Longueur d'arc et secteur : degrés, corde et radians
À propos de ce calculateur Le calculateur de longueur d'arc et de secteur donne, à partir du rayon r r r θ \theta θ L L L A A A
Tout ce qui est « une partie de cercle » se calcule avec lui : la distance parcourue par l'aiguille d'une horloge, la longueur d'un virage, l'aire d'une part de pizza, l'angle correspondant à un pas d'engrenage, la distance parcourue à la surface de la Terre le long d'un méridien sur 1°. C'est aussi le lieu où les deux unités d'angle « degré » et « radian » se rejoignent vraiment — le radian est défini comme le rapport de la longueur d'arc au rayon.
Ce qu'il ne fait pas : il ne calcule ni le périmètre ni l'aire du cercle entier (saisissez 360° pour les obtenir), ni l'aire du segment circulaire (la partie entre l'arc et la corde) — mais la formule figure sur cette page, il suffit de retrancher l'aire du triangle à celle du secteur ; il ne ramène pas les angles entre 0° et 360° ; il ne convertit pas les unités.
Comment utiliser ce calculateur 01 Ouvrir le panneau cette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Longueur d'arc / secteur » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arc-sector). À l'ouverture, rayon r = 10 et angle 60° sont préremplis, la longueur d'arc, l'aire du secteur et la corde sont calculées aussitôt. 02 Calculer longueur d'arc, aire et corde modifiez le rayon et l'angle (en degrés , pas en radians) ; les trois champs marqués « calculé » se mettent à jour en direct, avec au plus 8 décimales et sans zéro de fin. 03 Retrouver l'angle à partir de la longueur d'arc videz « Angle(°) », saisissez la longueur d'arc connue dans « Longueur d'arc » et laissez le rayon ; le champ d'angle passe en « calculé » et donne des degrés. L'aire du secteur et la corde affichent alors 0 (le moteur calcule avec l'angle inconnu compté 0) : ignorez-les, ou recopiez l'angle trouvé dans le champ d'angle pour les lire. 04 Cercle entier et demi-cercle un angle de 360 donne le périmètre et l'aire du disque (la corde vaut théoriquement 0 et l'interface peut afficher un résidu de virgule flottante comme 1.469576e-15, c'est-à-dire 0) ; un angle de 180 donne la longueur du demi-cercle, l'aire du demi-disque et le diamètre. 05 Calculer l'aire du segment retranchez l'aire du triangle de celle du secteur, soit 1 2 r 2 sin θ \tfrac12 r^2 \sin\theta 2 1 r 2 sin θ 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) Exemples de calcul Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur arc-sector ; affichage avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés.
Exemple 1 : rayon 6, angle au centre 60°
Radians : θ = 60 × π / 180 = π / 3 ≈ 1.04719755 \theta = 60 \times \pi/180 = \pi/3 \approx 1.04719755 θ = 60 × π /180 = π /3 ≈ 1.04719755
Longueur d'arc : L = 6 × π / 3 = 2 π ≈ 6.28318531 L = 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28318531 L = 6 × π /3 = 2 π ≈ 6.28318531
Aire du secteur : A = 1 2 × 36 × π / 3 = 6 π ≈ 18.84955592 A = \tfrac12 \times 36 \times \pi/3 = 6\pi \approx 18.84955592 A = 2 1 × 36 × π /3 = 6 π ≈ 18.84955592
Corde : = 2 × 6 × sin 30 ° = 12 × 0.5 = 6 = 2 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6 = 2 × 6 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6
Affichage : longueur d'arc 6.28318531 , aire du secteur 18.84955592 , corde 6 . Pour un angle au centre de 60°, les deux rayons et la corde forment un triangle équilatéral : la corde égale donc exactement le rayon.
Figure 1 : l’exemple 1. L’arc et l’aire s’obtiennent en radians ; la corde se calcule par 2r·sin(θ/2), θ/2 pouvant être en degrés ou en radians tant que l’unité coïncide avec celle du sinus Exemple 2 : valeurs par défaut du panneau, rayon 10 et 60°
L = 10 × π / 3 ≈ 10.47197551 L = 10 \times \pi/3 \approx 10.47197551 L = 10 × π /3 ≈ 10.47197551 A = 1 2 × 100 × π / 3 ≈ 52.35987756 A = \tfrac12 \times 100 \times \pi/3 \approx 52.35987756 A = 2 1 × 100 × π /3 ≈ 52.35987756 Corde = 20 sin 30 ° = 10 = 20 \sin 30° = 10 = 20 sin 30° = 10
Affichage : 10.47197551 , 52.35987756 , 10 . Par rapport à l'exemple 1, le rayon est multiplié par 10 / 6 10/6 10/6 ( 10 / 6 ) 2 = 2.78 (10/6)^2 = 2.78 ( 10/6 ) 2 = 2.78
Exemple 3 : arc majeur — rayon 1.5, 270°
θ = 270 × π / 180 = 3 π / 2 ≈ 4.71238898 \theta = 270 \times \pi/180 = 3\pi/2 \approx 4.71238898 θ = 270 × π /180 = 3 π /2 ≈ 4.71238898 L = 1.5 × 3 π / 2 ≈ 7.06858347 L = 1.5 \times 3\pi/2 \approx 7.06858347 L = 1.5 × 3 π /2 ≈ 7.06858347 A = 1 2 × 2.25 × 3 π / 2 ≈ 5.3014376 A = \tfrac12 \times 2.25 \times 3\pi/2 \approx 5.3014376 A = 2 1 × 2.25 × 3 π /2 ≈ 5.3014376 Corde = 3 sin 135 ° = 3 × 0.70710678 ≈ 2.12132034 = 3 \sin 135° = 3 \times 0.70710678 \approx 2.12132034 = 3 sin 135° = 3 × 0.70710678 ≈ 2.12132034
Affichage : 7.06858347 , 5.3014376 , 2.12132034 . Au-delà de 180°, la corde redescend — la corde de 270° a la même longueur que celle de 90°, car c'est la même corde vue des deux côtés.
Exemple 4 : retrouver l'angle à partir de la longueur d'arc
Un arc de longueur 5 sur un cercle de rayon 10 correspond à quel angle au centre ? Videz l'angle, saisissez 5 en longueur d'arc et 10 en rayon.
θ = L / r = 0.5 \theta = L/r = 0.5 θ = L / r = 0.5 θ deg = 0.5 × 180 / π ≈ 28.64788976 ° \theta_{\deg} = 0.5 \times 180/\pi \approx 28.64788976° θ d e g = 0.5 × 180/ π ≈ 28.64788976°
Affichage : angle 28.64788976 . L'aire du secteur et la corde affichent alors 0 : c'est la convention du mode inverse (voir « Hypothèses »). En recopiant 28.64788976 dans le champ d'angle, on obtient une aire de secteur de 25 et une corde de 4.94808114.
Une minute d'arc sur la Terre
En assimilant la Terre à une sphère de rayon 6371 km, saisissez r = 6371 et un angle de 1 : la longueur d'arc le long d'un grand cercle vaut 111.19492664 km. Avec un angle de 1/60 (1 minute d'arc), l'arc mesure 1.85324878 km — l'origine du mille marin, aujourd'hui défini comme 1852 m.
Rayon fixé à 6, l'angle au centre balaie de 0° à 360° : la longueur d'arc croît linéairement (de 0 à 37.70) ; la corde augmente puis diminue, atteint son maximum 12 (le diamètre) à 180° et revient à 0 à 360°. Aux petits angles, les deux courbes se confondent presque — le rapport corde/arc sin ( θ / 2 ) / ( θ / 2 ) \sin(\theta/2)/(\theta/2) sin ( θ /2 ) / ( θ /2 )
Principes et démonstration Longueur d'arc : une fraction du périmètre
Le périmètre complet 2 π r 2\pi r 2 π r θ deg \theta_{\deg} θ d e g θ deg / 360 \theta_{\deg}/360 θ d e g /360
L = θ deg 360 × 2 π r = r × ( θ deg × π 180 ) = r θ L = \frac{\theta_{\deg}}{360} \times 2\pi r = r \times \left(\theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180}\right) = r\,\theta L = 360 θ d e g × 2 π r = r × ( θ d e g × 180 π ) = r θ La grandeur entre parenthèses est le radian. Définition du radian : le rapport de la longueur d'arc au rayon, θ = L / r \theta = L/r θ = L / r 2 π 2\pi 2 π L = r θ L = r\theta L = r θ
Aire du secteur : une fraction de l'aire du disque
Même proportionnalité : A = θ deg 360 π r 2 = 1 2 r 2 θ A = \dfrac{\theta_{\deg}}{360}\,\pi r^2 = \tfrac12 r^2 \theta A = 360 θ d e g π r 2 = 2 1 r 2 θ r d θ r\,d\theta r d θ r r r 1 2 r ⋅ r d θ \tfrac12 r \cdot r\,d\theta 2 1 r ⋅ r d θ 1 2 r 2 θ \tfrac12 r^2 \theta 2 1 r 2 θ A = 1 2 L r A = \tfrac12 L r A = 2 1 L r
Corde : un triangle isocèle
Le centre et les deux extrémités de l'arc forment un triangle isocèle de côtés égaux r r r θ \theta θ r r r θ / 2 \theta/2 θ /2 r sin ( θ / 2 ) r\sin(\theta/2) r sin ( θ /2 ) 2 r sin ( θ / 2 ) 2r\sin(\theta/2) 2 r sin ( θ /2 ) θ = 180 ° \theta = 180° θ = 180° sin 90 ° = 1 \sin 90° = 1 sin 90° = 1 2 r 2r 2 r
Aire du segment circulaire
La région délimitée par l'arc et la corde s'appelle un segment circulaire. Il égale le secteur moins le triangle isocèle : l'aire du triangle vaut 1 2 r 2 sin θ \tfrac12 r^2 \sin\theta 2 1 r 2 sin θ A segment = 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) A_{\text{segment}} = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) A segment = 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) = 18.84955592 − 15.58845727 = 3.26109865 = 18.84955592 - 15.58845727 = 3.26109865 = 18.84955592 − 15.58845727 = 3.26109865
Approximation aux petits angles
Pour θ \theta θ sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ 1 2 r 2 ⋅ θ 3 / 6 \tfrac12 r^2 \cdot \theta^3/6 2 1 r 2 ⋅ θ 3 /6
Pourquoi un tour fait 360°
Le nombre 360 vient du système sexagésimal babylonien et de l'observation approximative d'une année de 360 jours ; il possède 24 diviseurs, ce qui facilite les partages ; c'est une convention humaine, pas un fait géométrique. Le radian, lui, découle des proportions du cercle : le tour complet vaut 2 π 2\pi 2 π
Hypothèses
Angle au centre saisi en degrés : le moteur le multiplie en interne par π / 180 \pi/180 π /180 180 / π 180/\pi 180/ π Angle non normalisé : une saisie de 400° est calculée comme « un tour plus 40° », la longueur d'arc et l'aire continuent de croître, et la corde est calculée par sin 200 ° \sin 200° sin 200° 0 ° < θ ≤ 360 ° 0° < \theta \le 360° 0° < θ ≤ 360° Rayon positif : r > 0 r > 0 r > 0 r = 0 r = 0 r = 0 La résolution n'affecte que le champ d'angle : en retrouvant l'angle à partir de l'arc, l'aire du secteur et la corde sont calculées avec « angle = 0 » et affichent 0 ; ces valeurs sont à ignorer.Même unité de longueur : rayon, longueur d'arc et corde dans la même unité, aire dans son carré. Champ d'application et limites
Ce qu'il sait calculer longueur d'arc, aire de secteur et corde pour tout rayon positif et tout angle au centre (en degrés) ; l'angle au centre à partir de la longueur d'arc et du rayon. Résultats avec au plus 8 décimales.
Ce qu'il ne peut qu'approcher la corde d'un cercle complet (360°) vaut théoriquement 0 et l'interface peut afficher un résidu comme 1.469576e-15 ; à lire comme 0.
Ce qu'il ne peut pas calculer l'aire du segment circulaire (à faire à la main avec la formule de cette page) ; l'angle ou le rayon à partir de la corde ou de l'aire ; les arcs d'ellipse, la longueur d'une spirale, les arcs sur des surfaces tridimensionnelles.
Ce qu'il ne fait pas ramener l'angle entre 0° et 360°, accepter des degrés-minutes-secondes ou des radians en entrée, convertir les unités. Numérique pour de très grands rayons combinés à de très petits angles, la précision relative de sin ( θ / 2 ) \sin(\theta/2) sin ( θ /2 ) Erreurs fréquentes
Saisir des radians dans « Angle(°) » : saisir 1.0472 donne 1.0472°, soit une longueur d'arc de seulement 0.1097 (rayon 6) au lieu de 2π. Ce champ attend des degrés.Oublier la conversion en radians dans un calcul à la main : L = r θ L = r\theta L = r θ Prendre la corde pour l'arc : aux petits angles les deux se confondent, aux grands ils diffèrent beaucoup — à 180°, la corde vaut 12 et l'arc 18.85 (rayon 6).Dépasser 360° : le moteur ne replie pas l'angle ; la corde de 400° sera négative. Retranchez d'abord les tours complets.Lire l'aire et la corde en mode inverse : leur affichage 0 relève de la convention, pas de la géométrie.Appliquer un facteur d'échelle à l'aire : en doublant le rayon, longueur d'arc et corde doublent, mais l'aire du secteur est multipliée par 4.Prendre le bruit flottant du cercle complet pour une petite corde : 1.469576e-15 vaut 0, ce n'est pas une « très petite corde ». Cas d'usage typiques Enseignement : ce qu'est vraiment le radian Remplissez rayon 1 et angle 57.29577951 (un radian) : la longueur d'arc vaut exactement 1. Puis saisissez 360 en angle et regardez l'arc devenir 6.28318531 = 2π. Le radian, c'est « mesurer l'arc avec le rayon comme règle ».
Partage équitable d'une pizza ou d'un gâteau Une pizza de 30 cm de diamètre coupée en 8 parts : r = 15, angle 45°, chaque part a une aire de 88.35729338 cm², un bord d'arc de 11.78097245 cm et une corde entre les bords droits de 11.4805 cm. Le huitième de l'aire totale 706.86 cm², exactement.
Virages, arches et horloges Le rayon et l'angle de braquage d'un virage routier donnent sa longueur ; le rayon et l'ouverture d'une arche donnent la longueur d'arc (quantité de matériau) et la corde (portée) ; l'aiguille des heures tourne de 30° par heure et celle des minutes de 120° en 20 minutes, ce qui donne, avec la longueur des aiguilles, la distance parcourue par leur pointe.
Terre et navigation Avec r = 6371 km, une minute d'arc (1/60°) mesure 1.8532 km, l'origine du mille marin ; sur un méridien, 1° de latitude ≈ 111.19 km. En ingénierie et en topographie, assimiler la corde à l'arc ne coûte rien aux petits angles.
Questions fréquentes L'angle se saisit-il en degrés ou en radians ? En degrés. Le moteur le multiplie en interne par π / 180 \pi/180 π /180 180 / π 180/\pi 180/ π
Comment calculer le périmètre et l'aire du cercle entier ? Saisissez 360 en angle : la longueur d'arc devient le périmètre 2 π r 2\pi r 2 π r π r 2 \pi r^2 π r 2
Comment calculer l'aire du segment circulaire (entre l'arc et la corde) ? Aire du secteur moins aire du triangle : 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) θ \theta θ
Pourquoi la corde de 270° a-t-elle la même longueur que celle de 90° ? C'est la même corde : une corde divise le cercle en deux arcs, l'arc mineur de 90° et l'arc majeur de 270° partagent la même corde, et sin 135 ° = sin 45 ° \sin 135° = \sin 45° sin 135° = sin 45°
Pourquoi l'aire et la corde passent-elles à 0 quand on retrouve l'angle ? En mode inverse, le moteur calcule les autres sorties avec l'angle inconnu compté pour 0 et obtient des valeurs dénuées de sens. Recopiez l'angle trouvé dans le champ d'angle pour retrouver l'aire et la corde correctes.
Peut-on retrouver l'angle à partir de la corde ? Ce calculateur ne le fait pas (il ne résout qu'à partir de la longueur d'arc). À la main : θ = 2 arcsin ( corde / ( 2 r ) ) \theta = 2\arcsin\big(\text{corde}/(2r)\big) θ = 2 arcsin ( corde / ( 2 r ) )
Références et pour aller plus loin
Le code source du moteur CalcX src/data/formulas.ts, définition arc-sector (angle saisi en degrés, converti en radians en interne ; les trois cibles arcLen, sectorArea, chordLen et la résolution de l'angle à partir de la longueur d'arc) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Wikipédia, Circular sector （访问日期：2026-09-08）— formules d'aire du secteur et de longueur d'arc.
Wikipédia, Arc length （访问日期：2026-09-08）— longueur des arcs de cercle et des courbes générales.
Wikipédia, Radian （访问日期：2026-09-08）— définition, histoire et conversions du radian.
Wikipédia, Circular segment （访问日期：2026-09-08）— formules d'aire du segment et de longueur de corde.
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