正多邊形計算器：面積、周長、內角、邊心距與外接圓半徑

計算器説明

正多邊形計算器根據邊數 $n$ 和邊長 $s$ ，給出正多邊形的面積 $A = \dfrac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}$ 、周長 $P = ns$ 和每個內角 $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ ；也可以反過來，由面積和邊數反解邊長。

「正多邊形」指所有邊等長、所有角相等的多邊形：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形（螺母、蜂巢）、正八邊形（停車標誌）……只要圖形滿足這兩個條件，量一條邊就知道全部。它把三角形、正方形這些「小學幾何」和圓（ $n \to \infty$ 的極限）串在一條線上，是理解「用多邊形逼近圓」的起點。

它不做的事：不處理不規則多邊形（邊長或角不相等的圖形要分割成三角形逐塊算），不處理星形多邊形，也不做單位換算——邊長用什麼單位，面積就是它的平方。

公式與變量

設正 $n$ 邊形邊長為 $s$ ，從中心到各頂點的距離（外接圓半徑）為 $R$ ，從中心到各邊中點的距離（邊心距、內切圓半徑）為 $a$ ：

A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)},\qquad P = n\,s,\qquad \theta_{\text{內}} = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

三個輔助量與兩種等價的面積寫法（計算器內部只用第一式，其餘供手算與核對）：

a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)},\qquad A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2}\,n\,R^2 \sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)

由面積反解邊長：

s = \sqrt{\frac{4A\tan(\pi/n)}{n}}

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$n$	邊數	邊數 n	個	整數， $n \ge 3$ ；默認 6。面板會拒絕小於 3 或非整數的輸入（`min: 3, integer: true`）；底層 `compute()` 不檢查
$s$	邊長	邊長 s	長度	$s > 0$ ；默認 5
$A$	面積	面積	長度²	輸出；反解模式下作為輸入
$P$	周長	周長	長度	輸出， $P = ns$
$\theta_{\text{內}}$	每個內角	內角(°)	度	輸出， $(n-2)\cdot 180^\circ/n$ ，隨 $n$ 增大趨於 180°
$a$	邊心距（內切圓半徑）	（不顯示）	長度	中心到邊的垂距，手算面積時的「高」
$R$	外接圓半徑	（不顯示）	長度	中心到頂點的距離；正六邊形恰有 $R = s$
$\pi/n$	半個中心角	（中間量）	弧度	公式中的 $\tan(\pi/n)$ 以弧度計；用角度制手算寫成 $\tan(180^\circ/n)$

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 正多邊形」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.regular-polygon）。打開時「邊數 n」= 6、「邊長 s」= 5 已填好，面積、周長、內角隨即算出。
求面積、周長、內角改寫邊數與邊長，帶「輸入」標記的是你填的，帶「計算」標記的三個字段實時更新。邊數請填 3 以上的整數。
由面積反解邊長清空「邊長 s」，在「面積」裏填入已知面積，保留「邊數 n」，邊長字段切換成「計算」並顯示結果。注意此時「周長」會顯示 0（引擎把未填的邊長當 0 計算周長，反解出的邊長不回填），把結果手動填回邊長字段即可看到周長。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零，例如正六邊形邊長 5 的面積顯示 64.95190528；內角在 $n$ 為整數時通常是整數或有限小數（正五邊形 108，正七邊形 128.57142857）。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把公式文本 A = n×s²/(4tan(π/n)) 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 regular-polygon 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零。

算例 1：默認輸入，邊長 5 的正六邊形

輸入： $n = 6$ ， $s = 5$ 。

半個中心角 $\pi/6 = 30^\circ$ ， $\tan 30^\circ = 0.57735027$ 。
面積 $A = \dfrac{6 \times 25}{4 \times 0.57735027} = \dfrac{150}{2.30940108} = 64.95190528$ 。
周長 $P = 6 \times 5 = 30$ 。
內角 $= (6-2)\times 180^\circ / 6 = 120^\circ$ 。

界面顯示：面積 64.95190528，周長 30，內角 120。手算核對：邊心距 $a = 5/(2\tan 30^\circ) = 4.33012702$ ，面積 $= \tfrac12 \times 30 \times 4.33012702 = 64.95190528$ ，一致；外接圓半徑 $R = 5/(2\sin 30^\circ) = 5 = s$ ——正六邊形是唯一「外接圓半徑等於邊長」的正多邊形，因為它由 6 個正三角形拼成。

圖 1：算例 1 的正六邊形。面積 = 6 個「底 s、高 a」的等腰三角形

算例 2：正三角形與正方形——用已知公式核對

輸入 $n = 3$ ， $s = 4$ ：

$\tan(\pi/3) = \tan 60^\circ = 1.73205081$ 。
$A = \dfrac{3 \times 16}{4 \times 1.73205081} = \dfrac{48}{6.92820323} = 6.92820323$ 。

界面顯示：面積 6.92820323，周長 12，內角 60。它等於中學公式 $\dfrac{\sqrt 3}{4}s^2 = \dfrac{\sqrt 3}{4}\times 16 = 4\sqrt 3 = 6.92820323$ 。

輸入 $n = 4$ ， $s = 4$ ： $\tan 45^\circ = 1$ ， $A = 4 \times 16 / 4 = 16 = s^2$ ，界面顯示面積 16，周長 16，內角 90——正方形公式 $s^2$ 是通式在 $n = 4$ 時的特例。

算例 3：停車標誌——邊長 10 的正八邊形

輸入： $n = 8$ ， $s = 10$ 。

$\tan(\pi/8) = \tan 22.5^\circ = 0.41421356 = \sqrt 2 - 1$ 。
$A = \dfrac{8 \times 100}{4 \times 0.41421356} = \dfrac{800}{1.65685425} = 482.84271247$ 。
$P = 80$ ，內角 $= 6 \times 180^\circ / 8 = 135^\circ$ 。

界面顯示：面積 482.84271247，周長 80，內角 135。閉式寫法 $A = 2(1+\sqrt 2)s^2 = 200(1+\sqrt 2) = 482.84271247$ 。若邊長單位是釐米，一塊這樣的標誌面積約 0.048 m²；邊心距 $a = 10/(2\tan 22.5^\circ) = 12.07106781$ ，所以「對邊距離」（扳手開口那種量法）是 $2a = 24.14$ 。

算例 4：反解邊長，以及 n 很大時逼近圓

輸入：面積 $A = 100$ ， $n = 6$ （清空邊長）。

$s = \sqrt{\dfrac{4 \times 100 \times \tan 30^\circ}{6}} = \sqrt{\dfrac{230.94010768}{6}} = \sqrt{38.49001795} = 6.20403239$ 。

界面顯示：邊長 s 6.20403239，內角 120；「周長」顯示 0（見步驟 3 的口徑説明）。手動把 6.20403239 填回邊長，周長顯示 37.22419434。

輸入 $n = 360$ ， $s = 1$ ：面積 10312.97851164，周長 360，內角 179。周長同為 360 的圓面積是 $360^2/(4\pi) = 10313.24031235$ ，多邊形只比圓小 0.0025%——邊數一多，正多邊形與圓幾乎無法區分，這正是阿基米德用 96 邊形夾逼 $\pi$ 的思路。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現；把邊數從 6 依次改為 8、12、100，觀察內角向 180° 逼近、面積與「同周長的圓」越來越接近。

原理與推導

切成 n 個等腰三角形

把正 $n$ 邊形的中心與每個頂點相連，得到 $n$ 個全等的等腰三角形：底邊是 $s$ ，兩腰是 $R$ ，頂角是整個 360° 平分成的中心角 $2\pi/n$ 。再從中心向底邊作垂線，等腰三角形被分成兩個直角三角形，直角邊分別是 $s/2$ 和邊心距 $a$ ，鋭角是 $\pi/n$ 。於是

\tan\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{a}\;\Rightarrow\; a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad \sin\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{R}\;\Rightarrow\; R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}

每個等腰三角形的面積是 $\tfrac12 s a$ ， $n$ 個加起來：

A = n \cdot \tfrac12 s a = \tfrac12 (ns)\,a = \tfrac12 P a = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}

「面積 = 周長 × 邊心距 ÷ 2」這一形式和圓的 $A = \tfrac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ 完全同構——圓就是邊心距等於半徑、周長等於 $2\pi r$ 的「無窮多邊形」。

內角為什麼是 (n − 2)·180° / n

從一個頂點向其餘頂點連對角線，任意 $n$ 邊形都被分成 $n - 2$ 個三角形，每個三角形內角和 180°，所以多邊形內角和是 $(n-2)\cdot 180^\circ$ 。正多邊形各角相等，平均分給 $n$ 個角就得到每個內角。另一種看法：每個外角是 $360^\circ/n$ （繞多邊形走一圈總共轉 360°），內角 $= 180^\circ - 360^\circ/n$ ，化簡後與前式相同。 $n = 3, 4, 5, 6, 8$ 分別給出 60°、90°、108°、120°、135°。

哪些正多邊形能鋪滿平面

在一個頂點處拼若干個相同的正多邊形，內角之和必須恰好是 360°。 $360^\circ / \theta_{\text{內}}$ 要是整數：正三角形（6 個）、正方形（4 個）、正六邊形（3 個）可以；正五邊形 $360/108 = 3.33$ 、正八邊形 $360/135 = 2.67$ 都不行，所以只有這三種正多邊形能單獨鋪滿平面。蜂巢選擇正六邊形不是巧合：在這三種裏，圍住同樣面積時正六邊形的周長最短（Hales 於 1999 年證明的「蜂巢猜想」）。

逼近圓：從多邊形到 π

固定周長 $P$ ，正 $n$ 邊形面積 $A_n = \dfrac{P^2}{4n\tan(\pi/n)}$ 。當 $n \to \infty$ ， $n\tan(\pi/n) \to \pi$ ，於是 $A_n \to P^2/(4\pi)$ ，正是周長為 $P$ 的圓的面積。算例 4 中 $n = 360$ 已經只差 0.0025%。阿基米德在《圓的度量》中用內接與外切正 96 邊形夾出 $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$ ，用的就是這一收斂；劉徽的「割圓術」以正 3072 邊形得到 $\pi \approx 3.1416$ 。

從外接圓半徑或邊心距出發

如果已知的不是邊長而是 $R$ （例如圓內接正多邊形）或 $a$ （例如螺母的對邊距離），可以先換算成邊長再用本計算器： $s = 2R\sin(\pi/n)$ ， $s = 2a\tan(\pi/n)$ 。等價的直接公式是 $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ 與 $A = na^2\tan(\pi/n)$ 。

假設

圖形確實是正多邊形：所有邊相等且所有內角相等。只滿足一個條件（例如菱形邊相等但角不等）就不適用。
凸多邊形：公式針對凸的正多邊形；正五角星等星形多邊形的「面積」有不同定義，不在範圍內。
平面幾何：在歐幾里得平面上；球面上的正多邊形內角和更大。
邊數為不小於 3 的整數：面板會拒絕非整數與 $n < 3$ 的輸入（min: 3, integer: true）；只有底層 compute() 不檢查，非整數 $n$ 的輸出沒有幾何意義。
同一單位：邊長與邊心距、半徑使用同一長度單位，面積為其平方。
反解口徑：由面積反解邊長時，周長字段按未填寫的邊長（0）計算並顯示 0，不代表周長為零。

適用範圍與限制

能算: 任意 $n \ge 3$ 的正多邊形由邊長求面積、周長、內角；由面積與邊數反解邊長。
只能近似: 實測的「正」多邊形總有製造誤差；面積對邊長的相對誤差是邊長相對誤差的兩倍（ $\Delta A/A \approx 2\,\Delta s/s$ ）。
不能算: 不規則多邊形（請分割成三角形或用座標法「鞋帶公式」）、由 $R$ 或 $a$ 直接輸入（先按上文換算成 $s$ ）、星形多邊形、三維多面體的表面積。
不做: 不輸出邊心距、外接圓半徑、外角、對角線條數（ $n(n-3)/2$ ）等輔助量，需要時按公式手算。
數值: $n$ 極大時 $\tan(\pi/n)$ 很小，雙精度下 $n$ 到 $10^7$ 量級仍有 8 位以上有效數字，日常使用不受影響。

常見誤區

手算時用角度制卻寫 tan(π/n)： $\pi/n$ 是弧度。用普通計算器在角度模式下應按 $\tan(180^\circ/n)$ ；正六邊形填 $\tan(30^\circ)$ 而不是 $\tan(0.5236^\circ)$ 。
把外接圓半徑當成邊長：只有正六邊形 $R = s$ 。正方形 $R = s/\sqrt 2$ ，正三角形 $R = s/\sqrt 3$ ，正八邊形 $R = 1.3066\,s$ 。
把「對邊距離」當成邊長：螺母標稱尺寸（如 M10 螺母的 17 mm）是對邊距離 $2a$ ，不是邊長。邊長 $s = 2a\tan(\pi/n)$ ，對正六邊形 $s = 2a \times 0.57735 = 1.1547\,a$ ：17 mm 螺母 $a = 8.5$ mm，邊長 9.81 mm。
用不規則圖形套公式：五條邊都是 5 但角不相等的五邊形，面積小於正五邊形；公式只對正多邊形成立。
面積單位漏掉平方：邊長 5 cm 的正六邊形面積是 64.95 cm²，不是 64.95 cm。
邊數填小數或小於 3：面板會攔住（min: 3, integer: true）；只有底層 compute() 照算，但結果無意義（見算例 4 後的提示）。
周長在反解模式顯示 0：那是口徑而非結果，把反解出的邊長填回去即可。

典型使用場景

教學：從三角形、正方形到圓

先用 $n = 3$ 、 $4$ 核對熟悉的公式，再把 $n$ 一路加大到 100、1000，觀察內角逼近 180°、面積逼近同周長圓的面積——一次體驗極限與 $\pi$ 的由來。

建築與園藝：涼亭、花壇、地磚

六角涼亭已知邊長求地面面積（算地板材料）；正八邊形花壇求周長（算圍邊長度）；判斷哪種正多邊形地磚能無縫鋪滿（只有 3、4、6 邊）。

機械與五金：螺母與軸孔

螺母是正六邊形：由對邊距離換算邊長與截面積；正八邊形、正十二邊形的花鍵或扳手開口同理。

標誌與設計

停車標誌（正八邊形）、蜂巢圖案（正六邊形）、徽章（正五邊形、正十邊形）的尺寸換算與面積估計。

常見問題

已知外接圓半徑 R，面積怎麼算？

用 $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ ，或先算邊長 $s = 2R\sin(\pi/n)$ 再填進計算器。正六邊形 $R = 5$ 時 $s = 5$ ，面積 64.95。

已知邊心距（內切圓半徑）a 呢？

$A = na^2\tan(\pi/n)$ ，或 $s = 2a\tan(\pi/n)$ 。正六邊形 $a = 4.3301$ 時 $s = 5$ 。

為什麼內角顯示 128.57142857 這種小數？

正七邊形內角 $= 5 \times 180^\circ / 7 = 900^\circ/7$ ，不是整數；只有當 $n$ 整除 $360$ 時內角才是整數（ $n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ ）。

正多邊形和圓哪個面積大？

周長相同時，圓面積最大；邊數越多的正多邊形越接近圓（等周不等式）。算例 4 裏 360 邊形只比圓小 0.0025%。

能算不規則多邊形嗎？

不能。已知各頂點座標時用鞋帶公式 $A = \tfrac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ ；已知邊和角時分割成三角形。

邊數填 2 或 1 會怎樣？

字段會先拒絕： $n < 3$ 提示「不能小於 3」（min: 3）。直接調用底層 compute() 時， $n = 2$ 得到 $\tan(\pi/2)$ 無窮大、面積 0，內角 0； $n = 1$ 時 $\tan\pi = 0$ ，面積為無窮——都沒有幾何意義。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulas.ts 中的 regular-polygon 定義（compute(known, solveFor) 支持 area / perimeter / intAngle 與由 area 反解 s）；本頁所有數字由該引擎復算。
Wikipedia, Regular polygon（访问日期：2026-09-09）——面積、邊心距、外接圓半徑的各種等價公式。
Wikipedia, Apothem（访问日期：2026-09-09）—— $A = \tfrac12 Pa$ 的推導。
Euclid, Elements, Book IV，D. E. Joyce 編注版，Clark University（访问日期：2026-09-09）——圓內接、外切正多邊形的尺規作法。
Wikipedia, Honeycomb conjecture（访问日期：2026-09-09）——正六邊形是等面積分割中周長最小的，Hales 1999 年證明。
Wikipedia, Euclidean tilings by convex regular polygons（访问日期：2026-09-09）——只有正三角形、正方形、正六邊形能單獨鋪滿平面。
阿基米德《圓的度量》命題 3；劉徽《九章算術》「圓田術」注中的割圓術——用正多邊形逼近圓的原典。

隱私

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來源與審閲

更新: 2026-09-09