coupant le cône par un plan passant par son axe, la section est un triangle isocèle dont la moitié est un triangle rectangle : les deux côtés de l'angle droit sont $r$ et $h$ , l'hypoténuse est la génératrice $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ . C'est le théorème de Pythagore. L'exemple 2 choisit $r = 3$ , $h = 4$ justement pour que $l = 5$ soit entier.

Lois de mise à l'échelle

En multipliant rayon et hauteur par $k$ , l'aire est multipliée par $k^2$ et le volume par $k^3$ : le cylindre $r = 6$ , $h = 20$ a un volume de 2261.94671058, huit fois celui de l'exemple 1. En n'augmentant que le rayon, le volume croît en $r^2$ (passer à $r = 6$ dans l'exemple 1 quadruple le volume) ; en n'augmentant que la hauteur, il croît linéairement — ce sont ces deux règles qui guident les changements de format des canettes.

Hypothèses

Cylindre droit, cône droit : axe perpendiculaire à la base. Les formules de volume des solides obliques restent valables (mêmes aires de section), celles de l'aire latérale non.
Cône complet : du sommet à la base. Un cône tronqué demande $V = \tfrac13\pi h (R^2 + Rr + r^2)$ et sort du cadre de ce calculateur.
Les aires sont des aires totales : deux bases pour le cylindre, une pour le cône. Pour un récipient ouvert, retranchez selon l'étape 4.
Épaisseur nulle : on calcule le volume et la surface extérieure de la forme géométrique sans distinguer diamètre intérieur et extérieur.
Même unité : $r$ et $h$ dans la même unité, volume dans son cube, aire dans son carré.
Convention de la résolution inverse : seul le rayon peut être retrouvé à partir du volume du cylindre et de la hauteur ; pendant cette résolution, les trois autres champs sont calculés avec un rayon de 0 et affichent 0.

Champ d'application et limites

Ce qu'il sait calculer: volumes et aires totales du cylindre et du cône pour tout $r$ , $h$ positifs ; le rayon à partir du volume du cylindre et de la hauteur.
Ce qu'il ne peut qu'approcher: les récipients réels ont une épaisseur, des arrondis et des déformations ; la contenance nominale d'une canette peut s'écarter de quelques pour cent du volume géométrique.
Ce qu'il ne peut pas calculer: le tronc de cône, les cylindres obliques, le volume de la paroi d'un tube creux (cylindre extérieur moins intérieur, en deux calculs puis soustraction), la résolution inverse du cône (retrouver $r$ ou $h$ à partir de son volume demande $r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ à la main), la résolution inverse à partir des aires.
Ce qu'il ne fait pas: afficher la génératrice, les aires latérales, les aires de base ni l'angle du secteur développé ; à calculer à la main avec les formules si besoin.
Numérique: pour des $r$ ou $h$ très grands ou très petits, les résultats s'affichent en notation scientifique (valeur absolue $\ge 10^{12}$ ou $< 10^{-8}$ ).

Erreurs fréquentes

Prendre le diamètre pour le rayon : la mesure donne souvent un diamètre $d$ , et le volume vaut alors $\pi (d/2)^2 h = \pi d^2 h/4$ . Saisir directement $d$ dans « Rayon » multiplie le volume par 4.
Prendre la génératrice pour la hauteur : la hauteur du cône est la distance perpendiculaire du sommet au centre de la base ; le « côté » mesuré sur un cornet en papier est la génératrice $l$ , la hauteur se retrouve par $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ .
Oublier de diviser par 3 le volume du cône : $\pi r^2 h$ est le volume du cylindre de même base et de même hauteur.
Se tromper de nombre de bases : un seau sans couvercle n'a qu'une base, $S = \pi r^2 + 2\pi r h$ ; une tente conique n'a pas de base, seulement l'aire latérale $\pi r l$ .
Convertir les volumes de dix en dix : 1 m = 100 cm, mais 1 m³ = 1,000,000 cm³ = 1000 L ; le cube du rapport de conversion des longueurs est le rapport de conversion des volumes.
Prendre les trois 0 du mode inverse pour des résultats : c'est la valeur de repli du moteur pour un rayon non saisi ; recopiez le rayon pour les voir.

Cas d'usage typiques

Contenance des récipients

Verres, réservoirs d'eau, barils, silos à grains (cylindre + toit conique, à calculer en deux parties puis additionner) ; retrouver le rayon nécessaire à partir d'un volume et d'une hauteur visés.

Quantités de matériau

Surface de tôle d'un corps cylindrique (aire totale), surface à peindre d'un tuyau (aire latérale), tissu ou tôle d'une tente conique ou d'un entonnoir (aire latérale du cône $\pi r l$ ).

Ingénierie et terrassement

Estimation du volume d'un tas de sable ou de charbon conique (mesurer la circonférence de base pour $r$ , la hauteur pour $h$ ), volume de béton d'un pieu cylindrique.

Enseignement

Expérimenter « le cône vaut le tiers du cylindre », les lois d'échelle carré/cube, le développement latéral et le lien avec le secteur ; calculer l'angle du secteur développé avec longueur d'arc et secteur.

Questions fréquentes

Comment obtenir l'aire latérale du cylindre seule ?

Retranchez les deux bases à l'aire totale : $S_{\text{cyl}} - 2\pi r^2 = 2\pi r h$ . Dans l'exemple 1 : $245.04 - 56.55 = 188.50$ .

Et l'aire latérale du cône et l'angle de son secteur développé ?

Aire latérale $\pi r l = S_{\text{cône}} - \pi r^2$ ; angle au centre $\theta = 2\pi r / l$ (radians) $= 360^\circ \cdot r / l$ . Exemple 2 : $216^\circ$ ; exemple 1 : $103.45^\circ$ .

À volume égal, comment un cylindre économise-t-il le plus de matériau ?

À volume $V$ fixé, l'aire totale $2\pi r^2 + 2V/r$ est minimale pour $h = 2r$ (hauteur égale au diamètre). Les exemples 4 et 1 ont le même volume : l'aire de $r = 3$ , $h = 10$ (245) est plus petite que celle de $r = 6$ , $h = 2.5$ (320), sans être encore optimale ; l'optimum est $r = \sqrt[3]{45} \approx 3.557$ , $h \approx 7.11$ . Les canettes réelles sont plus hautes et plus élancées, car le matériau du couvercle est plus épais et son coût compté à part.

Comment retrouver le rayon à partir du volume du cône ?

$r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ; le moteur ne propose pas cette résolution, faites le calcul à la main puis saisissez la valeur.

Comment calculer un tronc de cône ?

$V = \tfrac13\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ , aire latérale $\pi (R + r)\,l$ avec $l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}$ . Ce calculateur ne le gère pas ; on peut procéder en deux fois selon l'idée du « grand cône moins petit cône ».

Quels rapports entre demi-sphère, sphère, cylindre et cône ?

Une sphère de rayon $r$ a un volume $\tfrac43\pi r^3$ , soit exactement $\tfrac23$ du cylindre $h = 2r$ de volume $2\pi r^3$ ; un cône de même rayon et de hauteur $h = r$ a un volume $\tfrac13\pi r^3$ , moitié de la demi-sphère $\tfrac23\pi r^3$ . Archimède tenait le rapport « cône : sphère : cylindre = 1 : 2 : 3 » (avec $h = 2r$ ) pour sa plus belle découverte.

Références et pour aller plus loin

Le code source du moteur CalcX src/data/formulas.ts, définition cylinder-cone (compute(known, solveFor) renvoie cylVol / cylSurf / coneVol / coneSurf et gère la résolution de r à partir de cylVol et h) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Wikipédia, Cylinder（访问日期：2026-09-09）— volume, aire et remarques sur le cylindre oblique.
Wikipédia, Cone — Volume（访问日期：2026-09-09）— démonstration par intégrale du volume du cône et génératrice.
Euclide, Éléments, livre XII, proposition 10, édition commentée par D. E. Joyce（访问日期：2026-09-09）— la démonstration par exhaustion de « tout cône vaut le tiers du cylindre de même base et de même hauteur ».
Wikipédia, Cavalieri's principle（访问日期：2026-09-09）— principe de Zu Geng : à aires de section égales à chaque hauteur, volumes égaux.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time — définitions des grandeurs et unités de longueur, d'aire et de volume.
Archimède, De la sphère et du cylindre — le texte fondateur des rapports de volume entre sphère, cylindre et cône.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09