勻變速直線運動計算器 v = v₀ + at：末速度、加速度與時間

計算器説明

勻變速直線運動計算器解 $v = v_0 + at$ ：已知初速度 $v_0$ 、加速度 $a$ 和時間 $t$ ，求末速度 $v$ ；四個量裏任意三個已知，都能反解第四個——剎停要幾秒、8 秒到 100 km/h 是多大的加速度、拋上去 2 秒才停下的球出手時有多快。

「勻變速」指加速度恆定：自由落體（ $a = g$ ）、汽車平穩加減速、火車進站、豎直上拋都可以近似成這種運動。它是運動學最基本的一條公式——加速度的定義式換個寫法——也是後面所有運動學公式的起點：位移公式 $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ 在勻變速位移計算器裏；加速度從哪裏來（ $a = F/m$ ）、單位與矢量約定見牛頓第二定律。

它不做的事：不算位移或距離；不處理加速度隨時間變化的運動（空氣阻力顯著的下落、變速起步）；只算一維——曲線運動、拋體的水平與豎直方向要分開處理；不做單位換算（km/h 請先換成 m/s）。

公式與變量

v = v_0 + a\,t \qquad\Longleftrightarrow\qquad a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{\Delta v}{\Delta t}

反解：

t = \frac{v - v_0}{a},\qquad a = \frac{v - v_0}{t},\qquad v_0 = v - a\,t

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$v_0$	初速度（ $t = 0$ 時）	初速度 v₀ (m/s)	m/s	任意實數；默認 0。負號表示與正方向相反
$a$	加速度（恆定）	加速度 a (m/s²)	m/s²	任意實數；默認 9.8。與速度同向為正（加速），反向為負（減速）
$t$	經歷的時間	時間 t (s)	s	$t \ge 0$ ；無默認值，打開時為空
$v$	末速度（ $t$ 時刻）	末速度 v (m/s)	m/s	輸出；反解模式下作為輸入

單位一致性： $\text{m/s}^2 \times \text{s} = \text{m/s}$ 。默認加速度 9.8 是重力加速度的教材常用值；標準值 $g_0 = 9.806\,65$ ，取值版本的討論見牛頓第二定律。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 勻變速直線運動」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-uniform-accel）。打開時「初速度 v₀」= 0、「加速度 a」= 9.8 已填好，「時間 t」為空，此時「時間」與「末速度」都帶「計算」標記顯示 0——引擎把空的 $t$ 當 0， $v = 0 + 9.8 \times 0 = 0$ ，這不是結果。
求末速度在「時間 t」填入秒數，末速度立即更新。減速運動把 $a$ 填負數。
反解時間清空「時間 t」，填「末速度 v」（剎停填 0），時間字段切換為「計算」並顯示 $(v - v_0)/a$ 。
反解加速度清空「加速度 a」，填 $v_0$ 、 $v$ 、 $t$ ，加速度字段顯示 $(v - v_0)/t$ 。
反解初速度清空「初速度 v₀」，填 $a$ 、 $t$ 、 $v$ ，初速度字段顯示 $v - at$ 。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零。 $a = 0$ 時反解時間要除以零： $v = v_0$ （0/0）顯示為空， $v \ne v_0$ 顯示 ∞——勻速運動裏「什麼時候達到某速度」沒有唯一答案。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把 LaTeX v = v_0 + at 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 phys-uniform-accel 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零，單位 m/s、m/s²、s。

算例 1：自由落體 3 秒

輸入： $v_0 = 0$ ， $a = 9.8$ ， $t = 3$ 。 $v = 0 + 9.8 \times 3 = 29.4$ 。界面顯示：末速度 v 29.4——約 106 km/h。每過 1 秒速度增加 9.8 m/s，這就是「加速度 9.8 m/s²」的含義：速度每秒鐘變化多少。從 10 層樓（約 30 m）落下大致就是 2.5 s、24 m/s。

算例 2：汽車 8 秒加速到 100 km/h，再剎車

反解加速度：清空 $a$ ，填 $v_0 = 0$ ， $v = 27.77777778$ （100 km/h）， $t = 8$ ： $a = 27.77777778 / 8 = 3.47222222$ 。界面顯示：加速度 a 3.47222222。填回去核對（ $v_0 = 0$ ， $a = 3.47222222$ ， $t = 8$ ），界面顯示末速度 27.77777776——末位的 6 是 8 位小數的加速度回代產生的舍入尾巴，不是錯誤。

剎車中途： $v_0 = 27.77777778$ ， $a = -5$ ， $t = 3$ ： $v = 27.77777778 - 15 = 12.77777778$ 。界面顯示：末速度 v 12.77777778（約 46 km/h）。

反解剎停時間：清空 $t$ ，填 $v_0 = 27.77777778$ ， $a = -5$ ， $v = 0$ ： $t = (0 - 27.77777778)/(-5) = 5.55555556$ 。界面顯示：時間 t 5.55555556。負除負得正——時間當然是正的。這段時間裏滑行的 77.16 m 要用位移計算器算。

圖 1：v–t 圖上勻變速運動是一條直線，斜率就是加速度。左：算例 2 的汽車；右：算例 3 的上拋球——速度過零時加速度仍是 −9.8，直線沒有任何彎折

算例 3：豎直上拋——速度為零時加速度不為零

向上為正， $a = -9.8$ 。一個球拋出後 2 秒到達最高點（ $v = 0$ ），出手速度多大？清空 $v_0$ ，填 $v = 0$ ， $a = -9.8$ ， $t = 2$ ： $v_0 = 0 - (-9.8)(2) = 19.6$ 。界面顯示：初速度 v₀ 19.6。

再看第 3 秒： $v_0 = 19.6$ ， $a = -9.8$ ， $t = 3$ ： $v = 19.6 - 29.4 = -9.8$ 。界面顯示：末速度 v −9.8——負號表示正在下落。整個過程加速度始終是 $-9.8$ ，包括最高點那一瞬間；只是速度從正變負。圖 1 右側那條直線連續穿過零點，沒有停頓。

算例 4：火車與勻速的邊界情形

火車：以 20 m/s 行駛的列車以 0.5 m/s² 加速 1 分鐘。 $v_0 = 20$ ， $a = 0.5$ ， $t = 60$ ： $v = 20 + 30 = 50$ 。界面顯示：末速度 v 50（180 km/h）。加速度小並不意味着速度變化小——時間長了一樣顯著。

勻速： $v_0 = 5$ ， $a = 0$ ，反解「何時達到 $v = 5$ 」，界面時間字段為空： $0/0$ 沒有定義，勻速運動時刻都是 5 m/s。

算例 1 的輸入可以直接填進面板復現；把時間改成 1、2、4、5，觀察末速度按 9.8 的整數倍增長；把加速度改成 1.62（月球）看同樣 3 秒只到 4.86 m/s。

原理與推導

這條公式就是加速度的定義

加速度定義為速度的變化率： $a = \Delta v / \Delta t$ 。加速度恆定時， $\Delta v = a\Delta t$ ，從 $t = 0$ 時的 $v_0$ 出發， $t$ 秒後 $v = v_0 + at$ 。它不需要「推導」，它是定義式的移項。真正有內容的斷言是「加速度恆定」——這是對運動的一種假設，由牛頓第二定律保證：合力恆定（如重力）則加速度恆定。

v–t 圖：直線與斜率

把速度畫成時間的函數，勻變速運動是一條直線，縱截距是 $v_0$ ，斜率是 $a$ 。圖 1 左側汽車的直線上任取兩點， $\Delta v / \Delta t = 13.89 / 4 = 3.47$ ，與反解出的加速度一致——這正是斜率計算器在做的事。斜率為負（圖 1 右）表示減速或反向加速；直線穿過橫軸表示速度反向。直線下方的面積是位移，那是下一篇的內容。

符號約定：一維矢量

速度和加速度都是矢量，一維時用正負號表示方向。先選正方向（通常取初速度方向或「向上」），然後： $a$ 與 $v$ 同號 → 速率增大；異號 → 速率減小。算例 3 的球上升時 $v > 0$ 、 $a < 0$ 減速，過了最高點 $v < 0$ 、 $a < 0$ 同號加速，加速度從頭到尾沒變。「減速度」不是另一個物理量，只是負的加速度。

伽利略與自由落體

「所有物體不論輕重都以同樣的加速度下落」是伽利略 1638 年《兩門新科學》裏的結論，他用斜面「稀釋」重力來測量，發現速度與時間成正比（而不是與距離成正比）。 $a = g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$ 是地球表面的近似值；月球 1.62，火星 3.72。空氣阻力顯著時（羽毛、雨滴、跳傘）加速度隨速度減小直到為零（收尾速度），不再是勻變速。

與其它運動學公式的關係

四個量 $v_0$ 、 $v$ 、 $a$ 、 $t$ 之外還有位移 $s$ ，五個量之間有四條常用公式，每條缺一個量： $v = v_0 + at$ （無 $s$ ）、 $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ （無 $v$ ）、 $v^2 = v_0^2 + 2as$ （無 $t$ ）、 $s = \tfrac12(v_0 + v)t$ （無 $a$ ）。本計算器是第一條；第二條在位移計算器；第三條由前兩條消去 $t$ 得到，是動能公式 $\tfrac12 mv^2$ 的來源。

假設

加速度恆定：整個時間段內 $a$ 不變。真實車輛的加速度隨檔位、速度變化，算出的是平均值。
直線運動、一維：速度與加速度共線，方向用符號表示。
忽略阻力：自由落體算例不含空氣阻力。
SI 單位：m/s、m/s²、s；不做換算。
界面口徑：未填的字段在引擎裏按 0 參與（反解時分母按 1 兜底），因此打開面板時末速度顯示 0。

適用範圍與限制

能算: $v_0$ 、 $a$ 、 $t$ 、 $v$ 四者知三求一，含負值。
只能近似: 變加速運動只能分段近似； $g$ 取 9.8 有約 0.1% 的取值差異。
不能算: 位移（用位移計算器）、 $v^2 = v_0^2 + 2as$ 這類不含時間的關係（手算）、二維拋體（分方向各算一次）、加速度隨時間變化的運動。
不做: 單位換算； $a = 0$ 時反解時間無解。
數值: 8 位小數回代會產生末位舍入尾巴（算例 2 的 27.77777776）。

常見誤區

km/h 直接當 m/s：反解出的「加速度」單位是 (km/h)/s，數值大 3.6 倍（算例 4 的提示）。
最高點加速度為零：速度為零的瞬間加速度仍是 $-9.8$ （算例 3）。
減速忘了負號：剎車的 $a$ 是負數；填正數會算出越來越快。
把 $v$ 當成速率： $v$ 帶符號；算例 3 的 $-9.8$ 表示向下 9.8 m/s，不是「負的速率」。
時間填成分鐘：60 s 不是 1；算例 4 的火車填 $t = 1$ 只得到 20.5。
把平均速度當末速度：從 0 勻加速到 27.78，平均速度是 13.89；末速度是 27.78。

典型使用場景

教學

加速度定義的直觀化；v–t 圖斜率；符號約定與豎直上拋；伽利略自由落體。

交通

0–100 km/h 加速時間與平均加速度互算；給定減速度的剎停時間；列車加速到目標速度所需時間。

體育與安全

跳傘初期（未達收尾速度前）的速度增長；起跑加速度估算；墜落速度估算（配合位移頁算高度）。

工程

電梯、傳送帶、機牀進給的加減速時間設計；已知允許加速度求加速段時長。

常見問題

為什麼打開面板時末速度是 0？

時間還沒填，引擎把 $t$ 當 0。填入時間後即正常。

怎麼算位移或距離？

用勻變速位移計算器（ $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ ）；或先用本頁求出 $t$ ，再算平均速度 $\tfrac12(v_0 + v)$ 乘 $t$ 。

加速度為負就是減速嗎？

只有當它與速度方向相反時才是減速。向下為正時自由落體加速度是正的；向上為正時是負的，但物體下落時速率仍在增大。

豎直上拋為什麼上升和下落時間相同？

加速度恆定且不計阻力， $v$ 關於 $t$ 是直線，從 $v_0$ 降到 0 和從 0 降到 $-v_0$ 用時相同（都是 $v_0/g$ ）。

空氣阻力大時還能用嗎？

不能。阻力隨速度增大，加速度不再恆定，最終到達收尾速度。雨滴、跳傘、羽毛都不是勻變速。

g 填 9.8 還是 9.81？

按題目或規範給的值；兩者相差 0.1%。取值版本的討論見牛頓第二定律。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-uniform-accel 定義（compute(known, solveFor) 對 v / t / a / v0 四向求解）；本頁所有數字由該引擎復算。
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）——五個量、四條公式的完整表。
Wikipedia, Acceleration（访问日期：2026-09-09）——加速度的定義、單位與矢量性質。
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day，Crew & de Salvio 英譯（访问日期：2026-09-09）——勻加速運動與自由落體的原典。
NIST, CODATA 2018: standard acceleration of gravity（访问日期：2026-09-09）—— $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ 。
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time——速度、加速度的量與單位定義。

隱私

所有輸入與計算都在你的瀏覽器內完成，不會上傳到服務器；本頁説明文字是靜態內容，不包含也不會記錄任何用户輸入。

來源與審閲

更新: 2026-09-09