弧長與扇形計算器：弧長、扇形面積與弦長

計算器説明

弧長與扇形計算器根據圓的半徑 $r$ 和圓心角 $\theta$ （以度輸入）求出三樣東西：這段圓弧的長度 $L$ 、這個扇形（圓心與圓弧圍成的「披薩塊」）的面積 $A$ 、以及連接弧兩端的弦長。反過來，已知弧長和半徑，它也能求出圓心角。

凡是「圓的一部分」都能用它：鐘錶指針掃過的距離、彎道的長度、一塊披薩的面積、齒輪上一段齒距對應的角度、地球表面沿經線走 1° 是多少公里。它也是把「度」和「弧度」兩種角度單位真正聯繫起來的地方——弧度的定義就是弧長與半徑之比。

它不做的事：不算圓本身的周長與面積（把角度填 360° 即可得到），不算弓形（弧與弦之間那一塊）的面積——但本頁給出了公式，用扇形面積減去三角形面積即可；不把角度歸一化到 0°–360°；不做單位換算。

公式與變量

先把角度從度換成弧度 $\theta = \theta_{\deg} \times \pi / 180$ ，然後

L = r\,\theta,\qquad A = \tfrac{1}{2}\,r^2\theta,\qquad \text{弦長} = 2r\sin\frac{\theta}{2}

由弧長反解角度： $\theta_{\deg} = \dfrac{L}{r} \times \dfrac{180}{\pi}$ 。弓形（弧與弦之間的區域）面積不在輸出裏，但可由扇形減去等腰三角形得到：

A_{\text{弓形}} = \tfrac{1}{2}\,r^2\,(\theta - \sin\theta)

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$r$	圓的半徑	半徑 r	長度	$r > 0$ ；默認 10
$\theta_{\deg}$	圓心角（度）	角度(°)	度	通常 $0 < \theta_{\deg} \le 360$ ；默認 60；引擎不限制範圍，超過 360° 會按「多於一整圈」計算
$\theta$	圓心角（弧度）	（中間量）	rad	$\theta = \theta_{\deg}\,\pi/180$ ；60° = π/3 ≈ 1.0472 rad
$L$	弧長	弧長	長度	輸出； $\theta_{\deg} = 360$ 時等於周長 $2\pi r$ ；可作輸入反解角度
$A$	扇形面積	扇形面積	長度²	輸出； $\theta_{\deg} = 360$ 時等於圓面積 $\pi r^2$
弦長	弧兩端點的直線距離	弦長	長度	輸出； $\theta_{\deg} = 180$ 時等於直徑 $2r$ ，是弦長的最大值

半徑、弧長、弦長使用同一長度單位，面積是該單位的平方。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 弧長 / 扇形」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arc-sector）。打開時半徑 r = 10、角度 60° 已填入，弧長、扇形面積、弦長自動算出。
算弧長、面積、弦長改寫半徑和角度（角度用度，不是弧度），三個帶「計算」標記的字段實時更新，最多 8 位小數、去尾零。
由弧長反解角度清空「角度(°)」，在「弧長」裏填入已知弧長，保留半徑，角度字段切換為「計算」並給出度數。此時扇形面積和絃長會顯示 0（引擎把未知角度當 0 計算），請忽略，或把反解出的角度填回角度字段再讀它們。
整圓與半圓角度填 360 得到周長與圓面積（弦長理論上為 0，界面可能顯示 2.449294e-15 這樣的浮點噪聲，即 0；半徑 6 時對應 1.469576e-15）；填 180 得到半圓弧長、半圓面積與直徑。
算弓形面積用輸出的扇形面積減去三角形面積 $\tfrac12 r^2 \sin\theta$ ，或直接代入 $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ 。

算例

四組算例均由引擎 arc-sector 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零。

算例 1：半徑 6、圓心角 60°

弧度 $\theta = 60 \times \pi/180 = \pi/3 \approx 1.04719755$ 。
弧長 $L = 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28318531$ 。
扇形面積 $A = \tfrac12 \times 36 \times \pi/3 = 6\pi \approx 18.84955592$ 。
弦長 $= 2 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6$ 。

界面顯示：弧長 6.28318531，扇形面積 18.84955592，弦長 6。圓心角 60° 時兩條半徑與弦組成等邊三角形，所以弦長恰好等於半徑。

圖 1：算例 1。弧長與面積都要用弧度代入；弦長用 2r·sin(θ/2)，θ/2 用度或弧度都可以，只要和 sin 的口徑一致

算例 2：面板默認值，半徑 10、60°

$L = 10 \times \pi/3 \approx 10.47197551$ 。
$A = \tfrac12 \times 100 \times \pi/3 \approx 52.35987756$ 。
弦長 $= 20 \sin 30° = 10$ 。

界面顯示：10.47197551、52.35987756、10。與算例 1 相比半徑放大到 $10/6$ 倍，弧長與弦長同比放大，面積放大 $(10/6)^2 = 2.78$ 倍。

算例 3：優弧——半徑 1.5、270°

$\theta = 270 \times \pi/180 = 3\pi/2 \approx 4.71238898$ 。
$L = 1.5 \times 3\pi/2 \approx 7.06858347$ （四分之三個周長）。
$A = \tfrac12 \times 2.25 \times 3\pi/2 \approx 5.3014376$ （四分之三個圓面積）。
弦長 $= 3 \sin 135° = 3 \times 0.70710678 \approx 2.12132034$ 。

界面顯示：7.06858347、5.3014376、2.12132034。超過 180° 後弦長開始回落——270° 的弦與 90° 的弦一樣長，因為它們是同一條弦的兩側。

算例 4：由弧長反解角度

一段弧長 5、半徑 10 的弧對應多大的圓心角？清空角度，輸入弧長 5、半徑 10。

$\theta = L/r = 0.5$ rad。
$\theta_{\deg} = 0.5 \times 180/\pi \approx 28.64788976°$ 。

界面顯示：角度 28.64788976。此時扇形面積與弦長字段顯示 0，這是反解模式的口徑（見「假設」）。把 28.64788976 填回角度字段，可得扇形面積 25、弦長 4.94807919。

半徑固定為 6，讓圓心角從 0° 掃到 360°：弧長隨角度線性增長（0 → 37.70），弦長先增後減，在 180° 處達到最大值 12（直徑），到 360° 回到 0。小角度時兩條曲線幾乎重合——弦長與弧長之比 $\sin(\theta/2)/(\theta/2)$ 在 10° 時為 0.9987，在 60° 時為 0.9549，在 180° 時為 0.6366。

原理與推導

弧長：周長的一部分

整個圓周長 $2\pi r$ 對應圓心角 360°；圓心角 $\theta_{\deg}$ 的弧佔整圓的 $\theta_{\deg}/360$ ，所以

L = \frac{\theta_{\deg}}{360} \times 2\pi r = r \times \left(\theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180}\right) = r\,\theta

括號裏的量就是弧度。弧度的定義：弧長與半徑之比， $\theta = L/r$ 。一個弧度就是「弧長恰好等於半徑」的圓心角，約 57.2958°；整圓是 $2\pi$ 弧度。用弧度寫公式， $L = r\theta$ 裏沒有任何常數——這是數學與物理幾乎總用弧度的原因。

扇形面積：圓面積的一部分

同樣按比例： $A = \dfrac{\theta_{\deg}}{360}\,\pi r^2 = \tfrac12 r^2 \theta$ 。另一種看法是把扇形切成無數細窄的三角形，每個底邊是一小段弧 $r\,d\theta$ 、高是 $r$ ，面積 $\tfrac12 r \cdot r\,d\theta$ ，加起來就是 $\tfrac12 r^2 \theta$ 。這與 $A = \tfrac12 L r$ （「底 × 高 / 2」，把弧當底、半徑當高）是同一個式子。

弦長：一個等腰三角形

圓心與弧兩端組成等腰三角形，兩腰為 $r$ 、頂角為 $\theta$ 。從圓心向弦作垂線，把它分成兩個直角三角形，每個的對邊是弦的一半、斜邊是 $r$ 、頂角是 $\theta/2$ ，於是弦的一半 $= r\sin(\theta/2)$ ，弦長 $= 2r\sin(\theta/2)$ 。 $\theta = 180°$ 時 $\sin 90° = 1$ ，弦長 $= 2r$ 是直徑，也是弦長的最大值；再增大角度弦長回落， $360°$ 時兩端重合、弦長為 0。

弓形面積

弧與弦圍成的區域叫弓形（圓缺）。它等於扇形減去那個等腰三角形：三角形面積 $= \tfrac12 r^2 \sin\theta$ （兩邊夾角公式），所以 $A_{\text{弓形}} = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ 。算例 1 中 $= 18.84955592 - 15.58845727 = 3.26109865$ 。圓形油罐裏液麪以下的橫截面積、拱門上方的面積都用這個式子。

小角度近似

$\theta$ 很小時 $\sin\theta \approx \theta$ （弧度），所以弦長 ≈ 弧長，弓形面積 ≈ $\tfrac12 r^2 \cdot \theta^3/6$ 趨於 0。這是測量學和天文學裏「用弦代弧」的依據：1° 的弧與弦相差只有 0.0013%，地球上 1° 的弧長 111.195 km 與弦長 111.194 km 幾乎無法區分。

為什麼一圈是 360°

360 的一種常見假説認為是古巴比倫的六十進制與一年約 360 天的粗略觀測，它有 24 個約數，便於等分；但不論來歷如何，它是人為約定，不是幾何事實。弧度則由圓自身的比例決定：整圈 $2\pi$ 。「弧度」這一名稱於 1873 年由 James Thomson 提出，而這一概念可追溯到 Roger Cotes（1714）。

假設

圓心角用度輸入：引擎在內部乘以 $\pi/180$ 換成弧度；如果你手裏的角度已經是弧度，先乘 $180/\pi$ 再輸入。
不歸一化角度：填 400° 會被當作「一圈又 40°」計算，弧長與面積繼續增大，弦長按 $\sin 200°$ 計算為負值；負角度得到負的弧長與面積。有意義的範圍是 $0° < \theta \le 360°$ 。
正半徑： $r > 0$ 。反解角度時 $r = 0$ 會除零——弧長非零時角度顯示 ∞， $0/0$ 顯示為空。
反解隻影響角度字段：由弧長反解角度時，扇形面積與弦長按「角度 = 0」計算顯示 0，應忽略。
同一長度單位：半徑、弧長、弦長同單位，面積為其平方。

適用範圍與限制

能算: 任意正半徑與任意圓心角（度）的弧長、扇形面積、弦長；由弧長與半徑反解圓心角。結果最多 8 位小數。
只能近似: 整圓（360°）的弦長理論為 0，界面可能顯示 2.449294e-15（默認半徑 10；半徑 6 時為 1.469576e-15）一類的浮點噪聲；把它讀作 0。
不能算: 弓形面積（用本頁公式手算）、由弦長或面積反解角度或半徑、橢圓弧、螺旋線長度、三維曲面上的弧。
不做: 不限制角度到 0°–360°，不做度分秒或弧度輸入，不做單位換算。
數值: 極大半徑與極小角度組合時， $\sin(\theta/2)$ 的相對精度會下降，但對日常量級無影響。

常見誤區

把弧度填進「角度(°)」：填 1.0472 得到的是 1.0472°，弧長只有 0.1097（半徑 6）而不是 2π。這個字段要度數。
手算時忘了換弧度： $L = r\theta$ 只對弧度成立；用 60 直接乘半徑會得到 360 而不是 6.28。
弦長當弧長：小角度時兩者接近，大角度差別很大——180° 時弦長 12 而弧長 18.85（半徑 6）。
角度超過 360°：引擎不折回，400° 的弦長會是負數。先把角度減去整圈數。
反解模式下讀面積與弦長：它們顯示 0 是口徑問題，不是幾何事實。
面積按比例放大：半徑翻倍，弧長與弦長翻倍，但扇形面積變為 4 倍。
整圓弦長的浮點噪聲：默認輸入（r = 10）顯示的 2.449294e-15 就是 0，不是一個「很小的弦」。

典型使用場景

教學：弧度到底是什麼

把半徑填 1，角度填 57.29577951（一個弧度），弧長恰為 1；再把角度填 360，看弧長變成 6.28318531 = 2π。弧度就是「以半徑為尺子量弧長」。

披薩與蛋糕的公平分配

直徑 30 cm 的披薩切 8 塊：r = 15、角度 45°，每塊面積 88.35729338 cm²、外沿弧長 11.78097245 cm、直邊間的弦長 11.4805 cm。整塊面積 706.86 cm² 的八分之一，正好。

彎道、拱門與鐘錶

公路彎道的半徑與轉角給出彎道長度；拱門的半徑與張角給出拱的弧長（材料用量）與弦長（跨度）；時針 1 小時轉 30°，分針 20 分鐘轉 120°，配合指針長度即可得到針尖走過的距離。

地球與航海

r = 6371 km、1 角分（1/60°）的弧長 1.8532 km 是海里的來源；經線上緯度差 1° ≈ 111.19 km。工程與測量上用弦代弧的誤差在小角度下可以忽略。

常見問題

角度應該填度還是弧度？

填度。引擎內部乘 $\pi/180$ 換成弧度。如果已知的是弧度，先乘 $180/\pi$ （約 57.2958）再填。

怎樣算整圓的周長和麪積？

角度填 360：弧長就是周長 $2\pi r$ ，扇形面積就是圓面積 $\pi r^2$ 。此時弦長理論為 0，界面可能顯示極小的浮點噪聲。

弓形（弧和絃之間）的面積怎麼算？

扇形面積減去三角形面積： $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ ， $\theta$ 用弧度。算例 1 得 3.2611。

為什麼 270° 的弦長和 90° 的一樣？

它們是同一條弦：弦把圓分成兩段弧，90° 的劣弧和 270° 的優弧共用同一條弦， $\sin 135° = \sin 45°$ 。

為什麼反解角度時面積和絃長變成 0？

引擎在反解模式下把未知角度當 0 計算其它輸出，得到的是無意義的值。把反解出的角度填回角度字段即可看到正確的面積與弦長。

已知弦長能反解角度嗎？

本計算器不能（只支持由弧長反解）。手算： $\theta = 2\arcsin\big(\text{弦長}/(2r)\big)$ ，注意弦長不能超過直徑。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulas.ts 中的 arc-sector 定義（角度以度輸入、內部換弧度；arcLen、sectorArea、chordLen 三個目標與由弧長反解角度）；本頁所有數字由該引擎復算。
Wikipedia, Circular sector（访问日期：2026-09-08）——扇形面積與弧長公式。
Wikipedia, Arc length（访问日期：2026-09-08）——圓弧長度與一般曲線弧長。
Wikipedia, Radian（访问日期：2026-09-08）——弧度的定義、歷史與換算。
Wikipedia, Circular segment（访问日期：2026-09-08）——弓形面積與弦長公式。

隱私

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來源與審閲

更新: 2026-09-09