Polygone régulier : aire, périmètre, angle et apothème

À propos de ce calculateur

Le calculateur de polygone régulier donne, à partir du nombre de côtés $n$ et de la longueur du côté $s$ , l'aire $A = \dfrac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}$ , le périmètre $P = ns$ et chaque angle intérieur $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ ; il sait aussi faire l'inverse et retrouver la longueur du côté à partir de l'aire et du nombre de côtés.

« Polygone régulier » désigne un polygone dont tous les côtés sont égaux et tous les angles égaux : triangle équilatéral, carré, pentagone régulier, hexagone régulier (écrous, alvéoles), octogone régulier (panneau STOP)… dès qu'une figure remplit ces deux conditions, mesurer un seul côté suffit pour tout connaître. Il relie la « géo du primaire » du triangle et du carré au cercle (le cas limite $n \to \infty$ ) et constitue le point de départ pour comprendre l'approximation du cercle par des polygones.

Ce qu'il ne fait pas : il ne traite pas les polygones irréguliers (les figures dont les côtés ou les angles diffèrent se découpent en triangles à calculer un par un), ni les polygones étoilés, et il ne convertit pas les unités — l'aire s'exprime dans le carré de l'unité de longueur utilisée.

Formules et variables

Soit un $n$ -gone régulier de côté $s$ , $R$ la distance du centre aux sommets (rayon du cercle circonscrit) et $a$ la distance du centre aux milieux des côtés (apothème, rayon du cercle inscrit) :

A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)},\qquad P = n\,s,\qquad \theta_{\text{int}} = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

Trois grandeurs auxiliaires et deux écritures équivalentes de l'aire (le calculateur n'utilise en interne que la première ; les autres servent au calcul à la main et à la vérification) :

a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)},\qquad A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2}\,n\,R^2 \sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)

Longueur du côté à partir de l'aire :

s = \sqrt{\frac{4A\tan(\pi/n)}{n}}

Symbole	Signification	Champ du calculateur	Unité	Plage et remarques
$n$	Nombre de côtés	Nombre de côtés n	pièces	Entier, $n \ge 3$ ; 6 par défaut. Le champ affiche l'indication `min: 3`, mais le moteur ne bloque pas les valeurs non entières
$s$	Longueur du côté	Côté s	longueur	$s > 0$ ; 5 par défaut
$A$	Aire	Aire	longueur²	Résultat ; en mode inverse, sert d'entrée
$P$	Périmètre	Périmètre	longueur	Résultat, $P = ns$
$\theta_{\text{int}}$	Chaque angle intérieur	Angle intérieur(°)	degrés	Résultat, $(n-2)\cdot 180^\circ/n$ , tend vers 180° quand $n$ croît
$a$	Apothème (rayon du cercle inscrit)	(non affiché)	longueur	Distance perpendiculaire du centre au côté, la « hauteur » du calcul manuel de l'aire
$R$	Rayon du cercle circonscrit	(non affiché)	longueur	Distance du centre à un sommet ; l'hexagone régulier vérifie exactement $R = s$
$\pi/n$	Demi-angle au centre	(grandeur intermédiaire)	radians	Le $\tan(\pi/n)$ de la formule s'entend en radians ; pour un calcul en degrés, écrire $\tan(180^\circ/n)$

Comment utiliser ce calculateur

Ouvrir le panneaucette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Polygone régulier » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.regular-polygon). À l'ouverture, « Nombre de côtés n » = 6 et « Côté s » = 5 sont préremplis, et l'aire, le périmètre et l'angle intérieur sont calculés aussitôt.
Calculer aire, périmètre et angle intérieurmodifiez le nombre de côtés et la longueur du côté ; les champs marqués « saisie » sont les vôtres, les trois champs marqués « calculé » se mettent à jour en direct. Saisissez un entier au moins égal à 3.
Retrouver la longueur du côté à partir de l'airevidez « Côté s », saisissez l'aire connue dans « Aire », laissez « Nombre de côtés n » ; le champ du côté passe en « calculé » et affiche le résultat. Noter alors que « Périmètre » affiche 0 (le moteur calcule le périmètre avec la longueur de côté non saisie comme valant 0, et la valeur retrouvée n'est pas réinjectée) — recopiez le résultat à la main dans le champ du côté pour voir le périmètre.
Lire le résultatles valeurs gardent au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés ; l'aire d'un hexagone régulier de côté 5 s'affiche par exemple 64.95190528 ; pour $n$ entier, l'angle intérieur est le plus souvent entier ou décimal fini (pentagone 108, heptagone 128.57142857).
Copier la formulele bouton de copie à droite du titre du panneau place le texte de formule A = n×s²/(4tan(π/n)) dans le presse-papiers.

Exemples de calcul

Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur regular-polygon ; affichage avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés.

Exemple 1 : entrées par défaut, un hexagone régulier de côté 5

Entrée : $n = 6$ , $s = 5$ .

Demi-angle au centre $\pi/6 = 30^\circ$ , $\tan 30^\circ = 0.57735027$ .
Aire $A = \dfrac{6 \times 25}{4 \times 0.57735027} = \dfrac{150}{2.30940108} = 64.95190528$ .
Périmètre $P = 6 \times 5 = 30$ .
Angle intérieur $= (6-2)\times 180^\circ / 6 = 120^\circ$ .

Affichage : aire 64.95190528, périmètre 30, angle intérieur 120. Vérification à la main : apothème $a = 5/(2\tan 30^\circ) = 4.33012702$ , aire $= \tfrac12 \times 30 \times 4.33012702 = 64.95190528$ , identique ; rayon du cercle circonscrit $R = 5/(2\sin 30^\circ) = 5 = s$ — l'hexagone régulier est le seul polygone régulier dont le rayon du cercle circonscrit égale le côté, car il se compose de 6 triangles équilatéraux.

Figure 1 : l’hexagone régulier de l’exemple 1. Aire = 6 triangles isocèles de base s et de hauteur a

Exemple 2 : triangle équilatéral et carré — vérification par les formules connues

Entrée $n = 3$ , $s = 4$ :

$\tan(\pi/3) = \tan 60^\circ = 1.73205081$ .
$A = \dfrac{3 \times 16}{4 \times 1.73205081} = \dfrac{48}{6.92820323} = 6.92820323$ .

Affichage : aire 6.92820323, périmètre 12, angle intérieur 60. On retrouve la formule scolaire $\dfrac{\sqrt 3}{4}s^2 = \dfrac{\sqrt 3}{4}\times 16 = 4\sqrt 3 = 6.92820323$ .

Entrée $n = 4$ , $s = 4$ : $\tan 45^\circ = 1$ , $A = 4 \times 16 / 4 = 16 = s^2$ , affichage aire 16, périmètre 16, angle intérieur 90 — la formule du carré $s^2$ est le cas particulier de la formule générale pour $n = 4$ .

Exemple 3 : le panneau STOP — l'octogone régulier de côté 10

Entrée : $n = 8$ , $s = 10$ .

$\tan(\pi/8) = \tan 22.5^\circ = 0.41421356 = \sqrt 2 - 1$ .
$A = \dfrac{8 \times 100}{4 \times 0.41421356} = \dfrac{800}{1.65685425} = 482.84271247$ .
$P = 80$ , angle intérieur $= 6 \times 180^\circ / 8 = 135^\circ$ .

Affichage : aire 482.84271247, périmètre 80, angle intérieur 135. En écriture fermée, $A = 2(1+\sqrt 2)s^2 = 200(1+\sqrt 2) = 482.84271247$ . Si le côté est en centimètres, un tel panneau couvre environ 0.048 m² ; l'apothème vaut $a = 10/(2\tan 22.5^\circ) = 12.07106781$ , donc la « cote sur plats » (mesurée comme une ouverture de clé) est $2a = 24.14$ .

Exemple 4 : retrouver le côté et l'approximation du cercle pour n grand

Entrée : aire $A = 100$ , $n = 6$ (videz la longueur du côté).

$s = \sqrt{\dfrac{4 \times 100 \times \tan 30^\circ}{6}} = \sqrt{\dfrac{230.94010768}{6}} = \sqrt{38.49001795} = 6.20403239$ .

Affichage : côté s 6.20403239, angle intérieur 120 ; « Périmètre » affiche 0 (voir la convention de l'étape 3). En recopiant 6.20403239 à la main dans le champ du côté, le périmètre affiche 37.22419436.

Entrée $n = 360$ , $s = 1$ : aire 10312.97851164, périmètre 360, angle intérieur 179. Un cercle de même périmètre 360 a une aire de $360^2/(4\pi) = 10313.24031235$ ; le polygone n'est que 0.0025 % plus petit — à force de côtés, le polygone régulier et le cercle deviennent pratiquement indiscernables : c'est exactement l'idée avec laquelle Archimède a encadré $\pi$ par des polygones à 96 côtés.

Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau ; passez le nombre de côtés de 6 à 8, 12 puis 100 pour observer l'angle intérieur tendre vers 180° et l'aire se rapprocher de celle d'un cercle de même périmètre.

Principes et démonstration

Découpage en n triangles isocèles

En reliant le centre du $n$ -gone régulier à chaque sommet, on obtient $n$ triangles isocèles superposables : la base mesure $s$ , les deux côtés égaux valent $R$ , et l'angle au sommet est l'angle au centre $2\pi/n$ , soit le tour complet 360° divisé en $n$ parts. En abaissant du centre une perpendiculaire sur la base, le triangle isocèle se coupe en deux triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit sont $s/2$ et l'apothème $a$ , et dont l'angle aigu vaut $\pi/n$ . D'où

\tan\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{a}\;\Rightarrow\; a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad \sin\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{R}\;\Rightarrow\; R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}

Chaque triangle isocèle a pour aire $\tfrac12 s a$ ; en additionnant les $n$ :

A = n \cdot \tfrac12 s a = \tfrac12 (ns)\,a = \tfrac12 P a = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}

La forme « aire = périmètre × apothème ÷ 2 » est exactement isomorphe à $A = \tfrac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ pour le cercle — le cercle est le « polygone à l'infini » dont l'apothème vaut le rayon et le périmètre $2\pi r$ .

Pourquoi l'angle intérieur vaut (n − 2)·180° / n

En traçant les diagonales d'un sommet vers tous les autres, un $n$ -gone quelconque se découpe en $n - 2$ triangles, chacun d'angle total 180°, donc la somme des angles intérieurs du polygone vaut $(n-2)\cdot 180^\circ$ . Les angles d'un polygone régulier sont égaux : en les répartissant à parts égales entre les $n$ sommets, on obtient chaque angle intérieur. Autre point de vue : chaque angle extérieur vaut $360^\circ/n$ (le tour complet d'un polygone correspond à 360°), l'angle intérieur vaut donc $180^\circ - 360^\circ/n$ , qui se simplifie en la même formule. Pour $n = 3, 4, 5, 6, 8$ , on obtient 60°, 90°, 108°, 120° et 135°.

Quels polygones réguliers pavent le plan

En réunissant plusieurs copies d'un même polygone régulier autour d'un sommet, la somme des angles doit valoir exactement 360°. Il faut donc que $360^\circ / \theta_{\text{int}}$ soit entier : le triangle équilatéral (6 exemplaires), le carré (4) et l'hexagone régulier (3) conviennent ; le pentagone $360/108 = 3.33$ et l'octogone $360/135 = 2.67$ non : seuls ces trois polygones réguliers pavent le plan à eux seuls. Le choix de l'hexagone par les abeilles n'est pas un hasard : parmi ces trois, c'est lui qui, pour une aire donnée, présente le plus petit périmètre (la « conjecture des nids d'abeilles », démontrée par Hales en 1999).

Approcher le cercle : des polygones vers π

À périmètre $P$ fixé, l'aire du $n$ -gone régulier vaut $A_n = \dfrac{P^2}{4n\tan(\pi/n)}$ . Quand $n \to \infty$ , $n\tan(\pi/n) \to \pi$ , donc $A_n \to P^2/(4\pi)$ , l'aire du cercle de périmètre $P$ . Dans l'exemple 4, $n = 360$ ne laisse déjà plus que 0.0025 % d'écart. Archimède, dans De la mesure du cercle, encadre $\pi$ entre $3\tfrac{10}{71}$ et $3\tfrac{1}{7}$ à l'aide d'hexagones réguliers à 96 côtés inscrits et circonscrits : c'est cette convergence qu'il utilise. La « méthode d'exhaustion du cercle » de Liu Hui obtient $\pi \approx 3.1416$ avec un polygone à 3072 côtés.

Partir du rayon du cercle circonscrit ou de l'apothème

Si l'on connaît non pas le côté mais $R$ (par exemple pour un polygone inscrit dans un cercle) ou $a$ (par exemple la cote sur plats d'un écrou), on peut d'abord les convertir en côté avant d'utiliser le calculateur : $s = 2R\sin(\pi/n)$ , $s = 2a\tan(\pi/n)$ . Les formules directes équivalentes sont $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ et $A = na^2\tan(\pi/n)$ .

Hypothèses

La figure est bien un polygone régulier : tous les côtés égaux et tous les angles intérieurs égaux. Une seule condition (un losange aux côtés égaux mais aux angles différents, par exemple) ne suffit pas.
Polygone convexe : les formules concernent les polygones réguliers convexes ; l'« aire » d'un polygone étoilé comme le pentagramme répond à une autre définition et sort du cadre.
Géométrie plane : dans le plan euclidien ; sur une sphère, la somme des angles intérieurs d'un polygone régulier est plus grande.
Nombre de côtés entier au moins égal à 3 : le moteur ne fait pas de vérification, la sortie pour un $n$ non entier n'a pas de sens géométrique.
Même unité : côté, apothème et rayon dans la même unité de longueur, aire dans son carré.
Convention de la résolution inverse : en retrouvant le côté à partir de l'aire, le périmètre est calculé avec le côté non saisi (0) et affiche 0 ; cela ne signifie pas que le périmètre est nul.

Champ d'application et limites

Ce qu'il sait calculer: aire, périmètre et angle intérieur de tout $n$ -gone régulier d'au moins 3 côtés à partir du côté ; le côté à partir de l'aire et du nombre de côtés.
Ce qu'il ne peut qu'approcher: un polygone « régulier » mesuré comporte toujours des défauts de fabrication ; l'erreur relative de l'aire vaut le double de celle du côté ( $\Delta A/A \approx 2\,\Delta s/s$ ).
Ce qu'il ne peut pas calculer: les polygones irréguliers (à découper en triangles ou à traiter par la formule des lacets à partir des coordonnées), l'entrée directe de $R$ ou $a$ (à convertir d'abord en $s$ ), les polygones étoilés, l'aire de polyèdres en trois dimensions.
Ce qu'il ne fait pas: il n'affiche ni apothème, ni rayon du cercle circonscrit, ni angle extérieur, ni nombre de diagonales ( $n(n-3)/2$ ) ; à calculer à la main si besoin.
Numérique: pour un très grand $n$ , $\tan(\pi/n)$ devient minuscule ; en double précision, on garde plus de 8 chiffres significatifs jusque vers $n = 10^7$ , sans incidence pratique.

Erreurs fréquentes

Écrire tan(π/n) en travaillant en degrés : $\pi/n$ est en radians. Sur une calculatrice en mode degrés, il faut saisir $\tan(180^\circ/n)$ ; pour l'hexagone, saisir $\tan(30^\circ)$ et non $\tan(0.5236^\circ)$ .
Prendre le rayon du cercle circonscrit pour le côté : seul l'hexagone régulier vérifie $R = s$ . Pour le carré $R = s/\sqrt 2$ , pour le triangle équilatéral $R = s/\sqrt 3$ , pour l'octogone $R = 1.3066\,s$ .
Prendre la « cote sur plats » pour le côté : la dimension nominale d'un écrou (17 mm pour un écrou M10) est la cote sur plats $2a$ , pas le côté. Le côté vaut $s = 2a\tan(\pi/n)$ , soit pour l'hexagone $s = 2a \times 0.57735 = 1.1547\,a$ : un écrou de 17 mm a $a = 8.5$ mm et un côté de 9.81 mm.
Appliquer la formule à une figure irrégulière : un pentagone dont les cinq côtés mesurent 5 mais dont les angles diffèrent a une aire plus petite que le pentagone régulier ; la formule ne vaut que pour un polygone régulier.
Oublier le carré dans l'unité d'aire : l'aire d'un hexagone régulier de côté 5 cm vaut 64.95 cm², pas 64.95 cm.
Saisir un nombre de côtés décimal ou inférieur à 3 : le moteur calcule quand même, mais le résultat n'a pas de sens (voir l'encadré après l'exemple 4).
Lire le périmètre 0 du mode inverse comme un résultat : c'est une convention, pas une valeur ; recopiez le côté retrouvé pour le voir.

Cas d'usage typiques

Enseignement : du triangle et du carré au cercle

Vérifier d'abord les formules familières avec $n = 3$ et $4$ , puis augmenter $n$ jusqu'à 100 ou 1000 et observer l'angle intérieur tendre vers 180° et l'aire se rapprocher de celle d'un cercle de même périmètre — une première expérience de la limite et de l'origine de $\pi$ .

Architecture et jardins : gloriettes, massifs, dalles

Aire au sol d'une gloriette hexagonale de côté connu (pour calculer le revêtement) ; périmètre d'un massif octogonal (pour la bordure) ; déterminer quelles dalles régulières pavent sans joint (seulement 3, 4 et 6 côtés).

Mécanique et quincaillerie : écrous et alésages

L'écrou est un hexagone régulier : convertir la cote sur plats en côté et en aire de section ; même logique pour les cannelures octogonales ou dodécagonales et les ouvertures de clés.

Signalétique et design

Conversion de dimensions et estimation d'aire pour le panneau STOP (octogone), les motifs d'alvéoles (hexagone), les écussons (pentagone, décagone).

Questions fréquentes

Comment calculer l'aire à partir du rayon du cercle circonscrit R ?

Avec $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ , ou en calculant d'abord le côté $s = 2R\sin(\pi/n)$ puis en le saisissant dans le calculateur. Pour l'hexagone, $R = 5$ donne $s = 5$ et une aire de 64.95.

Et à partir de l'apothème (rayon du cercle inscrit) a ?

$A = na^2\tan(\pi/n)$ , ou $s = 2a\tan(\pi/n)$ . Pour l'hexagone, $a = 4.3301$ donne $s = 5$ .

Pourquoi l'angle intérieur s'affiche-t-il 128.57142857 ?

L'angle intérieur de l'heptagone vaut $5 \times 180^\circ / 7 = 900^\circ/7$ , qui n'est pas entier ; l'angle n'est entier que lorsque $n$ divise 360 ( $n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ ).

Polygone régulier ou cercle : lequel a la plus grande aire ?

À périmètre égal, c'est le cercle ; plus un polygone régulier a de côtés, plus il s'en approche (inégalité isopérimétrique). Dans l'exemple 4, le polygone à 360 côtés n'est que 0.0025 % plus petit que le cercle.

Peut-on calculer un polygone irrégulier ?

Non. Avec les coordonnées des sommets, utilisez la formule des lacets $A = \tfrac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ ; avec les côtés et les angles, découpez en triangles.

Que se passe-t-il si l'on saisit 2 ou 1 comme nombre de côtés ?

Pour $n = 2$ , $\tan(\pi/2)$ est infini et l'aire tend vers 0, l'angle intérieur vers 0 ; pour $n = 1$ , $\tan\pi = 0$ et l'aire diverge. Aucune des deux n'a de sens géométrique, et la valeur minimale indiquée par le champ est 3.

Références et pour aller plus loin

Le code source du moteur CalcX src/data/formulas.ts, définition regular-polygon (compute(known, solveFor) gère area / perimeter / intAngle et la résolution de s à partir de area) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Wikipédia, Regular polygon（访问日期：2026-09-09）— les diverses formules équivalentes de l'aire, de l'apothème et du rayon du cercle circonscrit.
Wikipédia, Apothem（访问日期：2026-09-09）— la démonstration de $A = \tfrac12 Pa$ .
Euclide, Éléments, livre IV, édition commentée par D. E. Joyce, Clark University（访问日期：2026-09-09）— constructions à la règle et au compas des polygones réguliers inscrits et circonscrits.
Wikipédia, Honeycomb conjecture（访问日期：2026-09-09）— l'hexagone régulier minimise le périmètre à aire égale dans un partage, démontré par Hales en 1999.
Wikipédia, Euclidean tilings by convex regular polygons（访问日期：2026-09-09）— seuls le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier pavent le plan à eux seuls.
Archimède, De la mesure du cercle, proposition 3 ; méthode d'exhaustion du cercle dans le commentaire du Jiuzhang suanshu par Liu Hui — les textes fondateurs de l'approximation du cercle par des polygones.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09