圓柱與圓錐計算器：體積、表面積、母線與由體積反解半徑

計算器説明

圓柱與圓錐計算器把「同底同高」的兩個旋轉體放在一個面板裏：輸入底面半徑 $r$ 和高 $h$ ，一次得到圓柱體積 $\pi r^2 h$ 、圓柱表面積 $2\pi r(r+h)$ 、圓錐體積 $\tfrac13 \pi r^2 h$ 和圓錐表面積 $\pi r(r + l)$ ，其中母線 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ 由引擎自動求出。已知圓柱體積和高時，還能反解半徑。

水杯、易拉罐、水管、油罐、儲糧倉的柱段是圓柱；漏斗、冰淇淋筒、錐形路障、儲糧倉的錐頂是圓錐。兩者共享同一個底面圓，所以放在一起算最方便：一個糧倉的容積就是「圓柱體積 + 圓錐體積」，用一組 $r$ 、 $h$ 各算一遍再相加即可。

它不做的事：不處理斜圓柱、斜圓錐（體積公式仍成立，但表面積公式不成立）、圓台（截頭圓錐）、空心管的壁體積，也不做單位換算——半徑與高用什麼長度單位，體積就是它的立方、面積就是它的平方。

公式與變量

V_{\text{柱}} = \pi r^2 h,\qquad S_{\text{柱}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r\,(r + h)

V_{\text{錐}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h,\qquad l = \sqrt{r^2 + h^2},\qquad S_{\text{錐}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r\,(r + l)

由圓柱體積反解半徑：

r = \sqrt{\frac{V_{\text{柱}}}{\pi h}}

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$r$	底面半徑	半徑 r	長度	幾何上 $r > 0$ ；面板允許 0（`min: 0`，此時各結果退化為 0）；默認 3。注意是半徑不是直徑
$h$	高（軸向）	高 h	長度	幾何上 $h > 0$ ；面板允許 0（`min: 0`）；默認 10。圓錐的高是頂點到底面圓心的垂直距離，不是母線
$V_{\text{柱}}$	圓柱體積	圓柱體積	長度³	輸出；反解模式下作為輸入
$S_{\text{柱}}$	圓柱全表面積	圓柱表面積	長度²	輸出，含上下兩個底面
$V_{\text{錐}}$	圓錐體積	圓錐體積	長度³	輸出，恰為同底同高圓柱的 $\tfrac13$
$S_{\text{錐}}$	圓錐全表面積	圓錐表面積	長度²	輸出，含一個底面
$l$	母線（斜高）	（不顯示）	長度	頂點到底面圓周的距離， $l = \sqrt{r^2+h^2}$ ，用勾股定理得到
$2\pi r h$	圓柱側面積	（不顯示）	長度²	展開為 $2\pi r \times h$ 的矩形
$\pi r l$	圓錐側面積	（不顯示）	長度²	展開為半徑 $l$ 、弧長 $2\pi r$ 的扇形

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 圓柱 / 圓錐」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.cylinder-cone）。打開時「半徑 r」= 3、「高 h」= 10 已填好，四個結果字段帶「計算」標記同時顯示。
求體積與表面積改寫半徑和高即可，四個結果實時更新。測到的是直徑時先除以 2 再填。
由圓柱體積反解半徑清空「半徑 r」，在「圓柱體積」裏填入已知體積，保留「高 h」，半徑字段切換成「計算」並給出 $\sqrt{V/(\pi h)}$ 。此時其餘三個字段顯示 0——引擎把未填的半徑當 0 計算它們，這是口徑而非結果；把反解得到的半徑填回「半徑 r」並清空體積字段，就能看到完整的四個數。
只要一部分需要「圓柱側面積」時用表面積減去兩個底面 $2\pi r^2$ ；需要「圓錐側面積」時用圓錐表面積減去一個底面 $\pi r^2$ ；需要「無蓋圓柱」（水桶）時減一個底面。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零；體積單位是長度單位的立方，表面積是平方。1 m³ = 1000 L，1 dm³ = 1 L，1 cm³ = 1 mL。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把 V_cyl=πr²h, V_cone=πr²h/3 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 cylinder-cone 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零。

算例 1：默認輸入 r = 3、h = 10

輸入： $r = 3$ ， $h = 10$ 。

底面積 $\pi r^2 = 9\pi = 28.27433388$ 。
圓柱體積 $V_{\text{柱}} = 9\pi \times 10 = 90\pi = 282.74333882$ 。
圓柱表面積 $S_{\text{柱}} = 2\pi \times 3 \times (3 + 10) = 78\pi = 245.04422698$ 。
圓錐體積 $V_{\text{錐}} = 90\pi / 3 = 30\pi = 94.24777961$ 。
母線 $l = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} = 10.44030651$ ；圓錐表面積 $S_{\text{錐}} = \pi \times 3 \times (3 + 10.44030651) = 126.67190457$ 。

界面顯示：圓柱體積 282.74333882，圓柱表面積 245.04422698，圓錐體積 94.24777961，圓錐表面積 126.67190457。拆開看，圓錐側面積 $\pi r l = 98.39757069$ ，展開成扇形後的圓心角是 $360^\circ \times r/l = 103.45^\circ$ 。

算例 2：r = 3、h = 4 —— 3-4-5 圓錐

輸入： $r = 3$ ， $h = 4$ 。

$V_{\text{柱}} = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi = 113.09733553$ 。
$S_{\text{柱}} = 2\pi \times 3 \times 7 = 42\pi = 131.94689145$ ：側面 $24\pi = 75.39822369$ 加兩個底面 $18\pi = 56.54866776$ 。
$V_{\text{錐}} = 12\pi = 37.69911184$ 。
$l = \sqrt{9 + 16} = 5$ （勾股數 3-4-5）， $S_{\text{錐}} = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi = 75.39822369$ 。

界面顯示：圓柱體積 113.09733553，圓柱表面積 131.94689145，圓錐體積 37.69911184，圓錐表面積 75.39822369。有趣的巧合：這個圓錐的全表面積 $24\pi$ 正好等於圓柱的側面積 $2\pi r h = 24\pi$ 。圓錐側面積 $\pi r l = 15\pi = 47.12388980$ ，展開成半徑 5 的扇形，弧長等於底面周長 $6\pi$ ，圓心角 $= 6\pi / 5 \text{ rad} = 216^\circ$ 。

圖 1：算例 1 的圓柱與算例 2 的圓錐。圓錐側面展開是一個扇形：半徑是母線 l，弧長是底面周長 2πr，所以側面積 = ½ · 2πr · l = πrl

算例 3：已知容積 1000、高 10，反解半徑

輸入：圓柱體積 $V_{\text{柱}} = 1000$ ， $h = 10$ （清空半徑）。

$r = \sqrt{\dfrac{1000}{\pi \times 10}} = \sqrt{31.83098862} = 5.64189584$ 。

界面顯示：半徑 r 5.64189584；圓柱表面積、圓錐體積、圓錐表面積均顯示 0（見步驟 3 的口徑説明）。把 5.64189584 填回半徑並清空體積字段後，界面顯示圓柱體積 1000.0000016（8 位小數的半徑回代產生的舍入尾巴）、圓柱表面積 554.49077079、圓錐體積 333.33333387、圓錐表面積 303.50903342。若單位是 cm，這是一個容積 1 L、高 10 cm、直徑約 11.3 cm 的杯子。

算例 4：同樣的體積，不同的形狀

輸入： $r = 6$ ， $h = 2.5$ 。

$V_{\text{柱}} = \pi \times 36 \times 2.5 = 90\pi = 282.74333882$ ——與算例 1 完全相同，因為 $36 \times 2.5 = 9 \times 10 = 90$ 。
$S_{\text{柱}} = 2\pi \times 6 \times 8.5 = 102\pi = 320.44245067$ ，比算例 1 的 $78\pi$ 大 31%。
$l = \sqrt{36 + 6.25} = 6.5$ ， $S_{\text{錐}} = \pi \times 6 \times 12.5 = 75\pi = 235.61944902$ 。

界面顯示：圓柱體積 282.74333882，圓柱表面積 320.44245067，圓錐體積 94.24777961，圓錐表面積 235.61944902。同樣裝 90π 單位體積，矮胖的罐子用料更多——這是包裝設計裏「等體積時怎樣最省材料」問題的起點（答案是 $h = 2r$ ，見 FAQ）。

再看一根水管： $r = 0.5$ m、 $h = 100$ m，界面顯示圓柱體積 78.53981634（m³，即 78,540 L），圓柱表面積 315.73006169，其中側面 $100\pi = 314.16$ m²——刷防鏽漆時要的就是這個數，兩端的 $0.5\pi$ m² 可以忽略。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現；把半徑從 3 改成 6（高不變），觀察體積變為 4 倍而表面積不到 3 倍；把高從 10 改成 20，體積與側面積都恰好翻倍。

原理與推導

圓柱：把底面「推」出一段高

圓柱是底面圓沿着垂直方向平移 $h$ 得到的立體。任何這類「直稜柱 / 直圓柱」的體積都是底面積乘高：把它切成很多薄片，每片都是同樣的圓，體積 $= \pi r^2 \times h$ 。側面沿一條母線剪開攤平，是一個寬 $2\pi r$ （底面周長）、高 $h$ 的矩形，所以側面積 $2\pi r h$ ；加上上下兩個底面 $2\pi r^2$ 就是全表面積 $2\pi r(r+h)$ 。

圓錐體積為什麼恰好是三分之一

這是本頁最值得記住的一件事。三種看法：

切片比較（祖𣈶原理 / 卡瓦列裏原理）。把圓錐和同底同高的圓柱並排放，在離頂點 $x$ 的高度切一刀：圓錐截面半徑是 $r x / h$ ，面積 $\pi r^2 x^2/h^2$ ，隨 $x$ 按平方增長；圓柱截面始終是 $\pi r^2$ 。求和（積分）：

V_{\text{錐}} = \int_0^h \pi r^2 \frac{x^2}{h^2}\,\mathrm dx = \pi r^2 \cdot \frac{h^3}{3h^2} = \tfrac13 \pi r^2 h

與稜錐類比。一個正方體可以切成三個全等的四稜錐：公共頂點取正方體的一個頂點，三個正方形底面分別是與它相對的頂點所連的三個面，所以稜錐體積是同底同高稜柱的 $\tfrac13$ ；把底面正方形換成圓，結論不變（歐幾里得《原本》卷十二命題 10 用窮竭法證明了圓錐是圓柱的三分之一）。

動手驗證。用同底同高的圓錐容器往圓柱容器裏倒水，恰好三次倒滿——中學課堂上的經典實驗。

圓錐側面為什麼展開是扇形

沿一條母線把圓錐側面剪開攤平，頂點變成扇形的圓心，每條母線都長 $l$ ，所以是半徑 $l$ 的扇形；原來的底面圓周變成扇形的弧，弧長 $2\pi r$ 。扇形面積 $= \tfrac12 \times \text{弧長} \times \text{半徑} = \tfrac12 \times 2\pi r \times l = \pi r l$ 。扇形的圓心角（弧度） $= 2\pi r / l$ ，圖 1 右側算例 2 的 $216^\circ$ 就是這樣來的。弧長、扇形面積與弧度制的完整推導見弧長與扇形，這裏只用到結論。

母線：一個直角三角形

沿軸把圓錐切開，截面是一個等腰三角形，一半是直角三角形：兩直角邊是 $r$ 和 $h$ ，斜邊就是母線 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ 。這正是勾股定理。算例 2 選 $r = 3$ 、 $h = 4$ 就是為了讓 $l = 5$ 成為整數。

縮放規律

半徑與高同時放大 $k$ 倍，表面積放大 $k^2$ 倍，體積放大 $k^3$ 倍： $r = 6$ 、 $h = 20$ 的圓柱體積 2261.94671058 是算例 1 的 8 倍。只放大半徑時體積按 $r^2$ 增長（算例 1 改 $r = 6$ 得 4 倍），只放大高時按 $h$ 線性增長——罐頭廠改包裝尺寸時靠的就是這兩條。

假設

直圓柱、直圓錐：軸垂直於底面。斜圓柱 / 斜圓錐的體積公式仍成立（同樣的切片面積），但側面積公式不成立。
圓錐是完整的：從頂點到底面。截去頂部的圓台要用 $V = \tfrac13\pi h (R^2 + Rr + r^2)$ ，不在本計算器範圍內。
表面積是全表面積：圓柱含兩個底面，圓錐含一個底面。開口容器請按步驟 4 自行扣減。
壁厚為零：算的是幾何體的容積 / 外表面，不區分內徑與外徑。
同一單位： $r$ 、 $h$ 同單位，體積為其立方、面積為其平方。
反解口徑：只支持由圓柱體積與高反解半徑；反解時其餘三個字段按半徑 0 計算並顯示 0。

適用範圍與限制

能算: 任意非負 $r$ 、 $h$ （面板 min: 0；0 時結果為 0）下圓柱與圓錐的體積、全表面積；由圓柱體積與高反解半徑。
只能近似: 真實容器有壁厚、圓角、拉伸變形；飲料罐的標稱容量與幾何體積可差幾個百分點。
不能算: 圓台、斜圓柱、空心管壁的體積（外圓柱減內圓柱，可分兩次算再相減）、圓錐的反解（由圓錐體積反解 $r$ 或 $h$ 需手算 $r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ）、由表面積反解任何量。
不做: 不輸出母線、側面積、底面積、展開扇形的圓心角等中間量，需要時按公式手算。
數值: $r$ 、 $h$ 極大或極小時結果以科學計數法顯示（絕對值 $\ge 10^{12}$ 或 $< 10^{-8}$ ）。

常見誤區

把直徑當半徑：量到的往往是直徑 $d$ ，體積應是 $\pi (d/2)^2 h = \pi d^2 h/4$ 。直接把 $d$ 填進「半徑」會把體積放大 4 倍。
把母線當高：圓錐的高是頂點到底面圓心的垂直距離；紙質冰淇淋筒上量到的「邊長」是母線 $l$ ，高要用 $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ 換算。
圓錐體積忘了除以 3： $\pi r^2 h$ 是同底同高圓柱的體積。
表面積漏底面或多底面：無蓋水桶只有一個底面， $S = \pi r^2 + 2\pi r h$ ；圓錐形帳篷沒有底面，只有側面 $\pi r l$ 。
體積單位換算按 10 進：1 m = 100 cm，但 1 m³ = 1,000,000 cm³ = 1000 L；長度單位換算比例的立方才是體積換算比例。
反解模式下三個 0 當結果：那是引擎對未填半徑的兜底，填回半徑即可。

典型使用場景

容器容積

水杯、儲水罐、油桶、糧倉（圓柱 + 圓錐頂，兩段分別算再相加）；已知目標容積和高反解需要多大的半徑。

材料用量

圓柱罐體的板材面積（表面積）、水管外壁刷漆面積（側面積）、錐形帳篷或漏斗的布料 / 金屬皮面積（圓錐側面積 $\pi r l$ ）。

工程與土方

錐形沙堆 / 煤堆的體積估算（量底面周長得 $r$ ，量高得 $h$ ），樁基（圓柱）的混凝土方量。

教學

體驗「圓錐是圓柱的三分之一」、縮放的平方 / 立方律、側面展開與扇形的關係；配合弧長與扇形算展開扇形的圓心角。

常見問題

圓柱的側面積怎麼單獨得到？

用圓柱表面積減去兩個底面： $S_{\text{柱}} - 2\pi r^2 = 2\pi r h$ 。算例 1 中 $245.04 - 56.55 = 188.50$ 。

圓錐的側面積和展開扇形的圓心角？

側面積 $\pi r l = S_{\text{錐}} - \pi r^2$ ；圓心角 $\theta = 2\pi r / l$ （弧度） $= 360^\circ \cdot r / l$ 。算例 2： $216^\circ$ ；算例 1： $103.45^\circ$ 。

等體積時圓柱怎樣最省材料？

固定體積 $V$ ，全表面積 $2\pi r^2 + 2V/r$ 在 $h = 2r$ （高等於直徑）時最小。算例 4 與算例 1 體積相同， $r = 3$ 、 $h = 10$ 的表面積（245）比 $r = 6$ 、 $h = 2.5$ （320）小，但還不是最優；最優是 $r = \sqrt[3]{45} \approx 3.557$ 、 $h \approx 7.11$ 。真實易拉罐更高更瘦，因為頂蓋材料更厚、成本另計。

已知圓錐體積怎麼反解半徑？

$r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ，引擎不提供此反解，需手算後填回。

圓台（截頭圓錐）怎麼算？

$V = \tfrac13\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ ，側面積 $\pi (R + r)\,l$ ， $l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}$ 。本計算器不支持，可以用「大圓錐減小圓錐」的思路分兩次計算。

半球、球和圓柱、圓錐的關係？

半徑 $r$ 的球體積 $\tfrac43\pi r^3$ ，正好是 $h = 2r$ 圓柱體積 $2\pi r^3$ 的 $\tfrac23$ ；同半徑、 $h = r$ 的圓錐體積 $\tfrac13\pi r^3$ 是半球 $\tfrac23\pi r^3$ 的一半。阿基米德把「圓錐 : 球 : 圓柱 = 1 : 2 : 3」（ $h = 2r$ 時）視為自己最得意的發現。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulas.ts 中的 cylinder-cone 定義（compute(known, solveFor) 輸出 cylVol / cylSurf / coneVol / coneSurf，支持由 cylVol 與 h 反解 r）；本頁所有數字由該引擎復算。
Wikipedia, Cylinder（访问日期：2026-09-09）——體積、表面積與斜圓柱的説明。
Wikipedia, Cone — Volume（访问日期：2026-09-09）——圓錐體積的積分推導與母線。
Euclid, Elements, Book XII, Proposition 10，D. E. Joyce 編注版（访问日期：2026-09-09）——「任何圓錐是同底同高圓柱的三分之一」的窮竭法證明。
Wikipedia, Cavalieri's principle（访问日期：2026-09-09）——祖𣈶原理：等高處截面積相等則體積相等。
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time——長度、面積、體積的量與單位定義。
阿基米德《論球與圓柱》——球、圓柱、圓錐體積之比的原典。

隱私

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來源與審閲

更新: 2026-09-09