勻變速位移計算器 s = v₀t + ½at²：位移、剎車距離與下落高度

計算器説明

勻變速位移計算器解 $s = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ ：已知初速度 $v_0$ 、恆定加速度 $a$ 和時間 $t$ ，求這段時間裏的位移 $s$ ；也能反過來，由位移和時間求初速度或加速度——石頭掉了 3 秒落了多深、100 km/h 剎停要滑多遠、8 秒跑完 100 m 的平均加速度是多少。

它是運動學四條基本公式裏的第二條，與末速度計算器（ $v = v_0 + at$ ）配對：那一條説速度怎麼變，這一條説走了多遠。兩條公式的物理內容相同——加速度恆定——只是問的量不同。位移是 v–t 圖直線下方的面積，這個幾何解釋是全篇的主線，也是它與梯形面積之間不那麼顯眼的聯繫。

它不做的事：不由位移反解時間（那是個二次方程，本頁手算部分給出做法）；不算末速度（用配對的末速度計算器）；不處理加速度隨時間變化的運動；只算一維——斜拋、平拋要把水平和豎直方向分開各算一次；不做單位換算。

公式與變量

s = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2

反解（引擎實現的兩種）：

v_0 = \frac{s - \tfrac12 a t^2}{t},\qquad a = \frac{2\,(s - v_0 t)}{t^2}

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$v_0$	初速度（ $t = 0$ 時）	初速度 v₀ (m/s)	m/s	任意實數；默認 0。負號表示與正方向相反
$a$	加速度（恆定）	加速度 a (m/s²)	m/s²	任意實數；默認 9.8。與 $v_0$ 反向時為負
$t$	經歷的時間	時間 t (s)	s	$t \ge 0$ ；無默認值，打開時為空
$s$	位移（ $t$ 時刻相對起點的有向距離）	位移 s (m)	m	輸出；反解模式下作為輸入。帶符號

量綱檢查： $\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}$ ， $\text{m/s}^2 \times \text{s}^2 = \text{m}$ ，兩項都是長度。 $\tfrac12$ 來自三角形面積（見原理）。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 勻變速位移」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-displacement）。打開時「初速度 v₀」= 0、「加速度 a」= 9.8 已填好，「時間 t」為空；此時「時間」字段為空、「位移」帶「計算」標記顯示 0——引擎不由位移反解時間，而空的 $t$ 按 0 參與， $s = 0$ 。這不是結果。
求位移在「時間 t」填入秒數，位移立即更新。減速運動把 $a$ 填負數；位移可能為負（回到起點以下）。
反解加速度清空「加速度 a」，填 $v_0$ 、 $t$ 、 $s$ ，加速度字段切換為「計算」並顯示 $2(s - v_0 t)/t^2$ 。
反解初速度清空「初速度 v₀」，填 $a$ 、 $t$ 、 $s$ ，初速度字段顯示 $(s - \tfrac12 at^2)/t$ 。
求時間引擎不支持。清空 $t$ 後該字段保持為空。手算： $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ ， $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ （取正根）；或先用末速度計算器由 $v$ 反解 $t$ ，再回到本頁。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把 LaTeX s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 phys-displacement 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零，單位 m/s、m/s²、s、m。

算例 1：自由落體的 1 : 4 : 9

輸入： $v_0 = 0$ ， $a = 9.8$ ， $t = 1$ 。 $s = 0 + \tfrac12 \times 9.8 \times 1 = 4.9$ 。界面顯示：位移 s 4.9。

把時間改成 2、3：界面依次顯示 19.6、44.1。三個數的比是 $4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9$ ——下落距離與時間的平方成正比。每一秒內新增的距離是 4.9、14.7、24.5，比為 1 : 3 : 5，這是伽利略 1638 年從斜面實驗總結出的「奇數律」，也是他判斷「速度與時間成正比（而不是與距離成正比）」的依據。

算例 2：100 km/h 剎停的滑行距離

汽車以 100 km/h（ $27.78\ \text{m/s}$ ）行駛，以 $-5\ \text{m/s}^2$ 減速。先在末速度計算器裏反解出剎停時間 5.55555556 s，再回到本頁： $v_0 = 27.77777778$ ， $a = -5$ ， $t = 5.55555556$ 。 $s = 27.77777778 \times 5.55555556 - \tfrac12 \times 5 \times 5.55555556^2 = 154.32098779 - 77.16049395 = 77.16049384$ 。界面顯示：位移 s 77.16049384。（鏈裏一直用 8 位顯示值；中途換回 27.78 與 5.56 這樣的兩位數會算到 77.1728，末位對不上。）

核對：不含時間的公式 $v^2 = v_0^2 + 2as$ 給 $s = 27.77777778^2 / (2 \times 5) = 77.16049384$ ，一致；平均速度 $\tfrac12 \times 27.77777778 = 13.88888889\ \text{m/s}$ 乘 5.55555556 s 也是 77.16。剎車距離與速度的平方成正比：速度翻倍，距離變四倍——這就是限速的物理依據。

圖 1：位移是 v–t 圖下的面積（左：算例 2 的剎車三角形）；s–t 圖是拋物線（右：算例 1 的自由落體，1 : 4 : 9）

算例 3：由位移反解加速度與初速度

反解加速度：一輛車從靜止出發，8 秒跑了 100 m，平均加速度多大？清空 $a$ ，填 $v_0 = 0$ ， $t = 8$ ， $s = 100$ ： $a = 2 \times 100 / 64 = 3.125$ 。界面顯示：加速度 a 3.125。

對照末速度計算器裏「8 秒到 100 km/h」的 $a = 3.47222222$ ：同樣 8 秒，那輛車跑的是 $\tfrac12 \times 3.47222222 \times 64 = 111.11$ m。填 $v_0 = 0$ ， $a = 3.47222222$ ， $t = 8$ ，界面顯示位移 111.11111104——末位的 04 是 8 位小數的加速度回代產生的舍入尾巴，不是錯誤。

反解初速度：一個物體在 $a = -5$ 的減速下 2 秒走了 50 m，出發時多快？清空 $v_0$ ，填 $a = -5$ ， $t = 2$ ， $s = 50$ ： $v_0 = (50 + 10)/2 = 30$ 。界面顯示：初速度 v₀ 30。

算例 4：豎直上拋與火車

豎直上拋（向上為正， $a = -9.8$ ）：以 19.6 m/s 拋出的球， $t = 2$ 時 $s = 39.2 - 19.6 = 19.6$ 。界面顯示：位移 s 19.6——最高點高 19.6 m（此時 $v = 0$ ，見末速度計算器算例 3）。 $t = 4$ 時 $s = 78.4 - 78.4 = 0$ 。界面顯示：0——球回到了出手高度。位移為零，但球走過的路程是 39.2 m：位移是有向的淨變化，路程是走過的總長度。

火車：以 20 m/s 行駛的列車以 0.5 m/s² 加速 1 分鐘。 $v_0 = 20$ ， $a = 0.5$ ， $t = 60$ ： $s = 1200 + 900 = 2100$ 。界面顯示：位移 s 2100。勻速部分 1200 m 與加速帶來的 900 m 各佔一項。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現；把時間改成 1、2、4，看位移按 1 : 4 : 9 : 16 增長；把加速度改成 1.62（月球）看同樣 3 秒只落 7.29 m。

原理與推導

位移是 v–t 圖下的面積

勻速運動位移 $= vt$ ，是 v–t 圖上一個矩形的面積。勻變速時速度在變，但可以把時間切成很多小段，每段近似勻速，位移之和就是直線下方那塊梯形的面積。直線從 $v_0$ 升到 $v_0 + at$ ，梯形面積 $= \tfrac12 (v_0 + v_0 + at)\,t = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ —— $\tfrac12$ 就是從這裏來的。圖 1 左側的剎車三角形是 $v_0 = 27.78$ 縮到 0 的特例：面積 $\tfrac12 \times 27.78 \times 5.56$ 。梯形面積計算器算的正是同一件事。

用平均速度理解

加速度恆定時，平均速度恰好是首末速度的算術平均 $\bar v = \tfrac12 (v_0 + v)$ ，位移 $= \bar v\, t$ 。把 $v = v_0 + at$ 代入就回到 $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ 。這也是第四條運動學公式 $s = \tfrac12 (v_0 + v)\,t$ 。它只對勻變速成立——變加速時平均速度不再是首末的中點。

消去時間： $v^2 = v_0^2 + 2as$

從 $v = v_0 + at$ 解出 $t = (v - v_0)/a$ ，代入位移公式並化簡，得到不含時間的 $v^2 = v_0^2 + 2as$ 。算例 2 用它核對了剎車距離。兩邊乘 $\tfrac12 m$ 就是 $\tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = mas = Fs$ ——動能定理：合力做的功等於動能的變化。動能計算器從這裏接手。

s–t 圖是拋物線

$s$ 是 $t$ 的二次函數，圖像是拋物線（圖 1 右）。 $v_0 = 0$ 時頂點在原點，開口方向由 $a$ 的符號決定。拋物線在任一點的切線斜率就是那一刻的速度： $t = 0$ 處斜率為 $v_0$ 。豎直上拋的 s–t 圖是開口向下的拋物線，頂點是最高點，與橫軸的第二個交點是回到出手高度的時刻（算例 4 的 $t = 4$ ）。

反解時間為什麼是二次方程

給定 $s$ 、 $v_0$ 、 $a$ 求 $t$ ，要解 $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ 。它可能有兩個正根（上拋的球兩次經過同一高度：上升時和下落時），也可能無解（球夠不到那個高度）。引擎選擇不在字段裏給出單一答案，避免默默丟掉一個根；需要時按「在本計算器裏怎麼算」第 5 步手算，兩個根都要看。

伽利略的斜面

自由落體太快，1638 年沒有能測它的鐘。伽利略讓球沿光滑斜面滾下，用水鍾計時，發現距離與時間平方成正比、連續相等時間段內的距離比為 1 : 3 : 5 : 7，而且斜面傾角越大比例不變。由此推斷豎直下落（傾角 90°）也如此。 $s = \tfrac12 g t^2$ 裏的 $g$ 是 1638 年之後才測準的。

假設

加速度恆定：整個 $t$ 內 $a$ 不變。車輛真實加速度隨速度變化，算出的是等效平均值。
直線運動、一維：位移、速度、加速度共線，方向用符號表示。
運動持續到 $t$ ：公式不會在物體停下時自動截止（見算例 4 後的提示）。
忽略阻力：自由落體算例不含空氣阻力。
SI 單位：m/s、m/s²、s、m；不做換算。
界面口徑：未填的 $t$ 按 0 參與，因此打開面板時位移顯示 0；反解時分母 $t$ 為空按 1 兜底。

適用範圍與限制

能算: 由 $v_0$ 、 $a$ 、 $t$ 求 $s$ ；由 $s$ 、 $t$ 與另一量反解 $a$ 或 $v_0$ ；負值、負位移都支持。
只能近似: 變加速運動只能分段近似； $g$ 取 9.8 有約 0.1% 的取值差異。
不能算: 由位移反解時間（二次方程，手算）；末速度（用配對計算器）；二維拋體（分方向）；路程（位移的絕對值之和，需知道是否掉頭）。
不做: 單位換算；判斷運動是否已經停止。
數值: 8 位小數回代會產生末位舍入尾巴（算例 3 的 111.11111104）。

常見誤區

忘了 ½： $s = at^2$ 會把自由落體 3 秒算成 88.2 m，比真值大一倍。 $\tfrac12$ 來自三角形面積，不是可選項。
位移當路程：上拋回到原點位移為 0，路程不為 0（算例 4）。
剎車後繼續算： $t$ 超過剎停時間，公式讓車倒退（算例 4 後的提示）。
km/h 直接代入：100 km/h 填成 100 會把剎車距離算成 1000 m。先換成 27.78 m/s。
減速忘了負號：剎車的 $a$ 是 $-5$ ，填 $+5$ 會得到越來越遠。
用末速度代替初速度：公式裏的 $v_0$ 是這段時間開始時的速度。
平方了時間以外的量： $\tfrac12 a t^2$ 只平方 $t$ 。

典型使用場景

教學

自由落體 1 : 4 : 9 與奇數律；v–t 圖面積法；位移與路程；豎直上拋的對稱性；動能定理的來源。

交通安全

給定車速與減速度的剎車距離（配合反應時間內的勻速段 $= v \times t_\text{反應}$ ）；限速與剎車距離平方關係的直觀説明。

工程

電梯、傳送帶加減速段的行程；起重、機牀進給的定位長度；已知行程與時間反推所需加速度。

體育與日常

跳水台高度對應的入水時間與速度估算；拋物的最高點高度；從下落時間估算井深或樓高（注意聲音傳回的時間）。

常見問題

為什麼打開面板時位移是 0、時間為空？

時間還沒填，引擎把 $t$ 當 0；引擎不由位移反解時間，所以時間字段保持空。填入時間後即正常。

怎麼由位移求時間？

解二次方程 $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ ， $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ ； $v_0 = 0$ 時簡化為 $t = \sqrt{2s/a}$ 。或先用末速度計算器由 $v$ 反解 $t$ 。

位移和距離有什麼區別？

位移是終點相對起點的有向直線距離，帶符號；路程是走過的軌跡總長。同向直線運動兩者相等，掉頭後位移開始變小而路程繼續增大。

為什麼剎車距離與速度平方成正比？

$v^2 = v_0^2 + 2as$ 裏 $v = 0$ ， $s = v_0^2 / (2|a|)$ 。速度翻倍， $v_0^2$ 變四倍。

上拋的球上升和下落走的距離一樣嗎？

不計阻力時一樣：s–t 拋物線關於最高點對稱。有阻力時下落段更慢、時間更長。

空氣阻力大時還能用嗎？

不能。阻力隨速度增大，加速度不再恆定。雨滴、跳傘、羽毛都不是勻變速。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-displacement 定義（compute(known, solveFor) 求 s / v₀ / a）；本頁所有數字由該引擎復算。
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）——五個量、四條公式的完整表與推導。
Wikipedia, Displacement (geometry)（访问日期：2026-09-09）——位移與路程的定義。
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day，Crew & de Salvio 英譯（访问日期：2026-09-09）——奇數律與斜面實驗的原典。
Wikipedia, Braking distance（访问日期：2026-09-09）——剎車距離公式、反應距離與典型減速度。
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time——位移、速度、加速度的量與單位定義。

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來源與審閲

更新: 2026-09-09